浙江專(zhuān)用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何第七節(jié)雙曲線教案含解析

PAGEPAGE1第七節(jié)雙曲線1．雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的肯定值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0.(1)當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)不存在．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(－a,0)，A2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2ba叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)[小題體驗(yàn)]1．雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1的焦距為_(kāi)_______．解析：由雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝eq\r(5)，所以雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1的焦距為2eq\r(5).答案：2eq\r(5)2．(教材習(xí)題改編)以橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為_(kāi)_______．解析：設(shè)要求的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得橢圓焦點(diǎn)為(±1,0)，頂點(diǎn)為(±2,0)．所以雙曲線的頂點(diǎn)為(±1,0)，焦點(diǎn)為(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.答案：x2－eq\f(y2,3)＝13．(2024·北京高考)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a＞0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則a＝________.解析：由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))，得eq\f(a2＋4,a2)＝eq\f(5,4)，∴a2＝16.∵a＞0，∴a＝4.答案：41．雙曲線的定義中易忽視2a＜|F1F2|這一條件．若2a＝|F1F2|，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線，若2a＞|F1F2|，則軌跡不存在．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中對(duì)a，b的要求只是a＞0，b＞0，易誤認(rèn)為與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，則雙曲線的離心率e∈(1，eq\r(2))；若a＝b＞0，則雙曲線的離心率e＝eq\r(2)；若0＜a＜b，則雙曲線的離心率e∈(eq\r(2)，＋∞)．3．留意區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中的a，b，c關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.4．易忽視漸近線的斜率與雙曲線的焦點(diǎn)位置關(guān)系．當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，漸近線斜率為±eq\f(b,a)，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，漸近線斜率為±eq\f(a,b).[小題糾偏]1．設(shè)P是雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|＝9，則|PF2|等于________．解析：由題意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P點(diǎn)在雙曲線的左支，則有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.答案：172．以直線y＝±eq\r(2)x為漸近線，且過(guò)點(diǎn)(－eq\r(3)，2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．解析：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)x，不妨可設(shè)該雙曲線的方程為2x2－y2＝λ.因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(－eq\r(3)，2),所以6－4＝λ＝2，所以雙曲線的方程為2x2－y2＝2，即其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,2)＝1.答案：x2－eq\f(y2,2)＝1eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．(2024·金華調(diào)研)已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x2＋y2－4y＝0的圓心重合，且其漸近線的方程為eq\r(3)x±y＝0，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,3)－y2＝1 B.eq\f(y2,3)－x2＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1解析：選B由圓的方程知其圓心為(0,2)，故雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，且a2＋b2＝4，①又知漸近線方程為eq\r(3)x±y＝0，∴eq\f(a,b)＝eq\r(3)，②由①②得a2＝3，b2＝1，∴雙曲線方程為eq\f(y2,3)－x2＝1.2．(2024·海口二模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)過(guò)點(diǎn)(eq\r(2)，eq\r(3))，且實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)與虛軸的一個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(x2,\f(1,2))－y2＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,\f(2,3))－eq\f(y2,\f(3,2))＝1解析：選C∵實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)與虛軸的一個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，∴eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)，即b＝eq\r(3)a，∵雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)過(guò)點(diǎn)(eq\r(2)，eq\r(3))，∴eq\f(2,a2)－eq\f(3,b2)＝1，即eq\f(2,a2)－eq\f(3,3a2)＝1，解得a2＝1，∴b2＝3，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2－eq\f(y2,3)＝1.3．(2024·溫嶺模擬)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3,0)，且離心率等于eq\f(3,2)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________；漸近線方程為_(kāi)___________．解析：因?yàn)閏＝3，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)，解得a＝2，所以b2＝5.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，其漸近線方程為y＝±eq\f(\r(5),2)x.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1y＝±eq\f(\r(5),2)x4．焦點(diǎn)在x軸上，焦距為10，且與雙曲線eq\f(y2,4)－x2＝1有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．解析：設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－x2＝－λ(λ＞0)，即eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,4λ)＝1，則有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.答案：eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1[謹(jǐn)記通法]求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的2種方法(1)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，依據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二雙曲線的定義)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]已知雙曲線x2－eq\f(y2,24)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)．若|PF1|＝eq\f(4,3)|PF2|，則△F1PF2的面積為()A．48 B．24C．12 D．6解析：選B由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝eq\f(1,3)|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形，因此S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24.[由題悟法]應(yīng)用雙曲線的定義需留意的問(wèn)題在雙曲線的定義中要留意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的肯定值為一常數(shù)，且該常數(shù)必需小于兩定點(diǎn)的距離”．若定義中的“肯定值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．同時(shí)留意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用．[即時(shí)應(yīng)用]1．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)解析：選C雙曲線方程可化為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，∴a＝b＝eq\r(2)，∴c＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2\r(2)，,|PF1|＝2|PF2|))得|PF1|＝4eq\r(2)，|PF2|＝2eq\r(2)，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(3,4).2．(2024·余姚期初)已知△ABC的頂點(diǎn)A，B分別為雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)C在雙曲線上，則eq\f(|sinA－sinB|,sinC)的值為_(kāi)___________．解析：由正弦定理知，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，由雙曲線的定義可知，eq\f(|sinA－sinB|,sinC)＝eq\f(||BC|－|AC||,|AB|)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì))eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——多角探明)[鎖定考向]雙曲線的幾何性質(zhì)是每年高考命題的熱點(diǎn)．常見(jiàn)的命題角度有：(1)求雙曲線的離心率(或范圍)；(2)求雙曲線的漸近線方程；(3)求雙曲線方程．[題點(diǎn)全練]角度一：求雙曲線的離心率(或范圍)1．(2024·山東高考)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________．解析：如圖，由題意知|AB|＝eq\f(2b2,a)，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2×eq\f(2b2,a)＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負(fù)值舍去)．答案：2角度二：求雙曲線的漸近線方程2．(2024·樂(lè)清調(diào)研)以橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的漸近線方程是________．解析：由題意可知所求雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則a＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－3＝1，故所求漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x.答案：y＝±eq\f(\r(3),3)x角度三：求雙曲線方程3．過(guò)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1解析：選A由題意知右頂點(diǎn)為(a,0)，不妨設(shè)其中一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，因此可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)．設(shè)右焦點(diǎn)為F(c,0)，由已知可得c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，則c＝2a，即a＝eq\f(c,2)＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12，故雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.[通法在握]與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題策略(1)求雙曲線的離心率(或范圍)．依據(jù)題設(shè)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求雙曲線的漸近線方程．依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程．(3)求雙曲線的方程．依據(jù)題設(shè)條件，求出a，b的值或依據(jù)雙曲線的定義，求雙曲線的方程．(4)求雙曲線焦點(diǎn)(焦距)、實(shí)虛軸的長(zhǎng)．依題設(shè)條件及a，b，c之間的關(guān)系求解．[演練沖關(guān)]1．(2024·蕭山六校聯(lián)考)已知l為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線，l與圓F：(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝a2＋b2)相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等腰直角三角形，則C的離心率為()A．2 B.eq\f(5,2)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(6),2)解析：選D由題意可設(shè)l的方程為bx＋ay＝0.已知圓F：(x－c)2＋y2＝a2的圓心為(c,0)，半徑為a，∵l為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線，l與圓F：(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝a2＋b2)相交于A，B兩點(diǎn)，△ABF為等腰直角三角形，∴|AB|＝eq\r(2)a.又(c,0)到l的距離d＝eq\f(|bc＋0|,\r(b2＋a2))＝eq\f(bc,c)＝b，∴b2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＝a2，將|AB|＝eq\r(2)a代入上式，得a2＝2b2.又c2＝a2＋b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),2).2．(2024·臺(tái)州調(diào)研)設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為2eq\r(3)，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_______．解析：因?yàn)?b＝2，所以b＝1，因?yàn)?c＝2eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)，所以a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(2)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(2),2)x.答案：y＝±eq\f(\r(2),2)x3．(2024·杭州二中適應(yīng))雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上存在一點(diǎn)P，與坐標(biāo)原點(diǎn)O、右焦點(diǎn)F2構(gòu)成正三角形，則雙曲線的離心率為_(kāi)___________．解析：由題可得，要使三角形OPF2為正三角形，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c，\f(\r(3),2)c))在雙曲線上，所以eq\f(c2,4a2)－eq\f(3c2,4b2)＝1，結(jié)合b2＝c2－a2及e＝eq\f(c,a)，化簡(jiǎn)得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4＋2eq\r(3)或e2＝4－2eq\r(3).因?yàn)閑＞1，所以e2＝4＋2eq\r(3)，所以e＝eq\r(4＋2\r(3))＝eq\r(3)＋1.答案：eq\r(3)＋14．(2024·安陽(yáng)二模)已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，它的焦點(diǎn)F到漸近線的距離的取值范圍是________．解析：一般地，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，它的右焦點(diǎn)(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離為eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.而雙曲線eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，即eq\f(x2,8－m)－eq\f(y2,m－4)＝1的焦點(diǎn)在x軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－m＞0，,m－4＞0，))解得4＜m＜8，它的焦點(diǎn)F到漸近線的距離為eq\r(m－4)∈(0,2)．答案：(0,2)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)四直線與雙曲線的位置關(guān)系)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]設(shè)A，B分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4eq\r(3)，焦點(diǎn)到漸近線的距離為eq\r(3).(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線y＝eq\f(\r(3),3)x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D，使eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(ON,\s\up7(→))＝teq\o(OD,\s\up7(→))，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．解：(1)由題意知a＝2eq\r(3)，∵一條漸近線為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0.∴由焦點(diǎn)到漸近線的距離為eq\r(3)，得eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝eq\r(3).又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，∴雙曲線的方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.將直線方程y＝eq\f(\r(3),3)x－2代入雙曲線方程eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1得x2－16eq\r(3)x＋84＝0，則x1＋x2＝16eq\r(3)，y1＋y2＝eq\f(\r(3),3)(x1＋x2)－4＝12.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x\o\al(2,0),12)－\f(y\o\al(2,0),3)＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4\r(3)，,y0＝3.))∴t＝4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4eq\r(3)，3)．[由題悟法]直線與雙曲線的位置關(guān)系推斷方法和技巧(1)推斷方法：直線與雙曲線的位置關(guān)系的推斷與應(yīng)用和直線與橢圓的位置關(guān)系的推斷方法類(lèi)似，但是聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消元后，留意二次項(xiàng)系數(shù)是否為0的推斷．(2)技巧：對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“點(diǎn)差法”，但須要檢驗(yàn)．[即時(shí)應(yīng)用]已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線C經(jīng)過(guò)A(－7,5)，B(－1，－1)兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)直線l：y＝x＋m交雙曲線C于M，N兩點(diǎn)，且線段MN被圓E：x2＋y2－12x＋n＝0(n∈R)三等分，求實(shí)數(shù)m，n的值．解：(1)設(shè)雙曲線C的方程是λx2＋μy2＝1，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(49λ＋25μ＝1，,λ＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2，))所以所求雙曲線的方程是2y2－x2＝1.(2)將l：y＝x＋m代入2y2－x2＝1，得x2＋4mx＋(2m2－1)＝0，①Δ＝(4m)2－4(2m2－1)＝8m2＋4＞0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)P(x0，y0)，則x1＋x2＝－4m，x1x2＝2m2－1，所以x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－2m，y0＝x0＋m＝－m，所以P(－2m，－m)．又圓心E(6,0)，依題意kPE＝－1，故eq\f(m,6＋2m)＝－1，即m＝－2.將m＝－2代入①得x2－8x＋7＝0，解得x1＝1，x2＝7，所以|MN|＝eq\r(1＋12)|x1－x2|＝6eq\r(2).故直線l截圓E所得弦長(zhǎng)為eq\f(1,3)|MN|＝2eq\r(2).又E(6,0)到直線l的距離d＝2eq\r(2)，所以圓E的半徑R＝eq\r(2\r(2)2＋\r(2)2)＝eq\r(10)，所以圓E的方程是x2＋y2－12x＋26＝0.所以m＝－2，n＝26.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．(2024·浙江高考)雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0,2)解析：選B∵雙曲線方程為eq\f(x2,3)－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3＋1)＝2，∴該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(－2,0)，(2,0)．2．(2024·唐山期中聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的離心率與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線C的漸近線方程為()A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0C．4x±3y＝0或3x±4y＝0 D．4x±5y＝0或5x±4y＝0解析：選A由題意知，橢圓中a＝5，b＝4，∴橢圓的離心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(3,5)，∴雙曲線的離心率為eq\r(1＋\f(n2,m2))＝eq\f(5,3)，∴eq\f(n,m)＝eq\f(4,3)，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(n,m)x＝±eq\f(4,3)x，即4x±3y＝0.故選A.3．(2024·湖南師大附中12月聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，正三角形AF1F2的一邊AF1與雙曲線左支交于點(diǎn)B，且AF1＝4BF1，則雙曲線C的離心率為()A.eq\f(\r(3),2)＋1 B.eq\f(\r(3)＋1,2)C.eq\f(\r(13),3)＋1 D.eq\f(\r(13)＋1,3)解析：選D不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方，由題意得，F(xiàn)1(－c,0)，A(0，eq\r(3)c)，設(shè)B(x，y)，∵AF1＝4BF1，∴(－c，－eq\r(3)c)＝4(－c－x，－y)，∴x＝－eq\f(3c,4)，y＝eq\f(\r(3)c,4)，代入雙曲線方程可得eq\f(\f(9c2,16),a2)－eq\f(\f(3c2,16),c2－a2)＝1，∴9e4－28e2＋16＝0，∴e＝eq\f(\r(13)＋1,3).4．(2024·義烏質(zhì)檢)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)，P在雙曲線的右支上，且滿意|PF1|·|PF2|＝32，則∠F1PF2＝____________；S△F1PF2＝____________.解析：由題可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|F1F2|＝10.因?yàn)閨PF1|·|PF2|＝32，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝100＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以∠F1PF2＝eq\f(π,2)，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝32×eq\f(1,2)＝16.答案：eq\f(π,2)165.如圖所示，已知雙曲線以長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)A，B為左、右焦點(diǎn)，且雙曲線過(guò)C，D兩頂點(diǎn)．若|AB|＝4，|BC|＝3，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．解析：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由題意得B(2,0)，C(2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝a2＋b2，,\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,b2＝3，))∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.答案：x2－eq\f(y2,3)＝1二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．“k＜9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A∵方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線，∴(25－k)(k－9)＜0，∴k＜9或k＞25，∴“k＜9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A.2．(2024·杭州調(diào)研)過(guò)雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝()A.eq\f(4\r(3),3) B．2eq\r(3)C．6 D．4eq\r(3)解析：選D由題意知，雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，將x＝c＝2代入得y＝±2eq\r(3)，即A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,2eq\r(3))，(2，－2eq\r(3))，所以|AB|＝4eq\r(3).3．(2024·杭州五中月考)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，與右支交于點(diǎn)B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq\f(2π,3)，則eq\f(S△AF1F2,S△ABF2)＝()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：選B如圖所示，由雙曲線定義可知|AF2|－|AF1|＝2a.因?yàn)閨AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，又∠F1AF2＝eq\f(2π,3)，所以S△AF1F2＝eq\f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝eq\f(1,2)×2a×4a×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)a2.由雙曲線定義可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|.因?yàn)椤螧AF2＝eq\f(π,3)，所以△ABF2為等邊三角形，邊長(zhǎng)為4a，所以S△ABF2＝eq\f(\r(3),4)|AF2|2＝eq\f(\r(3),4)×(4a)2＝4eq\r(3)a2，故eq\f(S△AF1F2,S△ABF2)＝eq\f(2\r(3)a2,4\r(3)a2)＝eq\f(1,2).4．(2024·浙大附中測(cè)試)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，且|PF2|＝2|F2Q|，PQ⊥F1Q，則雙曲線C的離心率是()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(10),2) D.eq\f(\r(17),3)解析：選D設(shè)|F2Q|＝m，則|F1Q|＝2a＋m，|F2P|＝2m，|F1P|＝2a＋2m.因?yàn)镻Q⊥F1Q，所以(2a＋m)2＋(3m)2＝(2a＋2m)2，解得6m2＝4am，解得m＝eq\f(2,3)a，所以|F1Q|＝eq\f(8,3)a.所以在△F1F2Q中，|F1F2|＝2c，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8a,3)))2＝(2c)2，解得17a2＝9c2，所以e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(17,9)，即e＝eq\f(\r(17),3).5．(2024·寧波六校聯(lián)考)已知點(diǎn)F為雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，直線y＝kx(k＞0)與E交于M，N兩點(diǎn)，若MF⊥NF，設(shè)∠MNF＝β，且β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A．[eq\r(2)，eq\r(2)＋eq\r(6)] B．[2，eq\r(3)＋1]C．[2，eq\r(2)＋eq\r(6)] D．[eq\r(2)，eq\r(3)＋1]解析：選D設(shè)左焦點(diǎn)為F′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，則|NF|＝|MF′|＝r2，由雙曲線定義可知r2－r1＝2a①，∵點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＝4c2②，由①②得r1r2＝2(c2－a2)＝2b2，又知S△MNF＝2S△MOF，∴eq\f(1,2)r1r2＝2·eq\f(1,2)c2·sin2β，∴b2＝c2·sin2β＝c2－a2，∴e2＝eq\f(1,1－sin2β)，又∵β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))，∴sin2β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴e2＝eq\f(1,1－sin2β)∈[2，(eq\r(3)＋1)2]，又∵e＞1，∴e∈[eq\r(2)，eq\r(3)＋1]，故選D.6．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F(0，eq\r(5))，它的漸近線方程為y＝±2x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________；其離心率為_(kāi)___________．解析：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\r(5)，,\f(a,b)＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝5，,a＝2b))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，))所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－x2＝1.所以a＝2，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2).答案：eq\f(y2,4)－x2＝1eq\f(\r(5),2)7．若點(diǎn)P是以A(－3,0)，B(3,0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2eq\r(5)的雙曲線與圓x2＋y2＝9的一個(gè)交點(diǎn)，則|PA|＋|PB|＝________.解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PA|＞|PB|.因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線與圓的交點(diǎn)，所以由雙曲線的定義知，|PA|－|PB|＝2eq\r(5)，①又|PA|2＋|PB|2＝36，②聯(lián)立①②化簡(jiǎn)得2|PA|·|PB|＝16，所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2eq\r(13).答案：2eq\r(13)8．(2024·紹興四校聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為M，交另一條漸近線于N，若2MF＝FN，則雙曲線C的離心率e＝________.解析：法一：由2MF＝FN知，eq\f(|MF|,|FN|)＝eq\f(1,2).由漸近線的對(duì)稱(chēng)性知∠NOF＝∠MOF，即OF為∠NOM的角平分線，則cos∠NOM＝eq\f(|OM|,|ON|)＝eq\f(|MF|,|FN|)＝eq\f(1,2)，所以∠NOM＝eq\f(π,3)，∠NOF＝∠MOF＝eq\f(π,6).因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，所以eq\f(b,a)＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(2\r(3),3).法二：如圖所示，雙曲線C的一條漸近線的方程為bx＋ay＝0，右焦點(diǎn)為F(c,0)，因此|FM|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，過(guò)點(diǎn)F向ON作垂線，垂足為P，則|FP|＝|FM|＝b，又因?yàn)?MF＝FN，所以|FN|＝2b.在Rt△FNP中，sin∠FNP＝eq\f(1,2)，所以∠FNP＝eq\f(π,6)，故在△OMN中，∠MON＝eq\f(π,3)，所以∠FON＝eq\f(π,6)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以雙曲線C的離心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)9．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過(guò)點(diǎn)(4，－eq\r(10))，點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)求證：MF1·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0；(3)求△F1MF2的面積．解：(1)∵e＝eq\r(2)，則雙曲線的實(shí)軸、虛軸相等．∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ.∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴雙曲線方程為x2－y2＝6.(2)證明：設(shè)eq\o(MF1,\s\up7(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up7(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)．∴eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0.(3)∵△F1MF2的底邊長(zhǎng)|F1F2|＝4eq\r(3).由(2)知m＝±eq\r(3).∴△F1MF2的高h(yuǎn)＝|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.10．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(3)，點(diǎn)(eq\r(3)，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|AB|.解：(1)∵雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(3)，點(diǎn)(eq\r(3)，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq\r(6)，∴雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.(2)雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1的右焦點(diǎn)為F2(3,0)，∴經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F