2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章不等式推理與證明第4節(jié)歸納與類比教學(xué)案理含解析北師大版

PAGE1-第四節(jié)歸納與類比[考綱傳真]了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡潔的歸納推理和類比推理，體會(huì)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)覺中的作用．1．歸納推理依據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個(gè)都有這種屬性．我們將這種推理方式稱為歸納推理．2．類比推理由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，依據(jù)一類對(duì)象的其他特征，推斷另一類對(duì)象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理．3．歸納推理和類比推理是最常見的合情推理，合情推理的結(jié)果不肯定正確．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不肯定正確，類比推理得到的結(jié)論肯定正確．()(2)由平面三角形的性質(zhì)推想空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理. ()(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適. ()[答案](1)×(2)√(3)×2．(教材改編)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時(shí)，an＝an－1＋2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝4n－3C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝3n－1C[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]3．下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出全部三角形的內(nèi)角和都是180°；③李鋒某次考試成果是100分，由此推出全班同學(xué)的成果都是100分；④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸n邊形內(nèi)角和是(n－2)·180°.A．①② B．①③C．①②④ D．②④C[合情推理分為類比推理和歸納推理．其中①是類比推理，②④是歸納推理．故選C.]4．(教材改編)在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則b1b2b3…bn＝________.b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*)[∵b9＝1，∴在等比數(shù)列中b1·b2·b3·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*)．]歸納推理?考法1與數(shù)式有關(guān)的推理【例1】(1)(2024·南昌模擬)已知13＋23＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2,13＋23＋33＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2)))2,13＋23＋33＋43＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，則n＝()A．8B．9C．10D．11(2)(2024·濟(jì)寧模擬)已知ai＞0(i＝1,2,3，…，n)，視察下列不等式：eq\f(a1＋a2,2)≥eq\r(a1a2)；eq\f(a1＋a2＋a3,3)≥eq\r(3,a1a2a3)；eq\f(a1＋a2＋a3＋a4,4)≥eq\r(4,a1a2a3a4)；……照此規(guī)律，當(dāng)n∈N*，n≥2時(shí)，eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥______.(1)C(2)eq\r(n,a1a2…an)[(1)視察所供應(yīng)的式子可知，等號(hào)左邊最終一個(gè)數(shù)是n3時(shí)，等號(hào)右邊的數(shù)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2，因此，令eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2＝3025，則eq\f(nn＋1,2)＝55，n＝10或n＝－11(舍)．故選C.(2)由題意得eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)(n∈N*，n≥2)．]?考法2與圖形有關(guān)的推理【例2】某種平面分形圖如圖所示，一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)動(dòng)身的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120°；二級(jí)分形圖是從一級(jí)分形圖的每條線段的末端動(dòng)身再生成兩條長度為原來的eq\f(1,3)的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°，…，依此規(guī)律得到n級(jí)分形圖．(1)n級(jí)分形圖中共有________條線段；(2)n級(jí)分形圖中全部線段長度之和為________．(1)3×2n－3(n∈N*)(2)9－9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n(n∈N*)[(1)由題圖知，一級(jí)分形圖中的線段條數(shù)為3＝3×2－3，二級(jí)分形圖中的線段條數(shù)為9＝3×22－3，三級(jí)分形圖中的線段條數(shù)為21＝3×23－3，按此規(guī)律，n級(jí)分形圖中的線段條數(shù)為an＝3×2n－3(n∈N*)．(2)∵從分形圖的每條線段的末端動(dòng)身再生成兩條長度為原來的eq\f(1,3)的線段，∴n級(jí)分形圖中第n級(jí)的全部線段的長度和為bn＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1(n∈N*)，∴n級(jí)分形圖中全部線段長度之和為Sn＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1＋…＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＝3×eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n,1－\f(2,3))＝9－9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n.][規(guī)律方法]歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理．視察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)可解．(2)與式子有關(guān)的推理．視察每個(gè)式子的特點(diǎn)，留意是縱向看，找到規(guī)律后可解．(3)與圖形改變有關(guān)的推理．合理利用特別圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡裕?1)《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù)．得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：2eq\r(\f(2,3))＝eq\r(2\f(2,3))，3eq\r(\f(3,8))＝eq\r(3\f(3,8))，4eq\r(\f(4,15))＝eq\r(4\f(4,15))，5eq\r(\f(5,24))＝eq\r(5\f(5,24))，…，則依據(jù)以上規(guī)律，若9eq\r(\f(9,n))＝eq\r(9\f(9,n))具有“穿墻術(shù)”，則n＝()A．25B．48C．63D．80(2)如圖的圖形由小正方形組成，請(qǐng)視察圖①至圖④的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是________．(1)D(2)eq\f(nn＋1,2)(n∈N*)[(1)由2eq\r(\f(2,3))＝eq\r(2\f(2,3))，3eq\r(\f(3,8))＝eq\r(3\f(3,8))，4eq\r(\f(4,15))＝eq\r(4\f(4,15))，5eq\r(\f(5,24))＝eq\r(5\f(5,24))，…，可得若9eq\r(\f(9,n))＝eq\r(9\f(9,n))具有“穿墻術(shù)”，則n＝92－1＝80.(2)由題圖知第n個(gè)圖形的小正方形個(gè)數(shù)為1＋2＋3＋…＋n.所以總個(gè)數(shù)為eq\f(nn＋1,2)(n∈N*)．]類比推理【例3】(1)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不行割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x，這可以通過方程eq\r(2＋x)＝x確定出來x＝2，類似地不難得到1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝()A.eq\f(－\r(5)－1,2) B．eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1＋\r(5),2) D．eq\f(1－\r(5),2)(2)(2024·南昌一模)平面內(nèi)直角三角形兩直角邊長分別為a，b，則斜邊長為eq\r(a2＋b2)，直角頂點(diǎn)到斜邊的距離為eq\f(ab,\r(a2＋b2)).空間中三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，類比推理可得底面積為eq\r(S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))，則三棱錐頂點(diǎn)究竟面的距離為()A.eq\r(3,\f(S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))) B．eq\r(\f(S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3)))C.eq\r(\f(2S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))) D．eq\r(\f(3S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3)))(1)C(2)C[(1)令1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝x(x＞0)，即1＋eq\f(1,x)＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝eq\f(1＋\r(5),2)(x＝eq\f(1－\r(5),2)舍)，故1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝eq\f(1＋\r(5),2)，故選C.(2)設(shè)空間中三棱錐O-ABC的三條兩兩垂直的側(cè)棱OA，OB，OC的長分別為a，b，c，不妨設(shè)三個(gè)側(cè)面的面積分別為S△OAB＝eq\f(1,2)ab＝S1，S△OAC＝eq\f(1,2)ac＝S2，S△OBC＝eq\f(1,2)bc＝S3，則ab＝2S1，ac＝2S2，bc＝2S3.過O作OD⊥BC于D，連接AD(圖略)，由OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，得OA⊥平面OBC，所以O(shè)A⊥BC，又OA∩OD＝O，所以BC⊥平面AOD，又BC平面OBC，所以平面OBC⊥平面AOD，所以點(diǎn)O在平面ABC內(nèi)的射影O′在線段AD上，連接OO′.在直角三角形OBC中，OD＝eq\f(bc,\r(b2＋c2)).因?yàn)锳O⊥OD，所以在直角三角形OAD中，OO′＝eq\f(OA·OD,\r(OA2＋OD2))＝eq\f(a·\f(bc,\r(b2＋c2)),\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,\r(b2＋c2))))2))＝eq\f(abc,\r(ab2＋ac2＋bc2))＝eq\r(\f(abbcca,ab2＋ac2＋bc2))＝eq\r(\f(2S1·2S2·2S3,2S12＋2S32＋2S22))＝eq\r(\f(2S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))).][規(guī)律方法]求解類比推理題的關(guān)鍵：①會(huì)定類，即找出兩類對(duì)象之間可以準(zhǔn)確表述的相像特征；②會(huì)推想，即用一類事物的性質(zhì)去推想另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)命題(猜想)．(1)在正項(xiàng)等差數(shù)列{an}中有eq\f(a41＋a42＋…＋a60,20)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a100,100)成立，則在正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}中，類似的結(jié)論為________．(2)如圖(1)所示，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)隨意一點(diǎn)，連接AO，BO，CO，并延長交對(duì)邊于A1，B1，C1，則eq\f(OA1,AA1)＋eq\f(OB1,BB1)＋eq\f(OC1,CC1)＝1，類比猜想：點(diǎn)O是空間四面體VBCD內(nèi)的隨意一點(diǎn)，如圖(2)所示，連接VO，BO，CO，DO并延長分別交面BCD，VCD，VBD，VBC于點(diǎn)V1，B1，C1，D1，則有________．(1)eq\r(20,b41b42b43…b60)＝eq\r(100,b1b2b3…b100)(2)eq\f(OV1,VV1)＋eq\f(OB1,BB1)＋eq\f(OC1,CC1)＋eq\f(OD1,DD1)＝1[(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)知，eq\f(a41＋a42＋…＋a60,20)＝eq\f(10a41＋a60,20)＝eq\f(a1＋a100,2)，eq\f(a1＋a2＋…＋a100,100)＝eq\f(50a1＋a100,100)＝eq\f(a1＋a100,2)，所以eq\f(a41＋a42＋…＋a60,20)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a100,100).在正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}中，類似的有：eq\r(20,b41b42b43…b60)＝eq\r(20,b41b6010)＝eq\r(20,b1b10010)＝eq\r(b1b100)，eq\r(100,b1b2b3…b100)＝eq\r(100,b1b10050)＝eq\r(b1b100)，所以eq\r(20,b41b42b43…b60)＝eq\r(100,b1b2b3…b100)，所以在正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}中，類似的結(jié)論為eq\r(20,b41b42b43…b60)＝eq\r(100,b1b2b3…b100).(2)利用類比推理，猜想應(yīng)有eq\f(OV1,VV1)＋eq\f(OB1,BB1)＋eq\f(OC1,CC1)＋eq\f(OD1,DD1)＝1.用“體積法”證明如下：eq\f(OV1,VV1)＋eq\f(OB1,BB1)＋eq\f(OC1,CC1)＋eq\f(OD1,DD1)＝eq\f(VO-BCD,VV-BCD)＋eq\f(VO-VCD,VB-VCD)＋eq\f(VO-VBD,VC-VBD)＋eq\f(VO-VBC,VD-VBC)＝eq\f(VV-BCD,VV-BCD)＝1.]推理在生活中的應(yīng)用【例4】(1)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參與競賽，只有其中三位獲獎(jiǎng)．甲說：“乙或丙未獲獎(jiǎng)”；乙說：“甲、丙都獲獎(jiǎng)”；丙說：“我未獲獎(jiǎng)”；丁說：“乙獲獎(jiǎng)”．四位同學(xué)的話恰有兩句是對(duì)的，則()A．甲和乙不行能同時(shí)獲獎(jiǎng)B．丙和丁不行能同時(shí)獲獎(jiǎng)C．乙和丁不行能同時(shí)獲獎(jiǎng)D．丁和甲不行能同時(shí)獲獎(jiǎng)(2)(2024·鄭州模擬)甲、乙、丙三位同學(xué)，其中一位是班長，一位是體育委員，一位是學(xué)習(xí)委員，已知丙比學(xué)習(xí)委員的年齡大，甲與體育委員的年齡不同，體育委員比乙的年齡小，據(jù)此推斷班長是________．(1)C(2)乙[(1)若甲未獲獎(jiǎng)，則乙、丙、丁三位同學(xué)獲獎(jiǎng)，此時(shí)甲、乙、丙說的都錯(cuò)了，與題設(shè)沖突，所以甲肯定獲獎(jiǎng)了；若丙未獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丁三位同學(xué)獲獎(jiǎng)，此時(shí)甲、丙、丁說的都對(duì)，與題設(shè)沖突，所以丙也肯定獲獎(jiǎng)了，由此可知乙、丁只有一個(gè)獲獎(jiǎng)，不行能同時(shí)獲獎(jiǎng)，故選C.(2)若甲是班長，由于體育委員比乙的年齡小，故丙是體育委員，乙是學(xué)習(xí)委員，但這與丙比學(xué)習(xí)委員的年齡大沖突，故甲不是班長；若丙是班長，由于體育委員比乙的年齡小，故甲是體育委員，這和甲與體育委員的年齡不同沖突，故丙不是班長；若乙是班長，由于甲與體育委員的年齡不同，故甲是學(xué)習(xí)委員，丙是體育委員，此時(shí)其他條件均成立，故乙是班長．][規(guī)律方法]該類問題求解時(shí)，須要對(duì)題設(shè)條件仔細(xì)分析，常從某一條件動(dòng)身，在推理中假如推出沖突，則將其否定，假如沒有推出沖突，則說明其為正確的，從而得出結(jié)論．甲、乙、丙三人各從圖書館借來一本書，他們約定讀完后相互交換．三人都讀完了這三本書之后，甲說：“我最終讀的書與丙讀的其次本書相同．”乙說：“我讀的其次本書與甲讀的第一本書相同．”依據(jù)以上說法，推斷乙讀的最終一本書是________讀的第一本書．丙[因?yàn)楣灿腥緯?，而乙讀的第一本書與其次本書已經(jīng)明確，只有丙讀的第一本書乙還沒有讀，所以乙讀的最終一本書是丙讀的第一本書．]1．(2024·全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成果．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成果，給乙看丙的成果，給丁看甲的成果．看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成果．依據(jù)以上信息，則()A．乙可以知道四人的成果B．丁可以知道四人的成果C．乙、丁可以知道對(duì)方的成果D．乙、丁可以知道自己的成果D[由甲說