四川省廣安市友誼中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

廣安友誼中學(xué)年春季高級(jí)3月月考數(shù)學(xué)試題學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列分子分母的規(guī)律求得通項(xiàng)公式.【詳解】由于數(shù)列的分母是從開(kāi)始的奇數(shù)，分子為，所以通項(xiàng)公式是.故選：.2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.第1頁(yè)/共18頁(yè)故選：D3.已知事件與事件互斥，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)事件概率的基本運(yùn)算法則直接計(jì)算求解.【詳解】對(duì)于A，由于不清楚事件與事件是否相互獨(dú)立，所以無(wú)法計(jì)算，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槭录c事件互斥，所以，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：B4.在等比數(shù)列中，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解.【詳解】在等比數(shù)列中，，則則.故選：B.5.從某小區(qū)抽取10050到350則用電量低于150度的戶(hù)數(shù)為（）第2頁(yè)/共18頁(yè)A.30B.18C.36D.24【答案】A【解析】【分析】先利用頻率分布直方圖求得用電量低于150度頻率，然后即可求解頻數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖得：用電量低于150度的頻率為，所以用電量低于150度的戶(hù)數(shù)為.故選：.6.已知等差數(shù)列的，公差，則數(shù)列的前2025項(xiàng)和為（）A.B.C.505D.1013【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再將目標(biāo)數(shù)列求出，利用并項(xiàng)求和法求和即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，此時(shí)令，而其前項(xiàng)和為，，故D正確.故選：D7.已知數(shù)列滿(mǎn)足是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.64B.75C.128D.32【答案】B【解析】第3頁(yè)/共18頁(yè)【分析】由遞推公式求得前4項(xiàng)，即可求解.【詳解】由，可得：，得，，得，得所以，故選：B8.已知一個(gè)各項(xiàng)非零的數(shù)列滿(mǎn)足且且）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令，遞推關(guān)系可化為，證明，證明數(shù)列為等比，，條件下判斷函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論.【詳解】由條件可得：且，，所以，設(shè)，則，第4頁(yè)/共18頁(yè)所以若，則,，與矛盾，所以，故，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，故，若，則，數(shù)列為遞增數(shù)列，且，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，與已知矛盾；若，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，且，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，滿(mǎn)足條件；當(dāng)時(shí)，，故，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，令，可得，第5頁(yè)/共18頁(yè)所以當(dāng)，且時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，，與條件矛盾，所以的取值范圍是，故選：A.二?多選題：本題共3個(gè)小題，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖顯示物體甲、乙在時(shí)間0到范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說(shuō)法正確的是（）A.在處，甲的瞬時(shí)速度大于乙的瞬時(shí)速度B.在處，甲的瞬時(shí)速度小于乙的瞬時(shí)速度C.在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度D.在到范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度【答案】AC【解析】【分析】對(duì)AB，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義判斷即可；對(duì)CD，根據(jù)平均速度的定義判斷即可.ABA正確，B錯(cuò)誤；對(duì)CD，在到范圍內(nèi)，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC第6頁(yè)/共18頁(yè)10.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為1，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)據(jù)的方差為4；B.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為24；C.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差大于1；D.若數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，分位數(shù)為，則.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法即可判斷，，；由中位數(shù)和百分位數(shù)的計(jì)算方法即可判斷.【詳解】對(duì)于，因?yàn)椋?，所以?shù)據(jù)的平均數(shù)為，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以，所以?shù)據(jù)的方差為，故正確；對(duì)于，，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，將數(shù)據(jù)從小到大排序，所以中位數(shù)為第三個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，第7頁(yè)/共18頁(yè)因?yàn)?，所以分位?shù)為第五個(gè)數(shù)，按從小到大排序后，第五個(gè)數(shù)大于等于第三個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以，故正確.故選：.分成許多類(lèi)，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：13610稱(chēng)為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，稱(chēng)為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（）A.；B.1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)；C.；D.，總存在，，使得成立；【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列和的遞推公式，由累加法得通項(xiàng)公式，放縮法驗(yàn)證選項(xiàng)A；用通項(xiàng)公式驗(yàn)證選項(xiàng)B；裂項(xiàng)相消求和驗(yàn)證選項(xiàng)C；取實(shí)例驗(yàn)證選項(xiàng)D.【詳解】依題意，數(shù)列中，，，，，，，，第8頁(yè)/共18頁(yè)于是得，滿(mǎn)足上式，數(shù)列中，，，，，，，，于是得，滿(mǎn)足上式，因此，，對(duì)于A，，則，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，則，又，則，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，取，，則，所以，，總存在，，使得成立，D正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.若函數(shù)可導(dǎo)，則__________.【答案】【解析】第9頁(yè)/共18頁(yè)【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得.故答案為：.13.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，則__________.【答案】【解析】【分析】已知數(shù)列通項(xiàng)，觀察可得待求表達(dá)式首末兩項(xiàng)與首末等距離的兩項(xiàng)和為定值，應(yīng)用逆序求和思想，結(jié)合對(duì)稱(chēng)中心性質(zhì)可得解.【詳解】因?yàn)椋谊P(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，則，又因?yàn)?，所?故答案為：.14.設(shè)首項(xiàng)是1的數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若數(shù)m的最大值是_______．【答案】【解析】【分析】分為偶數(shù)與奇數(shù)，利用遞推公式及構(gòu)造法推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)分組求和結(jié)合等比求和公式可得為偶數(shù)時(shí)的前項(xiàng)和，再確定的值即可．第10頁(yè)/共18頁(yè)【詳解】，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，又，故，故；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，又，故，故；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由于當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故正整數(shù)的最大值是，故答案為：11.四?解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1在點(diǎn)處的切線與軸，軸分別交于點(diǎn)，為第11頁(yè)/共18頁(yè)（2）求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程.【答案】（1）（2）【解析】1，形面積；（2可得可得切線方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，又，所以在點(diǎn)處切線方程為，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以；【小問(wèn)2詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn)，由，所以，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以所求切線方程為：，即.16.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，已知.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）令為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析第12頁(yè)/共18頁(yè)（2）【解析】1差數(shù)列的定義可證得結(jié)果；（2的前項(xiàng)和．【小問(wèn)1詳解】證明：等比數(shù)列中，已知∴，解得：或（舍）.∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，.∴，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1），∴，，兩式相減得：，整理得：.17.在①，，..已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，有__________.（1）求的通項(xiàng)公式；第13頁(yè)/共18頁(yè)（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】1）選①，利用與的關(guān)系即可求解；選②，由已知可得數(shù)列是等差數(shù)列，可得與的關(guān)系即可求解；選③，由已知可得時(shí)可得成立即可求解；（2）由（1）可得，根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和，再求解即可【小問(wèn)1詳解】選①，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；選②，因?yàn)?，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；選③，因?yàn)?，所以，?4頁(yè)/共18頁(yè)所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；【小問(wèn)2詳解】因，所以，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以，即得證.18.單項(xiàng)選擇與多項(xiàng)選擇題是數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化考試中常見(jiàn)題型，單項(xiàng)選擇一般從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選出一個(gè)正確答案，其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對(duì)的得5分，選錯(cuò)的得0分；多項(xiàng)選擇題一般從A，B，C，D四個(gè)選6分選對(duì)的得部分分（兩個(gè)答案的每個(gè)答案3分，三個(gè)答案的每個(gè)答案20分.（1）考生甲有一道單項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，求他猜對(duì)本題得5分的概率；（2）考生乙有一道答案為ABD多項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，求他猜對(duì)本題得4分的概率；（32道兩個(gè)正確答案的多項(xiàng)選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，每道題考生丙得6分的概率為3分的概率為；考生丁得6分的概率為3分的概率為.丙、丁二人答題互不影響，且兩題答對(duì)與否也互不影響，求這2道多項(xiàng)選擇題丙丁兩位考生總分剛好得18分的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】第15頁(yè)/共18頁(yè)1）利用古典概型的概率求解；（2）利用古典概型的概率求解；（312699分和丙得612分三種情況，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率求解.【小問(wèn)1詳解】甲同學(xué)所有可能的選擇答案有A，B，C，D共4種可能結(jié)果，樣本空間，其中正確選項(xiàng)只有一個(gè)，設(shè)M=“猜對(duì)本題得5分”，故.【小問(wèn)2詳解】乙同學(xué)所有可能的選擇答案有10種：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，樣本空間，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)N=“猜對(duì)本題得4分”，，有3個(gè)樣本點(diǎn)，故.【小問(wèn)3詳解】由題意得丙得0分的概率為，丁得0分的概率為，丙丁總分剛好得18分的情況包含：事件A：丙得12分有6+6一種情況，丁得6分有6+0，0+6，3+3三種情況，則；事件B：丙得9分有6+3，3+6兩種情況，丁得9分有6+3，3+6兩種情況，則；事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三種情況，丁得12分有6+6一種情況，則；所以丙丁總分剛好得18分的概率.19.已知雙曲線在上，為常數(shù)，.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，記的坐標(biāo)為第16頁(yè)/共18頁(yè)（1）若，求；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù).【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】1）直接根據(jù)題目中構(gòu)造方式計(jì)算出的坐標(biāo)即可；（2）利用點(diǎn)差法和合比性質(zhì)即可證明；（3）利用點(diǎn)差法得到，，再結(jié)合（2）中的結(jié)論得，最后