《線性代數(shù)之矩陣運(yùn)算》課件

《線性代數(shù)之矩陣運(yùn)算》線性代數(shù)核心課程矩陣運(yùn)算基礎(chǔ)與應(yīng)用課程概述課程目標(biāo)掌握矩陣基本運(yùn)算主要內(nèi)容十大章節(jié)全面覆蓋學(xué)習(xí)方法第一章：矩陣的基本概念定義矩陣本質(zhì)與表示類(lèi)型各種特殊矩陣性質(zhì)基本特性與操作1.1矩陣的定義什么是矩陣m×n個(gè)數(shù)按矩形方式排列由行和列組成的二維數(shù)組矩陣的表示方法A=(aij)m×n使用方括號(hào)或圓括號(hào)表示矩陣的維度m行n列記為m×n行數(shù)×列數(shù)確定矩陣大小1.2矩陣的類(lèi)型方陣行數(shù)等于列數(shù)n階方陣：n×n對(duì)角矩陣非對(duì)角元素全為零形如diag(d?,d?,...,d?)單位矩陣主對(duì)角線全為1其余元素全為0零矩陣所有元素均為0記為O或01.3特殊矩陣對(duì)稱矩陣滿足A=A?關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱上三角矩陣主對(duì)角線以下元素全為0正交矩陣滿足Q·Q?=I行列向量互相正交1.4矩陣的基本性質(zhì)相等對(duì)應(yīng)元素都相等維度必須相同1轉(zhuǎn)置行列互換(A?)?=A2共軛復(fù)數(shù)矩陣中各元素取共軛實(shí)數(shù)矩陣共軛等于自身3第二章：矩陣的基本運(yùn)算4基本運(yùn)算類(lèi)型加減乘和轉(zhuǎn)置2維度要求加減要求相同維度∞應(yīng)用廣泛各領(lǐng)域計(jì)算基礎(chǔ)2.1矩陣加法1定義對(duì)應(yīng)位置元素相加C=A+B,c??=a??+b??2性質(zhì)滿足交換律:A+B=B+A滿足結(jié)合律:(A+B)+C=A+(B+C)3示例二階矩陣加法演示注意維度必須相同2.2矩陣減法定義對(duì)應(yīng)位置元素相減性質(zhì)A-B=A+(-B)示例二階矩陣減法演示2.3矩陣數(shù)乘定義常數(shù)乘以矩陣每個(gè)元素性質(zhì)k(A+B)=kA+kB示例2×[[1,2],[3,4]]=[[2,4],[6,8]]2.4矩陣乘法（一）1計(jì)算結(jié)果C=AB,m×p階2運(yùn)算規(guī)則c??=Σa??·b??(k=1至n)3條件A的列數(shù)必須等于B的行數(shù)2.4矩陣乘法（二）性質(zhì)滿足結(jié)合律滿足左右分配律(AB)?=B?A?不滿足交換律一般情況AB≠BA特殊情況：可交換矩陣反例圖解2.4矩陣乘法（三）結(jié)合律(AB)C=A(BC)多矩陣連乘可任意加括號(hào)左分配律A(B+C)=AB+AC左側(cè)因子分配到各項(xiàng)右分配律(A+B)C=AC+BC右側(cè)因子分配到各項(xiàng)2.4矩陣乘法（四）確認(rèn)可乘條件檢查維度匹配逐元素計(jì)算行與列的內(nèi)積填充結(jié)果矩陣按位置排列避免常見(jiàn)錯(cuò)誤維度不匹配計(jì)算規(guī)則用錯(cuò)2.5矩陣轉(zhuǎn)置定義：行列互換，A變?yōu)锳?性質(zhì)：(A?)?=A，(A+B)?=A?+B?，(AB)?=B?A?2.6矩陣的冪2冪的定義A2=A·A3高次冪A3=A·A·An一般形式A?=A·A·...·A(n個(gè)A)第三章：矩陣的行列式定義方陣的特征數(shù)值性質(zhì)反映方陣的關(guān)鍵特性計(jì)算多種高效方法應(yīng)用方程組求解關(guān)鍵3.1行列式的定義2×2矩陣|A|=a??a??-a??a??對(duì)角線相乘減法3×3矩陣薩呂法則主對(duì)角線乘積和-副對(duì)角線乘積和n階行列式n!項(xiàng)代數(shù)和遞歸定義3.2行列式的性質(zhì)（一）轉(zhuǎn)置不變性|A|=|A?|行列式因子|kA|=k?|A|行列式乘積|AB|=|A|·|B|3.2行列式的性質(zhì)（二）行列互換行列式變號(hào)行列式可按任一行或列展開(kāi)代數(shù)余子式：A??=(-1)???·M??3.3行列式的計(jì)算方法三角化方法初等行變換化為上三角形式主對(duì)角線元素乘積拉普拉斯展開(kāi)按行/列展開(kāi)遞歸計(jì)算子式適合特殊結(jié)構(gòu)矩陣3.4克拉默法則1定義利用行列式求解線性方程組2條件系數(shù)矩陣行列式不為零3解法x?=|A?|/|A|4示例二元線性方程組求解第四章：矩陣的逆定義滿足AA?1=A?1A=I性質(zhì)唯一性與可逆條件計(jì)算多種有效方法4.1逆矩陣的定義概念矩陣A的逆矩陣A?1滿足AA?1=A?1A=I存在條件矩陣可逆?|A|≠0非奇異矩陣才有逆特點(diǎn)方陣才可能有逆滿秩是必要條件4.2逆矩陣的性質(zhì)唯一性若存在，則唯一轉(zhuǎn)置與逆(A?1)?=(A?)?1乘積的逆(AB)?1=B?1A?1冪與逆(A?)?1=(A?1)?4.3逆矩陣的計(jì)算方法（一）構(gòu)造增廣矩陣[A|I]行初等變換將左側(cè)變?yōu)閱挝痪仃囎x取結(jié)果右側(cè)即為A?1驗(yàn)證檢查AA?1=I4.3逆矩陣的計(jì)算方法（二）1計(jì)算行列式求|A|2求代數(shù)余子式矩陣計(jì)算所有A??3構(gòu)造伴隨矩陣adj(A)=(A??)?4應(yīng)用公式A?1=adj(A)/|A|4.4分塊矩陣的逆計(jì)算復(fù)雜度適用性特殊結(jié)構(gòu)分塊矩陣求逆公式適用于大型稀疏矩陣第五章：矩陣的秩定義線性無(wú)關(guān)向量最大數(shù)目性質(zhì)反映矩陣的退化程度計(jì)算初等變換與子式法5.1矩陣的秩的定義概念最大線性無(wú)關(guān)列(行)向量數(shù)非零子式的最高階數(shù)表示r(A)表示矩陣A的秩0≤r(A)≤min(m,n)5.2矩陣的秩的性質(zhì)滿秩矩陣r(A)=min(m,n)所有行(列)向量線性無(wú)關(guān)秩與轉(zhuǎn)置r(A)=r(A?)行秩等于列秩秩與線性方程組r(A)=r(A|b)時(shí)有解r(A)<n時(shí)有無(wú)窮多解5.3矩陣的秩的計(jì)算方法初等變換法行階梯形矩陣非零行數(shù)即為秩高斯消元子式法檢驗(yàn)各階子式最高階非零子式適用于特殊結(jié)構(gòu)矩陣第六章：特征值和特征向量特征值矩陣作用的縮放因子特征向量方向不變的向量特征方程求解特征值的關(guān)鍵對(duì)角化矩陣的簡(jiǎn)化形式6.1特征值和特征向量的定義數(shù)學(xué)定義Ax=λx非零向量x是特征向量標(biāo)量λ是對(duì)應(yīng)特征值幾何意義線性變換方向不變只改變向量長(zhǎng)度縮放因子為λ6.2特征方程1定義|A-λI|=02展開(kāi)n次多項(xiàng)式方程3求根λ?,λ?,...,λ?為特征值4求特征向量解(A-λ?I)x=06.3特征值的性質(zhì)特征值之和等于矩陣的跡特征值之積等于矩陣的行列式代數(shù)重?cái)?shù)：特征值作為特征方程根的重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù)：對(duì)應(yīng)特征空間的維數(shù)6.4相似矩陣定義B=P?1AP1性質(zhì)特征值相同2對(duì)角化條件n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量3對(duì)角化步驟P由特征向量構(gòu)成4第七章：矩陣分解分解為何便于計(jì)算與理解主要類(lèi)型LU,QR,特征值,SVD應(yīng)用廣泛數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)7.1LU分解定義A=LUL為下三角矩陣U為上三角矩陣計(jì)算方法高斯消元法杜利特爾(Doolittle)算法克勞特(Crout)算法應(yīng)用高效求解線性方程組矩陣求逆行列式計(jì)算7.2QR分解定義A=QRQ和R性質(zhì)Q為正交矩陣R性質(zhì)R為上三角矩陣計(jì)算方法格拉姆-施密特正交化7.3特征值分解1應(yīng)用冪運(yùn)算簡(jiǎn)化、主成分分析2計(jì)算方法特征值和特征向量求解3數(shù)學(xué)形式A=PDP?14條件方陣且可對(duì)角化7.4奇異值分解（SVD）1定義A=UΣV?2U和V性質(zhì)正交矩陣3Σ性質(zhì)對(duì)角矩陣，對(duì)角元為奇異值4應(yīng)用數(shù)據(jù)壓縮、降維、噪聲過(guò)濾第八章：向量空間與線性變換向量空間滿足特定公理集合基與維數(shù)描述空間結(jié)構(gòu)線性變換保持向量運(yùn)算性質(zhì)可用矩陣表示8.1向量空間的定義定義帶有加法和數(shù)乘運(yùn)算的集合滿足八條公理加法公理結(jié)合律，交換律零元素，負(fù)元素?cái)?shù)乘公理結(jié)合律，分配律單位元素8.2子空間定義向量空間的非空子集條件對(duì)加法和數(shù)乘封閉示例零空間，列空間，行空間8.3基與維數(shù)1基線性無(wú)關(guān)向量組2生成空間基的線性組合能生成整個(gè)空間3維數(shù)基中向量的個(gè)數(shù)8.4線性變換定義保持向量加法和數(shù)乘的映射性質(zhì)T(u+v)=T(u)+T(v)性質(zhì)T(cv)=cT(v)矩陣表示n×m矩陣表示線性變換第九章：正定矩陣定義對(duì)稱且特征值全為正判定多種等價(jià)判定條件應(yīng)用優(yōu)化問(wèn)題關(guān)鍵9.1正定矩陣的定義概念實(shí)對(duì)稱矩陣A對(duì)任意非零向量x滿足x?Ax>0判定條件特征值全為正順序主子式全為正可表示為B?·B形式配方法得正平方和9.2正定矩陣的性質(zhì)特征值性質(zhì)所有特征值均為正跡為正可逆性正定矩陣必可逆行列式為正分解性質(zhì)存在唯一的正定平方根可進(jìn)行Cholesky分解9.3正定矩陣的應(yīng)用二次型判別：正定矩陣對(duì)應(yīng)正二次型最優(yōu)化：正定矩陣保證嚴(yán)格凸函數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)：協(xié)方差矩陣為半正定第十章：矩陣運(yùn)算的應(yīng)用線性方程組工程問(wèn)題建模與求解最小二乘法數(shù)據(jù)擬合與優(yōu)化數(shù)據(jù)分析PCA降維與特征提取圖像處理圖像變換與壓縮機(jī)器學(xué)習(xí)算法基礎(chǔ)與優(yōu)化10.1線性方程組求解高斯消元法系數(shù)矩陣行階梯形前向消元和回代過(guò)程可處理任意方程組矩陣求逆法X=A?1B適用于多個(gè)右端向量要求系數(shù)矩陣可逆10.2最小二乘法1原理最小化誤差平方和2矩陣表示法方程：A?AX=A?B3解法X=(A?A)?1A?B4應(yīng)用曲線擬合、預(yù)測(cè)模型10.3主成分分析（PCA）原理尋找數(shù)據(jù)最大方差方向矩陣運(yùn)算協(xié)方差矩陣特征分解降維選取前k個(gè)主成分應(yīng)用數(shù)據(jù)壓縮、特征提取10.