新課標2024高考數(shù)學大一輪復習第八章立體幾何題組層級快練50空間點線面的位置關系文含解析

PAGEPAGE7題組層級快練(五十)1．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關系是()A．b?α B．b∥αC．b?α或b∥α D．b與α相交或b?α或b∥α答案D解析b與α相交或b?α或b∥α都可以．2．(2015·廣東，文)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交答案D解析可用反證法．假設l與l1，l2都不相交，因為l與l1都在平面α內(nèi)，于是l∥l1，同理l∥l2，于是l1∥l2，與已知沖突，故l至少與l1，l2中的一條相交．3．若P是兩條異面直線l，m外的隨意一點，則()A．過點P有且僅有一條直線與l，m都平行B．過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直C．過點P有且僅有一條直線與l，m都相交D．過點P有且僅有一條直線與l，m都異面答案B解析對于選項A，若過點P有直線n與l，m都平行，則l∥m，這與l，m異面沖突；對于選項B，過點P與l，m都垂直的直線，即過P且與l，m的公垂線段平行的那一條直線；對于選項C，過點P與l，m都相交的直線有一條或零條；對于選項D，過點P與l，m都異面的直線可能有多數(shù)條．4．如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確是()A．A，M，O三點共線 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面答案A解析連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四點共面，∴A1C?平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．∴A，M，O三點共線．5．下列各圖是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的圖形是()答案D解析①在A中易證PS∥QR，∴P，Q，R，S四點共面．②在C中易證PQ∥SR，∴P，Q，R，S四點共面．③在D中，∵QR?平面ABC，PS∩面ABC＝P且P?QR，∴直線PS與QR為異面直線．∴P，Q，R，S四點不共面．④在B中P，Q，R，S四點共面，證明如下：取BC中點N，可證PS，NR交于直線B1C1上一點，∴P，N，R，S四點共面，設為α.可證PS∥QN，∴P，Q，N，S四點共面，設為β.∵α，β都經(jīng)過P，N，S三點，∴α與β重合，∴P，Q，R，S四點共面．6．(2024·江西景德鎮(zhèn)模擬)將圖①中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖②)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關系是()A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．異面且垂直 D．異面但不垂直答案C解析在題圖①中，AD⊥BC，故在題圖②中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因為BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC?平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD與BC異面，故選C.7．空間不共面的四點到某平面的距離相等，則這樣的平面的個數(shù)為()A．1 B．4C．7 D．8答案C解析當空間四點不共面時，則四點構(gòu)成一個三棱錐，如圖．①當平面一側(cè)有一點，另一側(cè)有三點時，令截面與四個面之一平行時，滿意條件的平面有4個；②當平面一側(cè)有兩點，另一側(cè)有兩點時，滿意條件的平面有3個，所以滿意條件的平面共有7個．8．(2024·湖北孝感八校聯(lián)考)已知平面α及直線a，b，則下列說法正確的是()A．若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線平行B．若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線不行能垂直C．若直線a，b平行，則這兩條直線中至少有一條與平面α平行D．若直線a，b垂直，則這兩條直線與平面α不行能都垂直答案D解析對于A，若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線平行、相交或異面，故A錯誤；對于B，若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線可能垂直，如圖，直角三角形ACB的直角頂點C在平面α內(nèi)，邊AC，BC可以與平面α都成30°角，故B錯誤；C明顯錯誤；對于D，假設直線a，b與平面α都垂直，則直線a，b平行，與已知沖突，則假設不成立，故D正確．故選D.9．(2024·廣東茂名聯(lián)考)一正方體的平面綻開圖如圖所示，在這個正方體中，有下列四個命題：①AF⊥GC；②BD與GC成異面直線且夾角為60°；③BD∥MN；④BG與平面ABCD所成的角為45°.其中正確的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析將平面綻開圖還原成正方體(如圖所示)．對于①，由圖形知AF與GC異面垂直，故①正確；對于②，BD與GC明顯成異面直線．如圖，連接EB，ED，則BM∥GC，所以∠MBD即為異面直線BD與GC所成的角(或其補角)．在等邊△BDM中，∠MBD＝60°，所以異面直線BD與GC所成的角為60°，故②正確；對于③，BD與MN為異面垂直，故③錯誤；對于④，由題意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG與平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④錯誤．綜上可得①②正確．10．(2024·內(nèi)蒙古包頭模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是()A．(0，eq\f(π,2)) B．(0，eq\f(π,2)]C．[0，eq\f(π,3)] D．(0，eq\f(π,3)]答案D解析當P與D1重合，CP∥BA1，所成角為0°；當P與A點重合，CA∥A1C1，連BC1，△A1BC1為正三角形，所成角為60°，又由于異面直線所成角為(0°，90°]，所以選D.11．如圖所示，M是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中點，給出下列四個命題：①過M點有且只有一條直線與直線AB，B1C1都相交；②過M點有且只有一條直線與直線AB，B1C1都垂直；③過M點有且只有一個平面與直線AB，B1C1都相交；④過M點有且只有一個平面與直線AB，B1C1都平行．其中真命題是()A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③答案C解析將過點M的平面CDD1C1繞直線DD1旋轉(zhuǎn)隨意不等于eq\f(kπ,2)(k∈Z)的角度，所得的平面與直線AB，B1C1都相交，故③錯誤，解除A，B，D，選C.12．(2024·江西高安段考)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形，AA1＝eq\r(2)，則異面直線A1B1與BD1所成角的大小為________．答案60°解析∵A1B1∥AB，∴∠ABD1為異面直線A1B1與BD1所成的角，連接AD1，則在Rt△ABD1中，AB＝1，易得AD1＝eq\r(3)，∴tan∠ABD1＝eq\f(AD1,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD1＝60°.13．(2024·江西蓮塘一中、臨川二中聯(lián)考)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截正方體所得的截面為S，當CQ＝1時，S的面積為________．答案eq\f(\r(6),2)解析當CQ＝1時，Q與C1重合．如圖，取A1D1，AD的中點分別為F，G.連接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F為A1D1的中點，P為BC的中點，G為AD的中點，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝eq\f(\r(5),2)，PG綊CD，AF綊D1G.由題意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四邊形C1D1GP為平行四邊形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F(xiàn)四點共面，∴四邊形APC1F為菱形．∵AC1＝eq\r(3)，PF＝eq\r(2)，過點A，P，Q的平面截正方體所得的截面S為菱形APC1F，∴其面積為eq\f(1,2)AC1·PF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).14．有下列四個命題：①若△ABC在平面α外，它的三條邊所在的直線分別交平面α于P，Q，R，則P，Q，R三點共線；②若三條直線a，b，c相互平行且分別交直線l于A，B，C三點，則這四條直線共面；③空間中不共面的五個點肯定能確定10個平面；④若a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的全部直線與a異面．其中正確命題的序號是________．答案①②解析在①中，因為P，Q，R三點既在平面ABC上，又在平面α上，所以這三點必在平面ABC與平面α的交線上，即P，Q，R三點共線，所以①正確．在②中，因為a∥b，所以a與b確定一個平面α，而l上有A，B兩點在該平面上，所以l?α，即a，b，l三線共面于α；同理a，c，l三線也共面，不妨設為β，而α，β有兩條公共的直線a，l，所以α與β重合，即這些直線共面，所以②正確．在③中，不妨設其中有四點共面，則它們最多只能確定7個平面，所以③錯．在④中，由題設知，a與α相交，設a∩α＝P，如圖，在α內(nèi)過點P的直線l與a共面，所以④錯．15.如圖所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E