高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)教師用書第二章基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

弟4D￡E一-----早-TS-

DIERZHANG

基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第1課時(shí)函數(shù)及其表示

基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)航重溫教材掃清盲點(diǎn)

1.函數(shù)與映射

函數(shù)映射

兩集合

設(shè)A,B是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A,B是兩個(gè)非空集合

A、B

如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)

對(duì)應(yīng)關(guān)系系f,使對(duì)于集合A中的任意系于,使對(duì)于集合A中的任意

/：Ai一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一個(gè)元素x,在集合B中都有

一確定的數(shù)人口和它對(duì)應(yīng)唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)

稱f：4fB為從集合A到集稱對(duì)應(yīng)為從集合A

名稱

合B的一個(gè)函數(shù)到集合B的一個(gè)映射

記法尸危)(舊)對(duì)應(yīng)A-8是一個(gè)映射

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)中，其中所有x組成的集合4稱為函數(shù)y=/>)的定義域；將

所有y組成的集合叫做函數(shù)丫=")的值域.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.

(3)函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表

示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的丑集，其值域等于各段函數(shù)的值域的注

集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

4.常見函數(shù)定義域的求法

類型X滿足的條件

2你X)，〃￡N*玲)訓(xùn)

白與加:)]。

於)W0

於)

log扒x)(a>0,aWl)血)>0

iog/u)ga)?>0,且火X)W1,g(x)>0

,兀

tan於)kQZ

5.判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“y”，錯(cuò)誤的打“x”)

(1)對(duì)于函數(shù)人A-8,其值域是集合R(X)

(2)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù).(X)

(3)映射是特殊的函數(shù).(X)

(4)gA=R,B={%k>0},/：x-y=|x|,其對(duì)應(yīng)是從A到B的映射.(X)

⑸分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的.(X)

(6)函數(shù)是建立在其定義域到值域的映射.(J)

(7)函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=a最多有2個(gè)交點(diǎn).(X)

(8)函數(shù)八x)=K—與g(f)=d—2f是同一函數(shù).(J)

(9)分段函數(shù)的定義域等于各段定義域的并集，值域等于各段值域的并集.(J)

(1。》=弋=g=也三，其定義域?yàn)?>+°°)(X)

y/x—l

|考點(diǎn)典例領(lǐng)航核心考點(diǎn)深化突破

考點(diǎn)一求函數(shù)的定義域

1.已知函數(shù)具體解析式求定義域

命題點(diǎn)2.求抽象函數(shù)的定義域

3.已知函數(shù)定義域求參數(shù)

例1](1)(2017?山東淄博模擬涵數(shù)段)=下=+lg(3x+l)的定義域是()

N1—X

A.(T+8)41)

r

D.—0°,

“一x>0,i

解析：要使函數(shù)有意義，需滿足彳?解得一wVxVl.

l3x+l>0.°

答案：B

(2)若函數(shù)y=/(x)的定義域是0,2],則函數(shù)g(x)=譽(yù)的定義域?yàn)?

(x-1W0,

解析：由彳)一解得OWxVl,即函數(shù)定義域是0,1).

[0W2xW2,

答案：0.1)

UO.T+2ar—a_i

(3)(2016?安徽合肥模擬)若函數(shù)/(%)=-的定義域?yàn)镽,則a的取值

范圍為?

2

解析：由題意可得2工+勿La-l》0對(duì)XCR恒成立.

.,.A：2+2ax—恒成立

.,.J=4a2+4a^0,得一IWaWO.

答案：一1,0]

[方法引航]簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的類型及求法

(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解.

(2)抽象函數(shù)的定義域應(yīng)注意：

①無論是已知定義域還是求定義域，均是指其中的自變量x的取值集合；

②對(duì)應(yīng)/下的范圍要一致.

(3)已知定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化，列出含參數(shù)的不等式(組)，進(jìn)而求范圍.

跟蹤巡航強(qiáng)化訓(xùn)練提升考能

111(%+1)

1.函數(shù)y=?的定義域?yàn)?/p>

yj—%2—3x+4

x+l>0

解析：由得一1?1.

一%2—3X+4>0

答案：(-1,1)

2.已知函數(shù)兀0的定義域是0,2],則函數(shù)&(?=/+，+。一3的定義域是

解析：因?yàn)楹瘮?shù)兀0的定義域是0,2],

0W%+/W2,

所以函數(shù)g(x)=j[x+^+中的自變量x需滿足q

OW%一]W2,

13

解得：

所以函數(shù)g(x)的定義域是I1]?

3.若函數(shù)?r)="r2+“x+i的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

A.(-2,2)

B.(―0°,—2)U(2,+°0)

C.(一8,—2]U2,+°°)

D.-2,2]

解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽等價(jià)于對(duì)VxCR,2+依+1。0,令人x)=.r2+ax+1,結(jié)

合二次函數(shù)的圖象(圖略)，只需/=q2—4W0即可，解得實(shí)數(shù)0的取值范圍為-2,2],

故選D.

答案：D

考點(diǎn)二求函數(shù)解析式

1.用待定系數(shù)法求解析式

2用.換元法求解析式

命題點(diǎn)

3.用方程組消元法求解析式

4.用轉(zhuǎn)化法求解析式

例2](1)已知1x)是二次函數(shù)且10)=2,ycx+i)-/u)=x—i,求y(x)的解析式.

解析：設(shè)火x)=ax2+bx+c(aW0),由火0)=2,得c=2,

/(x+1)-y(x)=a(%+1)2+Z7(x+1)-ax2-bx=x-1,即2ax+a+Z?=x-1,

2a=1,

，危)=齊一

a-\-b=—1,

答案：段)=$2—1r+2

⑵已知加一cosx)=sin2%,求人%)的解析式.

角星析：y(l—cosx)=sin2x=1—cos2x,

令/=1—cosx,則cos%=l—/，/G0,2],

??次)=1一(1一。2=2i,0,2],

即人%)=2%一必，x￡0,2].

答案：火%)=2%—A2,%￡0,2]

(3)已知ft,x)+2/g)=x(xW0),求及0的解析式.

解析：..7U)+%：)=x,+紈x)=3

段)+/￡|=羽

解方程組J

抬+2段)=>

2x

得70)=久一］。￥。).

2X

答案：於)=冥一1(xW0)

(4)定義在R上的函數(shù)y(x)滿足yu+l)=紈X).若當(dāng)OWxWl時(shí)，火x)=Ml—X),貝|J

當(dāng)一1WxWO時(shí)，fl,x)=.

解析：設(shè)一IWxWO,則OWx+lWl,所以|x+l)=(x+l)l—(x+l)］=-x(x+l).又

?於+1)x(x+1)

因b為?r+l)=紈%),所以兀0=2=_2.

免安x(x+l)

^■2

方法引航］函數(shù)解析式的求法

(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法；

(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)1g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范

圍；

(X)

(3)消去法：已知外)與/'或式一%)之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另

外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出段).

(4)轉(zhuǎn)化法：已知某區(qū)間上的解析式，求其他區(qū)間上的解析式，將待求變量轉(zhuǎn)化到已

知區(qū)間上，利用函數(shù)滿足的等量關(guān)系間接獲得其解析式.

跟蹤巡航強(qiáng)化訓(xùn)練提升考能

1.若函數(shù)y=?r)為一次函數(shù)且A/(x))=4x+3,則火工)=.

解析：設(shè)危)=〃%+僅aWO),

?9?flfix))=af(x)+b=a(ax~\~b)~\-b=c^x~\~ab+b.

??a2%+ab+〃=4x+3.

J〃2=4,Ja=2,Ja=-2,

*l?Z?+Z?=3,*或1b=-3.

???兀0=2尤+1或?￥）=—2%一3.

答案：2x+l或一2%—3

2.已知/（工+0"+土，求危）的解析式.

解：由于。+；）=x2+E=（x+02—2,

所以八1）=%2—2,%22或％《-2,故八%）的解析式是於）=d一2（x22或xW—2）.

3.已知函數(shù)式X）滿足條件：身㈤一〃：一%）=2x,則於）=.

解析：???4＞）一3八一x）=2x,①

2/（—X）—3/（x）=-2%.②

①+②，得一/（%）一/（-%）=0,

.??科）+3於）=2招

.2

?優(yōu)工）-5%

2

答案：jx

考點(diǎn)三分段函數(shù)及應(yīng)用

1.求分段函數(shù)的函數(shù)值

命題點(diǎn)2.求分段函數(shù)的方程

3.求分段函數(shù)的不等式

/一%—1(—1W%VO),

例3]已知函數(shù)?r)=則"X)—/(一%)>—1的解集為(

A.(-8,-1)U(1,+oo)-^U(O,1]

C.(-8,O)u(l,+co)D.1-1,-1]u(O,l)

解析：①當(dāng)一lWx<0時(shí)，0<-xWl,

此時(shí)兀r)=-x-1,火-x)=-(-x)+1=x~\~1,

.9.fix)—1化為-2%—2〉—1,

解得％V—3,則一IWXV—/

②當(dāng)OVxWl時(shí)，一1W-XVO,

此時(shí)，fix)=-x+i,y(_%)=_(-%)_]=%-i,

—1化為一2x+2〉—1,

3

解得％V],則OVxWl.

故所求不等式的解集為[—1,—￡ju(o,i].

答案：B

方法引航]分段函數(shù)的求法

(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段

的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)用3))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求

出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的

取值范圍.

變式巡航強(qiáng)化訓(xùn)練提升考能

1.若本例中函數(shù)外)不變，求用)十次一圳的值.

解：XD=-1+1=O,(_|)=_(_習(xí)_1=_；

4O]=

,川)+h-川=0-

2.若本例中兀0不變，求實(shí)數(shù)。，使人。)=。

解：當(dāng)OVaWl時(shí)，/?)=-?+1

，一G+1=O,即4=3.當(dāng)一1W〃VO時(shí)，y(a)=-。一l=a..、G=-3.綜上：。=±；.

3.若本例中?r)不變，解不等式—1.

解：當(dāng)一1W%VO時(shí)，一%—12—1,.?.xWO

-1WxVO

當(dāng)OVxWl時(shí)，一%+12—1,.,.xW2,.?.OVxWl.

綜上不等式解集為一1,0)U(0,1].

智能提升返航特色展示體驗(yàn)高考

思想方法］

分類討論思想解決分段函數(shù)問題——形分而神不分

解決分段函數(shù)問題的基本思想是“分段歸類”，即自變量在哪一段就充分利用這一

段的函數(shù)解析式來分析解決問題.既要緊扣“分段”特征，又要將各段有機(jī)聯(lián)系使

之整體化、系統(tǒng)化.

2*—8。％+3,%<1,

典例］(2017?福建福州一模)函數(shù)兀i)=在％WR內(nèi)單調(diào)遞

logaX,了21

減，則a的范圍是(

A(0,1B.[i1

15'D.《，1

Cr8.

解析］要求此函數(shù)的兩段均為減函數(shù),并且％=1時(shí)第一段的函數(shù)值在第二段的上

方或者相等，即

’2心1,a^^5，

0<a<l,解得§o<a<i,故Twawj.

8a+321ogJ,

答案］c

回顧反思］此題易忽略“2—8a+33logJ”，不能從整體上把握分段函數(shù)為減函

數(shù)的概念，即“神不分”.

高考真題體驗(yàn)］

1.(2016?高考全國(guó)甲卷)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y=10ig''的定義域

和值域相同的是()

A.y=xB.y=lgx

C-尸D.尸左

解析：選D.函數(shù)y=l()igx的定義域、值域均為(0,+°°),而y=x,y=2"的定義域

均為R,排除A,C;y=lg%的值域?yàn)镽,排除B,函數(shù)y=七的定義域、值域均

為(0,+8).故選D.

(x—d)2,%W0,

2.(2014.高考上海卷)設(shè)?r)=J?八若火0)是兀i)的最小值，則a的取

尤十一十。，x>0.

值范圍為()

A.-1,2]B.-1,0]

C.1,2]D.0,2]

解析：選D.:當(dāng)％W0時(shí)，於:)=(%—4)2,又大0)是於:)的最小值，???a20.當(dāng)尤>0時(shí)，

/>)=x+:+a》2+a,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取.要滿足犬0)是兀r)的最小值，需2

+〃2火0)=層，即〃2—a—2W0,

解得一1WaW2,

：.a的取值范圍是0W〃W2.

3.(2016.高考江蘇卷涵數(shù)y=、3—2x—N的定義域是.

解析：要使函數(shù)〉，=y3—2工一:(2有意義,則3一左一心》0,解得一3<xWl,則函數(shù)

丫=產(chǎn)五三？的定義域是一3」].

答案：一3,1]

4.(2016.高考江蘇卷)設(shè)火x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間一1,1)上，|x)

%+〃，一IWXVO,

=-12Iy.其中OCR若/—1)=/倒，則犬5a)的值是________.

寫一九，OKI,、々p

解析：由題意可得(—|)=,_；)=_3+。，

其=用=||—曰=志，則—舁〃==，Q=/故人5。)=/(3)=/<-1)=_1+|=_

2

5-

答案：T2

5.(2016?高考浙江卷)設(shè)函數(shù)段)=爐+3/+1.已知〃W0,且於)一AQ)=Q—b)(x—

〃)2,%￡R,則實(shí)數(shù)〃=,b=.

2223

解析：因?yàn)殪?一/(。)=%3+3%2—3層，(x—/?)(%—a)=(x—Z?)(x—2ax~\~a)=%—

'3=—2a—b

(2?++(a2+2ab)x—c^b,所以<層+2〃。=0,解得a=—2,b=l.

、一〃3—3層=一岸b

答案：一21

[x2+（4tz—3）尤+3。，％VO,

6.（2016?高考天津卷）已知函數(shù)?八?1、八（。>0,且〃W1）

[loga（x十1）+1,

X

在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程代x）|=2—學(xué)合有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取

值范圍是.

解析：先根據(jù)函數(shù)“x）的單調(diào)性確定a的一個(gè)取值范圍，作出函數(shù)y=|/（x）|,y=2—

Y

,的圖象，觀察圖象確定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求出。的取值范圍.

因?yàn)楹瘮?shù)人x）在R上單調(diào)遞減，

，02+（4a-3）-0+3a^X0）,

3—13

所以1二一4Q2仇解得產(chǎn)

、OV〃V1.

x

作出函數(shù)》=次次）|,y=2—Q的圖象如圖.

Y

由圖象可知，在0,+8）上，段）|=2—5有且僅有一個(gè)解；在（一8,0）上區(qū)初=2

r212

一1同樣有且僅有一個(gè)解，所以3〃V2,即綜上可得1WaV],

所以a的取值范圍是

12'

答案:yI

課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練

A組基礎(chǔ)演練

1.函數(shù)?X）=10g2（X+l）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0,+°°）B.—1,+°0）

C.（-1,+8）D.（1,+8）

解析：選C由％+1>0知%>—1,故選C

2.?r）與g（%）表示同一函數(shù)的是（）

A.yU)=d12-]與g(x)=y/x_17x+l

x^~\~x

B.火元)=%與8(%)=京百

C.y=%與y=3)2

D.人與g(x)=g

解析：選B.選項(xiàng)A,C中的函數(shù)定義域不同，選項(xiàng)D的函數(shù)解析式不同，只有選項(xiàng)

B中的函數(shù)表示同一函數(shù).

J/+1,々WO,

3.若函數(shù)於)="og—">?！瘎t歡2))=()

A.-1B.2

C.1D.0

解析：選B.由已知條件可知，旭)=k>g—2=—1,所以膽2))=八-1)=(一1尸+1=

2,故選B.

11—yjx%20,

4.設(shè)、〔f八則也一2))=()

[2”,x<0,

A.—1B.；

C.^D.|

解析：選C.由八-2)=2-2=/

.?.歡-2))=0=1—情

figx,0<x<l,

5.若點(diǎn)A(a,—1)在函數(shù)、的圖象上，則。=()

h/尤，rx^i

A.1B.10

C.yfwD.自

解析：選D.當(dāng)了21時(shí)，y=y[x^lf因此點(diǎn)A(〃，-1)在函數(shù)y=lgx(0V%V1)的圖

象上，故一l=lga,〃=自.

6.函數(shù)y=?r)的定義域?yàn)橐?,5],在同一坐標(biāo)系下，,=火龍)與直線尤=1的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)是.

解析：由函數(shù)定義的唯一性及九￡—1,5],知函數(shù)?x)與％=1只有唯一一個(gè)交點(diǎn).

答案：1

figx,x>0

7.若函數(shù)y?=，則歡—99))=________.

11—x,xWO

解析：/-99)=1+99=100,所以歡—99))=八100)=坨100=2.

答案：2

8.函數(shù)丫=應(yīng)工)的定義域?yàn)橐?,4],則函數(shù)g(x)=/(x)+A-x)的定義域?yàn)?

解析：由題意知｛一二解得一2(尤<2.

〔一2WrW4,

答案：—2,2]

[%—1,%>0,

9.已知"r)=%2_i,g(x)=\

JC9

⑴求他⑵)和g(/(2))的值;

⑵求八g(x))的解析式.

解：(1)由已知,g(2)=l,犬2)=3,

.??Ng(2))=/U)=0,g(/(2))=g(3)=2.

(2)當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=x-\,

故火g(x))=(X-])2_]=/_2x；

當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=2-x,

故fig(x))=(2—x)2—1=%2—4x+3;

[x2~2x,%>0,

?5g(x))=24…

[x1—4x+3,x<0.

10.行駛中的汽車在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這

段距離叫作剎車距離.在某種路面上，某種型號(hào)汽車的剎車距離y(米)與汽車的車速

x(千米/時(shí))滿足下列關(guān)系：>=走+沖;+"(a，"是常數(shù)).

如圖是根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制的剎車距離y(米)與汽車的車速x(千米/時(shí))的關(guān)系圖.

(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如果要求剎車距離不超過25.2米，求行駛的最大速度.

f402

^^+40m+〃=8.4

解：（1）由題意及函數(shù)圖象，得<

[^^+60m+〃=18.6

解得根=擊，〃=0,

12x

所以>=加+而（X》°）?

Y2Y

（2）令麗+加W25.2,

得一72WxW70.

"x^O,.,.0^x^70.

故行駛的最大速度是70千米/時(shí).

B組能力突破

1.已知函數(shù)?r）滿足粉=log2孚，則“X）的解析式是（）

A.#X）=log2XB.log2X

c.段）=2"D.fi,x）=x~2

解析：選B.根據(jù)題意知X>0,所以yQ：=）log2X,則yu）=log2：=-10g2X.

%2-1_1,%Q

,'，若用（a））W2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-

{—x2,GO

[X〃）VO,優(yōu)a）20,

解析：由題意得或解得人a）2—2.

1/（?）+火。）小2I一產(chǎn)伍）W2,

JaVO,J〃20,

由ia2+a》-2或1―。2》一2,

解得aWp.

答案：(—8,^2]

3.已知函數(shù)40=5叫^(x)=ax2—x(?R).若%(1)]=1,貝!]。=()

A.1B.2

C.3D.-1

解析：選人二陽(yáng)工尸這2—冗，，g(l)=。-L

??①)=5叫

：.fig(l))=Aa-l)=5|fl-1|=1,.\|a-l|=0,：.a=l.

4.具有性質(zhì):,我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù).下列函數(shù):

x,0<%<1,

?y=x—^；②尸%+*③尸v0,%=1,

—x>l.

x

其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是,

T

解析：對(duì)于①，7U）=x-：,—%=-/（無）,滿足題意；對(duì)于②,

、蘢

人犬）￡一於），不滿足題意；對(duì)于③,

ri1

x0<-x<1,

fX>1,

Tx'

=5o,-=1,即

X0,x=lf

、一羽0<x<1.

-X,->1,

Lx

故—/（不）,滿足題意.

答案：①③

九2

5.已知函數(shù)火龍）=］十.

（1）求人刈+公:）的值;

(2)計(jì)算：AD+X2)+X3)+A4)+/(1}+{11}+

A)'

d/I1+3

解:..11+尤21+/1+12?

1+9

TT7

（2）原式=犬1）+伏2）土A3)+

A2-

第2課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性與最值

基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)航重溫教材掃清盲點(diǎn)

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。

上的任意兩個(gè)自變量XI,X2

定義當(dāng)X1<X2時(shí)，都有心1)<X3,當(dāng)X1<X2時(shí)，都有心1)>心2),那

那么就說函數(shù)在區(qū)間。上么就說函數(shù)八x)在區(qū)間D上是減函

是增函數(shù)數(shù)

y

於2)/

勺

圖象描述

0X\2X

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)v=/U)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)

格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)兀0的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

(1)對(duì)于任意xd/,都有(3)對(duì)于任意xd/,都有色且空

條件

(2)存在使得"o)=M(4)存在如￡/,使得心o)=M

結(jié)論M為最大值M為最小值

3.判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,o)U(O,+°°).(X)

(2)相同單調(diào)性函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)還具有相同的單調(diào)性.(X)

(3)若定義在R上的函數(shù)為0,有人一1)<八3),則函數(shù)/(x)在R上為增函數(shù).(X)

(4)函數(shù)y=*x)在1,+8)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1,+°°).(X)

(5)如果一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)在定義域上

是增函數(shù).(X)

(6)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.(X)

（7）對(duì)于函數(shù)?r）,x^D,若％i,X2^D,且（為一%2成為）一八12）]>0,則函數(shù)?x）在O

上是增函數(shù).（J）

（8）函數(shù)y=|x|是R上的增函數(shù).（義）

（9）函數(shù)於）=log5（2x+l）的單調(diào)增區(qū)間是（0,+8）.（X）

1—九2

（10）函數(shù)》=不彳的最大值為L(zhǎng)（J）

考點(diǎn)典例領(lǐng)航核心考點(diǎn)深化突破

考點(diǎn)一求函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）

…11.求具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）

命題點(diǎn)

2.求解析式含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）

例1]（1）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上為增函數(shù)的是（）

A.丁=4+1B.y=（xT）2

C.y=2~xD.y=logo,5（^+l）

解析：利用函數(shù)的單調(diào)性或函數(shù)的圖象逐項(xiàng)驗(yàn)證.A項(xiàng)，函數(shù)y=N幣在-1,十

8）上為增函數(shù)，所以函數(shù)在（0,+8）上為增函數(shù)，故A正確；B項(xiàng)，函數(shù)>=（%—

1）2在（-8,1）上為減函數(shù)，在1,+8）上為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，函數(shù)y=2

r=O在R上為減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，函數(shù)y=logo.5（x+l）在（-1,十8）上

為減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

答案：A

（2）函數(shù)於）=坨好的單調(diào)遞減區(qū)間是.

解析：函數(shù)?r）是定義域?yàn)椋鸕xWO｝的偶函數(shù)，且火x）=lg%2=1函

[2\g（—x）,x<0.

數(shù)大致圖象如圖所示，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,0）.

⑶判斷并證明函數(shù)兀0=法（其中。>0）在%￡（—□）上的單調(diào)性.

解：法一：（定義法）設(shè)一1<%1<尤2<1，

貝加2）==r/

〃%應(yīng)一的一0X2%3+〃尤2

（X?-1）（%?—1）

〃⑴一%1）（%1%2+1）

（x?T）（超-1）?

V-l<Xl<X2<b

.*.X2~X\>0,即％2+1>0，（"—1）（焉—1）>0?

因此當(dāng)。>0時(shí)，/%1）-/%2）>0,

即人為）>火12），所以函數(shù)八工）在（一1,1）上為減函數(shù).

法二：（導(dǎo)數(shù)法）

/4（%2—1）—2〃42—

/（幻=一（/—1）2—（x2-\y-

又a>0,所以/（x）<0,

所以函數(shù)人x）在（一1,1）上為減函數(shù).

方法引航]判斷函數(shù)單調(diào)性的方法

（1）定義法：取值，作差，變形，定號(hào)，下結(jié)論.

（2）利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系：若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為

增函數(shù)，若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡(jiǎn)稱

“同增異減”.

（3）圖象法：從左往右看，圖象逐漸上升，單調(diào)增；圖象逐漸下降，單調(diào)減.

（4）導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性.

跟蹤巡航強(qiáng)化訓(xùn)練提升考能

1.下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是（）

A.y=Q~xB.y=x

C.y=lnxD.y=\x\

解析：選B.因?yàn)槎x域是R,排除C,又是增函數(shù)，排除A、D,所以選B.

2.（2016?安徽合肥檢測(cè)）函數(shù)y=|x|（l—x）在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間4是（）

A.（-8,0）B.[o,

C.0,+°°）D.g,+8）

解析：選B.（數(shù)形結(jié)合法）y=|x|（l-x）

%(1—九)，f-x2+x,%20,

—x(l~x)f%V0［爐一％,x<0

畫出函數(shù)的圖象，如圖所示.

3.已知。>0,函數(shù)火龍)=%+?%>()),證明：函數(shù)八工)在(0,上是減函數(shù)，在或,

+8)上是增函數(shù).

證明：設(shè)11,12是任意兩個(gè)正數(shù)，且0<尤1〈尤2,

則火方)=Ixi+-I-Ix2+-1=——(XlX2-a).

X.人\人2J4?142

當(dāng)0VxiV%2W，Z時(shí)，又為一X2<0,

所以?X1)—/(%2)>0,即?X1)>?X2),

所以函數(shù)y(%)在(0,6］上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，x\X2>af又為一元2<0,

所以火a)—/CM)VO,即/(%i)vy(X2),

所以函數(shù)火工)在g,+8)上是增函數(shù).

考點(diǎn)二利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

1.求單調(diào)函數(shù)的最值

命題點(diǎn)

2.求函數(shù)的值域

例2］(1)函數(shù)兀0=干在1,2］上的最大值和最小值分別是.

2x2(x+l)—224

解析：九%)=幣*=—幣一=2一不臼在1,2］上是增函數(shù)，?\/(%)max=A2)=Q,危)min

=XD=1.

4

答案：丞1

(2)已知函數(shù)式］)=［—:3>0,%>0),若危)在［3，2］上的值域?yàn)槿?1，則G=

解析：由反比例函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)危)=(-：(4>0,%>0)在，，21上單調(diào)遞增,

2

解得。=亍

W2)=2,

2

答案：f

錯(cuò)誤！

(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值;

(5)m>火%)恒成立<=>m>Ax)max;

(6)加〈於)恒成立6m<7(x)min.

跟蹤巡航強(qiáng)化訓(xùn)練提升考能

1.(2017?湖南株洲一模)定義新運(yùn)算十：當(dāng)〃2b時(shí)，a?b=a；當(dāng)aV人時(shí)，

及，則函數(shù)火%)=(1十尤)%—(2十%),工￡—2,2］的最大值等于()

A.-1B.1

C.6D.12

解析：選C.由已知得當(dāng)一2<xWl時(shí)，於)=x-2;

當(dāng)1<XW2時(shí)，X%)=x3-2.

?：fix)=x-1,/Xinjc3—2在定義域內(nèi)都為增函數(shù).

.,.危)的最大值為穴2)=23—2=6.

2.下列四個(gè)函數(shù)：

①y=3-x；②y=*p

—x(%W0),

③y=d+2%一10；④1

--(九>。>

其中值域?yàn)镽的函數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：選B.依題意，注意到y(tǒng)=3-x與函數(shù)

-X(右0),

y=<_1(>0)的值域均是R,函數(shù)+]的值域是(0」],函數(shù)y=/+2x

.X

—10=(x+l)2—11的值域是一11,+°°),因此選B.

考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

1.比較函數(shù)值的大小

命題點(diǎn)2.求字母參數(shù)

3.解不等式

例3](1)已知負(fù)㈤=/—cosx,則式0.6),火0),大一0.5)的大小關(guān)系是()

A./0.6)</0)</-0.5)

B.X0)<A-0.5)<M6)

c.A0.6)<A-0.5)</0)

D.X-0.5)</(0)</(0.6)

解析：—%)=(—x)2—COS(一%)=尤2—COSX=y(X),?\/(X)是偶函數(shù).

.\/-0.5)=/(0.5).

又:/(x)=2x+sinx,當(dāng)x￡(0,l)時(shí)，f(x)>0.

.7Xx)在(0,1)上是增函數(shù)，

???10)中0.5)中0.6),

即犬。)〈八一0.5)<?0.6)?故選B.

答案：B

(2)已知|x)=[Q-滿足對(duì)任意為二及，都有曲上&>0成立,

那么。的取值范圍是.

解析：由已知條件得兀0為增函數(shù)，

,2—。>0

a>\,解得|w0<2,的取值范圍是鳥，2).

、(2—a)義1+1Wa

答案：［不2)

方法引航］(1)利用單調(diào)性比較大小，首先把不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上的變量轉(zhuǎn)化為

同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行比較.

(2)已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值域范圍要注意以下兩點(diǎn)：①若函數(shù)在區(qū)間a,b］

上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；②分段函數(shù)的單調(diào)性，除

注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值.

變式巡航強(qiáng)化訓(xùn)練提升考能

1.若本例⑴中函數(shù)變?yōu)殪?=%—sinx,比較火0.6),fiO),八一0.5)的大小.

解：fix)=^x—sinxf:(x)=^—cosx

TTTT

當(dāng).gVxVg,f(%)VO.

(,JI心

.?.於)在［一)，于上，為減函數(shù)，故有八一0.5)＞火0)＞10.6).

2.在本例(2)中，若大x)不變且ad［|,2).解不等式14a2—2a—5)＜八。+2).

解：由題意可知，當(dāng)2)時(shí)，|x)在R上為增函數(shù).

/.4。2—2G—5Va+2

即4層一3〃一7V0,

???(4〃-7)3+l)V0,

7

37

故1W〃V不

.\/(4次一2〃-5)Vy(〃+2)的解集為

智能提升返航特色展示體驗(yàn)高考

易錯(cuò)警示］

定義域的請(qǐng)求——求函數(shù)單調(diào)區(qū)間先求我

1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須做到“定義域優(yōu)先”

的原則.

典例1］函數(shù)yw=4數(shù)+x—6的單調(diào)增區(qū)間為.

正解］設(shè)〃=/+%—6=口+m2—亨.

令"=/+%—620,得兀r）的定義域?yàn)椋ㄒ?,—3］U2,+°°）,〃=/+x—6=，+3

251

2—彳是對(duì)稱軸為％=—］,開口向上的拋物線，故〃在（一8,—3］上是減函數(shù)，在

2,+8）上是增函數(shù)，而y=,在（0,+8）上是增函數(shù)，所以火工）的單調(diào)減區(qū)間為（一

°°,—3］,單調(diào)增區(qū)間為2,+°°）.

答案］2,+°°）

易誤］解題時(shí)不先求於）的定義域，誤認(rèn)為K=%2+%—6的增區(qū)間就是於）的增區(qū)間.

警示］求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)該先求定義域，在定義域內(nèi)尋找減區(qū)間、增區(qū)間；若

增區(qū)間或減區(qū)間是間斷的，要分開寫，不能用“并集符號(hào)”合并聯(lián)結(jié).

2.利用函數(shù)單調(diào)性解不等式時(shí)也要先求定義域.

典例2］已知，定義在一2,3］上的函數(shù)火元）是減函數(shù)，則滿足?r）〈人2%—3）的工的取

值范圍是.

〃一2WxW3,

—2WXW3,

正解］由題意得｛-2W2x—3《3,即V

、x>2尤一3.

、%V3.

答案］俘3）

易誤］此類不等式，只考慮單調(diào)性直接去掉了'符號(hào)得到一個(gè)不等式，如本題只得

到“x>2x—3”是錯(cuò)誤的沒注意定義域—2,3］.

警示］這類不等式應(yīng)等價(jià)于：?jiǎn)握{(diào)性和定義域構(gòu)成的不等式組.

26'21"函數(shù)存在單得于區(qū)間問題

高考真題體驗(yàn)］

1.（2016?高考北京卷）下列函數(shù)中，在區(qū)間（一1,1）上為減函數(shù)的是（）

A.］——B.y^cosx

C.y=ln(x+l)D.y=2~x

解析：選D.選項(xiàng)A中，—二的圖象是將y=一1的圖象向右平移1個(gè)單

1XX1X

位得到的，故在(一1,1)上為增函數(shù),不符合題意：選項(xiàng)B中，y=cosx在(一

1,0)上為增函數(shù)，在(0,1)上為減函數(shù)，不符合題意；選項(xiàng)C中，y=ln(x+l)的圖象

是將y=lnx的圖象向左平移1個(gè)單位得到的，故y=ln(x+l)在(-1,1)上為增函數(shù),

不符合題意：選項(xiàng)D符合題意.

2.(2015?高考湖南卷)設(shè)函數(shù)/?=ln(l+x)—ln(l—x),則危)是()

A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

解析：選A.函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?一1,1),又/-x)=ln(l—x)—ln(l+x)=-/(x),

為奇函數(shù)，且函數(shù)/>)在(0,1)上是增函數(shù).故選A.

3.(2014.高考湖南卷)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞增的是

()

A.八x)=±B.fix)=x2+l

C.f(x)=x3D./(x)=2r

解析：選A?￥)=J是偶函數(shù)，且在(一8,0)上單調(diào)遞增，A正確；兀0=k2+1是

偶函數(shù)，但在(一8,0)上單調(diào)遞減，B錯(cuò)；/>)=必是奇函數(shù)，C錯(cuò)；y(x)=2r是非

奇非偶函數(shù)，D錯(cuò).故選A.

Y

4.(2016?高考北京卷涵數(shù)於)=』。?2)的最大值為.

解析：法一：???/(x)=Q寺,

時(shí)，/(x)<0恒成立，.?./>)在2,+8)

上單調(diào)遞減,

...段)在2,+8)上的最大值為火2)=2.

Xx-1+1=]+%,

法二：

%—1

???其好的圖象是將y=:的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的.

??)=:在2,+8)上單調(diào)遞減，

???式1）在2,+8）上單調(diào)遞減，故兀r）在2,+8）上的最大值為<2）=2.

法三：由題意可得兀r）=l+不開.

1