江西省八所重點2025屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷及答案

江西省八所重點中學(xué)2025屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷2025.4命題人：九江一中楊艷萍宋帥宜春中學(xué)鄧必雪殷文靜（考試時間：120分鐘，考試滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.1 C. D.22設(shè)集合，則（）A. B. C. D.3.若非零向量滿足，且向量在向量上的投影向量是，則向量與的夾角為（）A B. C. D.4.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.3 B.6 C.60 D.305.若雙曲線的漸近線與圓有公共點，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.6.已知，若，當(dāng)取得最大值時，（）A. B. C. D.7.已知數(shù)列滿足：，則下列說法正確的是（）A. B.C.有最大值 D.不是單調(diào)數(shù)列8.已知，若在上恒成立，則最大值為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在江西省重點中學(xué)協(xié)作體2025屆高三第一次聯(lián)考中，某校高三年級參加了聯(lián)考，該校有600個學(xué)生數(shù)學(xué)及格（90分及以上），從數(shù)學(xué)及格的學(xué)生中隨機抽取100個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行分析，其頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.估計該校有96名學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于120分C.用頻率估計概率，已知某學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于100分，則該生數(shù)學(xué)成績不低于130的概率為0.2D.成績在和內(nèi)學(xué)生的男女比例分別為和，從成績在的學(xué)生中隨機抽1學(xué)生，該生是女生的概率為10.已知兩點的坐標(biāo)分別為為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，直線的斜率分別為，且滿足（為定值），設(shè)動點的軌跡為．則（）A.軌跡關(guān)于原點對稱B.軌跡關(guān)于直線對稱C.當(dāng)時，軌跡為一條直線D.當(dāng)時，軌跡存在最高點11.如圖，棱長為3的正方體，動點在正方體內(nèi)及其邊界上運動，點在棱上，且，則下列說法正確的是（）A.若，且，則三棱錐體積定值B.若，則動點所圍成的圖形的面積為C.若，則的最小值為3D.若動點在正方形內(nèi)（包含邊界），異面直線與所成角為．則的軌跡所在圓錐曲線的離心率為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若事件?相互獨立，，，則__________．13.過拋物線上一動點作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為__________．14.已知是圓上的一個動點，則的最大值為__________．四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角的對邊分別為．已知．（1）求角：（2）若，求的面積．16.如圖，在平面四邊形中，是邊長為2的等邊三角形，且，沿將折起，使點到達點．（1）求證：：（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求平面與平面夾角的余弦值．17.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)是圓上的動點，過作軸的垂線，垂足為，點滿足，動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點的動直線交于兩點，求面積的最大值．18.為了增強學(xué)生體質(zhì)，學(xué)校舉辦趣味爬樓梯比賽．從地面開始，小明爬樓梯有兩種方式，一步上一級臺階或2級臺階，其中一步上一級臺階的概率為，上兩級臺階的概率為，爬樓梯過程中，小明爬到第n個臺階的概率為（1）求的值；（2）設(shè)隨機變量表示小明爬3步上的臺階總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）求．19.數(shù)學(xué)家高斯在研究整數(shù)問題時，發(fā)明了取整符號，用表示不超過最大整數(shù)，例如，．（1）分別求函數(shù)和的值域；（2）若，求函數(shù)的值；（3）若數(shù)列滿足：是數(shù)列的前項和，求的值．江西省八所重點中學(xué)2025屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷2025.4命題人：九江一中楊艷萍宋帥宜春中學(xué)鄧必雪殷文靜（考試時間：120分鐘，考試滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘除運算及共軛復(fù)數(shù)概念即可求解.【詳解】由，所以，所以，故選：B2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，將集合化簡，再由交集的運算，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，解得，即，由，解得，即，所以.故選：C3.若非零向量滿足，且向量在向量上的投影向量是，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由投影向量的定義可列出等式，求出向量與的夾角.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，則由題意可知，，因為向量的夾角，所以.故選：B.4.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.3 B.6 C.60 D.30【答案】C【解析】【分析】求出展開式的通項，再根據(jù)的次數(shù)確定的次數(shù)，最后求出的系數(shù).【詳解】根據(jù)二項式定理，可得展開式的通項為（）.

要求的系數(shù)，則的次數(shù)，此時.

同樣根據(jù)二項式定理，展開式的通項為（）.

要得到，則令，解得.

當(dāng)，時，的系數(shù)為在的展開式中，的系數(shù)為60.故選：C.5.若雙曲線的漸近線與圓有公共點，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進而利用圓心到漸近線的距離不大于半徑求得a和b的關(guān)系，進而利用求得a和c的關(guān)系，則雙曲線的離心率可求．【詳解】雙曲線漸近線為，且與圓有公共點，圓心到漸近線的距離不大于半徑，即，，，．故選：D．6.已知，若，當(dāng)取得最大值時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用兩角和與差正弦公式展開，得到與的關(guān)系，再將展開，結(jié)合基本不等式求出其最大值時的值，進而求出．【詳解】已知，根據(jù)兩角和與差的正弦公式展開可得：，移項可得：．因為，所以，，等式兩邊同時除以，得到．

根據(jù)兩角差的正切公式可得：．

令，因為，所以，則．根據(jù)基本不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立．所以，即當(dāng)時，取得最大值．

因為，當(dāng)時，．

當(dāng)取得最大值時，，故選：A．7.已知數(shù)列滿足：，則下列說法正確的是（）A. B.C.有最大值 D.不是單調(diào)數(shù)列【答案】C【解析】【分析】先對進行變形，構(gòu)造新數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式，結(jié)合作差法判斷增減性，逐一分析選項.【詳解】設(shè)，則.已知，將，代入可得：可得.兩邊取倒數(shù)，即.又因為，所以，則.所以數(shù)列是以為首項，為公差等差數(shù)列.根據(jù)等差數(shù)列通項公式，則.所以.

當(dāng)時，，所以選項A錯誤.

由前面計算可知，所以選項B錯誤.

因為，當(dāng)增大時，減小，減小，且時，，，所以有最大值，選項C正確.

由可知，，所以是單調(diào)遞減數(shù)列，選項D錯誤.

故選：C.8.已知，若在上恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函數(shù)不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，以及利用韋達定理和對數(shù)運算性質(zhì)得到相關(guān)等式，最后通過求函數(shù)最值來求解的最大值.【詳解】因為恒成立，所以和有兩個相同正根.對于方程，兩邊同乘得.由一元二次方程性質(zhì)，有兩個不同正根，則，且，.由可得，可得.根據(jù)對數(shù)運算法則，所以，即.令，對求導(dǎo)，.令，即，解得.當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減.所以在處取最大值，.綜上，最大值為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在江西省重點中學(xué)協(xié)作體2025屆高三第一次聯(lián)考中，某校高三年級參加了聯(lián)考，該校有600個學(xué)生數(shù)學(xué)及格（90分及以上），從數(shù)學(xué)及格的學(xué)生中隨機抽取100個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行分析，其頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.估計該校有96名學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于120分C.用頻率估計概率，已知某學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于100分，則該生數(shù)學(xué)成績不低于130的概率為0.2D.成績在和內(nèi)學(xué)生的男女比例分別為和，從成績在的學(xué)生中隨機抽1學(xué)生，該生是女生的概率為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之后為1得到方程求出的值，再根據(jù)頻率分布直方圖一一判斷即可判斷A，B，D，再應(yīng)用條件概率公式計算判斷C.【詳解】依題意可得，解得，故A正確；該600名學(xué)生中成績在的頻率為，人數(shù)約為人，故B正確；用頻率估計概率，已知某學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于100分，則該生數(shù)學(xué)成績不低于130的概率為0.2因為成績不低于100分的頻率為，成績不低于130的概率的頻率為，所以某學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于100分，則該生數(shù)學(xué)成績不低于130的概率為，故C錯誤；的頻率是，的頻率為，成績在和內(nèi)學(xué)生的男女比例分別為和，所以從成績在的學(xué)生中隨機抽1學(xué)生，該生是女生的概率為，故D正確.故選：ABD10.已知兩點的坐標(biāo)分別為為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，直線的斜率分別為，且滿足（為定值），設(shè)動點的軌跡為．則（）A.軌跡關(guān)于原點對稱B.軌跡關(guān)于直線對稱C.當(dāng)時，軌跡為一條直線D.當(dāng)時，軌跡存在最高點【答案】BD【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意寫出斜率之差的方程，化簡可得的軌跡為挖去兩個點的關(guān)于軸對稱的拋物線，由此可以分析各個選項的正誤.【詳解】設(shè)，則，整理得，即，所以軌跡為挖去兩個點的關(guān)于軸對稱的拋物線，故A錯誤，B正確；當(dāng)時，，即一條直線挖去了兩個點，故C錯誤；當(dāng)時，軌跡為，開口向下，有最高點，故D正確．故選：BD11.如圖，棱長為3的正方體，動點在正方體內(nèi)及其邊界上運動，點在棱上，且，則下列說法正確的是（）A.若，且，則三棱錐體積為定值B.若，則動點所圍成的圖形的面積為C.若，則的最小值為3D.若動點在正方形內(nèi)（包含邊界），異面直線與所成角為．則的軌跡所在圓錐曲線的離心率為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由題意可得的軌跡為線段，即可判斷；對于B，由題意可得動點所圍成的圖形是矩形，即可判斷；對于C，由正弦定理可得，利用空間坐標(biāo)運算可得點的軌跡是以為球心，2為半徑且位于正方體內(nèi)的部分球體，再利用，求解后即可判斷；對于D，由題意可得點的軌跡是以為旋轉(zhuǎn)軸，為母線的共頂點的雙圓錐，直線是圓錐的一條母線，從而得點的軌跡在平面與雙圓錐的截痕（橢圓）上，求出此橢圓的離心率即可判斷．【詳解】對A,因為動點在正方體內(nèi)及其邊界上，且，則的軌跡為線段．由于，平面，所以，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對B,易知平面，動點在正方體內(nèi)及其邊界上，且，所以動點所圍成的圖形是矩形，則面積為，故B正確；對C，設(shè)邊上的高為,則，由正弦定理可得，所以，故，以為點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，又因為，整理得：，所以空間動點的軌跡是以為球心，2為半徑且位于正方體內(nèi)的部分球體，又因為，所以，故C錯誤；對D,在棱上取，則．因為異面直線與所成角為，則直線與所成角為，故空間動點的軌跡是以為旋轉(zhuǎn)軸，為母線的共頂點的雙圓錐，直線是圓錐的一條母線，又動點在底面內(nèi)，故動點的軌跡在平面與雙圓錐的截痕（橢圓）上，橢圓以為長軸，球是底面與圓錐封閉幾何體的內(nèi)切球，球與底面切點為橢圓靠近頂點的焦點．如圖，即，即，則，所以橢圓的離心率，故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是得出每一選項中點P的軌跡．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若事件?相互獨立，，，則__________．【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件概率公式求得正確答案.【詳解】若事件?相互獨立，，，則故答案為：13.過拋物線上一動點作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為__________．【答案】4【解析】【分析】由題意可確定當(dāng)最小時，最小，則最小，繼而設(shè)，表示出，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最小值，即可求得答案.【詳解】由題意知的圓心為，半徑為2，如圖，，則，而，當(dāng)最小時，最小，則最小；由于P在拋物線上，設(shè)，則，當(dāng)時，取最小值8，即取到最小值，則取最小值2，故的最小值為4，故答案為：414.已知是圓上的一個動點，則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】幾何法：利用正弦定理建立與外接圓半徑的關(guān)系，再根據(jù)圓與圓（的外接圓）的位置關(guān)系求出的最小值，進而得到．

代數(shù)法：通過設(shè)點的坐標(biāo)，用向量的坐標(biāo)運算表示出，然后利用不等式求出的最小值，再根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求出的最大值．【詳解】方法一（幾何法）解：設(shè)圓為的外接圓，且半徑為，則，故由于點既在圓上，也在圓上，即圓與圓有公共點，當(dāng)圓與圓內(nèi)切時，圓的半徑最小，即由于邊的垂直平分線為，設(shè)，則，兩邊平方得，兩邊消去得：，即，.則，故.方法二（代數(shù)法）設(shè)，當(dāng)時等號成立．即，則．故故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角的對邊分別為．已知．（1）求角：（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，求出，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即可求得答案；（2）利用余弦定理求出，根據(jù)三角形面積公式，即可求得答案.【小問1詳解】因為，由正弦定理得在中，，則，即，故．【小問2詳解】由余弦定值知：，即，則，所以．16.如圖，在平面四邊形中，是邊長為2的等邊三角形，且，沿將折起，使點到達點．（1）求證：：（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定推理得證.（2）由（1）中信息，確定體積最大的條件，再作出二面角的平面角，利用幾何法求解.【小問1詳解】取中點，連接，由，得，由等邊，得，而平面，，則平面，又平面，所以.【小問2詳解】依題意，的面積為，三棱錐體積，則當(dāng)且僅當(dāng)點到平面的距離最大時，三棱錐體積最大，在中，，，因此當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，在平面內(nèi)過作于，連接，由平面，平面，得，而平面，于是平面，又平面，則，是二面角的平面角，在中，，在中，，，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)是圓上的動點，過作軸的垂線，垂足為，點滿足，動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點的動直線交于兩點，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，借助，構(gòu)造方程組，求出，代入，整理計算即可；（2）依題意，知道直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，直曲聯(lián)立，借助韋達定理和三角形面積公式得，令，變形，結(jié)合基本不等式計算即可.【小問1詳解】設(shè)，則，過作軸的垂線，垂足為,則，因為，則，則整理得代入中得，整理得，所以曲線C的方程為．【小問2詳解】依題意知道，直線不垂直于軸，則設(shè)其方程為，由消去并整理得，，解得，設(shè)，則則，令，則，且當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以面積的最大值為．18.為了增強學(xué)生體質(zhì)，學(xué)校舉辦趣味爬樓梯比賽．從地面開始，小明爬樓梯有兩種方式，一步上一級臺階或2級臺階，其中一步上一級臺階的概率為，上兩級臺階的概率為，爬樓梯過程中，小明爬到第n個臺階的概率為（1）求值；（2）設(shè)隨機變量表示小明爬3步上的臺階總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；