2025年九年級數(shù)學(xué)中考二輪專題復(fù)習(xí)：相似三角形壓軸練習(xí)

2025年九年級數(shù)學(xué)中考二輪專題復(fù)習(xí)：相似三角形壓軸練習(xí)1．如圖1，矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處，已知折痕與邊BC交于點O，連結(jié)AP、OP、OA．（1）求證：△OCP∽△PDA；（2）若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；（3）如圖2，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．探究：當(dāng)點M、N在移動過程中，線段EF與線段PB有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．2．如圖，在菱形中，點在對角線上，延長交于點.（1）求證：；（2）已知點在邊上，請以為邊，用尺規(guī)作一個與相似，并使得點在上.（只須作出一個，保留作圖痕跡，不寫作法）3．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點，分別在邊，上，于點，點，分別在邊，上，．①求證：；②推斷：的值為；（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，（為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，得到四邊形，交于點，連接交于點．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，當(dāng)時，若，，求的長．4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線與AD的延長線相交于點E，，交BC的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，，，求CF的長．5．已知：如圖，在四邊形ABCD中，，點E在邊BC上，且，作交線段AE于點F，連接BF．(1)求證：：(2)如果，求證：．6．在直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、在坐標(biāo)軸上，B點坐標(biāo)是，M、N分別是邊、上的點．將△沿著直線翻折，若點O的對應(yīng)點是．(1)①若N與C重合，M是的中點，則的坐標(biāo)是___________；②，若翻折后在AC上，求的解析式．(2)已知M坐標(biāo)是，若的外接圓與線段BC有公共點，求N的縱坐標(biāo)n的取值范圍．7．在和中，，，，且．(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，連接，若，，求線段的長；(2)如圖2，將圖1中繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點在的內(nèi)部，連接，．線段，相交于點，當(dāng)時，求證：；(3)如圖3，點是點關(guān)于的對稱點，連接，，在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，過作的平行線，交直線于點，連接，，，若，請直接寫出線段的最小值，以及當(dāng)線段長度最小時的面積．8．(1)【活動背景】在鹿鳴成長課程中，同學(xué)們探究了一類“三等分線段、角”的問題．如圖，在矩形的邊和上分別取點E、F，且，連接、交于點O，將邊沿著過點O的直線折疊，使得點A、D分別落在和上，試說明：點Q是邊的三等分點．(2)【活動操作】同學(xué)們進一步發(fā)現(xiàn)，在作圖的過程中也可以參考類似的方法．如圖，已知線段，點E是的中點，請用無刻度直尺和圓規(guī)作平行四邊形，使得．（不寫作法參保留作圖痕跡）(3)【活動證明】同學(xué)們通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，不能通過圓規(guī)直接三等分角，但可以通過圓規(guī)和帶刻度的直尺得出三等分角、如圖，點C是上一點，用尺規(guī)作出，后，將直尺一端放在點O處，不斷轉(zhuǎn)動直尺與、交干點M、N，當(dāng)與滿足某種數(shù)量關(guān)系時，即可得到，試猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明．(4)【活動思考】在上面的活動操作中所探究的平行四邊形，若，請直接寫出k的取值范圍．9．【教材呈現(xiàn)】表格是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第頁的部分內(nèi)容：如圖，在中，點、分別是、的中點，可以猜想：且．請用演繹推理寫出證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】如圖在四邊形中，，點是對角線的中點，是中點，是中點，與相交于點求證：；【拓展延伸】如圖，正方形的邊長為，的頂點、分別在邊、上運動，，，為邊中點，連接則運動過程中的最大值為______．10．如圖，已知在中，，點是邊中點，在邊上取一點，使得，延長交延長線于點．(1)求證：；(2)設(shè)的中點為點，①如果為經(jīng)過、、三點的圓的一條弦，當(dāng)弦恰好是正十邊形的一條邊時，求的值；②經(jīng)過、兩點，聯(lián)結(jié)、，當(dāng)，，時，求的半徑長．11．已知菱形中，點E是對角線上一點，點F是邊上一點，連接、、，【特例探究】(1)如圖1，若且，線段、滿足的數(shù)量關(guān)系是________；(2)如圖2，若且，判定線段、滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【一般探究】如圖3，根據(jù)特例的探究，若，，請求出的值（用含的式子表示）；(4)【發(fā)現(xiàn)應(yīng)用】如圖3，根據(jù)“一般探究”中的條件，若菱形邊長為1，，點F在直線上運動，則面積的最大值為________，12．如圖，在矩形的邊上取一點，將沿直線折疊得到，此時點的對稱點恰好落在邊上，G為中點，連接BG分別與，交于M，N兩點，且，連接．(1)求證：四邊形為菱形；(2)猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)，求線段的長和的值．13．【問題呈現(xiàn)】如圖1，和都是等邊三角形，連接．求證：．【類比探究】如圖2，和都是等腰直角三角形，．連接．請直接寫出的值．【拓展提升】如圖3，和都是直角三角形，，且．連接．延長交于點F，交于點G．求的值．14．如圖，點為線段上一點，分別以為等腰三角形的底邊，在的同側(cè)作等腰和等腰，且．在線段上取一點，使，連接．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若的延長線恰好經(jīng)過的中點，求的長．15．如圖，在梯形中，點F，E分別在線段，上，且，

(1)求證：(2)若，求證：16．在平行四邊形中（頂點按逆時針方向排列），為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長．(2)是邊上的一動點，點同時繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得點．①如圖2，當(dāng)點落在射線上時，求的長．②當(dāng)是直角三角形時，求的長．17．【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．

【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．

【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．

18．如圖所示，在等腰直角三角形中，，，于點D，點P從點A出發(fā)，沿A→C方向以的速度運動到點C停止，在運動過程中，過點P作交于點Q，以線段為邊作等腰直角三角形，且（點M，C位于異側(cè)），設(shè)點P的運動時間為x（），與重疊部分的面積為y（）．

(1)如圖2，當(dāng)點M落在上時，_______；(2)求點M落在上時x的值；(3)若M點在下方時，求重疊部分面積y與運動時間x的函數(shù)表達式．19．綜合與實踐【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點，于點F，，，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；【實踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點，于點F，于點H，交于點G，可以用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形中，E是邊上一點，于點H，點M在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題．

20．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點始終與正方形的頂點重合，繞點旋轉(zhuǎn)三角尺時，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，同時得到點在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點，．求證：；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點，．連接交于點，求的值．參考答案1．（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知，∠APO=∠B=90°，∴∠APD+∠CPO=90°，又∠APD+∠DAP=90°，∴∠DAP=∠CPO，又∠D=∠C=90°，∴△OCP∽△PDA；（2）∵△OCP∽△PDA，面積比為1：4，∴，∴CP=4，設(shè)AB=x，則AP=x，PD=x-4，由勾股定理得，AD2+PD2=AP2，即82+（x-4）2=x2，解得，x=10，即AB=10；（3）PB=2EF．作MH∥AB交PB于H，∴∠PHM=∠PBA，∵AP=AB，∴∠APB=∠PBA，∴∠APB=∠PHM，∴MP=MH，又BN=PM，∴MH=BN，又∵MH∥AB，∴BF=FH，∵MP=MH，ME⊥BP，∴PE=EH，∴PB=2EF．2．解：（1）∵四邊形是菱形，∴.∴.∴.（2）∵四邊形是菱形∴DA=DC∴∠DAC=∠DCA∴只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出與相似，尺規(guī)作圖如圖所示：①作∠CPQ=∠AEF，步驟為：以點E為圓心，以任意長度為半徑，作弧，交EA和EF于點G、H，以P為圓心，以相同長度為半徑作弧，交CP于點M，以M為圓心，以GH的長為半徑作弧，兩弧交于點N，連接PN并延長，交AC于Q，就是所求作的三角形；②作∠CPQ=∠AFE，作法同上；或∴就是所求作的三角形（兩種情況任選其一即可）.3．（1）①證明：∵四邊形是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴≌，∴．②解：結(jié)論：．理由：∵，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴．故答案為1．（2）解：結(jié)論：．理由：如圖2中，作于．∵，∴，∴，，∴，∴∽，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴．（3）解：如圖2﹣1中，作交的延長線于．∵，，∴，∴，∴可以假設(shè)，，，∵，，∴，∴，∴或﹣1（舍棄），∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴∽，∴，∴，∴，，∴，∴．4．（1）證明：如答圖1，（方法一）∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠DAC＋∠DCA＝90°，∵CE是⊙O切線，∴∠ACE＝∠DCE＋∠DCA＝90°，∴∠DAC＝∠DCE，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DAB＋∠BCD＝180°，∵∠DCF＋∠BCD＝180°，∴∠DAB＝∠DCF，∴∠BAC＝∠ECF．（方法二）如答圖2，作EC的延長線EG，∵AC為⊙O的直徑∴∠ABC＝∠BAC＋∠BCA＝90°，∵CE是⊙O切線，∴∠ACG＝∠BCG＋∠BCA＝90°，∴∠BAC＝∠BCG，∵∠ECF＝∠BCG，∴∠BAC＝∠ECF．（2）解：如答圖1，∵AC為⊙O的直徑∴∠ADC＝∠CDE＝90°，由（1）知∠DAC＝∠DCE，∴△ACD∽△CED，∴∵AD＝4，CD＝2，∴，∴DE＝1，∴CE＝＝由（1）知∠BAC＝∠ECF∴，∵EF⊥BC，∴∠CFE＝90°，∴在Rt△CEF中，，∴．5．（1）∵，∴∵∴∵∴∴∵∴四邊形AFCD是平行四邊形∴∴∴（2）∵∴在中，∴∴∵，在與中∴∴∵∴6．（1）解：①如圖1，在直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、在坐標(biāo)軸上，B點坐標(biāo)是（4，2），∴，，若N與C重合，M是的中點，，則：，由折疊的性質(zhì)得∶四邊形為正方形，∴的坐標(biāo)為；故答案為：；②連接交于點D，如圖2所示：∵，∴，∴∵關(guān)于對稱，∴，∴，，∴，設(shè)的解析式為：，則：，解得：，∴的解析式為：；（2）解：設(shè)的外接圓為⊙G，當(dāng)⊙G與相切時，如圖3所示：設(shè)半徑為r，則，∵M坐標(biāo)是，∴，∴，解得：，∴，∴，又∵N是邊上的點，∴．7．（1）解：如圖1中，過點C作交的延長線于H．則．∵，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得；（2）證明：如圖，過點B作交于P．∵，，，∴和是等腰直角三角形，∴，∵，，，∴．∵，∴，∴，．∵，∴，∴．∵，∴，又∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴A、B、C、G四點共圓且圓心為的中點，直徑為，如圖所示，取的中點O，連接交于H，過點于M，過點H作于N，∴點G在以點O為圓心，為直徑的圓上運動，∴當(dāng)三點共線時，即點G與點H重合時最小，∵，∴，∵點是點關(guān)于的對稱點，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得，∴；∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴當(dāng)最小時，8．（1）解：在矩形中，，，∵將邊沿著過點O的直線折疊，使得點A、D分別落在和上，，，在矩形中，，四邊形是矩形，，，，即Q是邊的三等分點．（2）解：如圖2，以為直徑畫圓O，在圓O上取點N，連接，延長至D，使，延長至A，使，連接，則四邊形為所求四邊形；證明：∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，又∵E為的中點，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵為圓O的直徑，∴，∴；∴平行四邊形符合條件；（3）取的中點H，連接，，，，，∵點H是的中點，，，，，，，，，，，，；（4）作于點M，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，綜上所述，k的取值范圍是．9．教材呈現(xiàn)：證明：點、分別是、的中點，，，，，∽，，，且．結(jié)論應(yīng)用：證明：、、分別是、、的中點，，，，，，．拓展延伸：解：如圖，取的中點，連接、，，為的中點，，四邊形是正方形，點、分別在邊、上，，，，，，的最大值為，故答案為：．10．（1）證明：，，∴，∴，，∴，（2）①連，∵D是BC的中點，∴∴為圓的直徑，聯(lián)結(jié)，設(shè)經(jīng)過、、三點的圓半徑為r，弦恰好是正十邊形的一條邊，∴，∴，又∵O、D是的中點，∴，∴，∴，∴，∵∴則，即，解得（舍），∴，②∵，∴，又∵∴，∴，設(shè)，由①可知，，∴，∴，∴，即如圖，過點D作于點，在中，，∴，解得，∴，，∵，M是所在圓的半徑，∴，又∵∴∴，∴,∴，∴，即解得，聯(lián)結(jié)，∴．11．（1）∵四邊形是菱形，，∴，∴和都是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，，∴，在和中，∴，∴；故答案為：，（2）解：，理由如下：∵四邊形是菱形，，∴，∴，∵，∴，∴∴，∴∴；（3）如圖3，過點作于點，∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴（4）如圖4，連接交于點，過點作于點，由（3）可得：，，，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵四邊形是菱形，∴，∴∴，∵，∴，，∴∴∵，∴，∴，∴，即∵，∴當(dāng)時，有最大值：．故答案為：．12．（1）證明：沿直線折疊得到，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，又，為菱形；（2）解：，理由如下：連接，，，，即在矩形中又是菱形，平分在和中，；（3）解：為中點，，，在荾形中，且在矩形中，，，，得且，設(shè)，則，，解得（舍去），在中，.13．［問題呈現(xiàn)］證明：和都是等邊三角形，，，，即［類比探究］解：和都是等腰直角三角形，，，，，，即，；［拓展提升］解：和都是直角三角形，，且，，，，即，，，，，，設(shè)，則，14．（1）證明：∵等腰和等腰，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：取的中點H，連接，

∵點是的中點，∴是的中位線，∴，，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，整理得，解得（負值已舍），經(jīng)檢驗是所列方程的解，且符合題意，∴．15．（1）證明：，，在和中，，，．（2）證明：，，，即，在和中，，，，由（1）已證：，，．16．（1）在中，，在中，．（2）①如圖1，作于點，由（1）得，，則，作交延長線于點，則，

∴．∵∴．由旋轉(zhuǎn)知，∴．設(shè)，則．∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．②由旋轉(zhuǎn)得，，又因為，所以．情況一：當(dāng)以為直角頂點時，如圖2．

∵，∴落在線段延長線上．∵，∴，由（1）知，，∴．情況二：當(dāng)以為直角頂點時，如圖3．

設(shè)與射線的交點為，作于點．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴．設(shè)，則，∴∵，∴，∴，∴，∴，化簡得，解得，∴．情況三：當(dāng)以為直角頂點時，點