自由落體運動與豎直上拋運動解題方法及其解題技巧

自由落體運動與豎直上拋運動解題方法及其解題技巧河北孟村回民中學馬治濤自由落體運動知識清單：一、自由落體運動。1、什么是自由落體運動。任何一個物體在重力作用下下落時都會受到空氣阻力的作用，從而使運動情況變的復雜。若想辦法排除空氣阻力的影響（如：改變物體形狀和大小，也可以把下落的物體置于真空的環(huán)境之中），讓物體下落時之受重力的作用，那么物體的下落運動就是自由落體運動。 物體只在重力作用下，從靜止開始下落的運動叫做自由落體運動。2、自由落體運動的特點。從自由落體運動的定義出發(fā)，顯然自由落體運動是初速度為零的直線運動；因為下落物體只受重力的作用，而對于每一個物體它所受的重力在地面附近是恒定不變的，因此它在下落過程中的加速度也是保持恒定的。而且，對不同的物體在同一個地點下落時的加速度也是相同的。關于這一點各種實驗都可以證明，如課本上介紹的“牛頓管實驗”以及同學們會做的打點計時器的實驗等。綜上所述，自由落體運動是初速度為零的豎直向下的勻加速直線運動。二、自由落體加速度。 1、在同一地點，一切物體在自由落體運動中加速度都相同。這個加速度叫自由落體加速度。因為這個加速度是在重力作用下產(chǎn)生的，所以自由落體加速度也叫做重力加速度。通常不用“a”表示，而用符號“g”來表示自由落體加速度。 2、重力加速度的大小和方向。同學們可以參看課本或其他讀物就會發(fā)現(xiàn)在不同的地點自由落體加速度一般是不一樣的。如：廣州的自由落體加速度是9.788m/s2，杭州是9.793m/s2，上海是9.794m/s2，華盛頓是9.801m/s2，北京是9.80122m/s2，巴黎是9.809m/s2，莫斯科是9.816m/s2。即使在同一位置在不同的高度加速度的值也是不一樣的。如在北京海拔4km時自由落體加速度是9.789m/s2，海拔8km時是9.777m/s2，海拔12km時是9.765m/s2，海拔16km時是9.752m/s2，海拔20km時是9.740m/s2。盡管在地球上不同的地點和不同的高度自由落體加速度的值一般都不相同，但從以上數(shù)據(jù)不難看出在精度要求不高的情況下可以近似地認為在地面附近（不管什么地點和有限的高度內(nèi)）的自由落體加速度的值為：g=9.765m/s2。在粗略的計算中有時也可以認為重力加速度g=10m/s2。重力加速度的方向總是豎直向下的。三、自由落體運動的規(guī)律。既然自由落體運動是初速度為零的豎直向下的勻加速直線運動。那么，勻變速直線運動的規(guī)律在自由落體運動中都是適用的。勻變速直線運動的規(guī)律可以用以下四個公式來概括：（1）（2）（3）（4）對于自由落體運動來說：初速度v0=0，加速度a=g。因為落體運動都在豎直方向運動，所以物體的位移S改做高度h表示。那么，自由落體運動的規(guī)律就可以用以下四個公式概括：（5）（6）（7）（8）二．解題方法自由落體運動是勻變速直線運動的特例，所涉及的題目大多是考查勻變速運動公式的靈活應用及方程組的求解，本題側重于一段勻變速運動的平均速度等于中間時刻的瞬時速度這一規(guī)律的應用，變式題涉及的是自由落體運動運動規(guī)律的靈活運用．三．經(jīng)典例題從某一高塔自由落下一石子，落地前最后一秒下落的高度為塔高的7/16，求塔高。分析：石子的下落可以近似看作自由落體運動，因此可以自由落體運動的規(guī)律來求解本問題解法：畫出石子的運動草圖。設石下落的總時間為t，塔高為H，則下落距離為塔高的9/16時經(jīng)過時間（t-1），根據(jù)自由落體運動的位移公式：H=gt2解①、②兩式得：t=4sH=80m豎直上拋運動知識清單：（1）全過程研究：v0豎直向上，a＝g豎直向下，以拋出點為坐標原點，以豎直向上的v0方向為坐標的正方向。說明：均為負值。vt、h的正負號表示方向跟規(guī)定正方向相同還是相反，三個公式概括了豎直上拋運動的往返運動全過程。注意：由于下落過程是上升過程的逆過程，所以物體在通過同一高度位置時，上升速度與下落速度大小相等，物體在通過同一段高度過程中，上升時間與下落時間相等。這是豎直上拋運動的對稱性。（2）分階段研究：上升階段為vt=0的勻減速直線運動，下落階段為自由落體運動。上升時間t上=，最大高度H=對稱性：t上=t下，vt=－v0，在同一高度v上=-v下（3）分運動研究：由向上的勻速直線運動（v0）和向下的自由落體運動這兩個分運動合成，設向上（v0方向）為正方向，則注意vt、s的“＋、－”的含義。方法指導：豎直上拋運動處理方法(1)分段法：把豎直上拋運動的全過程分為上升階段和下降階段，上升階段做末速度vt＝0、加速度a＝g的勻減速直線運動，下降階段做自由落體運動．物體下落階段的運動和上升階段的運動互為逆運動．(2)全程法：把豎直上拋運動的上升階段和下降階段看成是一個勻減速直線運動，其加速度方向始終與初速度v0的方向相反．三．經(jīng)典例題例題：一支步槍的發(fā)射速度為v0，有人每隔1s豎直向上打一槍，若不計空氣阻力，求第一顆子彈射出后與第n(n≥2)顆射出的子彈彼此相遇的時間。（設子彈不相碰，且都在空中運動）。解法1：從第一顆子彈射出的時刻開始計時，設相遇時第一顆子彈運動了ts。因為每隔1s發(fā)射一顆子彈，所以相遇時第n顆子彈運動的時間為：tn=〔t－(n－1)〕（1）由相遇時位移相等得：h1=hn（2）又因為：h1=v0t－（3）hn=v0tn－（4）所以，將（1）、（3）、(4)式代入(2)式得：t=,（n≥2）解法2：根據(jù)豎直上拋運動的特點可知：相遇時第n顆子彈與第一顆子彈的速度大小相等、方向相反，即：vn=－v1（1）又因為：v1=v0－gt（2）vn=v0－gtn（3）tn=〔t－(n－1)〕（4）所以，將（2）、（3）、(4)式代入(1)式得：t=,（n≥2）解法3：根據(jù)豎直上拋運動的特點可知：相遇時第n顆子彈與第一顆子彈運動的時間之和等于，即：t＋tn=（1）又因為：tn=〔t－(n－1)〕（2）所以，將(2)式代入(1)式得：t=,（n≥2）解法4：因為相遇時第一顆子彈比第n顆子彈多運動了(n－1)s，所以根據(jù)豎直上拋運動的對稱性可知：第一顆子彈從最高點下降到相遇點所經(jīng)歷的時間為s，則相遇時第一顆子彈運動的時間為：t=t上+（1）又因為：t上=（2）所以，將(2)式代入(1)式得：t=,（n≥2）三．兩個豎直上拋運動相遇問題的分析方法1．方法指導自由落體與豎直上拋物體的相遇問題當兩個物體從不同位置先后做自由落體運動或兩個物體分別做自由落體與豎直上拋運動時，兩物體在空中相遇的條件都是兩物體在同一時刻位于同一位置．上述兩種情況下兩個物體的相遇問題，可以地面為參考系根據(jù)自由落體規(guī)律結合位移關系和時間關系求解，也可以某一物體為參考系根據(jù)兩物體相對勻速運動結合相對位移和時間關系求解．經(jīng)典例題：例題：將小球A以初速度VA=40m/s豎直向上拋出，經(jīng)過一段時間Δt后，又以初速度VB=30m/s將小球B從同一點豎直向上拋出，為了使兩個小球能在空中相遇，試分析Δt應滿足的條件。解析：由于是在同一點拋出且VA＞VB，故相遇的位置一定是在A球下降階段，B球有可能是在下降或上升階段，其拋出的時間間隔就由這兩過程決定。方法一：利用空中的運動時間分析要使兩小球在空中相遇，Δt應滿足的條件一定是介于某一范圍內(nèi)，因此，只要求出這個范圍的最大值和最小值就可以了。當小球B拋出后處于上升階段時與A球相遇，經(jīng)過的時間間隔較大，故Δt的最大值為小球A剛要落回拋出點的瞬間將小球B拋出。而小球A在空中運動的時間為：，

即Δt的最大值為Δtmax=8s。當小球B拋出后處于下降階段時與A球相遇，經(jīng)過的時間間隔較小，故Δt的最小值為A、B兩小球同時落地，先后拋出的時間間隔。而小球B在空中運動的時間為：，則Δt的最小值為Δtmin=tA-tB=2s。故要使A、B兩小球在空中相遇，Δt應滿足的條件為2s＜Δt＜8s。方法二：利用位移公式分析A、B兩小球在空中相遇，不管其是在上升還是下降階段相遇，相遇時的位移必相等。設小球B拋出后經(jīng)時間t與小球A相遇，則小球A拋出后的運動時間為（t+Δt），由位移公式可得整理后可得，相遇時小球B所經(jīng)過時間為：

（1）考慮到A、B小球在空中相遇，則0＜t＜6s。由（1）式可得：＞0

（2）＜6

（3）解（2）式得：1＜Δt＜8解（3）式得：Δt＞2，或Δt＜－6（不合題意）綜合上述可得，要使A、B兩小球在空中相遇，Δt應滿足的條件為2s＜Δt＜8s。方法三：巧選參考系分析小球B經(jīng)Δt再拋出后，以小球A為參考系，小球B作勻速直線運動，其相對速度為

=30－（40－gΔt）=gΔt－10而此時小球A的位移為，則小球B與小球A相遇的時間為同樣，考慮到A、B小球在空中相遇，則0＜t＜6s，亦可以得到上述的（2）（3）兩式，亦可求出要使A、B兩小球在空中相遇，Δt應滿足的條件為2s＜Δt＜8s。方法四：利用圖象分析1．利用位移圖象分析由位移公式可得A、B兩小球的位移隨時間的關系為SA=40t－5t2SB=30t－5t2可見，它們的圖象均為拋物線，在位移-時間圖象中分別作出它們的圖象，如圖1所示的圖線A和B。經(jīng)過不同時間Δt后再拋出小球B，只要將圖線B逐漸向右移動，要使A、B兩小球在空中相遇，必須使A、B兩圖線存在交點，交點的橫坐標為相遇時的時刻，縱坐標為相遇時的位移。由圖1可知，當移動的時間間隔為2s時，與圖線A開始有交點，如圖1中的B1位置；當移動的時間間隔為8s時，與圖線A開始沒有交點，如圖中1的B3位置。由圖可知，當2s＜Δt＜5s時，其相遇情況是A、B兩球都處于下降階段，當5s＜Δt＜8s時，其相遇情況是A球處于下降階段B球處于上升階段。因此可得A、B兩小球在空中相遇，Δt應滿足的條件為：2s＜Δt＜8s。2．利用速度圖象分析由速度公式可得，A、B兩小球的速度隨時間的變化關系為：VtA=40－10t，VtB=30－10t在速度—時間圖象中分別作出它們的圖象，如圖2所示的圖線A和B。要使A、B兩小球在空中相遇，必須使小球B拋出后，在小球A落地之前，它的位移要大于零。而位移為速度圖線與坐標軸所圍成的面積，由如圖2可知，將B的速度圖線逐漸向右移動，移動的時間間隔在2s以內(nèi)，小球A的位移總是大于小球B的位移，且小球B總先于小球A落地，A、B兩小球不可能相遇，當時間間隔等于2s時，如圖中B1位置，兩球同時落地。繼續(xù)將B的速度圖線向右移動，在小球A落地之前的時間內(nèi)，如圖中B2、B3、B4、B5位置，小球B的位移總是大于零，即說明了A、B兩小球在空中相遇了。由圖可知，當2s＜Δt＜5s時，其相遇情況是A、B兩球都處于下