決勝2024中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘下專題15動點(diǎn)綜合問題試題

專題15動點(diǎn)綜合問題

號點(diǎn)4】動點(diǎn)之相似三角形同JB

【考點(diǎn)5】動點(diǎn)之平行四邊彩付?

(含“殊屈邊形)

【考點(diǎn)6】動點(diǎn)之線段面枳問期

【典例分析】

【考點(diǎn)1］動點(diǎn)之全等三角形問題

4

【例1】如圖，直線N=-QX+4與x軸和y軸分別交于A3兩點(diǎn)，另一條直線過點(diǎn)A和點(diǎn)。(7,3).

(1)求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

⑵求證：ABA.AC;

⑶若點(diǎn)尸是直線AC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)。是工軸上的一個動點(diǎn)，且以P,3A為頂點(diǎn)的三角形與AAO4全

等，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(7,0)或(8,0)或(-1,0)或(-2,0)

44

【解析】(1)在y=-§x+4中，令y=(),貝iJO=-1X+4,求得A(3,0),設(shè)直線AC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,

解方程組即可得到結(jié)論；

4439^3

(2)在直線ABy=—-x+4中，得到k尸-一，在直線ACy=-x一中，得到上=一,由J」「k2=T,即可得到

33444

結(jié)論；

(3)依據(jù)勾股定理得到AB=5,①當(dāng)NAQP=90。時,如圖L由全等三角形的性質(zhì)得到AQ=OB=4,于是得到

Qi(7,0),Q2(-1,0),②當(dāng)NAPQ=90°時,如圖2,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AQ=AB=5,于是得到QN8,

0),Q,(-2,0),③當(dāng)NPAQ=90°時，這種狀況不存在.

4

【詳解】(1)在尸-另x+4中，

4

令7=0,則0=—x+4,

3

x-3>

??"(3,0),

設(shè)直線AC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,

O=3A+〃

則:，解得:

3=7k+b

39

?,?直線AC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y——x-一.

44

4

(2)在直線ABy=--x+4中，

3

3

393

在直線ACy=」x—中，k尸二，

444

/.ki*k2=-l,

4

/.ABXAC；(3)在y=--x+4中，

3

令:<=0,則y=4,

ACA=3,0B=4,由勾股定理得AB=5,

①當(dāng)NAQP=90°時,如圖1,VAAOB^AAQP,

/.AQ=0B=4,

???加(7,0),Q?(-1,0),

②當(dāng)NAPQ=90。時，如圖2,VAAOB^AAQP,

/.AQ=AB=5,

,盤(8,0),Q.,(-2,0).

③當(dāng)NPAQ=90°時，這種狀況不存在，

綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(7,0)(8,0)(-1,0)(-2,0).

【點(diǎn)睛】考查了一次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解折式，勾股定理的應(yīng)用和全等二角形的性質(zhì)等學(xué)

問，分類探討是解題關(guān)鍵，以防遺漏.

【變式1T】)如圖,CA1BC,垂足為C,AC=2Cm,BC=6cm,射線BM1BQ,垂足為B,動點(diǎn)P從C點(diǎn)動身以lcm/s的

速度沿射線CQ運(yùn)動,點(diǎn)N為射線BM上一動點(diǎn),滿意PN=AB,隨著P點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動_______秒時，

△BCA與點(diǎn)P、N、B為頂點(diǎn)的三角形全等.(2個全等三角形不重合)

【解析】此題要分兩種狀況：①當(dāng)P在線段BC上時，②當(dāng)P在BQ上，再分別分兩種狀況AC=BP或AC=BN

進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：①當(dāng)P在線段BC上，AC=BP時，△ACB@Z\PBN,

V

VAC=2,

，BP=2,

ACP=6-2=4,

???點(diǎn)P的運(yùn)動時間為4+1=4（秒）；

②當(dāng)P在線段BC上，AC=BN時，△ACB@Z\NBP,

這時BC=PN=6,CP=O,因此時間為。秒；

③當(dāng)P在BQ上，AC=BP時，△ACB/Z\PBN,

VAC=2,

???BP=2,

???CP=2+6=8,

???點(diǎn)P的運(yùn)動時間為8+1=8（秒）；

④當(dāng)P在BQ上，AC=NB時，4ACBgZXNBP,

VEC=6,

.??EP=6,

???CP=6+6=12,

點(diǎn)P的運(yùn)動時間為12+1=12（秒），

故答案為：。或4或8或12.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等時必需有邊的參加，若有兩邊一角對應(yīng)相

等時，角必需是兩邊的夾角.

【考點(diǎn)2】動點(diǎn)之直角三角形問題

【例2】（模型建立）

（D如圖1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90，CB=C4,直線ED經(jīng)過點(diǎn)。，過A作AOJ_石。

于點(diǎn)D,過8作于點(diǎn)E.求證：ABEC^ACZM；

（模型應(yīng)用）

4

（2）已知直線4：y=§x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,將直線L繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45至直線4,如圖2,

求直線〃的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如圖3,長方形A8C。，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)3的坐標(biāo)為（8,-6）,點(diǎn)A、。分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P是

線段8c上的動點(diǎn)，點(diǎn)。是直線）=-2x+6上的動點(diǎn)且在第四象限.若AA尸力是以點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)的等腰

直角三角形，請干脆寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【解析】（1）依據(jù)AABC為等腰直角三角形，A【）_LE【），BEJ_EI）,可判定AB"三ACD4：

（2）①過點(diǎn)B作BCJLAB,交k于C,過C作CD_Ly軸于D,依據(jù)△CBDgZ\BAO,得出BD=A0=3,CD=OB

=4,求得C（T,7）,最終運(yùn)用待定系數(shù)法求直線b的函數(shù)表達(dá)式；

（3）依據(jù)4APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)D是直線y=Wx+6上的動點(diǎn)且在第四象限

時，分兩種狀況：當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時，當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時，設(shè)D（x,母x+6）,分別依

據(jù)△ADE@Z\DPF,得出AE=DF,據(jù)此列出方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：（1）證明：:△ABC為等腰直角三角形，

ACB=CA,ZACD+ZBCE=90°,

XVAD1ED,BE_LED,

.\ZD=ZE=90°,ZEBC+ZBCE=90°,

AZACD=ZEBC,

ZD=Z￡

在z\ACD與ACBE中，,NACD=NEBC,

CA=CB

：-\BEC=\CDA(AAS)：

(2)①如圖2,過點(diǎn)B作BC_LAB,交L于C,過C作CD_Ly軸于D,

VZBAC=4b°,

/.△ABC為等腰直角三角形，

由(1)可知：△CBDgZXBAO,

ABD=A0,CD=OB,

4

二?直線h：y=-x+4中，若y=0,則乂=可；若x=0,則y=4,

3

??"(T,0),B(0,4),

，用)=A()=3,CD=0B=4,

???CD=4+3=7,

AC(47),

7=-4k+b

設(shè)的解析式為y=kx+b,則〈，

(\=-3k+b

k=T

解得:

Z=-21

工七的解析式為:y=-7x-21；

2022

(3)D(4,-2)或(一，——).

33

理由：當(dāng)點(diǎn)D是直線y=吆x+6上的動點(diǎn)且在第四象限時，分兩種狀況：

當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時，如圖，過D作x軸的平行線EF,交直線0A于E,交BC于F,

設(shè)D(x,-2x-l-6),貝iJ()E=2x-6,AE=6-(2x-6)=12-2x,DF=EF-DE=8r,

由（1）可得，ZXADE咨ZXDPF,則DF=AE,即：12-2x=8-x,

解得x=4,

???~2x+6=2

AD（4,吆）,

此時，PF=ED=4,CP=6=CB,符合題意;

當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時,如圖,過D作x軸的平行線EF,交直線0A于E,交直線BC于3,

設(shè)D（x,-2x+6）,貝i]0E=2x_6,AE=0E-0A=2x-6-6=2x-12,DF=EF-DE=8r,

同理可得：△ADEgADPF,則AE=DF,即：2x-12=8-x,

解得x=g

22

???Nx+6=——，

3

.、2022

..0（—?------）,

33

此時，ED=PF=—,AE=BF=-,BP=PIH5F=—<6,符合題意,

333

2022

綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為：(4,~2)或(一，一）

33

【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的

性質(zhì)以及全等三角形等相關(guān)學(xué)問的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作協(xié)助線構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角

形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，解題時留意分類思想的運(yùn)用.

【變式2-1](2024?遼寧中考模擬)如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)

D(-l,0),與y軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作BC平行于x軸交拋物線于點(diǎn)B,連接AC

⑴求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)M從點(diǎn)0動身以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動；點(diǎn)N從點(diǎn)B同時動身，以每秒1個單位長度的

速度向點(diǎn)C運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停動，過點(diǎn)N作NQ垂直于BC交AC于點(diǎn)Q,

連結(jié)MQ.

①求4AQM的面積S與運(yùn)動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍；當(dāng)t為何值時，S有最大值,

并求出S的最大值；

(1,0)和(2,0).

【解析】(D由待定系數(shù)法將AD兩點(diǎn)代入即可求解.

(2)①分別用t表示出AM、PQ,由三角形面積公式干脆寫出含有I的二次函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的最大值

可得答案；

②分類探討百角三角形的直角頂點(diǎn)，然后解出3求得坐標(biāo).

【詳解】(1廠??二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(4,0)和點(diǎn)D(-l,0),

16。+4/?+4=()

。一〃+4=0

67=—1

解得4C，

b=3

所以，二次函數(shù)的解析式為y=-X2+3X+4.

???BC平行于x軸，C(0,4)

AB(3,4),NP±OA.

依據(jù)題意，經(jīng)過t秒時，NB=t,DM=2t,

則CN=3-t,AM=4-2t.

VZBCA=ZMAQ=45°,

???GN=CN=3-t,

，F(xiàn)Q=NP-NQ=4-(1-t)=l+t,

11-\

ASA.=-AMXPQ=-(4-2t)(1+t)

W22

=-t2+t+2.

Va=-l<0,且0WtW2,???S有最大值.

當(dāng)t=二"時，S—=—.

24

②存在點(diǎn)使得為直角三角形.

設(shè)經(jīng)過t秒時，NB=t,OM=2t,

貝ijCN=3-t,AM=4-2t,

AVZBCA=ZMAQ=45°.

I.若NAQM=90°,

則PQ是等腰RtAMQA底邊MA上的高.

???FQ是底邊MA的中線,

1

AFQ=AP=-MA,

2

/.l+t=-(4-2t),

2

解得，t——,

2

???M的坐標(biāo)為(1,0).

II.若NQMA=90°,此時QM與QP重合.

??.QM=QP=MA,

/.1+t=4-2t,

At=l,

，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

所以，使得△AQU為直角三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(1,0)和(2,0).

【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了三角形的面積，要留意利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段

的長度，從而求出線段之間的關(guān)系還要留意求最大值可以借助于二次函數(shù).

【變式2-2］如圖，四邊形被⑦是正方形，以加為邊向外作等邊△比笈連接AE交BD于息F,交切于點(diǎn)

G,點(diǎn)尸是線段為￡上一動點(diǎn)，連接即BP.

(1)求N4叨的度數(shù)；

(2)在點(diǎn)尸從4到￡的運(yùn)動過程中，若分平分區(qū)求證：AG-DP=DG*BH

(3)已知生7=6,在點(diǎn)尸從4到￡的運(yùn)動過程中，若△穴是直角三角形，懇求分的長.

【答案】(1)60°；(2)見解析；(3)DP=6或DP=3JJ—3或DP=36一3加時，△戚是直角三角形

【解析】(1)依據(jù)正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)解答；

(2)連接力￡證明△戊/s/X/ia；依據(jù)相像三角形的對應(yīng)邊的比相等證明；

(3)依據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理分別求出BD、OD,依據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF,分NBPD=90°、4BDP

=90°兩種狀況，依據(jù)相像三角形的性質(zhì)計(jì)算.

【詳解】(1)???四邊形四是正方形，

：,AB=DC,/加C=90°,

又?.?△以為是等邊三角形，

：J)E=DC4EDC=60°,

：J)A=DE,N4%'=150°,

：?/DAE=15°,

又N力的=45°,

AAAFB=ZDAP-ZADF=150+45°=60°；

(2)連接力C,

ZCAG=ZCAD-ZDAG=45°-15°=30°,

,:RP平分乙CDE,

AZGDP=-ZEDC=3(),

2

：ZPDG=/CAG,

又乙DGP=4AGC,

△力GG

?DG_DP

,即橋分=必力C,

*AG-AC

*：AC=DB,

:」GDP=DG*BD；

(3)連接力。交劭于點(diǎn)0,則N加戶=90°,

VXZ?=6,

，OA=OD=3&，

在"△/!夕'中，ZOAF=^°,

???OF=瓜,AF=2y/6,

:.FD=3A/2-5/6，

由圖可知：0°</DB嗎45°,

則△〃「卯是直角三角形只有/叱=90°和/應(yīng)W=900兩種情形:

①當(dāng)NZV刃=90。時，

/、若點(diǎn)〃與點(diǎn)力重合，/皮力=93°,

：?DP=DA=6；

〃、當(dāng)點(diǎn)?在線段力石上時，N跖9=90°,

連接8,OP=OA=-BD=3y/2,

2

：,^()PA=ZOAP=30°,

???/力力三120°,

：.￡FOP=/AOP-4AOF=3N,

"DBP=NOPB=15°,

：?4FDS,

又/BAF=/BAD-/DAF=B,

JABAF=/PDF,

又4AFB=/DFP,

:.'BAFSAPDF、

.DPDFH1IDP372-76

ABAF62>/6

解得，DP=3△-3、

②當(dāng)NH次=90。時，N"乎=//?=6。。,

:?DP=DFXtanZDFP=6（3夜-向=3娓-372,

綜上，DP=6或I）P=3j5—3或DP=36一30時，△小伊是五角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、相像三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性

質(zhì)，駕馭正方形的性質(zhì)、相像三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3】動點(diǎn)之等腰三角形問題

【例3】（2024?湖南中考真題〉如圖一，在射線。石的一側(cè)以A。為一條邊作矩形A8c力，A￡>=56，

8=5,點(diǎn)M是線段AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)4重合），連結(jié)BM，過點(diǎn)M作BM的垂線交射線DE于息N,

連接BN.

（1）求NC4。的大小;

（2）問題探究：動點(diǎn)M在運(yùn)動的過程中，

①是否能使AAMN為等腰三角形，假如能，求出線段MC的長度；假如不能，請說明理由.

②的大小是否變更？若不變更，懇求出NMBV的大??；若變更，請說明理由.

（3）問題解決：

如圖二，當(dāng)動點(diǎn)M運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時，AM與BN的交點(diǎn)為F,MN的中點(diǎn)為H,求線段7的長度.

sFx

【答案】（1）NC4￡）=30;（2）①能，CM的值為5或56；②大小不變，/MBN=30'屋3）FH=*.

6

【解析】（1）在中，求出ND4C的正切值即可解決問題.

（2）①分兩種情形：當(dāng)NA=NM耐,當(dāng)AN=A”時，分別求解即可.

②NMBN=30.利用四點(diǎn)共圓解決問題即可.

（3）首先證明△鉆M是等邊三角形，再證明8N垂直平分線段AM，解直角三角形即可解決問題.

【詳解】解：（1）如圖一（1）中，

,ZADC=90，

tanZCAD=-^=4=-

AD5G3

???ZC4Z)=30°.

(2)①如圖一(1)中，當(dāng)AN二MW時，

?:乙BAN=4BMN=96，BN=BN,AN=NM,

:RtABA64=RtABNM(HL),

???BA=BM,

在R/AA3C中，???ZAC3=ND4c=30“，AB=CD=5,

???AC=2A3=10,

???/RAM=60"BA=BM,

是等邊三角形，

/.AM=AB=5,

：.CM=AC-AM=5.

如圖-(2)中，當(dāng)AN=AM時，易證NAMN=NAMVf=15°，

圖一⑶

???乙BMN=96，

???NCMB=75，;ZMCB=30°，

???Z.CBM=180°-75°-30°=75°，

???/CMB=/CBM,

???CM=CB=*，

綜上所述，滿意條件的CM的值為5或5G.

②結(jié)論：N/WBN=3()"大小不變.

理由：如圖-(1)中，???N84N+N8MN=180°，

.?.四點(diǎn)共圓，

???/MBN=/MAN=3。.

如圖一(2)中，?:/BMN=NBAN=9。，

??.A,N,3,M四點(diǎn)共圓,

???NM3N+NM4N=18()’，

:NOAC+NM4N=180，

???NMBN=NDAC=3(f，

綜上所述，NMBN=36.

(3)如圖二中,

???4M=MC，

???BM=AM=CM,

/.AC=2AB，

:.AB=BM=AM，

:.MBM是等邊.三角形，

，N8AM=N8M4=60'，

?/ZB/W=乙BMN=90"

???/NAM=NNMA=3G，

:?NA=NM.

?/BA=BM，

???BN垂直平分線段AM.

.?.FM

2

.皿FM5百

cos303

?:乙NFM=90，NH=HM,

?17U1A/Z55/5

??FH=—MN=----

26

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等學(xué)問，解題的關(guān)鍵是敏捷運(yùn)用所學(xué)學(xué)問解

決問題，學(xué)會用分類探討的思想思索問題，屬于中考壓軸題.

【變式3-1】如圖①，已知正方形ABCO邊長為2,點(diǎn)Q是邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線的對

稱點(diǎn)是點(diǎn)Q,連結(jié)PQ、DQ、CQ、3Q.設(shè)AP=x.

（1）當(dāng)x=l時，求長;

（2）如圖②，若PQ的延長線交CO邊于E,并且NCQO=90。，求證：ACE。為等腰三角形;

（3）若點(diǎn)P是射線AO上的一個動點(diǎn)，則當(dāng)AC。。為等腰三角形時，求工的值.

【答案】（1）BP=5/5;（2）證明見解析；（3）Z\CDQ為等腰三角形時x的值為4-26、華、26+4.

【解析】（1）利用勾股定理求出BP的長即可；（2）依據(jù)對稱性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可得AB/BQ=3C,

ZA=ZBQP=ZBCE=90°,可得NBQE=90°,由第一視角相等性質(zhì)可得NBCQ二NBQC,依據(jù)同角或等角的余角

相等的性質(zhì)可得NEQC二NECQ,可得EC=EQ,可得結(jié)論；（3）若aCDQ為等腰三角形，則邊CD邊為該等腰三

角形的一腰或者底邊.又Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于PB的對稱點(diǎn)，則AB=QB,以點(diǎn)B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，

則Q點(diǎn)只能在弧AB上.若CD為腰，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)即為使得△0）、為等

腰三角形（CD為腰）的Q點(diǎn).若CD為底邊，則作CD的垂直平分線，其與弧AC的交點(diǎn)即為使得△口）、為等

腰三角形（CD為底）的Q點(diǎn).則如圖所示共有三個Q點(diǎn)，那么也共有3個P點(diǎn).作協(xié)助線，利用直角三角

形性質(zhì)求之即可.

【詳解】（1）VAP=x=l,AB=2,

^=\IAB2+AP2=>/5，

（2）???四邊形ABCD是正方形,

AAB=BC,ZA=ZBCD=90".

VC點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于BP的對稱點(diǎn)，

，AB二QB,ZA=ZPQB=90°,

???GB=BC,NBQE=NBCE=90°,

AZBQC-ZBCQ,

:.ZEQC+ZBQC=ZECQ+ZBCQ=90°,

AZEQC=ZECQ,

???EQ=EC,即ACEQ為等腰三角形.

（3）如圖，以點(diǎn)B為圓心，以AE的長為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長為半徑畫弧，兩弧分別交于

QnQ3.此時△CDQI,△CDQ3都為以CD為腰的等腰三角形.

作CD的垂直平分線交弧AC于點(diǎn)Q”此時acnQ?以CD為底的等腰三角形.

①探討Q”如圖，連接BQ】、CQ「作PQ」BQL交AD于P,過點(diǎn)作EF_LAD于E,交BC于F,

???△BCQ：為等邊三角形，正方形ABCD邊長為2,

???FC=1,Q0CQ：_FC2=BQIE=2-G，

在四邊形ABPQI中,

VZABQ,=30°,

???NAPQ尸150°,

"EPQ產(chǎn)30。，Z\PEQi為含30°的直角三角形,

???FE=6EQL26-3,

???EF是BC的垂直平分線，

1

AAE=-AD=1,

2

???x二AP二AE-PE=1-(273-3)=4-2.

AQ2,過點(diǎn)Q2作PG_LBQ”交AD于P,交CD于G,連接BP,過點(diǎn)。作EF_LCD

于E,交AB于F,

???EF垂直平分CD,

JEF垂直平分AB,

.\AQ2=BQ>

VAB=BQ2,

???△ABQz為等邊三角形.

???AF=；AE=1,FQ?=5/AE2-AF2=6，

在四邊形ABQ2P中,

「NBAD二NBQ2P=90°,NABQ產(chǎn)60°，

???NAPQ產(chǎn)120°,

.,.ZEQ2G=ZDPG=180°-120°=60',

.*.EQ2=EF-FQ2=2-V3，

EG=6EQZ=26-3,

???DG=DE+GE=l+2G-3=26-2,

.\BG=J3Pl)，即P[)=2-,

3

??.x=AP=2-PD=^^.

3

③對Q.”如圖作協(xié)助線,連接BQ”CQ),BQ3,CQ；.,過點(diǎn)Q作PQJBQ”交AD的延長線于P,連接BP,過點(diǎn)

Qi,作EF_LAD于E,此時。在EF上，記&與F重合.

二?△BCQ：為等邊三角形，/XBCQs為等邊三角形，BO2,

?小2=26，QE=2-5

???EF=2+5

在四邊形ABQ..P中

VZABF=ZABC+ZCBQ；F150°,

AZEPF=30°,

???EP=GEF=26+3,

VAE=1,

:.x=AP=AE+PE=l+26+3=26+4.

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合、正方形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，第三問是一個難度特別

高的題目，可以利用尺規(guī)作圖的思想將滿意要求的點(diǎn)Q找全.另外求解各個P點(diǎn)也是勾股定理的綜合應(yīng)用

嫻熟駕馭并敏捷運(yùn)所學(xué)學(xué)問是解題關(guān)鍵.

【變式3-2](2024?河南中考模擬)如圖，拋物線y=ax?+bx+3交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B(-3,0)和點(diǎn)

C(1,0),頂點(diǎn)為點(diǎn)M.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，點(diǎn)E為x軸上一動點(diǎn)，若△AME的周長最小，懇求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)F為直線AB上一個動點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一個動點(diǎn)，若4BFP為等腰直角三角形，請干脆寫出點(diǎn)P

3

【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)E(―,0)：(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-5)或(1,0).

7

【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+3)(x-1),然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得此拋物

線的解析式；

(2)作A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'(0,-3),連接MA'交x軸于E,此時aAME的周長最小，求出直線MA'

解析式即可求得E的坐標(biāo)；

(3)如圖2,先求直線AB的解析式為：y=x+3,依據(jù)解析式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,m+3),

分三種狀況進(jìn)行探討：

①當(dāng)NPBF=90°時，由FF_Lx軸，得P(m,-m-3),把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得結(jié)論；

②當(dāng)NBFF=90°時,如圖3,點(diǎn)P與C重合,

③當(dāng)NBPR=90。時，如圖3,點(diǎn)P與C重合,

從而得結(jié)論.

【詳解】(1)當(dāng)x=0時，y=3,即A(0,3),

設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+3)(x-1),

把A(0,3)代入得：3=-3a,

a=-l>

/.y=-(x+3)(x-1)=-x-2x+3,

即拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3：

(2)y="x-2x+3=-(x+1)2+4,

AM(-1,4),

如圖1,作點(diǎn)A(0,3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'(0,-3),連接A'M交x軸于點(diǎn)E,則點(diǎn)E就是使得△AME的

周長最小的點(diǎn)，

設(shè)直線A'M的解析式為：y=kx+b,

把A'(0,-3)和M(-1,4)代入得:

-k+b=4

'b--3'

k=-l

解得：

b=-3

???直線A*M的解析式為:y=-7x-3,

當(dāng)產(chǎn)()時，-7x-3=0,

3

x=~—,

7

3

，點(diǎn)E(——，0),

7

(3)如圖2,易得直線AB的解析式為：y=x+3,

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m,m+3）,

①當(dāng)NPBF=90°時，過點(diǎn)B作BP_LAB,交拋物線于點(diǎn)P,此時以BP為直角邊的等腰直角三角形有兩個，即

△BPR和△BPF2,

VCA=0B=3,

/.△AOB和△.▲'0B是等腰直角三角形，

,

..ZF1BC=ZBFIP=45°,

???RP_Lx軸，

.*.F（m,-m-3）,

把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=-x2-2x+3中得：

-m-3=-m2-2m+3?

解得：nii=2,叱=一3（舍），

AF(2,-5)；

②當(dāng)NBF3P=90°時，如圖3,

???NF3BP=45°,且NF3B0=45°,

，點(diǎn)P與C重合，

故P（1,0）,

③當(dāng)NBPFF900時,如圖3,

VZF.tBP=45°,且NF,BO=45°,

???點(diǎn)P與C重合，

故P（1,0）,

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,-5）或（1,0）.

【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，周長最短問題，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等學(xué)問.此

題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是留意數(shù)形結(jié)合和分類探討思想的應(yīng)用.

【變式3-3］（2024?廣西中考真題）己知拋物線和直線y=r+〃都經(jīng)過點(diǎn)M（-2,4）,點(diǎn)。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，直線），=-/+匕與x軸、了軸分別交于43兩點(diǎn).

（1）求，爪/?的值；

（2）當(dāng)MAM是以AM為底邊的等腰三角形時，求點(diǎn)夕的坐標(biāo)；

（3）滿意（2）的條件時，求sinN30P的值.

【答案】（1）〃z=l；b=2；⑵點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（-二）或（2,4）；（3）sin/BOP的值為半或增.

【解析】（1）依據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求〃，力的值：

（2）由（1）可得出拋物線及直線的解析式，繼而可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為3,Y）,結(jié)合點(diǎn)

A,M的坐標(biāo)可得出PT,PM2的值，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得出關(guān)「X的方程，解之即可得出結(jié)論；

（3）過點(diǎn)尸作PN_Ly軸，垂足為點(diǎn)N,由點(diǎn)P的坐標(biāo)可得出PN,PO的長，再利用正弦的定義即可求出

sinNBOP的值.

【詳解】⑴將"（一2,4）代入），=如2,得：4=4%

/??=!；

將M（—2,4）代入y=+得：4=2+/?.

b=2；

（2）由（1）得：拋物線的解析式為y=直線4A的解析式為），=一%+2,

當(dāng)y=0時，-x+2=0

解得：x=2,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),OA=2,

設(shè)點(diǎn)?的坐標(biāo)為丁)，則PA2=(2-X)2+(0-X2)2=X4+A2-4x+4,

PM2=(-2-x)2I(4-A2)2=X4-7X2I4xI20，

???\PAM是以AM為底邊的等腰三角形，

/.PA2=PM2^即Y+f-4/+4=/-7/+4/+20，

整理，得：x2-x-2=0?

解得：％=-1,々=2,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一1,1）或（2.4）：

（3）過點(diǎn)尸作PN_Ly軸，垂足為點(diǎn)N,如圖所示，

當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（—1J）時，PN=\，PO=Jf+T="

PN_叵

，sin/BOP=~PO~~2

當(dāng)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(2,4)時，PN=2,PO=A/22+42=2x/5?

???sinZBOP=—=—>

PO5

???滿意（2）的條件時，sin/BOP的值的值為也或正.

25

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的

坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）依據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定

系數(shù)法求出，〃，方的值；（2）利用公股定理及等腰三角形的性質(zhì)，戰(zhàn)出關(guān)于x的方程；（3）通過解直角三角形,

求出sin/BOP的值.

【考點(diǎn)4】動點(diǎn)之相像三角形問題

【例4】在邊長為4的正方形ABCO中，動點(diǎn)E以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A起先沿邊48向點(diǎn)8運(yùn)

動,動點(diǎn)F以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)B起先沿邊BC向點(diǎn)C運(yùn)動，動點(diǎn)E比動點(diǎn)F先動身1秒，其中

一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)”的運(yùn)動時間為，秒.

(1)如圖1,連接b，若DE上AF,求/的值

(2)如圖2,連接EF,DF,當(dāng)/為何值時，.EBF二DCF?

【答案】(1)t=l；(2)當(dāng)/為9一百秒時,LEBFQCF

2

【解析】(1)利用正方形的性質(zhì)及條件，得出臺ARF段,ZME,由BF=AE,列出方程解方程即可

FRRF

(2)二EBF?一DCF,得到---=----,用t表示出BF、AE、FC、BE列出方程解方程即可，最終對t的

DCCF

取值進(jìn)行取舍

【詳解】解：(1)?「四邊形43C。是正方形

AB=AO,NABF=ZDAE=90°

.?.NADE+NAEO=90'

?;DE上AF

ABAF+ZAED=9()

:"BAF=ZADE

ABF^DAE

由題意得，BF=2t,AE=t+\

2/=/+1

解得：t=\

（與若AEBF?一DCF

EBBF

則Ml一=—

DCCF

AE=/4-1,BF=2/

.?.8石=4一，+1=3—，，CF=4-2t

3-72t

44-2r

解得

由題意知：t<2

2

當(dāng)/為9一歷秒時,二EBF~,DCF

2

【點(diǎn)睛】本題考查正方形基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相像三角形的判定與性質(zhì)，其次問的關(guān)鍵

在「能夠?qū)懗霰壤搅谐龇匠?，最終要記得對方程的解進(jìn)行取舍

【變式4-1】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△被是直角三角形，N48=90°,點(diǎn)4。的坐標(biāo)分別

3

為A（-3,0）,。（1,0）,BC=-AC

4

（1）求過點(diǎn)48的直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)〃，連接圈使得△板與△胸相像（不包括全等），并求點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，如只。分別是協(xié)和助上的動點(diǎn)，連接尸0,過AP=DQ=m,問是否存在這樣的出

使得△力國與△力如相像？如存在，懇求出0的值；如不存在，請說明理由.

39131?525

【答案】（1）y=一a一；（2）D點(diǎn)位置見解析，D（―,0）；（3）符合要求的0的值為丁或一.

444369

【解析】(1)先依據(jù)A(-3,1),C(1,0),求出AC進(jìn)而得出BC=3求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出

直線AB的解析式即可；

(2)運(yùn)用相像三角形的性質(zhì)就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)由于與aADB已有一-組公共角相等，只需分△APQs/\ABD和△APQsaADB兩種狀況探討，然后

運(yùn)用相像三角形的性質(zhì)建立關(guān)于m的方程，就可解決問題.

【詳解】解：(1)VA(-3,0),C(1,0),

，AC=4,

3

VBC=-AC,

4

3

，%=—X4=3,

4

AB(1,3),

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

r-3k+b=O

???<，

k+b=3

4,

、4

39

工直線AB的解析式為y=-x+-；

44

(2)若AADB與aABC相像，過點(diǎn)B作BD_LAB交x軸于D,

此時——=——，即AB2=AC*AI).

ACAB

VZACB=90°,AC=4,BC=3,

AAB=5,

A25=4AD,

25

..AD=—,

4

2513

ACD=AD-A0=——3=

44

13

**?點(diǎn)D的坐標(biāo)為(—?0)；

4

(3)VAP=DQ=m,

25

???AQ=AD-QD=----m

4

ABAD

,AP?AD=AB?AQ,

2525

:.—m=5(----m),

44

25

解得m=—；

9

???AP?AB=AD?AQ,

25("-m),

???oUmE—_—

44

解得：m=-----

36

12525

綜上所述：符合要求的m的值為工廠或上.

369

【點(diǎn)睛】此題是相像形綜合題，主要考查了是待定系數(shù)法，相像一角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等學(xué)問,

也考查了分類探討的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題，解本題的關(guān)鍵是依據(jù)相像建立方程求解.

【變式4-2］如圖，已知拋物線）=。工2+公+。經(jīng)過力（一3,0）、B（8,0）、f（0,4）三點(diǎn)，點(diǎn)〃是拋

物線上的動點(diǎn)，連結(jié)也與y軸相交于點(diǎn)區(qū)連結(jié)〃；CD.

（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)49平分NC姐時.

①求直線4?所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

②設(shè)戶是x軸上的一個動點(diǎn)，若與相像，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

）s?3

【答案】（1）y——x~H—x+4；（2）①y=-xH—；②（2,0）或（13,0）.

6622

【解析】（1）將4（一3,0）、8（8,0）、。（0,4）點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線），=奴？+法+c,化簡計(jì)算即可；

⑵①設(shè)七（0/）,依據(jù)A。平分NC4B,￡〃_LAC,EO_Lx軸，求得AC=5,并證得乙?！捌?4c。4,

FHCF7，3、

利用一二J可的z=±,可得E點(diǎn)坐標(biāo)，把A（—3,0）,E0,-代入廣區(qū)+〃，化簡可得力〃所對應(yīng)

OACA2\2

的函數(shù)表達(dá)式；

②因?yàn)槭荴軸上的?個動點(diǎn)，且△P4力與‘CAD相像，并且二ACD是腰長為5的等腰三角形，所以P

點(diǎn)有兩種狀況：力〃為等腰三角形的斜邊，或者以力〃為腰，鳥A為底，分別探討求解即可.

【詳解】解（1）???拋物線經(jīng)過A（-3。）、8（8.0）、。（0.4）三點(diǎn)，

1

a=--

r9a-3b+c=06

<64〃+8Z?+c=(),解得：?/?二』

6

???拋物線的表達(dá)式為＞=一!/+?1+4：

66

(2)①作E”J_AC于點(diǎn)”，如圖，設(shè)E(0").

〈AO平分NC4B,EH工AC,EO_Lx軸，

:?EH=EO=t,CE=4-t,

在用△Q4C中，AC=VOA2+0C2=V32+42=5-

;乙CHE=/COA=90

ZHCE=ZOCA.

**.MJHEs^(JOA,

.EHCE

'~OA~'CA

t4-/

?*?一，解得」4

3_5

設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=kx+b,

把A(-3,0),ElO.-

'b=-3k+bk=-

2

得＜3,，解得：，

—=b,3

、2b=—

2

13

，直線4。所對⑻的函數(shù)表達(dá)式為丁=5%+］；

②?,直線力〃與二次函數(shù)相交于點(diǎn)D,

125.

V=---6-X+—6X+4

「X=-J

解得或

13y=0y=4

y=—x+—

/22

??,點(diǎn)〃在第一象限,

.,?點(diǎn)〃坐標(biāo)為（5,4）,

：.DC=AC=5,且OC〃/W

???LAC。是腰長為5的等腰三角形，

?.?P是x軸上的一個動點(diǎn)，且△如￡）與ACAO相像,

???△R4。也為等腰三角形，

如上圖示，

當(dāng)，仞為等腰三角形的斜邊時，P}A=P,D=5,

??A（-3,0）

?,?點(diǎn)<的坐標(biāo)為（2,0）；

當(dāng)以力〃為腰，4A為底時，作。"_LA〃

?「點(diǎn)〃坐標(biāo)為（5,4）,A（—3,0）

???A尸=O4+OF=3+5=8

???A鳥=2AF=16,OP2=AP2-OA=\6-3=i3,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（13,0）.

綜上所述點(diǎn)，的生標(biāo)為（2,0）或（13,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題：嫻熟駕馭二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和角平分線的性質(zhì)；會利用

待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式：敏捷利用相像比表示線段之間的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【考點(diǎn)5】動點(diǎn)之平行四邊形問題（含特別四邊形）

【例5】（2024?廣東中考模擬）如圖，點(diǎn)0是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A（G，3）,ACJL0A與x軸的

交點(diǎn)為C.動點(diǎn)M以每秒百個單位長度由點(diǎn)A向點(diǎn)0運(yùn)動.同時.動點(diǎn)N以每秒3個單位長度由點(diǎn)0向點(diǎn)

C運(yùn)動，當(dāng)一動點(diǎn)先到終點(diǎn)時，另一動點(diǎn)馬上停止運(yùn)動.

（1）寫出NA0C的值；

（2）用t表示出四邊形AMNC的面積；

（3）求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得以0、N、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是特別的平行四邊形？

9（百3）

【答案】（1）30°；（2）6G--r（0<r<2）；（3）P.3t--t,--t.

4X22/

【解析】（1）如圖1中，作AIU0C于H.在RtZ\A（）H中，解直角三角形求出/AOH即可解決問題.

（2）作MK_LBC于K.依據(jù)S四邊形那,=S△麗-S△他，計(jì)算即可.

（3）分別考慮以0M,ON,MN為平行四邊形的對角線，利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：（1）如圖1中，作AH_LOC于H.

，CH=5AH=3,

AH

：,tanZ/\OH=——=6r，

OH

???NAOH=60°,

VCA±AC,

r.Z0AC=90°,

/.ZAC0=30°.

(2)作MK_LBC于K.

在RtZXAOH中，V0H=V3，Z0AH=30°,

???CA=2OH=25

在RlZ\AOC中，VZA(K：=30o,5=26，

AAC=73OA=6,

VCM=73t,

3

r.MK=0M*sin600=-t,

2

S四邊形AW??=SziaAC-SA(#IN

11

=-?OA?AC-------0N*MKa

22

I13

=-X2Jr3X6--X3tX-t

222

=673--12(0<t<2).

4

(3)當(dāng)四邊形CNMPi是平行四邊形時，P.(且t-3t,-t).

22

當(dāng)四邊形ONP"是平行四邊形時，P2（也1+31,-t）.

22

當(dāng)四邊形OMNP-是平行四邊形時，P」（3t---t）.

2