北師大版七年級數(shù)學下冊舉一反三 專題23 平行線的性質(zhì)-重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題2.3平行線的性質(zhì).重難點題型

【北師大版】

。*甲一反三

【知識點平行線的性質(zhì)】

1兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.

2兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等.簡單說成兩直線平行內(nèi)錯角相等.

3兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補.簡單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補.

【題型1兩直線平行同位角相等】

【例1】（2023春?環(huán)江縣期末）如圖，a//b,Zl=60°,則N2的大小是（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

【變式1-1］（2023秋?長沙期中）如圖，點D,E分別在NABC的邊用bBC上，DELAB,過B4上的點尸

（位于點。上方）作FGHBC,若N4FG=42°,則NOEB的度數(shù)為（）

C.52°D.58°

【變式1-2］（2023春?蘿北縣期末）如圖，將三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，如果Nl=65°,那么

/2的度數(shù)為（）

A.15度B.30度C.25度D.65度

【變式1-3］（2023?臨沐縣模擬）如圖，已知4B〃CO,NA=56°,NE=18°,則NC的度數(shù)是（）

【題型2兩直線平行內(nèi)錯角相等】

【例2】（2023春?寧陽縣期末）如圖，C。是NAC8的平分線,/AC8=82°，ZB=48°,DE//BC.求/

EQC和N8QC的度數(shù).

【變式2-1］（2023春?沂水縣期末）如圖，AB//CD,BDLCF,垂足為8,ZABF=35Q,則/BOC的度數(shù)

為（）

D

A.25°B.35°C.45°D.55°

【變式2-2］（2023秋?鳳山縣期中）如圖，若要使人與/2平行，則八繞點。至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是（）

A.38°B.42°C.80°D.138°

【變式2-3］（2023?中原區(qū)校級開學）填空：（將下面的推理過程及依據(jù)補充完整）

如圖，已知：CO平分NAC8,AC//DE.CD//EF,求證：EF平分NDEB.

證明：平分N4C8（已知），

???NOC4=（角平分線的定義），

VAC//DE（已知），

：,ZDCA=（）,

AZDCE=ZCDE（等量代換），

'：CD//EF（）,

?,?=NCDE（），

NDCE=NBEF（）,

???=—（等量代換）.

【題型3兩直線平行同旁內(nèi)角互補】

【例3】（2023春?椒江區(qū)期末）如圖，A8〃C。，AB//GE,Zfi=110°,ZC=100°.N8FC等于多少度？

為什么？

GM平分交直線CO于點M,則NGMO=（）

C.130°D.110°

【變式4?1】（2023春?五華區(qū)期末）如圖,Nl=60°,Z2=120°,N3=70°,則N4的度數(shù)是（）

C.50°D.40°

【變式4-2］（2023春?大豐區(qū)月考）如圖，直線MN分別與直線4B,CD相交于點E,F,EG平分NBEF,

交直線C。于點G,若NMFD=NBEF=58°,射線GPJLEG于點G,則NPGF*=

【變式4-3］（2023春?奉化區(qū)校級期末）如圖，PQ//MN,A,6分別為直線MN、PQ上兩點，且NB4N=

45°,若射線4M繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線8Q繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn),

兩射線分別繞點A、點B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線4M轉(zhuǎn)動的速度是//秒，射線轉(zhuǎn)動的速度是/秒,

且〃、〃滿足|a?5|+（b?1）2=0.若射線AM繞點A順時針先轉(zhuǎn)動18秒，射線8Q才開始繞點8逆時

針旋轉(zhuǎn)，在射線4Q到達氏4之前，問射線AM再轉(zhuǎn)動秒時，射線AM與射線BQ互相平行.

Q____________BP2BP

A

福?用圖

【題型5單拐點作平行線】

【例5】（2023春?忻州期中）已知：如圖，AH//CD,AP平分N/MC,CP平分NACO,求N4PC的度數(shù);

請補全下列解法中的空缺部分.

解：過點P作PG〃A8交AC于點G.

\'AB//CD（已知）,

:.+NACO=180°（）,

'：PG//\B（），

???NBAP=（）,

且PG〃（平行于同一直線的兩直線也互相平行），

：?NGPC=（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

平分NBAC,CP平分NACQ.

AZBAP=，NPCD=〃.（）,

11

???ZBAP+ZPCD=5NR4C+5NACO=90°（）,

AZAPC=ZAPG+ZCPG=ZBAP+ZCDP=90°.

總結(jié)：兩直線平行時，同旁內(nèi)弟的角平分線.

【變式5-1］（2023?河北模擬）如圖，AB//DE,Zl=i35°,/C為直角.則N。的度數(shù)為（）

A.35°B.40°C.45°D.55°

【變式5-2］（2023?南關(guān)區(qū)校級一模）將一塊直角三角尺和一張矩形紙片如圖擺放，若/1=47°,則/2的

大小為（）

A.127°B.133°C.137°D.143°

【變式5-3］（2023春?重慶期中）已知：AB//CD,E、G是AB上的點，F(xiàn)、，是CD上的點，Z1=Z2.

（1）如圖1,求證：EF//GH；

（2）如圖2,過尸點作FM_LG〃交延長線于點M,作N8EF、N。/M的角平分線交于點N,EN交

GH于點P,求證：NN=45°；

（3）如圖3,在（2）的條件下，作NAG”的角平分線交CO于點若3NFEN=4NHFM,直接寫出

翳值?

A「EGB/丁EG13AEGB

MNMN

圖1圖2圖3

【題型6多拐點作平行線】

【例6】（2023春?青縣期末）直線NA=I25°,NB=105°,求N1+N2的度數(shù)

【變式6-1］（2023春?萊州市期末）（1）如圖1,〃〃〃，則Nl+N2=

（2）如圖2,AH//CD,則Nl+N2+N3=,并說明理由

（3）如圖3,a//b,則Nl+N2+N3+N4=

（4）如圖4,a//b,根據(jù)以上結(jié)論，試探究N1+N2+N3+N4+…+/〃=（直接寫出你的結(jié)論,

無需說明理由）

【變式6-2］（2023秋?金鳳區(qū)校級期末）如圖I,已知人ZB=30°,ZD=I2O°；

（1）若NE=60",則/"=；

（2）請?zhí)剿?后與/廠之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；

（3）如圖2,已知“平分NBEAFG平分/EFD,反向延長/G交于點尸，求NP的度數(shù).

【變式6-3］（2023春?研口區(qū)期末）已知直線E尸分別交直線AB、CO于點G、H,Zl+Z2=180c.

（1）如圖I,求證：AB//CD；

（2）如圖2,M、N分別為直線AB、C7）上的點，P、。為直線48、C。之間不同的兩點，NPMQ=2

NBMQ,NPNQ=2NONQ,NMQN=30°.

①求證：PMLPN：

②如圖3,NEG8的平分線GL與NMPN的鄰補角NMPT的平分線PL交于點L,NPNH的平分線NK

交EF于點K.若NEKN+NGLP=17O°,直接寫出NPN”-NE”。的大小.

圖1圖2圖3

專題2.3平行線的性質(zhì)?重難點題型

【北師大版】

一【知質(zhì)晟一審行線的性質(zhì)1

1兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.

2兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等.簡單說成兩直線平行內(nèi)錯角相等.

3兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補.簡單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補.

【題型1兩直線平行同位角相等】

【例1】（2023春?環(huán)江縣期末）如圖，a//h,Zl=60°,則N2的大小是（）

A.60°B.80°C.100'D.120°

【解題思路】根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可求解.

【解答過程】解：如圖：

因為a〃A,Zl=60°,

所以N3=N1=6O°.

因為N2+N3=180°,

所以/2=18（T?60、=12（T.

故選：

【變式1-1］（2023秋?長沙期中）如圖，點。，E分別在NA8C的邊BC上,DE1AB,

過BA上的點F（位于點。上方）作FG//BC,若乙"G=42°,則/。仍的度數(shù)為（）

B

A.42°B.48°C.52°D.58°

【解題思路】根據(jù)尸G〃8C,得NO6E=NAFG=42°,由OE_LA6,得N8DE=90",

由//）￡B=180°-NOBE-NBOE即可解答.

【解答過程】解：???/?G〃8C,ZAFG=42°,

：.ZDBE=ZAFG=42°,

t：DEA.AH,

???NBZ）F=90°,

AZDEfi=1800-ZDBE-ZBDE

=180°-420-90°

=48。.

故選：B.

【變式1-2］（2023春?蘿北縣期末）如圖，將三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，如果/

1=65°,那么N2的度數(shù)為（）

A.15度B.30度C.25度D.65度

【解題思路】利用平行線的性質(zhì)可得N3的度數(shù)，再利用平角定義可得/2的度數(shù).

【解答過程】解：??加%,

.,.Zi=Z3=65°,

VZ4=90°,

AZ2=180°-90°-65°=25°,

故選：C.

【變式1-3］（2023?臨沐縣模擬）如圖，已知4B〃CO,NA=56°,NE=I8°,則NC的

度數(shù)是（）

B

Cy~~\-------------------D

A.32°B.34°C.36°D.38°

【解題思路】設(shè)AE與C。交于點O,由利用“兩直線平行，同位角相等”可

得出/OOE的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和，即可求出NC的度數(shù).

【解答過程】解：設(shè)AE與CD交于點。，如圖所示：

'：AB//CD,ZA=56°,

AZDOE=ZA=56°.

???/DOE=NC+NE,ZE=18°,

：,ZC=ZDOE-ZE=56°-18°=38°.

故選：D.

【題型2兩直線平行內(nèi)錯角相等】

【例2】（2023春?寧陽縣期末）如圖，CD是二八CB的平分線，/人。8—82°,48—48°,

DE//BC.求NEQC和N3OC的度數(shù).

【解題思路】由平分線的性質(zhì)可得N6c。的大小，又由平行線及三角形內(nèi)角和定理可得

NEOC和N8OC的大小.

【解答過程】解：???CD是NACB的平分線，NACB=82°,

???NOC8=/ACQ=41°,

又YDE〃BC,

：.ZEDC=ZDCB=4\0,

在△SCO中，

VZB=48°,ZDCB=41°,

AZBDC=1800-48r-41°=91°.

和NBOC的度數(shù)分別為41。、91°.

【變式2-1］（2023春?沂水縣期末）如圖，AB//CD,BD1CF,垂足為8,ZABF=35°,

則NBDC的度數(shù)為（）

【解題思路】根據(jù)得到NQZM=90°-NABF=55：根據(jù)A8〃CO,即可得

/8。。的度數(shù).

【解答過程】解：???8D_Lb,

:./DBF=90°,

VZABF=350,

：,ZDBA=90°-ZABF=55°,

'：AB//CD,

：.NBDC=NDBA=55°.

故選：O.

【變式2-2］（2023秋?鳳山縣期中）如圖，若要使人與/2平行，則人繞點。至少旋轉(zhuǎn)的度

數(shù)是（）

A.38°B.42°C.80°D.138°

【解題思路】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到若要使人與/2平行，則/I和N2相等，再根

據(jù)N2的度數(shù)和圖形中原來N1的度數(shù)，從而可以得到若要使/I與/2平行，則“繞點0

至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù).

【解答過程】解:若八與/2平行,

MZ1和N2相等，

VZ2=42°,

AZ1=42°,

，若要使人與〃平行，則人繞點O至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是80。-42。=38°,

故選：A.

【變式2-3］（2023?中原區(qū)校級開學）填空：（將下面的推理過程及依據(jù)補充完整）

如圖，已知：C。平分/AC8,AC//DE.CD//EF,求證：EF平分NDEB.

證明：:C。平分NAC8（己知），

AZDCA=ZDCE（角平分線的定義），

?：AC//DE（已知），

：.ZDCA=（ZCDE）,

???NQCE=NCOE（等量代換），

'：CD//EF（已知）,

AZDEF=ZCDE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）,

NDCE=NBEF（兩直線平行，同位角相等）,

；?NDEF=NFEB（等量代換）.

:.EF平分，DEB（角平分線的定義）.

【解題思路】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平行線的判定及等量代換等來完成解答即可.

【解答過程】證明：???C。平分/AC8（已知），

???NOCA=NOCE（角平分線的定義），

*：AC//DE（已知），

???NOCA=/CDE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

：.ZDCE=ZCDE（等量代換），

VCD//EF（已知），

???NOE/=NCQE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

ZDCE=ZFEB（兩直線平行，同位角相等），

:.NDEF=ZFEB（等最代換），

：?EF平分NDEB（角平分線的定義）.

故答案為：/DCE；NCDE,已知，/DEF,兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，

同位角相等：ZDEF；NFEB；角平分線的定義.

【題型3兩直線平行同旁內(nèi)角互補】

【例3】（2023春?椒江區(qū)期末）如圖，AB//CD,AB//GE,ZB=110°,ZC=100°.Z

8廠。等于多少度？為什么？

【解題思路】由A3〃C。，A3〃GE得CO〃GE,根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得到/

8+/BR7=180°,ZC+ZCFE=180°,而NB=110°,ZC=IOO°,可以求出NBFG

和NCFE,最后可以求出NBFC.

【解答過程】解.：N8FC等于30度，理由如下：

,:AB〃GE,

/.ZB+ZfiFG=180°,

VZB=110°,

/.ZBFG=180°-110°=70°,

■:AB"8,AB//GE,

:?CD〃GE,

AZC+ZCFE=180°;

VZC=100°.

/.ZCF￡=180°?100°=80°,

AZBFC=1800-ZBFG-ZCF￡=180°-70°-80°=30°.

【變式3-1］（2023秋?北鬲區(qū)校級期末）如圖，AI3//CD,CD//EF,Zl=Z2=60°,NA

和NE各是多少度？它們相等嗎？

【解題思路】先根據(jù)得出NA的度數(shù)，再由CO〃七/求出/七的度數(shù)，進而可

得出結(jié)論.

【解答過程】解：???AB〃C。（已知），

AZA=1800-Zl=180°-60°=120°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

VCD//EF（已知），

，NE=1800-Z2=180°-60°=120°,

:.NA=N￡.

:.N4和/E都是120度，它們相等.

【變式3-2］（2023?懷寧縣模擬）如圖，將一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點分別放

在直尺的兩條平行對邊上，若N0=85°,則a等于（）

【解題思路】直接利用平行線的性質(zhì)以及含有30°角的直角三角板的特征進而得出答案.

根據(jù)題意得/2=60°,ZP=85°,

VZ2=60°,Zl+Z2+Zp=180",

.,.Zl=180°-Z2-Zp=l80°-60°-85°=35°,

9/ABZ/CD,

AZa+Z1=180",

AZa=180°-ZI=i80°-35°=145°.

故選：B.

【變式3?3】(2023春?漢陽區(qū)期中)如圖，EF//AD,AD//BC,CE平分N8CF,ZDAC=3

ZBCF,NAb=20°,

(1)求ND4c的度數(shù).

(2)求N/EC的度數(shù).

(3)當N8為多少度時，NBAC=3N4?并說明此時A8與AC的位置關(guān)系.

【解題思路】（1）直接利用角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案；

（2）利用已知得出￡5〃C8,進而得出答案；

（3）利用NH4C'=3N從利用平行線的性質(zhì)得出N*=30°,即可得出答案.

【解答過程】解：(1)???CE平分N8CF,

???設(shè)N3CE=N〃C￡=x,

,:NDAC=3NBCF,

???ND4C=6x,

'：AD//BC,

.??NOAC+NBC4=180°,

.*.6x+lv+20°=180°,

Ax=20°,

AZDAC=120°；

(2)VEF//AD,AD/7BC,

:,EF〃CB,

：.ZFEC=ZBCE=20<>；

(3)當NB=30°時，

又???/ZMC=3N4,

.??NQAC=4N4=12()°,

AZB=30°,

/.ZBAC=90°,

：,ABA.AC.

【題型4平行線的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

【例4】(2023春?江油市期中)如圖，直線E尸分別與直線AB,CO相交于點G,H,已知

Zl=Z2=50°,GM平分交直線CO于點朋，則NGMQ=()

A.120°B.115°C.130sD.110°

【解題思路】求出NBGM,根據(jù)平行線的判定得出/W〃C。，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出/3

=/BGM,利用補角的定義即可得出答案.

【解答過程】解：如圖，

VZl=50°,

AZBGF=180"-Zl=130°,

〈GM平分N8GF,

???N8GM=尸=65°,

VZ1=Z2=5O°,

：.AB//CD,

???N3=N8GM=65°.

，NGMO=1800-N8GM=180°-65°=115°,

故選：B.

【變式4-1】（2023春?五華區(qū)期末）如圖，ZI=60°,Z2=120°,Z3=70°,則/4的

度數(shù)是（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

【解題思路】先由鄰補角互補求出N5,然后根據(jù)N2=N5判斷出八〃/2,再根據(jù)平行線

的性質(zhì)得出N3=N6,而N4=N6從而求出N4.

【解答過程】解：如圖所示：

???N5=180°-60°=120°=Z2,

：.h//h,

，N3=N6,

VZ3=70°,

AZ6=70°

VZ4=Z6,

AZ4=70°.

故選：4.

【變式4-2］（2023春?大豐IX月考）如圖，直線分別與直線AS,CO相交于點E,F,

EG平分NBEF,交直線CQ于點G,若NMFO=NBE尸=58°,射線GP_LEG于點G,

則NPG/=61或119°.

【解題思路】分兩種情況：①當射線GP_LEG于點G時，NPGE=90°,②當射線GP'

_L￡G于點G時，NPGE=9()°,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線定義即可求出N

PGF的度數(shù).

【解答過程】解：如圖，①當射線GQ_LEG于點G時，ZPGE=90°,

ZMFD=ZBEF=5S°,

：，CD//AB,

：?4GEB=/FGE,

〈EG平分/BEF,

???NGEB=/GEF=/BEF=29。,

：.ZFGE=29°,

:?NPGF=/PGE-/FGE=900-29°=61°；

②當射線GP'_L￡G于點G時，NP‘GE=90°,

同理：NP‘GF=ZPGE+ZFGE=90°+29°=119°.

則NPG/的度數(shù)為61°或119°.

故答案為：61或119.

【變式4-3](2023春?奉化區(qū)校級期末)如圖，PQ〃MN,A,B分別為直線MN、PQ上兩

點，且NB4V=45°,若射線AM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點B

逆M針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點A、點B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動的

速度是/秒，射線8。轉(zhuǎn)動的速度是//秒，且〃、人滿足|。-5|+(〃-1)2=().若射

線AM繞點A順時針先轉(zhuǎn)動18秒，射線8Q才開始繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達

84之前，問射線AM再轉(zhuǎn)動15或22.5秒時,射線4W與射線3Q互相平行.

QBQB

【解題思路】分兩種情況討論，依據(jù)人時，BQ'//AM,f,列出方程即可

得到射線AM.射線BQ互相平行時的時間.

【解答過程】解?：設(shè)射線AM再轉(zhuǎn)動，秒時，射線4M、射線8Q互相平行.

如圖，射線AM繞點八順時針先轉(zhuǎn)動18秒后，AM轉(zhuǎn)動至4W的位置，NM4M=18X5

=90°,

分兩種情況：

①當9V/V18時，ZQBQ=ta,ZM'AM'1=5t°,

ZBAN=45°=ZABQ,

.??N/WQ'=45°7°,ZBAM"=ZM'AMH-ZAf.4B=57-45°,

當時，BQ,//AM'r,

此時，45°-t°=5r-45°,

解得f=15：

②當18<fV27時，NQBQ=t°,NNAM”=5t°-90°,ZBAM"=45°-(5i°-

90°)=135°-5t°,

???/B4N=45°=/A8Q,

???NA8Q'=45°-t°,NMM"=45°-(5f-90°)=135°-5t°,

當時，BQ,//AM，r,

此時，45°-f=135°-5/,

解得f=22.5；

綜上所述，射線AM再轉(zhuǎn)動15秒或22.5秒時，射線AM、射線8Q互相平行.

故答案為15或22.5.

【題型5單拐點作平行線】

【例5】（2023春?忻州期中）己知：如圖，AB//CD,AP平分NZMC,CP平分NACQ,求

N4PC的度數(shù)；請補全下列解法中的空缺部分.

解：過點尸作尸G〃A3交AC于點G.

'：Mi//CD（己知）,

???NCAB+NACD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）,

VPG//AB（已知）,

AZBAP=ZAPG（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）,

且0G〃CD（平行于同一直線的兩直線也互相平行），

:?/GPC=/PCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

???AP平分N84C,C尸平分NACO.

/.ZBAP=BAC,ZPCD=ACD.（角平分線定義），

11

AZBAP+ZPCD=^BAC+^ZACD=^°（等量代換），

???ZAPC=ZAPG+ZCPG=ZBAP+ZCDP=90°.

總結(jié)：兩直線平行時，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂宜.

【解題思路】過點尸作尸G〃4B交AC于點G,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，即可得到N

APC的度數(shù)，進而得出結(jié)論.

【解答過程】解：過點P作PG〃人8交AC于點G.

*：AB//CD（已知），

???NC48+NACO=18（T（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

\'PG//AB（已知），

???/84P=NAPG（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

且PG〃CD（平行于同一直線的兩直線也互相平行），

???NGPC=NPC。（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

平分NBAC,CP平分N4CO,

=^BAC,/PCD=寺乙ACD（角平分線定義），

:.^BAP+/PCD=；ABAC+|/.ACD=90°（等量代換），

/.ZAPC=ZAPG+ZCPG=ZBAP+ZCDP=90°.

總結(jié)：兩直線平行時，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.

故答案為：已知；NC4A；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；CD；NPCD；BAC；ACD；角

平分線定義；等量代換；互相垂直.

【變式5-1］（2023?河北模擬）如圖，AB//DE,Zl=135°,NC為直角.則/。的度數(shù)為

A.35°B.40°C.45°D.55°

【解題思路】過點。作C/〃A3,由題意可求得NBAC=180°-Zl=45°,由平行線

的性質(zhì)可得NACT=N84C=45°,CF//DE,從而可求/OCr的度數(shù)，則可求N。的度

數(shù).

【解答過程】解：過點。作C"〃A8,如圖所示：

???NBAC=1800-Zl=45°,

*：CF//AB,AB//DE,

：.ZACF=ZBAC=45°,CF//DE,

：?4DCF=4D,

??,NACO為直角，

AZDCF=90°-Z4CF=45°,

AZD=45°.

故選：C.

【變式5-2］（2023?南關(guān)區(qū)校級一模）將一塊直角三角尺和一張矩形紙片如圖擺放，若N1

=47°,則N2的大小為（）

A.127°B.133°C.1375D.143°

【解題思路】過點E作E尸〃AC,由平行線的性質(zhì)可得???NCE/=N1=47°,BD//EF,

從而可得/2+NOE尸=180°,結(jié)合條件可求得NQEF的度數(shù)，即可求解.

【解答過程】解.：過點E作E尸〃AC,如圖所示：

'：AC//EF,AC//BD,

.\ZCEF=Z1=47°,BD//EF,

.\Z2+ZDEF=180°,

VZCFD=90°,

AZDEF=90°-NCEF=43°,

.*.Z2=180o-NDEF=137°.

故選：C.

【變式5-3］（2023春?重慶期中）已知：AB//CD,E、G是A8上的點，F(xiàn)、〃是CO上的

點，Z1=Z2.

（1）如圖1,求證：EF//GHx

（2）如圖2,過F點作FMLGH交GH延長線于點M,作NBEF、N。匹M的角平分線

交于點MEN交GH干點P,求證；NN—45°；

（3）如圖3,在（2）的條件下，作NAG”的角平分線交CO于點Q,若3NFEN=4N

HFM,直接寫出筆?的值.

Z.MPN

【解題思路】（1）由平行線的性質(zhì)得N1=N3,再日內(nèi)錯角相等得出石產(chǎn)〃G〃；

（2）過點、N作NK//CD,設(shè)角度，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論;

乙GQH1

（3）由3/尸皮7=4/”尸“結(jié)合前面（2）的結(jié)論，求出角度可得------=一.

乙MPN4

【解答過程】解：（1）證明：???A8〃CQ,

AZ2=Z3,

又???/l=N2,

/.Z1=Z3,

：,EF//GHx

圖1

(2)如圖2,過點N作NK〃CD,

:./KNE=N4,N6=N7,

設(shè)/4=x,N7=y,

VEN、/W分別平分N8EF、/DFM,

ZENK=Z5=Z4=x.N6=N8=N7=)，,

又,：AB"CD,

AZEFD=180°-2x,

又,：FMIGH,

AZE?=9()0,

A180°-2x+2y=90°,

Ax-y=45°,

/.ZENE=ZENK-Z6=x-y=45",

Z.MPN4

V3NFEN=4NHFM,B|J3x=4X2y,

'?x=百y.

/.x~y=y-y=45°

Ay=27°,x=72°,

又TEN和GQ是角平分線，

:?GQ1EN,

：,ZGQH=ZEGQ=\^-90°-72°=18°,

又?：/MPN=/FEN=x=72°,

.乙GQH_1

??乙MPN~4，

故答案為"

4

【題型6多拐點作平行線】

【解題思路】分別過48作人的平行線AC和8。，則可知4C〃BD〃八〃/2,再利用平

行線的性質(zhì)求得答案.

【解答過程】解：如圖，分別過A、4作人的平行線AC和80,

：.AC//BD//h//l2,

：.Z\=ZEAC,Z2=ZFBD,NCA8+NOBA=180°,

VZEAB+ZFBA=1251>+105°=230°,

ZEAC+ZCA8+ZDBA+Z>HD=230°,

即N1+N2+180。=230°,

.?.Zl+Z2=50o.

【變式6-1](2()23春?萊州市期末)(1)如圖1,a//b,則Nl+N2=180°

(2)如圖2,AB//CD,則/1+/2+/3=360°,并說明理由

(3)如圖3,a//b,則Nl+N2+N3+N4=540°

(4)如圖4,a//b,根據(jù)以上結(jié)論，試探究N1+N2+N3+N4+…+/〃=(〃-1)?180°

(直接寫出你的結(jié)論，無需說明理由)

【解題思路】(1)根據(jù)兩直?線平行，同旁內(nèi)角互補解答；

(2)過點E作EF〃AB,然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補解答：

(3)過N2、N3的頂點作。的平行線，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補解答：

(4)過/2、N3…的頂點作。的平行線，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補解答.

【解答過程】解:(1)*：a//b,

AZ1+Z2=18O°；

(2)過點E作E7*AB,

*：AB//CD,

:.AB〃CD〃EF,

.*.Zl+Z4EF=180°,

ZCEF+Z3=180°,

/.Z1+ZAEF+ZCEF+Z3=180°+180°,

即Nl+N2+N3=360°；

(3)如圖，過/2、N3的頂點作〃的平行線，

貝|JN1+N2+N3+/4=18O°X3=540°；

(4)如圖，過/2、N3…的頂點作。的平行線，

貝IJN1+N2+N3+N4+…+/〃=(〃-1)*180°.

故答案為：180°；360°；540°；(〃-1)*180°.

【變式6-2](2023秋?金鳳區(qū)校級期末)如圖1,已知A3〃CO,N8=3(T,ZD=120°；

(1)若N￡=6(T,則/〃=；

(2)請?zhí)剿鱊E與NF之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；

(3)如圖2,己知EP平分FG平分4EFD,反向延長R7交EP于點P,求/尸

的度數(shù).

【解題思路】⑴如圖1，分別過點E，尸作EM〃楨，F(xiàn)N//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得

到/B=N8EAf=30。，/MEF=/EFN,ZD+ZDF；V=180°,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；

(2)如圖1,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N8=N8EM=3D°,/MEF=/EFN,由AB〃CZ),

AB//FN,得到C。〃成，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NO+NQEV=180°,于是得到結(jié)論；

(3)如圖2,過點、F作FH〃EP,設(shè)NBEF=2x°,則/"￡>=(2A+30)°,根據(jù)角平

分線的定義得到NPE尸=鼻8所=/，/EFG二NEFD=(x+15)°,根據(jù)平行線的

性質(zhì)得到NPEF=NE"/=x°,/P=/HFG,于是得到結(jié)論.

【解答過程】解：⑴如圖1，分別過點￡，/作EW〃A8,FN//AB,

：.EM//AB//FN.

???NB=N8EM=30°.NMEF=NEFN,

又?：AB〃CD,AB//FN,

：.CD//FN,

AZD+ZDF^=I8O°,

又???/。=120°,

AZDFN=60°,

/.Z?EF=ZA/￡F+3O0,/EFD=/EFN+61)°,

???ZEFD=ZMEF+60^

：.ZEFD=ZBEF+^=90°；

故答案為：90°；

(2)如圖1,分別過點E,EM//AB,FN//A13,

：.EM//AB//FN,

???NB=NBEM=30°./MEF=/EFN,

又YAB//CD,AB//FN,

：.CD//FN,

AZ￡>+ZDF/V=