重慶渝北區(qū)某中學(xué)2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)入學(xué)測試試題（含答案）

2025年春人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)入學(xué)測試

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.

1.下列圖形中，為軸對(duì)稱圖形的是（）

3

A.a3-a2=a6B.(6f2)3=a6C.(一2。)3=-2/D.a+Q3=Q6

3.如圖，過A45C的頂點(diǎn)4,作5C邊上的高,以下作法正確的是（)

A.B.

4.下列命題中是假命題的是（）

A.如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角

B.全等三角形的面積相等

C.負(fù)數(shù)都小于零

D.三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180。

5.下列等式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

2

A.X-9=(X+3)(X-3)

B.%2+5x—1—x(x+5)—1

試卷第1頁，共6頁

C.—4+3x=(x+2)(x—2)+3x

D.(x+2)(x-2)=x2-4

6.已知小+幾2=25,mn=12,則加3〃一加〃3的值為（）

A.-84B.84C.±84D.300

7.已知一=3,則（丁〃）2_3卜2）產(chǎn)的值是（）

A.0B.-1C.1D.2

8.我市把提升城市園林綠化水平作為推進(jìn)城市更新行動(dòng)的有效抓手，從2023年開始通過拆

違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個(gè)小而美的“口袋公園”.現(xiàn)需要購買4、5兩種綠植,

已知A種綠植單價(jià)是B種綠植單價(jià)的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B

種綠植少50株.設(shè)8種綠植單價(jià)是x元，則可列方程是（）

6750“30003000“6750

A.B.---------50=-------

3xx3xx

6750/30003000~6750

C.------+50=-------D.------+50=-------

3xx3xx

9.如圖，在中，AB=AC,44=90。，點(diǎn)。，E是邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)/，N

分別是邊NC,8c上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)四邊形。的周長最小時(shí)，NDNM+NEMN的大

小是（）.

C.75°D.135°

10.如圖，在△NBC中，AC=BC,ZB=30°,。為的中點(diǎn)，尸為CD上一點(diǎn)，E為BC

延長線上一點(diǎn)，且尸/=尸￡.有下列結(jié)論：①NPAD+NPEC=30°；②為等邊三角形;

CF-CP

③口=---；④了四邊畛ECP=S-其中正確的結(jié)論是（）

C.①②④D.③④

試卷第2頁，共6頁

二、填空題：本題共8小題，每小題4分，共32分.

11.計(jì)算：—2x,(——xy2)2=.

12.如圖，Nl、N2、N3、N4是五邊形/BCDE的4個(gè)外角，若乙4=120。，則

14.已知關(guān)于V的二次三項(xiàng)式/+m7+169是一個(gè)完全平方式，則加的值是.

15.若。+6=2,a-b=\,則/一/的值為.

16.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,/B=60。，點(diǎn)D,E分別是2C,上的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE

沿直線OE翻折，點(diǎn)B的對(duì)點(diǎn)"恰好落在NC上，若是等腰三角形，那么Z8E夕的

大小為_______________

x—2,

------<x+1

17.若關(guān)于x的一元一次不等式組3至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于歹的分式方程

x+a<3

T+J—=T的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之積是_______.

y-22-y

18.對(duì)于各位數(shù)字都不為0的兩位數(shù)加和三位數(shù)〃，將加中的任意一個(gè)數(shù)字作為一個(gè)新的兩

位數(shù)的十位數(shù)字，將"中的任意一個(gè)數(shù)字作為該新的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字，按照這種方式產(chǎn)生

的所有新的兩位數(shù)的和記為尸(加,〃).例如：尸(12,345)=13+14+15+23+24+25=114.

(1)填空：廠(13,579)=,

⑵若一個(gè)兩位數(shù)s=2bc+y,一個(gè)三位數(shù)”121x+1+199(其中l(wèi)〈xW4,1且三〉均

為整數(shù))，交換三位數(shù)/的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字得到新數(shù)一，當(dāng)，與s的個(gè)位數(shù)字的2倍的和

被12除余1時(shí)，稱這樣的兩個(gè)數(shù)s和t為“蔭蔽蔭庇數(shù)對(duì)”，則所有“蔭蔽蔭庇數(shù)對(duì)”中尸(sj)

試卷第3頁，共6頁

的最大值為

三.解答題

m2-9

19.vFW-：(1)(X+歹)2+x(x—2')；(2)1-^-

lm+3m2+6m+9

20.解方程:

/、x21

(I)--------------二I

x-lx+l

⑵修=占

21.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，△NBC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為/(I/)、3(4,2)、

C(2,3).

⑴在圖中畫出&ABC關(guān)于X軸對(duì)稱的圖形△44G；

(2)若點(diǎn)M(-4,2)與點(diǎn)N(2,2)關(guān)于一條直線成軸對(duì)稱，請?jiān)趫D中畫出這條對(duì)稱軸;

⑶在x軸上找一點(diǎn)尸，使尸N+P8最小，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.

22.已知A48C中，4B=g4C=a.

試卷第4頁，共6頁

(1)尺規(guī)作圖(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡)：

①作㈤C的平分線AD-,

②在AD上作點(diǎn)尸，使A/CP是以NC為底邊的等腰三角形，并求出乙4PC的度數(shù)(用含a

的式子表示)；

(2)在(1)所作的上是否存在著另外的點(diǎn)P,使A/CP也為等腰三角形，若有，請直接

用含a的式子表示乙4PC的大??；若沒有，請說明理由.

23.洋蔥是百合科，蔥屬多年生草本植物，味辛、甘，性溫，歸肺經(jīng)，富含鉀、維生素C、

葉酸、鋅、硒等纖維質(zhì)等營養(yǎng)素，具有保護(hù)心腦血管、美容養(yǎng)顏的功效.由于臨近初二中考，

考生物實(shí)驗(yàn)，生物實(shí)驗(yàn)課上要求：制作并觀察洋蔥鱗片葉肉內(nèi)表皮細(xì)胞臨時(shí)裝片，上周生物

老師用18元購買了一部分洋蔥，本周實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)洋蔥不夠用，由于天氣原因，本周洋蔥單

價(jià)上漲了。，生物老師花了30元，但只比上周多買了2斤洋蔥.

(1)求上周生物老師買的洋蔥單價(jià)為每斤多少元？

(2)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一個(gè)洋蔥可供12名同學(xué)使用，兩個(gè)洋蔥正好1斤，本校參加生物實(shí)驗(yàn)的同

學(xué)共1392人，如果本周洋蔥價(jià)格不變，那么生物老師至少應(yīng)再買多少斤洋蔥才能供給本校

參加生物實(shí)驗(yàn)的同學(xué)所用？

24.如圖，A/18C是等邊三角形，。為邊8C的中點(diǎn)，8E1/8交ND的延長線于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸

在/￡上，且/尸=2￡,連接CF、CE.求證：

(1)乙CAF=^CBE；

⑵斯是等邊三角形.

25.新定義：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)使得關(guān)于x的分式方程2+1=6的解是無=」成立，那么我

們就把實(shí)數(shù)組成的數(shù)對(duì)［a,b］稱為關(guān)于x的分式方程^+l=b的一個(gè)“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”.

211

例如：a=2,6=-5使得關(guān)于》的分式方程—+1=-5的解是》=不工；=-￡成立，所以數(shù)

X2+(-5)3

對(duì)［2,-5］就是關(guān)于*的分式方程￡+1=6的一個(gè)“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”.

試卷第5頁，共6頁

(1)判斷下列數(shù)對(duì)是否為關(guān)于X的分式方程2+l=b的“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”，若是，請?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打“/'?

若不是，打"X”.①[1,1](_);②[3,-5](_).

(2)若數(shù)對(duì)是關(guān)于x的分式方程-+\=b的“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)“，求"的值.

(3)若數(shù)對(duì)[m-k,k](m^-1,且機(jī)w0n1)是關(guān)于*的分式方程,1=b的“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”，且關(guān)

于X的方程加+1=Yx有整數(shù)解，求整數(shù)加的值.

26.如圖1,△NBC中，4B=BC,ZABC=a,點(diǎn)。在NC上，連接AD,在AD的上方作

ZBDE=a,且BD=ED,連接BE.作點(diǎn)/關(guān)于2C的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接￡尸，交5c于點(diǎn)

圖1圖2

(1)補(bǔ)全圖形，連接CF并寫出48。尸=_(用含。的式子表示);

(2)當(dāng)夕=60。時(shí)，如圖2.

①求證：EM=FM■,

②直接寫出而與的數(shù)量關(guān)系：

試卷第6頁，共6頁

1.D

【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別.熟練掌握：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直

線兩旁的部分能夠完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A中不是軸對(duì)稱圖形，故不符合要求；

B中不是軸對(duì)稱圖形，故不符合要求；

C中不是軸對(duì)稱圖形，故不符合要求；

D中是軸對(duì)稱圖形，故符合要求；

故選：D.

2.B

【分析】根據(jù)同底數(shù)塞的乘法運(yùn)算法則，塞的乘方運(yùn)算法則，積的乘方運(yùn)算法則，合并同類

項(xiàng)法則計(jì)算即可.

【詳解】解：A、a3-a2=a5^a6,故該選項(xiàng)不符合題意；

B、(a2)3=a6,故該選項(xiàng)符合題意；

C、(-2a)3=-8a3-2a3,故該選項(xiàng)不符合題意；

D、a3+a3=2a3^a6,故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)塞的乘法，合并同類項(xiàng)以及累的乘方與積的乘方，熟練掌握

相關(guān)的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

3.A

【分析】經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊所在的直線的垂線段，叫做三角形的高，根據(jù)概念即可得出.

【詳解】根據(jù)定義可得A選項(xiàng)是作2c邊上的高，符合題意，

B選項(xiàng)作的不是三角形N8C的高，不符合題意，

C選項(xiàng)是作邊上的高，不符合題意，

D選項(xiàng)是作NC邊上的高，不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形高線的作法，熟練掌握定義是解題關(guān)鍵.

4.A

【分析】本題考查命題真假的判斷，根據(jù)對(duì)頂角定義即可判斷A項(xiàng)，根據(jù)全等三角形性質(zhì)

答案第1頁，共20頁

即可判斷B項(xiàng)，根據(jù)負(fù)數(shù)的定義即可判斷C項(xiàng)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷D項(xiàng).

【詳解】解：A、如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角，根據(jù)有公共的頂點(diǎn)，角的兩邊

互為反向延長線的兩個(gè)角是對(duì)頂角，故該命題錯(cuò)誤，為假命題，符合題意；

B、全等三角形的面積相等，正確，為真命題，不符合題意；

C、負(fù)數(shù)都小于零，正確，為真命題，不符合題意；

D、三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180。，正確，為真命題，不符合題意；

故選：A.

5.A

【分析】因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，利用多項(xiàng)式的因式分解的定義

逐一判斷即可得到答案.

【詳解】解：X2-9=X2-32=(X+3)U-3),故A是因式分解；

V+5x-l=x(x+5)-1,結(jié)果不是整式的積的形式，故3不是因式分解；

尤2-4+3X=(X+2)(X-2)+3X,結(jié)果不是整式的積的形式，故C不是因式分解；

(x+2)(尤-2)=/_4,是整式的乘法運(yùn)算，故。不是因式分解；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式的因式分解，掌握多項(xiàng)式的因式分解的定義是解題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】根據(jù)加2+川=25,mn=12,利用完全平方公式變形求出加-〃=±1,

m+n=±1,再分情況求出答案.

【詳解】,:加2=25,mn=12,

???(加一月)2=加2+”2-2加”=25-2x12=1,

(m+4=m2+n2+2nm=25+2x12=49

m-n=±1,m+n=±7,

當(dāng)tn-n=l,m+n=7時(shí)，m3n-mn}=ni1-772)=mn(m+n)(m-n)=12x7x1=84；

當(dāng)m-n=l,m+n=-7時(shí)，m3n-mn3=mr^m2-?2)=mn(m+n)(m-n)=12x(-7)xl=-84；

當(dāng)m-n=-l,m+n=7時(shí)，m3n-mn3=mi'(m2-?2)=mn(m+n)(m-n)=12><7x(-1)=-84；

當(dāng)m-n=-l,m+n=-7時(shí)，m'n-m2-?2)=mn(m+n)(m-n)=12義(-7)x(-1)

答案第2頁，共20頁

=84；

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查完全平方公式的變形計(jì)算，整式的因式分解，有理數(shù)的乘法計(jì)算法則，解

題中運(yùn)用分類討論是思想解決問題.

7.A

【分析】根據(jù)幕的乘方，以及逆用事的乘方進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（鈔3①廣

=3"-3”，

=（針）：3㈠J

=（3丫-3⑶）

=0.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查塞的乘方和逆用幕的乘方運(yùn)算.熟練掌握哥的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

8.C

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)2種綠植單價(jià)是x元，則/種綠植單價(jià)是3x

元，根據(jù)用6750元購買的/種綠植比用3000元購買的8種綠植少50株，列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)3種綠植單價(jià)是x元，則/種綠植單價(jià)是3x元，根據(jù)題意得：

故選：C.

9.B

【分析】本題主要考查軸對(duì)稱一最短路徑的運(yùn)用，掌握最短路徑的計(jì)算方法，等腰三角形的

性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和、外角和的綜合運(yùn)用.

根據(jù)題意，分別作點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)。'，E',根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可確定點(diǎn)N的位置

為點(diǎn)M',N',此時(shí)四邊形DEMN的周長最小，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得Z4E為T=,

ZN'D'P=ZN'DP,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得/￡A0V'+/DN'",=2N/E'"+2/MD'P,

根據(jù)直角三角形中兩銳角互余可得出//￡'〃'=90。-/1,NNDP=90。-A,運(yùn)用等量待

會(huì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)￡關(guān)于4"的對(duì)稱點(diǎn)E',作點(diǎn)。關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接D'E'

答案第3頁，共20頁

交BC,/C于點(diǎn)N',M',

???根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得，E'M'+MN'+N'D'的值最小，

.?.四邊形DEMN的周長最小值為：DE+E'M'+MN'+N'D,

???在中，AB=AC,ZA=90°,即ANBC是等腰直角三角形，

："B=NC=45°,

在ACMM中，

?；Z1+N3+NC=18O°,

.-.Zl+Z3=180°-45°=135°,

根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)可得，Zl=Z2,/3=/4,

根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，ZM'AE'=90°,ZN'PD'=90°,ZAE'M'=ZAEM',

ZN'DP=ZN'D'P,

ZEMN=2ZAE'M',ZDN'M'=2ZN'D'P,

在RMAM'E',RMPN'D'中,

ZAE'M'=90O-Z2=90°-Z1,ZN'D'P=90°-Z4=90°-Z3,

：.ZDN'M'+NEMN'=2NAE'M'+2ZN'D'P

=2（90°-Zl）+2（90°-Z3）

=360。-2（N1+N3）

=360°-2xl35°

=90°,

.??當(dāng)四邊形DEMN的周長最小時(shí)，ZDNM+ZEMN的大小是90。，

故選：B.

答案第4頁，共20頁

10.A

【分析】連接3尸，由等腰三角形的性質(zhì)和線段的中垂線性質(zhì)即可判斷①；由三角形內(nèi)角和

定理可求NPE/+NP/E=120。，可得/4PE=60。，可判斷②；過點(diǎn)A作力尸在BC

上截取CG=CP,由“SAS”可證△必C0△/E/C,延長至X,使PD=HD,則點(diǎn)尸關(guān)

于知的對(duì)稱點(diǎn)“，連接H4,根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)即可判斷③；過點(diǎn)/作工廠在BC上截

取CG=CP,由三角形的面積的和差關(guān)系可判斷④.

【詳解】解：如圖，連接AP,

■.-AC=BC,ZABC=30°,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

.-.ZCAB=ZABC=30°,AD=BD,CDVAB,ZACD=ZBCD=60°,

???CD是的中垂線，

???AP=BP,而4P=PE,

???AP=PB=PE,

???NPAB=ZPBA,ZPEB=NPBE,

:.NPBA+NPBE=NPAB+NPEB,

；.NABC=NPAD+NPEC=30°,故①正確；

■■■PA=PE,

???NPAE=ZPEA,

ZABC=ZPAD+ZPEC=30°,

：.NPAE+ZPEA=180°-60°=120°,

:.NAPE=60°PA=PE,

.?.△尸/E是等邊三角形，故②正確；

如圖，延長至“，使PD=HD,則點(diǎn)尸關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為H,連接出,

AP=AH,ZPAD=NHAD,

答案第5頁，共20頁

E

C

???△/）/￡是等邊三角形，

???AE=AP,

???AE=AH,

???ACAD=ZCAP+/PAD=30°,

.\2ZCAP+2ZPAD=60°,

???ZCAP+/PAD+AHAD=60°-/PAC,

??.ZEAC=600-ZPAC,

??.AHAC=ZEAC,

-AC=AC,

.?.△/Z4C2△/￡/C（SAS）,

：,CH=CE,

CE=CH=CP+PD+DH=CP+2PD,

CE-CP

■-PD=---.故③正確；

過點(diǎn)/作“尸在8c上截取CG=CP,

???CG=CP,NBCD=60°,

...△CPG是等邊三角形，

ZCGP=NPCG=60°,

ZECP=ZPGB=120°,且EP=PB,NPEB=NPBE,

△尸CE絲△尸G8（AAS）,

:.CE=GB,

：.AC=BC=BG+CG=EC+CP,

答案第6頁，共20頁

EF

c

-ZABC=30°,AFLBE,

AF=-AB=AD,

2

???$想。8=：四></斤=3（E0+3）><4尸=：￡0'/尸+：3></0=$四邊形九3，

???S四邊形4ECP=S&ABC?故④正確.

所以其中正確的結(jié)論是①②③④.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30。的直角三角形的

性質(zhì)，垂直平分線的定義與性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵.

11.--x3y4

8

【分析】先計(jì)算積的乘方，再計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式即可.

【詳解】解：一2X?（-73中2）2=_2x.QJx2j/=_Q/34.

4168

Q

故答案為：-J//.

O

【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方和單項(xiàng)式的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則并正確計(jì)

算.積的乘方，先把積中的每一個(gè)乘數(shù)分別乘方，再把所得的募相乘.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式,

它們的積仍然是單項(xiàng)式，積的系數(shù)等于原來兩個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)的積，它的各個(gè)字母的指數(shù)等

于在原來兩個(gè)單項(xiàng)式中相應(yīng)字母的指數(shù)的和.

12.300

【詳解】解：由題意得，NA的外角=18由-ZA=6O。,

又???多邊形的外角和為360。，

??z1+Z2+Z3+Z4=360°-zA的外角=300。.

故答案為：300.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形外角性質(zhì)，補(bǔ)角定義.

13.2（x+2）（x-2）

答案第7頁，共20頁

【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可.

本題考查了因式分解，熟練掌握先提取公因式，再套用公式分解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】2X2-8=2(X2-22)

=2(x+2)(x-2).

故答案為：2(x+2)(x-2).

14.±8

【分析】本題考查了完全平方式，符合/+2仍+6?形式的式子叫完全平方式，要明確，常

數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，進(jìn)而求出即可.

【詳解】解：「關(guān)于V的二次三項(xiàng)式/+7町+16是完全平方式，

???y1+my+16=(7±盯，

m=±2x4x1=±8.

故答案為：±8.

15.2

【分析】先將代數(shù)式根據(jù)平方差公式分解為：a2-b2=(a+bXa-b),再分別代入求解.

【詳解】5+方=2,a-b=\,

原式=(a+6)(q_6)=2xl=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，熟記公式是解答本題的關(guān)鍵。

16.150°或105°或60°

【分析】本題考查直角三角形中的折疊問題，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是掌握等腰三角形性質(zhì)，分類討論.

由/C=90。，/B=60。，得//=30。，分三種情況討論：①當(dāng)=時(shí)，可得

1OAO_/A

^BEB'=180°-zLB'EA=150°；②當(dāng)48=4E1時(shí)，即得N/E9==——-——=75°,即得

NBEB'=105°；③當(dāng)EN=E9時(shí)，可得NBEB'=NA+ZEB'A=60°.

【詳解】解：???NC=90。，^5=60°,

N4=30°,

分三種情況討論：

答案第8頁，共20頁

①當(dāng)=時(shí)，如圖:

NBEB'=180°-ZB'EA=150°；

②當(dāng)4B，=4E■時(shí)，如圖：

=75°

NBEB'=18?！?ZAEB'=105°；

③當(dāng)=時(shí)，如圖：

B

綜上所述，/8班'為150?；?05?；?0。，

故答案為：150?；?05?；?0。.

17.-3

【分析】先解不等式組，確定”的取值范圍。44,再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,

解得>=審，由分式方程有正整數(shù)解，確定出“的值，相乘即可得到答案.

x—2G

,------<X+1(1)

【詳解】解：3,

x+a<3②

解不等式①得：x>-|

解不等式②得：x<3-a,

則根據(jù)題意可知，不等式組的解集為：-|<龍43-。，

x+i>￡zl

???關(guān)于x的一元一次不等式組3至少有2個(gè)整數(shù)解，

x+a<3

答案第9頁，共20頁

則該不等式的整數(shù)解至少包含：-2,-1,

3—a2—1,

解得：a<4,

分式方程Y+4=T去分母得：y-a-l=2-y,

y-22-y

■■■a<4,

??.y是正整數(shù)，且yw2,

???y=1或y=3,

;a=-1或a=3,

?.?滿足條件的整數(shù)a的積為-lx3=-3,

故答案為：-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組的步驟

以及解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵.

18.162456

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，

(1)根據(jù)尸(九〃)定義求解；

(2)f=121x+y+199=100x+20x+x+y+200—1=100(x+2)+20x+(x+y-1),

/'=100(x+y-l)+20x+(x+2),s=21x+y=10x2x+x+y,由所得可求f'與s個(gè)位數(shù)字的2

倍的和為：100(x+y—1)+20x+(x+2)+2(x+y)=123x+102y—98,貝ij

23x+102y—9912(10x+8y—8)3x+6y—3,,,,x+2y—l曰擊

--------——=—------——-+---------是H整數(shù)，——;—是整數(shù)，由x、y的氾圍可

1212124-

求：x+2y-l可能是4,8,12；當(dāng)x+2y-l=4時(shí)，x=3,>=1,貝I]

F(s,t)=F(64,563)=328,x=\,y=2,貝!|尸(s,f)=P(23,322)=164,當(dāng)x+2y-l=8時(shí)，

x=l,y=4,則斤(sJ)=尸(25,324)=228,x=3,y=3,則戶(sj)=尸(66,565)=392,當(dāng)

x+2y-l=12時(shí),x=3,y=5,則尸(s,7)=4(68,567)=456,即可求最大值.

【詳解】解：(1)尸(13,579)=15+17+19+35+37+39=162,

答案第1。頁，共20頁

(2)121x+y+199=100x+20x+x+y+200-1=100(x+2)+20x+(x+j^-l),

f=100(x+y-l)+20x+(x+2),

???s=21x+y=10x2x+x+y,

與s個(gè)位數(shù)字的2倍的和為：100(x+y—l)+20x+(x+2)+2(x+y)=123x+102j/—98,

??,它被12除余1,

.J23x+102y-98-1能被12整除，

,23x+102y-99=12(10x+8y-8)+3x+6y-3是整數(shù)，

121212'

..」+7T是整數(shù),

4

vl<x<4,l<y<5,

2<x+-1<13,

???x+2y-l可能是4,8,12,

當(dāng)x+2〉_l=4時(shí)，

x=3,y=l,則尸(s/)=「(64,563)=328,

x=Ly=2,則F(s,t)=尸(23,322)=164,

當(dāng)x+2y-]=8時(shí)，

x=l,y=4f貝！|尸(s,。二歹(25,324)=228,

x=3,y=3f則尸(s/)=F(66,565)=392,

當(dāng)x+2y-l=12時(shí)，

x=3,y=5,貝!|一(5,。二尸(68,567)=456,

綜上所述：尸CV)的最大值為456.

故答案為：162；456.

3

19.(1)2x2+y2；(2)------

m-3

【分析】(1)利用完全平方公式和整式乘法展開后合并同類型即可；

(2)先把分子分母因式分解，然后按順序計(jì)算即可；

【詳解】(1)解：原式=/+2xy+y2+x2-2xy

=2x2+y2

答案第H頁，共20頁

m+3-m（加+3）2

(2)解：原式=

m+3（m+3）（加-3）

3（加+3）2

加+3（m+3）（加-3）

3

m—3

【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算和分式的混合運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

20.(l)x=3

(2)無解

【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解答本題的關(guān)鍵.

(1)將分式方程去分母化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

(2)將分式方程去分母化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

X2

【詳解】(1)解：-^--^-=1,

x-1X+1

去分母得：x(x+l)-2(x-l)=(x+l)(x-l),

去括號(hào)得：x2+x-2x+2=x2-B

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：-x=-3,

解得：x=3,

檢驗(yàn):當(dāng)x=3時(shí)，+=8h0,

???原分式方程的解為x=3；

去分母得：(X-2)'-(X2-4)=16,

22

去括號(hào)得：X-4^+4-X+4=16,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：-4x=8,

解得x=-2,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=-2時(shí)，x2-4=0,

???原分式方程無解.

21.⑴見解析

(2)見解析

(3)圖見解析，(2,0)

【分析】本題考查了作圖一對(duì)稱變換、坐標(biāo)與圖形變換:

答案第12頁，共20頁

（1）4（1,1）關(guān)于x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為:4（1,-1）,同理可得：A（4,-2）,G（2,-3）,依次連

接，即可求解；

（2）?.?點(diǎn)M（-4,2）與點(diǎn)N（2,2）,縱坐標(biāo)相等，則x=-l成軸對(duì)稱，進(jìn)而可求解;

（3）連接/月，交x軸于點(diǎn)P,連接2P,則此時(shí)P/+P3最小，進(jìn)而可求解；

熟練掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：/（U）關(guān)于x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：4。,-1）,

同理可得：4（4,-2）,4（2,-3）,依次連接,

如圖，△44。即為所求.

（2）?.?點(diǎn)”（-4,2）與點(diǎn)N（2,2）,縱坐標(biāo)相等，

.?.點(diǎn)M（-4,2）與點(diǎn)N（2,2）關(guān)于直線戶2-2尹=-1成軸對(duì)稱.

如圖，直線x=-l即為所求.

（3）如圖，連接“耳，交x軸于點(diǎn)尸，連接3尸，

PB=PBl,

此時(shí)P/+P8最小，

則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0）.

答案第13頁，共20頁

22.(1)①見解析；②作圖見解析，N/PC=180。-3a

33

⑵90。7或5a

【分析】(1)①尺規(guī)作圖作NE/C的角平分線即可；②作線段NC的垂直平分線，交/。于

點(diǎn)、P,連接PC,則△/PC即為所求；

(2)分/尸=/C,C4=C尸分別求解即可

【詳解】(1)①如圖，射線4D即為所求

②作線段/C的垂直平分線，交4D于點(diǎn)P,連接尸C,則即為所求；

:NB=L/C=a

2

:.ZC^2a

NE4c=ZB+ZACB=3a

又VPA=PC,AD平分ZEAC

3

:.ZPAC=ZPCA=-a

2

:.ZAPC=lS00-3a

(2)存在，當(dāng)/尸=/C時(shí)，Z^PC=Z^CP=^|180°-1?1=90°-4?

2(2)4

3

當(dāng)CP=C4時(shí)，NAPC=/CAP=-a

2

33

綜上所述，/NPC的值為90。-^?；?/p>

【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等

腰三角形的性質(zhì)，正確的作圖是解題的關(guān)鍵.

23.(1)上周生物老師購買洋蔥的單價(jià)為1元/斤

(2)生物老師至少要再購買20斤洋蔥

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，正確列出分式方

程與一元一次不等式是解此題的關(guān)鍵.

答案第14頁，共20頁

(1)設(shè)上周生物老師購買洋蔥的單價(jià)為X元/斤，則本周所買洋蔥的單價(jià)為+；卜元/斤,

根據(jù)“生物老師花了30元，但只比上周多買了2斤洋蔥”列出分式方程，求解即可得出答案；

(2)設(shè)生物老師還需再購買洋蔥加斤，根據(jù)題意列出一元一次不等式，解不等式即可得出

答案.

【詳解】(1)解：設(shè)上周生物老師購買洋蔥的單價(jià)為x元/斤，則本周所買洋蔥的單價(jià)為

(1+Jx元/斤，

18_302

根據(jù)題意可列方程：+

解得x=l

經(jīng)檢驗(yàn)：x=l是原方程的根且符合題意.

答：上周生物老師購買洋蔥的單價(jià)為1元/斤

(2)解：設(shè)生物老師還需再購買洋蔥乙斤

則有牛xl2x2+]f+2)xl2x2+%xl2x2N1392

解得機(jī)220

答：生物老師至少要再購買20斤洋蔥.

24.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NCNB=NC8/=60。，根據(jù)已知條件求得NC4D=

30°,4CBE=9Q0-4CBA=3Q°,即可得證；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，證明AC尸三△C2E,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出乙4CF=4BCE,

進(jìn)而得出NEC尸=60。，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???A48C是等邊三角形，

.?ZC18=NCA4=60°,

???￡)為8c的中點(diǎn)，

：./.CAD=^CAB=^°,

又?:BELAB,

.-.^ABE=9Q°,

.?zC2E=90°-NC2/=30°,

答案第15頁，共20頁

.'^CAF=^CBE；

(2)證明：???A45C是等邊三角形，

??.CA=CB,

在/和△C5E中，

CA=CB

<ZCAF=NCBE,

AF=BE

???△CAF34CBE(SAS),

:?CE=CF,/-ACF=^BCE,

:/ECF=乙BCE+乙BCF=■CF+^BCF=&CB=60°,

???△C斯是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是

解題的關(guān)鍵.

25.⑴①x；②《

⑵〃=4；

⑶加=一2或一3

【分析】(1)根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”定義分別判斷即可；

(2)根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”定義計(jì)算即可；

(3)根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”定義計(jì)算即可；

【詳解】(1)解:當(dāng)。=1,6=1時(shí)，

分式方程為：分式方程,+1=1,方程無解，故①的答案是x,

當(dāng)4=3,b=—5時(shí)，

31

分式方程為：分式方程一+1=-5,方程的解為：%=

x2

答案第16頁，共20頁

??-----1-----=1

,3+(-5)2'

故②的答案是《

(2)解：???數(shù)對(duì)?,-1-?是關(guān)于x的分式方程@+l=b的“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”,

_3Jx

13

n15x=---------------=——

—FI=n,,5、5，

n15

——+1=------n

??_23，

-5

解得："=4；

(3)解：?.?數(shù)對(duì)上”人用(機(jī)片-1,且加片0吐1)是關(guān)于x的分式方程(