北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊全冊教案

北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊全冊教案

第一章預(yù)備知識

1集合

1.1集合的概念與表示

教學(xué)目標(biāo)

1知識與技能

(1)了解解集合的含義，知道常用數(shù)集及其專用記號；

(2)初步了解“屬于"關(guān)系的意義；

(3)初步了解集合中元素的確定性、互異性、無序性；

2過程與方法

(1)觀察關(guān)于集合的幾組實例，初步感受集合語言在描敘客觀現(xiàn)實

和數(shù)學(xué)對象中的意義c

⑵通過實例，初步體會元素與集合的“屬于」關(guān)系。

3情感、態(tài)度、價值觀

通過學(xué)習(xí)本節(jié)課，在教學(xué)過程中多用實例形象的展示集合語言，增

強學(xué)生認(rèn)識事物的能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，初步培養(yǎng)學(xué)生實事

求是的學(xué)習(xí)態(tài)度。

重點難點

教學(xué)重點：集合的含義，元素與集合的關(guān)系.

教學(xué)難點：集合概念的理解.

高中數(shù)學(xué)《集合的含義與表示》教學(xué)設(shè)計模版

教學(xué)過程

教學(xué)工具：多媒體

一、新課引入

4.1.1教學(xué)活動

閱讀以下例子，并提出問題：概括出他們的共同特征；他們能構(gòu)成集

合嗎？各自的元素是什么？

(讓學(xué)生分組討論)

(1)我家有爸爸、媽媽和我；

(2)舟曲一中高一2班的全體同學(xué)；

(3)右手的5根手指頭；

(4)我國的直轄市；

(5)廣20以內(nèi)的素數(shù)。

(6)方程2x2x1=0的所有實數(shù)根

分析、歸納上述各個實例的共同特征，歸納出集合的含義。

設(shè)計意圖：結(jié)合學(xué)生的已有經(jīng)驗，啟發(fā)學(xué)生思考培養(yǎng)概括能力。

(板書課題集合的含義及其表示)

二、講授新課

1.集合的概念：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體

構(gòu)成一個集合(set)o

2.表示方法：集合常用大括號｛｝或大寫的拉丁字母來表示，如集

合A、集合B……，集合中的每一個對象稱為該集合的元素

(element),簡稱元。集合的元素常用小寫的拉丁字母來表示，如a、

b、c、....

探究能否構(gòu)成集合，閱讀教材第3頁的思考，引導(dǎo)學(xué)生明確判斷的

標(biāo)準(zhǔn)是否能清晰的判斷某個元素在不在該范圍內(nèi)。

3.關(guān)于集合的元素的特征

問題：(1)A=｛1,3｝問1,2哪個是A的元素？

(2)｛較大的正數(shù)｝能否構(gòu)成集合？

(3)｛0,0,1｝表示是否正確？

(4)｛1,2,3｝和｛3,2.1｝是否為同一集合？

(通過以上4個問題，讓學(xué)生思考并嘗試總結(jié)集合元素的特征。)

(1)確定性：設(shè)A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是

A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。

(2)互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的

個體(對象)，因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素。

(3)無序性：一般不考慮元素之間的順序，但在表示數(shù)列之類的特殊

集合時，通常按照習(xí)慣的由小到大的數(shù)軸順序書寫。

4.集合元素與集合的關(guān)系用“屬于”和“不屬于”表示；

(1)如果是集合的元素，就說屬于，記作aeA

(2)如果不是集合的元素，就說a不屬于A,(“￡”的開口方

向，不能把A顛倒過來寫)

5.常用數(shù)集的記法：

(1)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)：全體非負(fù)整數(shù)的集合記作N,

(2)正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集記作N*或N

(3)整數(shù)集：全體整數(shù)的集合記作Z,

(4)有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合記作Q,

(5)實數(shù)集：全體實數(shù)的集合記作R

注：(1)自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括

數(shù)0

(2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除。的集記作N*或NQ、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)

排除。的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成Z*

三、課堂練習(xí)

1.下列說法正確的是()

A.{1,2}和{2,1},是兩個集合B{(0,2)}.中有兩個元素

2.已知集合A={0,1,-1,

x2}則x在實數(shù)范圍內(nèi)不能取哪些值

3.已知集合S={a,b,c}中的三個元素是三角形ABC的三邊長，那么

ABC一定不是()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

4,教材第五頁練習(xí)第1題

(學(xué)生板演，并交換檢查，以提高學(xué)習(xí)積極性)

四、回顧小結(jié)

1.集合的有關(guān)概念

2.集合中元素與集合的關(guān)系

3.常用數(shù)集的記法

五、課外作業(yè)

1.教材習(xí)題1.1A組第1題

2.已知集合｛l,a,b｝與｛-1,-b,l｝是同一集合，求實數(shù)a、b的值.

1.2集合的基本關(guān)系

教材分析

類比實數(shù)的大小關(guān)系引入集合的包含與相等關(guān)系，了解空集的含義.

本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了集合的概念、元素與集合的從屬關(guān)系以及集合的表

示方法的基礎(chǔ)上，進一步學(xué)習(xí)集合與集合之間的關(guān)系，同時也為下一節(jié)學(xué)

習(xí)集合的基本運算打好基礎(chǔ).因此本節(jié)內(nèi)容起著承上啟下的重要作用.

教學(xué)目標(biāo)

【知識與能力目標(biāo)】

1.了解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；

2.理解子集、直子集的概念：

3.能使用Venn圖表達集合間的關(guān)系，體會直觀圖示對理解抽象概念的

作用.

【過程與方法目標(biāo)】

讓學(xué)生通過觀察身邊的實例，發(fā)現(xiàn)集合間的基本關(guān)系，體驗其現(xiàn)實意義.

【情感態(tài)度價值觀目標(biāo)】

感受集合語言在描述客觀現(xiàn)實和數(shù)學(xué)問題中的意義.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

集合間的包含與相等關(guān)系，子集與真子集的概念.

【教學(xué)難點】

屬于關(guān)系與包含關(guān)系的區(qū)別.

課前準(zhǔn)備

學(xué)生通過預(yù)習(xí)，觀察、類比、思考、交流、討論，發(fā)現(xiàn)集合間的基本關(guān)

系.

教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

復(fù)習(xí)回顧:

1.集合有哪兩種表示方法？

2.元素與集合有哪幾種關(guān)系？

問題提出：集合與集合之間又存在哪些關(guān)系？

（二）研探新知

問題1：實數(shù)有相等、大小關(guān)系，如5=5,5<7,5>3等等，類比實數(shù)

之間的關(guān)系，你會想到集合之間有什么關(guān)系呢？

讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不要急于做出判斷.而是繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生；欲知誰

正確，讓我們一起來觀察、研探.

投影問題2：觀察下面幾個例子，你能發(fā)現(xiàn)兩個集合間有什么關(guān)系了嗎？

（1）Z={1,Z3},8={L2,3,4,51；

（2）設(shè)力為國興中學(xué)高一（3）班男生的全體組成的集合，月為這個班

學(xué)生的全體組成的集合；

（3）設(shè):。={引娓兩條邊相等的三角形}，。={“遑等腰三角形};

（4）e={2,4,6},尸={6,4,2}..

組織學(xué)生充分討論、交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個集合所含元素范圍存在各種

關(guān)系，從而類比得出兩個集合之間的關(guān)系：

①一般地，對于兩個集合山區(qū)如果集合力中任意一個元素都是集合〃

中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合力為夕的子集.

記作：從之B,二⑷

讀作：力含于B（或月包含力）.

②如果兩個集合所含的元素完全相同，那么我們稱這兩個集合相等.

教師引導(dǎo)學(xué)生類比表示集合間關(guān)系的符號與表示兩個實數(shù)大小關(guān)系的

等號之間有什么類似之處，強化學(xué)生對符號所表示意義的理解.并指出：

為了直觀地表示集合訶的關(guān)系，我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，

這種圖稱為Venn圖.如圖1和圖2分別是表示問題2中實例1和實例3的

Venn圖.

圖1圖2

投影問題3：與實數(shù)中的結(jié)論“若”相類比，在集合中，你能得出什么

結(jié)論？

教師引導(dǎo)學(xué)生通過類比，思考得出結(jié)論：若.

問題4：請同學(xué)們舉出幾個具有包含關(guān)系、相等關(guān)系的集合實例，并用

Venn圖表示.

學(xué)生主動發(fā)言，教師給予評價.

（三）學(xué)生自主學(xué)習(xí)，閱讀埋解

然后教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材的相關(guān)內(nèi)容，并思考回答下例問題：

（1）集合力是集合8的真子集的含義是什么？什么叫空集？

（2）集合力是集合4的真子集與集合力是集合4的子集之間有什么區(qū)

別？

（3）0,{0}與三者之間有什么關(guān)系？

（4）包含關(guān)系與屬于關(guān)系之間有什么區(qū)別？試結(jié)合實例作出解釋.

（5）空集是任何集合的子集嗎？空集是任何集合的真子集嗎？

（6）能否說任何一人集合是它本身的子集，即？

（7）對于集合力，B,C,如果力8,BC,那么集合4與。有什么關(guān)系？

教師巡視指導(dǎo)，解答學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中遇到的困惑過程，然后讓學(xué)生發(fā)

表對上述問題看法.

（四）鞏固深化，發(fā)展思維

1.學(xué)生在教師的引導(dǎo)啟發(fā)下完成下列兩道例題：

例1.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在質(zhì)量和長度上都合格時，該產(chǎn)品才合格.若

用4表示合格產(chǎn)品，8表示質(zhì)量合格的產(chǎn)品的集合，。表示長度合格的產(chǎn)品

的集合.則下列包含關(guān)系哪些成立？

AQBSBQA,AQC,CQA

試用Venn圖表示這三個集合的關(guān)系.

例2.寫出集合｛0,1,2）的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

2.學(xué)生做教材習(xí)題，教師及時檢查反饋,強調(diào)能確定是真子集關(guān)系的

最好寫真子集，而不寫子集.

（五）歸納整理，整體認(rèn)識

1.請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有建些，所涉及到的主要數(shù)

學(xué)思想方法又那些.

2.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出.

1.3集合的基本運算

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.通過補集的運算培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算

1.了解全集的含義及其符號表示.（易混點）

素養(yǎng).

2.理解給定集合中一個子集的補集的含義，并會

2.借助集合思想對實際生活中的

求給定子集的補集.（重點、難點）

對象進行判斷歸類，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽

3.會用Venn圖、數(shù)軸進行集合的運算.（重點）

象素養(yǎng).

1.全集

（1）定義：如果個集合含有所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱

這個集合為全集.

（2）記法：全集通常記作&

思考：全集一定是實數(shù)集R嗎？

提示：全集是一個相對概念，因研究問題的不同而變化，如在實數(shù)范圍

內(nèi)解不等式，全集為實數(shù)集R，而在整數(shù)范圍內(nèi)解不等式，則全集為整數(shù)集

Z.

2.補集

對于一個集合4由全集〃中不屬于集合力的所有元素組成的集合稱

文字語言

為集合力相對于全集〃的補集，記作品

符號語言［淵=且依力｝

圖形語言

1.己知全集〃={0,1,2},且[淵={2},KJA=()

A.{0}B.{I)

C.0D.{0,1}

D「??〃={0,1,2},{2},

：.A={0,1},故選D.]

2.設(shè)全集為〃，必={0,2,4},[也={6},則〃等于0

A.{0,2,4,6}B.{0}2,4}

C.{6}D.0

A[V；l/={0,2,4},O={6},

.?.〃=〃U{0.2,4,6},故選A.]

3.若集合/={x|x>l},則>3=________.

{x\xW1)[VA=->1},

[/={x|xW1}.]

補集的運算

【例1】(1)已知全集為〃,集合4={1,3,5,7},〔淵={2,4,6},[必

={1,4,6},則集合“=________；

(2)已知全集〃={x|xW5},集合/!={x|-3Wx<5},貝I」[淵=________.

(1){2,3,5,7}(2){劃彳<-3或x=5}[(1)法一(定義法):因為力=

(1,3,5,7},”{2,4,6},所以〃={1,2,3,4,5,6,7}.

又C/=(1,4,6},

所以8=⑵3,5,7}.

法二(Venn圖法)：滿足題意的Venn圖如圖所示.

由圖可知B={2,3,5,7).

(2)將集合〃和集合力分別表示在數(shù)軸上，如圖所示.

由補集的定義可知[“={x]x<-3或x=5}.]

求集合的補集的方法

1定義法：當(dāng)集合中的元素較少時，可利用定義直接求解.

2Venn圖法：借助Venn圖可直觀地求出全集及補集.

3數(shù)軸法：當(dāng)集合中的元素連續(xù)且無限時，可借助數(shù)軸求解，此時

需注意端點問題.

1.(1)設(shè)集合4={x￡N[xW6},"={2,4},則匚必等于。

A.{2,4}B.{0,1,3,5}

C.{1,3,5,6}D.—|后6}

(2)已知〃={x|x>0},4={x|2W水6},則[淵=.

(1)C(2){x\0<-2,或*26}[⑴因為A=—|xW6}={1,2,3,4,5,6),

B={2,41，所以(:加=U,3,5,6}.故選C.0246x

(2)如圖，分別在數(shù)軸上表示兩集合，則由補集的定義可知，[淵=

{x\0<x<2,或x26}.]

集合交、并、補集的綜合運算

【例2】設(shè)全集為R,4={x|3Wx<7},8={x|2〈水10},求匕(4

U8)及([/)CB.

[解]把集合力，8在數(shù)軸上表示如下：

H尸一

由圖知CR6={X|XW2,或x》10},4U8=32〈水10},所以[RG4U8)=

{x|xW2,或x210}.

因為1R/={A|A<3,或A5:7},

所以([/)D8={x[2<x<3,或7Wx<10}.

解決集合交、并、補運算的技巧

1如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然

后結(jié)合交集、并集、補集的定義來求解.在解答過程中常常借助于Venn圖

來求解.

2如果所給集合是無限集，則常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別

表示在數(shù)軸上，然后進行交、并、補集的運算.解答過程中要注意邊界何題.

2.全集〃={x|x<10,x￡N*},AQU,BQU.(［^)A{1,9},力AB=

⑶，(CJ)n(Cr^)={4,6,7},求集合4B.

［解］法一(Vcnr.圖法)：根據(jù)題意作出Venn圖如圖所示.

由圖可知力={1,3,9},B=(2,3,5,8}.

法二(定義法)：(05)04={1,9},(|?0(￡而={4,6,7},???［：/=

(1,4,6,7,9}.

又6={1,2,3,4,5,6,7,8,9),

:?B={2,3,5,8}.

???((/)0力={1,9},AQB={3},

AJ={1,3,9).

與補集有關(guān)的參數(shù)值的求解

［探究問題］

1.若4?是全集〃的子集，且(［")04=。，則集合兒〃存在怎樣的

關(guān)系？

提示：隹4

2.若兒夕是全集〃的子集，且(［MUS=〃，則集合48存在怎樣的

關(guān)系？

提不：AQB.

【例3】設(shè)集合力={x|x+m20},s={x|-2<x<4},全集〃=R,且

(［Mn〃=。，求實數(shù)勿的取值范圍.

［思路點撥］法一：

----------結(jié)合數(shù)軸-------------------

由.4求［4---------->建立加的不等關(guān)系

-----------等價轉(zhuǎn)化------

（［匕：/4）門8=0------->

法二：

［解］法一（直接法）:由力={x|x+m2O}=法1x2—小},得［〃={-法

一加}.

E二。.！_5

因為4={引一2〈內(nèi)4},（［j）n〃=。，~m~2024.

所以一—2,即/〃22,

所以/〃的取值范圍是{/〃/〃22}.

法二（集合間的關(guān)系）：由（［/）A9=?？芍Ｐ?/p>

又B={x\—2<x<4},A={x\才+勿20}={A|—勿}，

結(jié)合數(shù)軸：-m-24%

得一勿W—2,即022.

1.（變條件）將本例中條件“（［4）03=。"改為“（［淵）門3=8”，其他

條件不變，則力的取值范圍又是什么？

［解］由已知得.4={x|x2—加},所以［淵={x\x<—ni\,又（［淵）0

所以一024,解得〃W—4.

2.（變條件）將本例中條件“（0）05=。"改為“（［/）IM=R"，其他

條件不變，則勿的取值范圍又是什么？

［解］由已知A={x\才2一/〃},

［iB={x|x<—2或x24}.

又（［⑶LM=R,

所以一mW—2,解得力22.

由集合的補集求解參數(shù)的方法

1如果所給集合是有限集，由補集求參數(shù)問題時，可利用補集定義

并結(jié)合知識求解.

2如果所給集合是無限集，與集合交、并、補運算有關(guān)的求參數(shù)問

題時，一般利用數(shù)軸分析法求解.

1.求某一集合的補集的前提必須明確全集，同一集合在不同全集下的

補集是不同的.

2.補集作為一種思想方法，為我們研究問題開辟了新思路，在正向思

維受阻時，改用逆向思維，如若直接求力困難，則使用“正難則反”策略，

先求「4再由￡(>/)=/求4

1.思考辨析

(1)全集一定含有任何元素.。

(2)集合CR4=［Q4()

(3)一個集合的補集一定含有元素.()

［答案］⑴X⑵X⑶X

2.〃={0,1,2,3,4},集合。={1,2,3},8={2,4},則(CMUS為()

A.{1,2,4}B,{2,3,4}

C.{0,2,3,4}D.{0,2,4}

D「.?［源={0,4},〃={2,4},???(［MU4={0,2,4}.］

3.設(shè)集合S={x|x>—2},7={X|-4WA<1},則(葭5)07等于。

A.{x|—2<xWl}B.{x|xW-4}

C.{x|x《l}D.{x\x^-1}

C［因為S={x|x>—2］,

所以CRS={x|xW-2}.

而7={x|-4WE},

所以(CRS)U7={x|xW-2}U{x|-4WXW1}={x|xW1}.］

4.已知全集〃={2,0,3—1},〃的子集尸={2,才一日一2},{-1},

求實數(shù)a的值.

［解］由己知，得一1日〃，且一16戶，

3—a2=-1,

因此a2—a—2=0,

解得a=2.

當(dāng)d=2時，U=(2,0,-1),

P={2,0},C^={-1},滿足題意.

因此實數(shù)。的值為2.

2常用邏輯用語

2.1必要條件與充分條件

教材分析

本節(jié)內(nèi)容比較抽象，首先從命題出發(fā)，分清命題的條件和結(jié)論，看條件

能否推出結(jié)論，從而判斷命題的真假；然后從命題出發(fā)結(jié)合實例引出充分

條件、必要條件、充要條件這三個概念，再詳細(xì)講述概念，最后再應(yīng)用概

念進行論證.

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)

1.理解充分條件、必要條件與充要條件的意義.

2.結(jié)合具體命題掌握判斷充分條件、必要條件、充要條件的方法.

3.能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進行充要性的證明.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：充分條件、必要條件與充要條件含義的理解；

2.邏輯推理：通過命題的判定得出充分條件、必要條件的含義，通過定

義或集合關(guān)系進行充分條件、必要條件、充要條件的判斷；

3.數(shù)學(xué)運算：利用充分、必要條件求參數(shù)的范圍，常見包含一元二次方

程及其不等式和不等式組；

4.數(shù)據(jù)分析：充要條件的探求與證明：將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)換，

直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程；

5.數(shù)學(xué)建模：通過對充分條件、必要條件的概念的理解和運用，培養(yǎng)學(xué)

生分析、判斷和歸納的邏輯思維能力。

教學(xué)重難點

重點：充分條件、必要條件、充要條件的概念..

難點：能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系.

課前準(zhǔn)備

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

教學(xué)過程

一、問題導(dǎo)入：

寫出下列兩個命題的條件和結(jié)論，并判斷是真命題還是假命題？

(1)若x>a?+b)則x>2ab,(2)若ab=0,則

a=0.

學(xué)生容易得出結(jié)論；命題(1)為真命題，命題(2)為假命題.

提問：對于命題“若P，則q"，有時是真命題，有時是假命題.如何判斷

其真假的？

結(jié)論：看P能不能推出q,如果P能推出q,則原命題是真命題，否則就是

假命題.

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察.研徐.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本17-22頁，思考并完成以下問題

1.什么是充分條件？

2.什么是必要條件？

3.什么是充要條件？

5.什么是充分不必要條件？

6.什么是必要不充分條件？

7.什么是既不充分也不必要條件？

要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問

題，教師巡視指導(dǎo)，解答學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中遇到的困惑過程。

三、新知探究，知識梳理

1.充分條件與必要條件

命題真假“若P，則q”是真命題“若P，則q”是假命題

推出關(guān)系pmq

0是q的充分條件夕不是Q的充分條件

條件關(guān)系

。是。的必要條件。不是。的必要條件

2.充要條件

一般地，如果既有p=q,又有q=P，就記作poq.此時，我們說P是q的

充分必要條件，簡稱充要條件.顯然，如果P是q的充要條件，那么q也

是P的充要條件，即如果p=q,那么p與q互為充要條件.

概括地說，(1)如果那么夕與g互為充要條件.

3.從集合角度看充分、必要條件

記法A={x|p(x)},B={x|q(x))

關(guān)系心B&AA=B醍B且MA

圖示

?CD

P是q的充分不好P是q的必要不充p是q的既不充分也

結(jié)論Rq互為充要條件

不必要條件

四、典例分析、舉一反三

題型一充分條件、必要條件、充要條件的判斷

例1指出下列各題中，〃是。的什么條件(在“充分不必要條件”“必要

不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答).

(1)在△4%中，p：Q：BOAC；

(2)對于實數(shù)x,y,p：x+yW8,q：xW2或沖6；

⑶p：(a—2)(a—3)=0,q：a=3；

(4)尸：8＜方，g：-＜1.

【答案】見解析

【解析】(1)在△4回中，顯然有/力＞/方=比＞力。，所以夕是。的充分必要

條件.

(2)因為x=2且y=6=x+y=8,即飛=「夕，但一夕=一小所以2是Q的充分

不必要條件.

(3)由(a—2)(a—3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3；由a=3可

以得出Q—2)(a—3)=0.因此，夕是。的必要不充分條件.

⑷由于&<b，當(dāng)8<0時，一>1；

b

當(dāng)8>0時，3<1，故若不一定有,〈1；

bb

當(dāng)a>0,方>0,-<1011，可以推出e<8；

b

當(dāng)g。，方<0,可以推出a>b.

b因此夕是0的既不充分也不必要條件.

解題技巧：(充分條件與必要條件的判斷方法)

(1)定義法

(2)集合法

對于集合力={X|N滿足條件引，8={x|x滿足條件。},具體情況如下：

若/仁8,則夕是°的充分條件；

若貝U4是。的必要條件：

若4=6,則夕是q的充要條件；

若/后〃，則夕是。的充分不必要條件；

若底人則,是0的必要不充分條件.

(3)等價法

等價轉(zhuǎn)化法就是在判斷含有與“否”有關(guān)命題條件之間的充要關(guān)系時，

根據(jù)原命題與其逆否命題的等價性轉(zhuǎn)化為形式較為簡單的兩個條件之間的

關(guān)系進行判斷.

跟蹤訓(xùn)練一

1.設(shè)&方是實數(shù)，則“a〉b”是“才>廬’的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】D

題型二充要條件的探求與證明

例2(1)“丁一4/0”的一個充分不必要條件為()

A.0<X4B.0<X2

C.x>0D.x<4

(2)已知x，y都是非零實數(shù)，且心》求證：凈充要條件是以S

【答案】(1)B(2)見解析

【解析】(1)由/-30得0〈K4,則充分不必要條件是集合｛x|0-4｝的子集，故選B.

⑵法一：充分性：由動對及*乎得三/，艮/4.

xyxyxy

必要性：由/■，得，-40,即上Mo.

xyxyxy

因為“>廣，所以廠工□，所以嘮0.

所以凈)充要條件是儂0.

法二：匯Mo.

xyxyxy

由條件我片》一水0,故由匚或Oo戲0.

xy

所以必0次加，

xy

即*今充要條件是靖0.

解題技巧：(探求充要條件一般有兩種方法)

(1)探求A成立的充要條件時，先將A視為條件，并由A推導(dǎo)結(jié)論(設(shè)為B),

再證明B是A的充分條件，這樣就能說明A成立的充要條件是B,即從充分

性和必要性兩方面說明.

(2)將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過

程同時也是證明的過程，因為探求過程每一步都是等價的，所以不需要將

充分性和必要性分開來說明.

跟蹤訓(xùn)練二

2.(1)不等式x(x—2)<0成立的一個必要不充分條件是()

A.(0,2)B.[-1,+8)

C.xR(0,1)D.xG(1,3)

⑵求證：關(guān)于x的方程a/+/?+c=0有一個根是1的充要條件是a+〃+

c=0.

【答案】(1)B(2)見解析

【解析】(1)由2)<0得0<X2,因為(0,2)￡［-1,+8),所以

［-1,+8)”是“不等式內(nèi)不一2)<0成立”的一個必要不充分條件.

(2)證明假設(shè)夕：方程dX?+6x+c=0有一個根是1,Q：d+6+C=0.

①證明夕=,，即證明必要性.

x=1是方程Ax+c=0的根，.,.a*PH-Z??14-c=0,即a+Z?+c=

0.

②證明qnp,即證明充分性.

由a+b+c=0,得c——a—b.

*.*ax+bx~\~c=0,ax+bx~a~b=0,

即a｛x~1)+b［x-1)=0.故(x—1)(ax+a+A)=0.

???x=l是方程的一個根.

故方程/+。才+。=。有一個根是1的充要條件是a+6+c=0.

題型三利用充分、必要條件求參數(shù)的范圍

例3已知夕：—Sx—20W0,q：#—2x+l—mWO(/〃>0),且夕是丁的

充分不必要條件，則實數(shù)勿的取值范圍為__

【答案】｛引/29｝(或［9,4-oo))

【解析】由景一8x—20W0,得一2WxW10,由x—2x+1—￡W0(ni>0),

得1—x&1+/〃(〃?〉0).

因為〃是o的充分不必要條件，所以片。且07夕.

即｛x|-2WxW10｝是｛x|1—勿WxWl+/〃，勿>0｝的真子集，

O>p-扃-2，

-X-2?或卜0，解得加?9.

fU+JB>10?

變式.［變條件］［例3］本例中“〃是。的充分不必要條件”改為“夕

是。的必要不充分條件”，其他條件不變，試求打的取值范圍.

【答案】見解析

【解析】由，-8z-2040得-24*C10，由J?-2*+l-d40C?>0)得1-而C*C1+第5>0)

因為「是0的必要不充分條件，所以一，且〃￥

則{x|1_/CxCl+加而>0法改|-24x410}

於。

所以，1-m3-2，解得0。43.

1+扃10

即為的取值范困是(0,3].

解題技巧：(利用充分、必要、充分必要條件的關(guān)系求參數(shù)范圍)

(1)化簡p、q兩命題，

⑵根據(jù)夕與。的關(guān)系(充分、必要、充要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，

⑶利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，

⑷求解參數(shù)范圍.

跟蹤訓(xùn)練三

3.已知〃={x|a—4<x<a+4},(J={x\1<K3),"是"0”的必要

條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】見解析

【解析】因為是x￡。的必要條件，所以&U.

a-441

、解得-14845

(a+4>3

即8的取值范圍是[-1,5].

五、課堂小結(jié)

讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧

六、板書設(shè)計

1.4充分條件與必鰥件

L充分條件例1例2例3

2.必繇件

七、作業(yè)

課本23頁習(xí)題1.4

教學(xué)反思

因為涉及到的知識點比較多，且知識點較繁瑣，且新概念比較抽象，因

此本節(jié)學(xué)習(xí)過程中，一定讓學(xué)生多多參加，并且在解題技巧方面先讓學(xué)生

自己總結(jié)，教師再補充說明。

2.2全稱量詞與存在量詞

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實例，理解全稱量詞與

存在量詞的意義以及全稱量詞命題和存在量詞命1.通過含量詞的命題的否定，培

題的意義.養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).

2.掌握全稱量詞命題與存在量詞命題真假性的判2.借助全稱量詞命題和存在量

定.（重點，難點）詞命題的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運算素

3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.（重養(yǎng).

點、易混點）

1.全稱量詞與全稱量詞命題

（1）短語“所有的”“任意?個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號

“V”表示.

（2）含有軌量旦的命題叫做全稱量詞命題，通常將含有變量上的語句

用p（X）,q（x）,r（x）,…表示，變量2L的取值范圍用比表示，那么全稱量

詞命題“對此中任意一個x，E6）成立"可用符號簡記為Vx￡M,p（x）.

2.存在量詞與存在量詞命題

（1）短語“存在一個”“至少有一個“在邏輯中通常叫做存在言詞,并用

符號“才’表示.

（2）含有存在量在的命題,叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在M

中的元素X，使p（X）成立“，可用符號簡記為“全包P（x）”.

思考：“一元二次方程ax2+2x+l=0有實數(shù)解”是存在量詞命題還是

全稱量詞命題？請改寫成相應(yīng)命題的形式.

提示：是存在量詞命題，可改寫為“存在x￡R,使空2+2乂+1=0”.

3.含有一個量詞的命題的否定」

一般地，對于含有一個量詞的命題的否定，有下面的結(jié)論：

全稱量詞命題p：VxM,p(x),它的否定一12：mxWM,—?p(x)；

存在量詞命題E：Sx.eM?2(x)?它的否定一^：VxWM,—ip(x).

全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞

命題.

1.下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)是0

①任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)；

②有的菱形是正方形；

③三角形的內(nèi)角和是180°.

A.OB.IC.2D.3

［答案］C

2.下列全稱量詞命題為真命題的是()

A.所有的質(zhì)數(shù)是奇數(shù)

B.4￡匕￡+12

C.對每一個無理數(shù)x，d也是無理數(shù)

D.所有的能被5整除的整數(shù)，其末位數(shù)字都是5

［答案］B

3.下列命題中的假命題是()

A.|x|^0B.VxeN\(x-l)2>0

C.X+2019<1D.3xeR，2->2

B［當(dāng)x=l時，Q—1尸=0,所以B項為假命題.］

4.己知命題且：VxesinxWl,則其否定是。

A.—1p：sin

B.-*p：VxGsinX21

C.--'p：3xR,sin1>1

D.-'p：sinx>1

［答案］C

全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷

【例1】指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它

們的真假.

(l)Vx￡N,2工+1是奇數(shù)；

1

(2)存在一個xJK,使x—l=O；

(3)對任意實數(shù)分|a|>0；

1

(4)有一個角且，使sinq=2.

［解］(1)是全稱量詞命題.因為2乂+1都是奇數(shù)，所以該命題是

真命題.

1

(2)是存在量詞命題.因為不存在x￡R,使x—1=0成立，所以該命題

是假命題.

(3)是全稱量詞命題.因為|0|=0,所以|日|>0不都成立，因此，該命

題是假命題.

1

(4)是存在量詞命題.因為當(dāng)?shù)?30°時，sin_a_=2,所以該命題是

真命題.

全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法：

1要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合土中的每個

元素工證明Rx成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集

合山中的一個占使得Bx不成立即可這就是通常所說的“舉出一個

反例”.

2要判定一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合世中，能找

到一個2L使艮x成立即可；否則，這個存在量詞命題就是假命題.

1.判斷下列命題的真假.

(1)任意兩個面積相等的三角形一定相似；

(2)3X,工為正實數(shù)，使Y+乂2=0；

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(1，乂)都對應(yīng)一點已

(4)Vx￡N,x2>0.

[解](1)因為面積相等的三角形不一定相似.故它是假命題.

(2)因為當(dāng)f+￡'=0時，1=工=0,

所以不存在乙匕為正實數(shù)，使Y+f=O,故它是假命題.

(3)由有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標(biāo)系中的點的對應(yīng)關(guān)系知，它是真命題.

(4)因為0￡N,()2=0,所以命題“X^eN,x2>0n是假命題.

含有一個量詞的命題的否定

【例2】(1)設(shè)命題口：3nGN,n2>2",則命題.的否定為。

A.VneN,n2>2-B.3neN,n2^2-

C.VnEN,n2^2aD.SneN,n2=2a

(2)命題三口￡”,使得的否定形式是0

A.VxR,3n^N*,使得口Vf

R.\/xER,VnEN*,使得口

C.3xeR,3nGN\使得旦

D.3xeR,VnGN*,使得RVQ

(DC⑵D[⑴因為的否定是"Vx^M,「艮3”，所以

命題F蚱N,?2”，的否定是?VnGN,n2^2aw,故選C.

(2)由于存在量詞命題的否定形式是全稱量詞命題，全稱量詞命題的否

定形式是存在量詞命題，所以“▼三￡R,使得n^x2"的否定形式

為“三乂金電VnGN\使得R〈d，，.]

含有一個量詞的命題的否定的方法

(1)一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明確這個命題是全

稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到量詞及相應(yīng)結(jié)論，然后把命題中的

全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，同時否定結(jié)論.

(2)對丁省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞

的完整形式，再依據(jù)規(guī)則來寫出命題的否定.

2.寫出下列命題的否定并判斷其真假：

1

(1)2：22^0；

(2)g：所有的正方形都是矩形；

(3)r：3xeR,X2+2X+3^0；

(4)s：至少有一個實數(shù)&使X‘+1=0.

1

［解］(1)「R：3xeR,22<0,假命題.

1

因為2220恒成立，所以「上是假命題.

(2)「q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題.

(3)~'r：R,2￡，+21+3>0,真命題.

因為P&CR?￡+2^+3=(x+1)~+222>0恒成立，所以二是真命題.

(4)-'s：Vxx'+lW0,假命題.

因為K=-1時，<+1=°，所以一1二是假命題.

全稱量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用

【例3］對于任意實數(shù)X，函數(shù)x=x2+4x—1的函數(shù)值恒大于實數(shù)必，

求史的取值范圍.

［解］令乂=兇'+41一1,xG

則Y=(X+2)2—5,

因為X^WR,不等式/+鈕一1>叱恒成立，

所以只要派一5即可.

所以所求注的取值范圍是{坦|史〈一5}.

求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍的策略

1對于全稱量詞命題’,乂￡此a>x或a<^”為真的問題，

實質(zhì)就是不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)上的最大值或最小值，

即且>匕打或且<%小.

2對于存在量詞命題“弘仁此旦〉工或2V工”為真的問題，實

質(zhì)就是不等式能成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)匕的最小值或最大值，

即a>Xnin或包〈工仆.

3.若命題VxGR,x2-2x+m^0"是真命題，則實數(shù)嘰的取值范

圍是0

A.IB.m>1

C.m<1D.1

B［命題p：<一2工+型/0是真命題，則亙VO,即坦>1.故選B.］

1.判定一個命潁是全稱量詞命題還是存在量詞命撅的主要方法是看命

題中含有哪種量詞，判定時要特別注意省略量詞的全稱量詞命題.

2.要判定一個全稱量詞命題為真命題，必須對限定集合在中的每一個

元素上驗證艮6)成立，要判定其為假命題，只要舉出一個反例即可；對存

在量詞命題真假的判定方法正好與之相反.

3.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定，其模式是固定的，即把相應(yīng)

的全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞，并把命題的結(jié)論加以

否定.

1.思考辨析

(1)命題“正方形都是長方形”是全稱量詞命題.。

(2)命題”有些菱形是正方形”是全稱量詞命題.()

(3)命題：VxR,X?—3工+3>0的否定是Vx@R,x2—3x+3^0.()

［答案］⑴J⑵X⑶X

2.下列存在量詞命題中，是假命題的是0

A.3xZ,X2—2x—3=0

B.至少有一個使工能同時被2和3整除

C.有的三角形沒有外接圓

D.某些四邊形不存在外接圓

C［A中，三=-1滿足題意，是真命題；B中，三=6滿足題意，是真命題；

C中，所有的三角形都有外接圓，是假命題.只有對角互補的四邊形才有外

接圓，故選C.］

3.命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是0

A.任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

B.任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

C.存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

D.存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

B［量詞“存在”改為“任意”，結(jié)論“它的平方是有理數(shù)”否定后為“它

的平方不是有理數(shù)"，故選民］

4.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假.

(1)對某些實數(shù)x,有2x+l>0；

(2)Vxe{3,5,7},3x+l是偶數(shù)；

(3)3xeQ,x2=3.

［解］(1)命題中含有存在量詞“某些”，因此是存在量詞命題，真命題.

(2)命題中含有全稱量詞的符號“V”，因此是全稱量詞命題.

把3,5,7分別代入3乂+1,得10,16,22,都是偶數(shù)，因此，該命題是真

命題.

(3)命題中含有存在量詞的符號“三”，因此是存在量詞命題.

由于使4=3成立的實數(shù)只有土，且它們都不是有理數(shù)，因此，沒有一

個有理數(shù)的平方等于3,所以該命題是假命題.

3不等式

3.1不等式性質(zhì)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.掌握不等式的三條基本性質(zhì)以及推論，能夠運用不等式的基本性質(zhì)將不等式

變形解決簡單的問題.

2.掌握應(yīng)用作差比較法比較實數(shù)的大小.

3.通過教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識和大膽猜想、樂于探究的良好思維品質(zhì).

【教學(xué)重點】

不等式的三條基本性質(zhì)及其應(yīng)用.

【教學(xué)難點】

不等式基本性質(zhì)3的探索與運用.

【教學(xué)方法】

這節(jié)課主要采用講練結(jié)合法與分組探究教學(xué)法.通過引導(dǎo)學(xué)生回顧玩蹺蹺板的經(jīng)

驗，師生共同探究天平兩側(cè)物體的質(zhì)量的大小，引導(dǎo)學(xué)生理性地認(rèn)識不等式的三

條基本性質(zhì)，并運用作差比較法來證明之.通過題組訓(xùn)練，使學(xué)生逐步掌握不等

式的基本性質(zhì)，為后面運用不等式的基本性質(zhì)解不等式打下理論基礎(chǔ).

【教學(xué)過程】

教學(xué)環(huán)節(jié)

教學(xué)內(nèi)容

師生互動

設(shè)計意圖

導(dǎo)入

【課件展示情境1】

創(chuàng)設(shè)天平情境問題：

觀察課件，說出物體a和c哪個質(zhì)量更大一些？

由此判斷:

如果a>b,b>c,那么a和c的大小關(guān)系如何？

從學(xué)生身邊的生活經(jīng)驗出發(fā)進行新知的學(xué)習(xí)，有助于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

新課性質(zhì)1(傳遞性)

如果a>b,b>c,則a>c.

分析要證a>c,只要證a—c>0.

證明因為a—c=h)+(h—c.),

又由a>b,b>c,即a—b>0,b—c>0,

所以(a-b)+(b-c)>0.

因此a—c>0.

即a>c.

【課件展示情境2】

性質(zhì)