高考數(shù)學(xué)典型易錯(cuò)題會(huì)診(上)

高考數(shù)學(xué)

典型易錯(cuò)題會(huì)診

(±)

目錄

考點(diǎn)1集合與簡(jiǎn)易邏輯

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1集合的概念與性質(zhì)

命題角度2集合與不等式

命題角度3集合的應(yīng)用

命題角度4簡(jiǎn)易邏輯

命題角度5充要條件

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1集合的運(yùn)算

預(yù)測(cè)角度2邏輯在集合中的運(yùn)用

預(yù)測(cè)角度3集合的工具性

預(yù)測(cè)角度4真假命題的判斷

預(yù)測(cè)角度5充要條件的應(yīng)用

考點(diǎn)2函數(shù)（一）典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1函數(shù)的定義域和值域

命題角度2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

命題角度3函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用

命題角度4反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1借助函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值或證明不等式

預(yù)測(cè)角度2綜合運(yùn)用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)進(jìn)行命題

預(yù)測(cè)角度3反函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合

考點(diǎn)3函數(shù)（二）

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用

命題角度2指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用

命題角度3函數(shù)的應(yīng)用

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的問題

預(yù)測(cè)角度2三個(gè)“二次”的綜合問題

預(yù)測(cè)角度3含參數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)與不等式的綜合問題

考點(diǎn)4數(shù)列

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1數(shù)列的概念

命題角度2等差數(shù)列

命題角度3等比數(shù)列

命題角度4等差與等比數(shù)列的綜合

命題角度5數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合

命題角度6數(shù)列的應(yīng)用

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1數(shù)列的概念

預(yù)測(cè)角度2等差數(shù)列與等比數(shù)列

預(yù)測(cè)角度3數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和

預(yù)測(cè)角度4遞推數(shù)列與不等式的證明

預(yù)測(cè)角度5有關(guān)數(shù)列的綜合性問題

預(yù)測(cè)角度6數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

預(yù)測(cè)角度7數(shù)列與圖形

考點(diǎn)5三角函數(shù)

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

命題角度2三角函數(shù)的恒等變形

命題角度3三角函數(shù)的綜合應(yīng)用探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

預(yù)測(cè)角度2運(yùn)用三角恒等變形求值

預(yù)測(cè)角度3向量與三角函數(shù)的綜合

考點(diǎn)6平面向量

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1向量及其運(yùn)算

命題角度2平面向量與三角、數(shù)列

命題角度3平面向量與平面解析兒何

命題角度4解斜三角形

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1向量與軌跡、直線、圓錐曲線等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合

預(yù)測(cè)角度2平面向量為背景的綜合題

考點(diǎn)7不等式

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1不等式的概念與性質(zhì)

命題角度2均值不等式的應(yīng)用

命題角度3不等式的證明

命題角度4不等式的解法

命題角度5不等式的綜合應(yīng)用

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1不等式的概念與性質(zhì)

預(yù)測(cè)角度2不等式的解法

預(yù)測(cè)角度3不等式的證明

預(yù)測(cè)角度4不等式的工具性

預(yù)測(cè)角度5不等式的實(shí)際應(yīng)用

考點(diǎn)8直線和圓

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1直線的方程

命題角度2兩直線的位置關(guān)系

命題角度3簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

命題角度4圓的方程

命題角度5直線與圓

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1直線的方程

預(yù)測(cè)角度2兩直線的位置關(guān)系

預(yù)測(cè)角度3線性規(guī)劃

預(yù)測(cè)角度4直線與圓

預(yù)測(cè)角度5有關(guān)圓的綜合問題

考點(diǎn)9圓錐曲線

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1對(duì)橢圓相關(guān)知識(shí)的考查

命題角度2對(duì)雙曲線相關(guān)知識(shí)的考查

命題角度3對(duì)拋物線相關(guān)知識(shí)的考查

命題角度4對(duì)直線與圓錐曲線相關(guān)知識(shí)的考查

命題角度5對(duì)軌跡問題的考查

命題角度6考察圓錐曲線中的定值與最值問題

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1橢圓

預(yù)測(cè)角度2雙曲線

預(yù)測(cè)角度3拋物線

預(yù)測(cè)角度4直線與圓錐曲線

預(yù)測(cè)角度5軌跡問題

預(yù)測(cè)角度6圓錐曲線中的定值與最值問題

考點(diǎn)10空間直線與平面

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1空間直線與平面的位置關(guān)系

命題角度2空間角

命題角度3空間距離

命題角度4簡(jiǎn)單兒何體

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1利用三垂線定理作二面角的平面角

預(yù)測(cè)角度2求點(diǎn)到面的距離

預(yù)測(cè)角度3折疊問題

考點(diǎn)11空間向量

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1求異面直線所成的角

命題角度2求直線與平面所成的角

命題角度3求二面角的大小

命題角度4求距離

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1利用空間向量解立體幾何中的探索問題

預(yù)測(cè)角度2利用空間向量求角和距離

考點(diǎn)12排列、組合、二項(xiàng)式定理典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1正確運(yùn)用兩個(gè)基木原理

命題角度2排列組合

命題角度3二項(xiàng)式定理

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1在等可能性事件的概率中考查排列、組合

預(yù)測(cè)角度2利用二項(xiàng)式定理解決三項(xiàng)以上的展開式問題

預(yù)測(cè)角度3利用二項(xiàng)式定理證明不等式

考點(diǎn)13概率與統(tǒng)計(jì)

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1求某事件的概率

命題角度2離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差

命題角度3統(tǒng)計(jì)探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1與比賽有關(guān)的概率問題

預(yù)測(cè)角度2以概率與統(tǒng)計(jì)為背景的數(shù)列題

預(yù)測(cè)角度3利用期望與方差解決實(shí)際問題

考點(diǎn)14極限

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1數(shù)學(xué)歸納法

命題角度2數(shù)列的極限

命題角度3函數(shù)的極限

命題角度4函數(shù)的連續(xù)性

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用

預(yù)測(cè)角度2數(shù)列的極限

預(yù)測(cè)角度3函數(shù)的極限

預(yù)測(cè)角度4函數(shù)的連續(xù)性

考點(diǎn)15導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

命題角度2導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用

命題角度3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1利用導(dǎo)數(shù)的兒何意義

預(yù)測(cè)角度2利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性

預(yù)測(cè)角度3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最

考點(diǎn)16復(fù)數(shù)

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1復(fù)數(shù)的概念

命題角度2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運(yùn)算

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1復(fù)數(shù)概念的應(yīng)用

預(yù)測(cè)角度2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運(yùn)算

答案與解析

考點(diǎn)-1

集合與簡(jiǎn)易邏輯

集合的概念與性質(zhì)集合與不等式

集合的應(yīng)用簡(jiǎn)易邏輯

充要條件集合的運(yùn)算

邏輯在集合中的運(yùn)用集合的工具性

真假命題的判斷充要條件的應(yīng)用

典型易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1集合的概念與性質(zhì)

1.（典型例題）設(shè)全集U=R，集合M={x|x>l},P=則下列關(guān)系中正確的是（）

A.M=PB.PuM

C.MuPD.GMnP=0

［考場(chǎng)錯(cuò)解］D

［專家把脈］忽視集合P中，X<-1部分.

［對(duì)癥下藥］CVx2>l或x<T.故MuP.

2.（典型例題）設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q={a+b|aeP,beQ},若P{0,2,5）,Q=

{1,2,6},則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是（）

A.9B.8

C.7D.6

［考場(chǎng)錯(cuò)解］AP中元素與Q中元素之和共有9個(gè).

［專家把脈］忽視元素的互異性，即和相等的只能算一個(gè).

［對(duì)癥下藥］BP中元素分別與Q中元素相加和分別為1,2,3,4,6,7,8,11共8個(gè).

3.（典型例題）設(shè)f（n）=2n+l（neN）,P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},記戶={neN|f（n）eP},

Q={neN|f(n)e

則(戶nc、。)u(@ncj)等于()

A.{0,3}B.{1,7}

C.{3,4,5}D.{1,2,6,7)

［考場(chǎng)錯(cuò)解］DPDC'Q={6,7}.Qnc、p={1,2}.故選D.

［專家把脈］未理解集合P的意義.

［對(duì)癥下藥］B'：P={1,3,5}.Q={3,5,7}..n(：出={1}.PfyC.Q={7}.故選B.

4.（典型例題）設(shè)A、B為兩個(gè)集合，下列四個(gè)命題：

①ABo對(duì)任意xwA,有x史B；②ABoADB=0；③AB=AB;④人8。存在會(huì)人，使得x紀(jì)B.其

中真命題的序號(hào)是.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］B,即A不是B的子集，對(duì)于xeA,有x宏B;ADB=0,故①②④正確.

［專家把脈］對(duì)集合的概念理解不清.B,即A不是B的子集，但是A,B可以有公共部分，即存

在xeA,使得xwB.不是對(duì)任意xeA,有x史B,故④正確.“AB”是“任意xeA,有XEB”的必要

非充分條件.②同①.

［對(duì)癥下藥］畫出集合A,B的文氏圖或舉例八={1,2},B={2,3,4},故①、②

圖I-I

均不成立，③A(1,2,3),B={1,2},AAB但BuA,故也錯(cuò).只有④正確，符合集合定義.故填④

5.(典型例題I)設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足AuBuI,則下列各式中錯(cuò)誤的是()

A.(CiA)UB=I

B.(C,A)U(CiB)=I

C.Afi(CiB)=0

D.(GA)n(CB)=GB

［考場(chǎng)錯(cuò)解］因?yàn)榧螦與B的補(bǔ)集的交集為A,B的交集的補(bǔ)集.故選D.

［專家把脈］對(duì)集合A,B,1滿足AuBuI的條件，即集合之間包含關(guān)系理解不清.

［對(duì)癥下藥］如圖是符合題意的韋恩圖.

從圖中可觀察A、C、D均正確，只有B不成立.或運(yùn)用特例法，如人={1,2,3},B={1,2,3.4},1=

{1,2,3,4,5).逐個(gè)檢驗(yàn)只有B錯(cuò)誤.

專家會(huì)診

1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對(duì)于用描述法給出的

集合{x|xeP},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，充

分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合(數(shù)軸，坐標(biāo)系，文氏圖)或特例法解集合與集合的包含關(guān)系以及集合的運(yùn)算問題，直觀地

解決問題.

2.注意空集。的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性，如AaB,則

有A=0或Aw。兩種可能，此時(shí)應(yīng)分類討論.

考場(chǎng)思維訓(xùn)練

1全集U=R,集合M={1,2,3,4},集合N=則Mn(GN)等于()

V2-1J

A.{4}B.{3,4}

C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

答案：B解析：由得N=五}+l,CiN=(dxA6+1卜.Mc(CuN)={3,4}

2設(shè)集合M={x|x=3m+l,mGZ),N=y|y{=3n+2,neZ),若xo^M,y()wN,則x()yo與集合M,N的關(guān)系是

()

A.XOYO^MB.XOYO^MMM

C.xoyo^ND.xoyo^N

答案：C解析：：

X。GMxo=3m+\,yoGNyo=3〃+2,/.x^yo=(3m+1)(3〃+2)=9mn+6m+3〃+2=3(3mn+2m+〃)+2￡N.故選C.

3設(shè)2{x|x4a,aER},N={y|y=3x,x￡R},則()

A.MDN=0B.M=N

C.Mz>ND.MuN

答案：B解析：M二卜Ix=4",Qe/?)=M={xIx>0}={yIy>()}=N.選B

4已知集合A二{0,2,3},B={x|x二ab,a、b《A且aWb},則B的子集的個(gè)數(shù)是()

A.4B.8C.16D.15

答案：解析：?.?8={0,6},它的子集的個(gè)數(shù)為22=4。

5設(shè)集合M={(x,y)|x=(y+3)?y-l|+(y+3),->WyW3},若(a,b)￡M,且對(duì)M中的其他元素(c,

2

d),總有c2a,則a=.

答案：解析：依題可知，本題等價(jià)于求函數(shù)不勝數(shù)x=f(y)=(y+3).|y-l|+(y+3)在時(shí)的最小值.

(1)當(dāng)一1VyVI時(shí),8=(丫+3)(1_丫)+(丫+3)=_丫2_丫_6=_(了+3)2+弓,所以},=_1,時(shí),*111"=:.

1wy3時(shí)

x=(y+3)(y-l)+(y+3)=y2+3y=(y+-|)所以當(dāng))，=1時(shí),小2=4.而4”，因此當(dāng))，=■時(shí),x有最小值、，即a=*

命題角度2集合與不等式

1.(典型例題)集合A={xl缶YO卜B={xk-b|<a=,若“a=l”是“AABW0”的充分條件，則b

的取值范圍是()

A.-2Wb<2B.-2(bW2

C.-3<b<-lD.-2<b<2

［考場(chǎng)錯(cuò)解］A當(dāng)a=l時(shí),人=以|-1<*<1=且B={x|bT<x<b+l=.AABW0.bTVI且b+12T.

故-2Wb<2....只有A符合.

［專家把脈］AABW0時(shí)，在點(diǎn)T和1處是空心點(diǎn)，故不含等于.

［對(duì)癥下藥］D當(dāng)a=l時(shí)，A={x|-l<x<l=.B={xb-l<x<b+l=.此時(shí)ACBA。的充要條件是b-1

<1且b+l>T.B|J-2<b<2.故只有D符合.

2.(典型例題)⑴設(shè)集合A山由T》9,xGR},B/%。,x《R},則AAB=

［考場(chǎng)錯(cuò)解］以鼠遼-3或;(2表―

［專家把脈］V—>0/.x(x+3)^0.而此忖x+3W0.故不含x=-3.

x+3

［對(duì)癥下藥］A={x|xW-3或x》』}.B={x|x-3或xMO}..，/恤。3或x/}.

22

3.(典型例題)已知f(x)==*(xGR)在區(qū)間［T,1］上為增函數(shù).

?+2

(1)求實(shí)數(shù)a的值所組成的集合A；

(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=’的兩根為xaxz,試問：是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m'+tm+l)IxLx/對(duì)任

X

意aGA及tG［T,1］恒成立?若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］(1)因?yàn)閒(x)=4(xGR),所以f(x)=-21+2”：+4,依題意f(x)20在［T,1］上恒

成立，即2x?-2ax-4W0在［T,1］上恒成立.

當(dāng)x=0時(shí),aWR;當(dāng)OVxWl時(shí),aex-2恒成立,又y=x-2在(0,1)上單調(diào)遞增,所以y=x-2的最

XXX

大值為T，得a2-l,當(dāng)-lWx<0時(shí)x-2恒成立，由上知aWl.綜上：adR(注意應(yīng)對(duì)所求出的a的范圍求

X

交集).

(2)方程f(x)=’變形為x2-ax-2=0,鳳』|=廬？,又TWaWl,所以|x「X2|=《^的取大值為3,

X

n?+tni+lN|x「X21對(duì)任意a《A及te［-1,1］恒成立等價(jià)于療+5+1》3在［T,1］恒成立，當(dāng)m=0時(shí),

222

顯然不成立，當(dāng)m>0時(shí)，t2互。恒成立，所以-12三竺-，解得m22；當(dāng)m<0時(shí)，恒成立，所

inmin

2

以1W20/，解得mW-2.

m

綜上：故不存在實(shí)數(shù)m,使得不等式而+tm+ie|x「X2|對(duì)任意a￡A及［T,1］恒成立.

［專家把脈］(1)討論x求參數(shù)的范圍，最后應(yīng)求參數(shù)的交集而不是并集.因?yàn)閤e［-l,l］0j,f(x)

20恒成立.(2)注意對(duì)求出的m的值范圍求并集而不是交集.

［對(duì)癥下藥］(1)因?yàn)閒(x)="(xGR),所以#&)=--2總+2號(hào)+4,依題意*(X)》。在［-1,1］

上恒成立，即2xJ2ax-4W0在［T,1］上恒成立.

當(dāng)x=0時(shí)，a￡R；當(dāng)0<xWl時(shí)，a2x-2恒成立，又y=x-2在(0,1)上單調(diào)遞增，所以y=x-2的最

XXX

大值為T，得a》T;當(dāng)TWx〈O時(shí)aWx-2恒成立，由上知aWl.綜上WaWl(注意應(yīng)對(duì)所求出的a的范

X

圍求交集).

(2)方法1：方程f(x)=’變形為x?-ax-2=0,|XLX21二J/+8,又-IWaWl,所以|xi-X21二J/+8的最

X

大值為3m'+tm+ie|x「X21對(duì)任意a￡A及［T,1］恒成立等價(jià)于82+面+123在［-1,1］恒成立,

222

當(dāng)m=0時(shí)，顯然不成立，當(dāng)m>0時(shí)，?_"?.恒成立,所以-122一,解得田22；當(dāng)m<0時(shí)，tW之二〃L

mmin

恒成立，所以1〈三oL2,解得mW-2.

in

綜上：存在實(shí)數(shù)nb使得不等式n?+tm+12|x「X21對(duì)任意a￡A及te［T,1］恒成立，m的取值范圍是

{m|m22或m<-}2(注意對(duì)求出的m的取值范圍求并集).

方法2：方程f(x)=,變形為x'-ax-2=0,|X「X2|=J/+8,又-IWaWl,所以|x「X21=+8的最大值

X

為3,m2+tm+l》IXLXJ對(duì)任意aGA及te［T,1］恒成立等價(jià)于m'+tm+l23在te［T,1］恒成立，令

g(t)=tm+m2-2,有g(shù)(T)=m'+m-220,gW-m-m-2^0,解得{m|m22或mW-2}.(注意對(duì)求出的m的取值

范圍求交集).

專家會(huì)診

討論參數(shù)a的范圍時(shí)，對(duì)各種情況得出的參數(shù)a的范圍，要分清是“或”還是“且”的關(guān)系，是“或”

只能求并集，是“且”則求交集.

考場(chǎng)思維訓(xùn)練

1設(shè)［x］表示不超過x的最大整數(shù)，則不等式［x］2-5［x］+6W0的解集為()

A.(2,3)B.［2,3］

C.［2,4］D.⑵4］

答案：C解析：由［x］2-5［x］+6W0,解得2<［x］W3,由［x］的定義知2<x<4所選C.

2已知不等式成立的充分非必要條件是IYXYL,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

32

C.（一8,一小D.*+oo

m-\<

|4

答案：B解析：因不等式|x-m|G等價(jià)于m-kx<m+l,依題意有3——<m<—,所以選及

23

m+l>

2

3設(shè)A、B是兩個(gè)集合，定義A-B={x|x￡A,且x〉B}.若M={x|x+lW2},N={x|x=sin。|a￡等R},則

M-N等于（）

A.[-3,1]B.[-3,0]

C.[0,1]D.[-3,0]

答案：B

4已知集合人=巳|(x-2)[x-(3a+l)]<0=,B={x|尸孑y。}.

x-(a-+l)

⑴當(dāng)a=2時(shí),求ACB；

(2)求使B=A的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：(1)當(dāng)a=2時(shí)，A=(2,7),B=(4,5)AAnB=(4,5).

(2),/B=(2a,a2+l),當(dāng)a〈[時(shí)A=(3a+1,2)要使Bu4,必須產(chǎn)：-%)此時(shí)&=_]；當(dāng)&=_1時(shí)*=0,使

3一?2+1<23

Ih\2a>2?)

8勺4的61不存在;當(dāng)。>一時(shí),/1=(2,3。+1)要使8勺4必須《,，此時(shí)lWaW3.

3-［a2+1<3a+1

綜上可知，使BgA的實(shí)數(shù)a的取值范圍為［1,3］ul-ll

命題角度3集合的應(yīng)用

1.(典型例題)3是正實(shí)數(shù)，設(shè)S“={。|/6)=<：05［36+。)］是奇函數(shù)},若對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)a,S“n(a,a+l)

的元素不超過2個(gè)，且有a使S“C(a,a+1)含2個(gè)元素，則3的取值范圍是____.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］(n,2JT)

［專家把脈］；a使S“n(a,a+1)含兩個(gè)元素，如果會(huì)>1時(shí)，則超過2個(gè)元素，注意區(qū)間端點(diǎn).

(D

［對(duì)癥下藥］由S“n(a,a+1)的元素不超過兩個(gè)，...周期生X，〈l.又?.?有a使S3n(a,

co2

a+1)含兩個(gè)元素，,女周期21.I.3W2兀.故3e(兀，2n).

CD

2.(典型例題)設(shè)函數(shù)f(數(shù)=--^(xWR),區(qū)間M=［a,b］(a<b),集合N={y|y=f(x),x6M},則使M=N

1+IXI

成立的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)有()

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.無數(shù)多個(gè)

［考場(chǎng)錯(cuò)解］D???y=f(x)是奇函數(shù)，不妨設(shè)x>0.f(x)=T+—L,，f(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，即

X+1

y=f(x)在［a,b］上為減函數(shù)，；.y=f(x)的值域?yàn)椋郇D工NG

l+\b\14-1al

-b-a

l+IZ?ri+l?l_

?；M=N,...MuN...a2上L,且bW」一,故有無數(shù)組解.

一l+\h\1+lal

［專家把脈］錯(cuò)誤地理解了M=N,只是MgN,忽視了M=N,包含McN和NcM

兩層含義.

—1H------(xN0)

［對(duì)癥下藥］???f(x)=X：，丁尸f(x)在［a,b］上為減函數(shù)???y=f(x)的值域?yàn)?/p>

VN={y|y=f(X)},AN表示f(x)的值域-b

-b

a=--------

，M=N,，"""nan/,,而已知a〈b,...滿足題意的a、b不存在，故選A.

,-a

b=--------

1+1aI

3.(典型例題)記函數(shù)f(x)=J-當(dāng)?shù)亩x域?yàn)锳,g(x)=lg［(x-aT)(2a-x)］(a<l)的定義域?yàn)锽.

⑴求A；

(2)若BuA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］(1)由2-320,得x<T或xel..?.A={x［x<-1或xel}

x+\

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.Va<l,.,.a+l>2a,：.B=(2a,a+1)

VBcA，2a>l或a+lWTAa>-!-gKa^-2XVa<l/.a<-2^l<a<l

22

［專家把脈］利用集合的包含關(guān)系時(shí)，忽視了端點(diǎn)的討論.

［對(duì)癥下藥］(1)由2-g\0,得x〈T或xel.

X+1

(2)由(x-aT)(2a-x)>0,得(x-aT)(x-2a)<0.Va<l,a+l>2a,B=(2a,a+1)

：BuA,，2a2l或a+lWT,即a2/或aW-2,而a<l,Wa〈l或aW-2,故當(dāng)BuA時(shí),實(shí)數(shù)a

22

的范圍是(-8,-2)U［l,1］.

2

專家會(huì)診

集合與不等式、集合與函數(shù)、集合與方程等，都有緊密聯(lián)系.因?yàn)榧鲜且环N數(shù)學(xué)工具.在運(yùn)用時(shí)注意

知識(shí)的融會(huì)貫通.有時(shí)要用到分類討論，數(shù)形結(jié)合的思想.

考場(chǎng)思維訓(xùn)練

1已知集合A={xI(a?-a)x+l=0,xGR},B={x|ax2-x+l=0,xGR},若AUB=0,則a的值為()

A.0B.1C.0或1D.0或4

答案：B解析：AUB=0,/.A=0且B=。，由A=。得a=0或1；由B=。得a>0且△<(),解得a=1.

4

2設(shè)集合P={3,4,5},Q={4,5,6,7}定義PXQ={(a,b)|aeP,beQ,則PXQ中元素的個(gè)數(shù)為

()

A.3B.4C.7D.12

答案：D

3已知關(guān)于x的不等式鏟Y0的解集為M.

(l)a=4時(shí)，求集合M；

答案：⑴當(dāng)a=4時(shí)，原不等式可化為牛^<0,即4*-9)(8-2)<0,.?€(—1,-2)5*.2),故“為(-00,-2)5』,2).

X2-4444

(2)若3WM且5任M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案：由3€4/得當(dāng)二^<0,，。>9或°<2,①

32-a3

由5SEM得竽，W0,.1lVa<25,②

52-a

由①、②得1Va<*或9<a<25.因此a的取值范圍是［1,$u(9,25).

命題角度4簡(jiǎn)易邏輯

1.（典型例題）對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b、c,給出下列命題：

①“a=b”是"ac=bc”的充要條件;②“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件;③“a>b”是

“a2>b2”的充分條件;④“a<5”是“a<3”的必要條件.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

［考場(chǎng)錯(cuò)解］D

［專家把脈］忽視①中c=0的情況，③中a,b小于0的情況.

［對(duì)癥下藥］B①中c=0時(shí)，非必要條件；③中0>a>b時(shí)，非充分條件，②④正確.

2.（典型例題）給出下列三個(gè)命題

①若a》b>T,貝

\+a1+/;

②若正整數(shù)m和n滿足mWn,則向二荷V、

③設(shè)P（x“yj為圓OKx?+y2=9上任一點(diǎn)，圓”以Q（a,b）為圓心且半徑為1.當(dāng)（a-xM+（b-yM=l時(shí),

圓Ch與圓相切

其中假命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

［考場(chǎng)錯(cuò)解］A

［專家把脈］③中（a-xM+（b-yM=l時(shí)，即圓與Oi上任?點(diǎn)距離為1,并不??定相切.

［對(duì)癥下藥］B

3.（典型例題）設(shè)原命題是“已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若2巾，c=d,則a+c=b+d”，則它的逆否命題

是（）

A.已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a+c#b+d,則a#b月一cWd

B.已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a+c￥b+d,則aWb或cWd

C.若a+cWb+d,則a,b,c,d不是實(shí)數(shù)，且aWb,cWd

D.以上全不對(duì)

［考場(chǎng)錯(cuò)解］A

［專家把脈］沒有分清"且”的否定是“或"，''或"的否定是“且”.

［對(duì)癥下藥］B逆否命題是''已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a+cWb+d,則aWb或cWd”.

4.（典型例題）已知c>0,設(shè)P：函數(shù)y=c”在R上單調(diào)遞減;Q：不等式x+|x-2c|>1的解集為R,如果

P和Q有且僅有一個(gè)正確，求c的取值范圍.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］由函數(shù)y=c*在R上單調(diào)遞減，得0Vc<1;???x+1x-2c|-'2；所以函數(shù)y=x+|x_2c|

［2c,xY2c

在R上的最小值為2c,因?yàn)椴坏仁絰+|x-2c|>l的解集為R,所以2c>1,得c>；.

如果P真，得0<c<l,如果Q真，則c>L

2

所以c的取值范圍是（0,+8）.

［專家把脈］將P和Q有且僅有…個(gè)正確，錯(cuò)誤理解成P正確或Q正確.

［對(duì)癥下藥］由函數(shù)y=c”在R上單調(diào)遞減，得0<c<l；???x+|x-2c|=fx-2cr'2c,所以函數(shù)y=x+|x_2c|

|2c,xY2c

在R上的最小值為2c,因?yàn)椴坏仁絰+|x-2c|>l的解集為R,所以2c>1,得c>L

2

如果P真Q假，則OVcWL；如果Q真P假，貝Uc》l.

2

所以c的取值范圍是(0,L)U［l,+8］

2

專家會(huì)診

1.在判斷一個(gè)結(jié)論是否正確時(shí)，若正面不好判斷，可以先假設(shè)它不成立，再推出矛盾，這就是正難則

反.

2.求解范圍的題目，要正確使用邏輯連結(jié)詞，“且”對(duì)應(yīng)的是集合的交集，“或”對(duì)應(yīng)的是集合的并集.

考場(chǎng)思維訓(xùn)練

1已知條件P：|x+11>2,條件q：5x-6>x\則>是飛的()

A.充要條件B.充分但不必要條件

C.必要但不充分條件D.既非充分也非必要條件

答案：B解析：p:x〈-3或x>l,q:2<x<3,則q是p的充分但不必要條件，故'p是飛的充分但不必要條件。

2已知命題p：函數(shù)log。.5(x、2x+a)的值域?yàn)镽,命題q：函數(shù)y=-(5-2a)”是減函數(shù).若p或q為真命

題，P且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.aWlB.a<2

C.l<a<2D.aWl或a22

1.答案：解析：命題p為真時(shí)，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實(shí)數(shù)，故二次函數(shù)x?+2x+a的判別式

△=4-4a20,從而aWl;命題q為真時(shí)，5-2a>l今a<2.

若P為真，q為假時(shí)，無解；若P為假，q為真時(shí)，結(jié)果為l〈a<2,故選C.

3如果命題P：0G{0},命題Q：0u{0},那么下列結(jié)論不正確的是()

A."P或Q”為真B.“P且Q”為假

C.“非P”為假D.“非Q”為假

答案：B

4已知在x的不等式0<x2-4<6x-13a的解集中，有且只有兩個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案：解析：原不等式等價(jià)于

x>2或x>-2。aio

,,4/(%)=x2-6x+13a,畫町(x)的函數(shù)圖象，由已知可在/'(4)<0/⑸>0,解得一<a<—.

A-2-6X-4+13O<01313

5已知命題p：方程aV+ax-2=0在［-1,1］上有解；命題q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式d+2ax+2aW0,

若命題“P或q是假命題，求a的取值范圍.

答案：解析：由a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,顯然aW0x=--^x=-'：

21

X€［一1』,故I一&1或I-Ka\>1“只有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足x、2ax+2aW0”.即拋物線y=x'+2ax+2a與x軸只有一

aa

個(gè)交點(diǎn)，

4a2-8a=0,.,.a=0或2,，命題“p或q為真命題”時(shí)"|a|21或a=0"1?命題“p或q”為假命

題.,.a的取值范圍為{aI-1<a<0或0<a<l}

命題角度5充要條件

1.(典型例題)“m=1"是''直線(m+2)x+3my+l=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直''的()

2

A.充分必要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

［考場(chǎng)錯(cuò)解］A

［專家把脈］當(dāng)兩直線垂直時(shí)，AIA+BIB2=0,m2-4+3m(m+2)=0,即或8=-2；故不是充分必要條件.

22

［對(duì)癥下藥］B當(dāng)時(shí)兩直線垂直.兩直線垂直時(shí)呼3或m~2,故選B.

2.(典型例題)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=『gUT"'"!,則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)

［O,x=l

不同實(shí)數(shù)解的充要條件是()

A.b<0且c>0B.b>0且c<0

C.b〈0且c=0D.b20且c=0

［考場(chǎng)錯(cuò)解］B△=F-4ac.當(dāng)c<0時(shí)，△>().故f(x)有兩個(gè)不同實(shí)根，；.x有7個(gè)不同根.

［專家把脈］???f(x)的根為正時(shí)，x有4個(gè)不同實(shí)根.應(yīng)考慮f(x)的根的正負(fù).

［對(duì)癥下藥］C當(dāng)x=l時(shí)f(x)=O,.k=0.

當(dāng)xWl時(shí),f(x)=|lg|x-lI|,/.f2(x)+bf(x)+c=lg21x-l|+blg|x-11=0.即，11g|x-11(lgIx-1|+b)=0,

lg|xTI=0或lg|x-l|=-b,x-2或x=0或Iglx-1|=-b?/.b<0.①式有4個(gè)不同實(shí)根故c=0且b<0,

恰有7個(gè)不同實(shí)根

3.(典型例題)若非空集合MuN,貝iJaGM或aWN是ae(MCN)的()

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［考場(chǎng)錯(cuò)解］aC(MC1N)的意思是a《M且aWN,所以a《M或a《N不能推出ad(MAN),同樣ae(M

PIN)也不能推出adM或aWN,所以aGM或aGN是aW(MCN)的既不充分也不必要條件，所以選D.

［專家把脈］“或”與“且”理解錯(cuò)誤，邏輯中的“或”與生活中的“或”有區(qū)別，aWM或aGN包

括三種：aWM但a紀(jì)N；aGN但a?EM；adM且aGN.所以ae(MAN)可以推得aGM或aGN.

［對(duì)癥下藥］ae(MAN)的意思是aGM且aGN,而aGM或aGN包括三種：aGM但a/N；aWN但a任M；

aGM且aWN,所以a^M或aWN不能推出aS(MCN)；aS(MCN)可以推得a^M或aGN.所以選B.

2

4.(典型例題)設(shè)命題p：關(guān)于x的不等式aix'+bix+ci>0與a2x+b2x+c2>0的解集相同；命題q：

生="=幺，則命題p是命題g的()

。2團(tuán)會(huì)

A.充分但不必要條件

B.必要但不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2

［考場(chǎng)錯(cuò)解］因?yàn)?=久=幺，所以不等式aN+bix+cOO與a2x+b2x+c2>0是等價(jià)的不等式，解集相同，

。2b?。2

2

所以q能推出p而不等式aV+bix+cDO與a2x+b2x+c2>0的解集相同不能得出"=h=￡L,所以選B.

"2"2。2

22

［專家把脈］因?yàn)?=久=幺若ai與a2的符號(hào)不同，這時(shí)aiX+bix+ci>0與a2x+b2x+c2>0的解集不相

b2。2

同，如-X2+3X-2>0與X2-3X+2〉0,盡管d=.=曳=-1,但它們的解集不相同,所以q不能推出P.

b2C2

［對(duì)癥下藥］因?yàn)?=久=幺，若ai與a2的符號(hào)不同，這時(shí)aix'bix+cDO與azx,bzx+czX)的解集不

02。2

相同，所以q不能推出P；不等式X、x+3〉0與/+1>0的解集相同，但"所以p不能推出q,

b?6?2

所以選D.

專家會(huì)診

(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當(dāng)“若P則q”形式的命題為真時(shí)，就記作pnq稱P是

q的充分條件，同時(shí)稱q是P的必要條件,因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假.

(2)要理解“充要條件”的概念，對(duì)于符號(hào)“=”要熟悉它的各種同義詞語：“等價(jià)于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”,

“必須并且只需”，“……，反之也真”等.

(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又

是概念所具有的性質(zhì).

(4)從集合觀點(diǎn)看，若AaB,則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B,則A、B互為充要條依.

(5)證明命題條件的充要性時(shí)，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即

條件的必要性).

考場(chǎng)思維訓(xùn)練

1設(shè)ab、是非零向量，則使a?b=|a||b|成立的一個(gè)必要非充分條件是()

A.a=bB.a_Lb

C.a//bD.a=Xb(>0)

答案：C解析：由a，b=|a|b|可得2〃13；但a〃b,a-b=±|a|b,,故使a，b=|a||b|成立的—?個(gè)必

要充分條件是：a〃b.故選C.

2若條件甲：平面a內(nèi)任一直線平行于平面B,條件乙：平面a〃平面6,則條件甲是條件乙的

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

答案：C解析：甲乙可以互推。選C.

3.已知函數(shù)f(x)=ax+b(OWx<l),則a+2b>0是f(x)>0在［0,1］上恒成立的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

答案：B解析：?.?f(x)>0在［0,1］上恒成立=a+2b>0,但a+2b>0推不出f(x)〉0在［0,1］上恒

成立。

4命題A：|x-l|<3,命題B：(x+2)(x+a)<0,若A是B的充分不必要條件，則a的取值范圍是()

A.(4,+8)B.［4,+°°］

C.(-8,-4)D.(-8,-4)

答案：C

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1集合的運(yùn)算

1.設(shè)I是全集，非空集合P、Q滿足PuQuI,若含P、Q的一個(gè)運(yùn)算表達(dá)式，使運(yùn)算結(jié)果為空集，則

這個(gè)運(yùn)算表達(dá)式可以是;如果推廣到三個(gè)，即PcQcRcI,使運(yùn)算結(jié)果為空集，則這個(gè)運(yùn)算表達(dá)

式可以是.(只要求寫出一個(gè)表達(dá)式).

［解題思路］畫出集合P、Q、I的文氏圖就可以看出三個(gè)集合之間的關(guān)系，從它們的關(guān)系中構(gòu)造集合

表達(dá)式，使之運(yùn)算結(jié)果為空集.

［解答］畫出集合P、Q、I的文氏圖，可得滿足PaQaL含P、Q的一個(gè)運(yùn)算表達(dá)式，使運(yùn)算結(jié)果為

空集的表達(dá)式可以是PC(CQ)；同理滿足PuQuRuL使運(yùn)算結(jié)果為空集的表達(dá)式可以是(PCQ)C(CR),

或(PAQ)n(CiR).答案不唯一.

2.設(shè)人={6,y)|y2-x-l=O},B={(x,y)14x2+2x-2y+5=0},C={(x,