北京市延慶區(qū)2025屆高三下學(xué)期統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1北京市延慶區(qū)2025屆高三下學(xué)期統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，又，所?故選：A2.已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則（）A. B.1 C. D.4【答案】C【解析】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得，故選：C3.已知向量，，，若，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，解得，故選：B4.某圓錐高為，母線與底面所成的角為，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由圓錐高為，母線與底面所成的角為，得圓錐底面圓半徑，母線，所以圓錐的表面積.故選：A5.設(shè)x，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，?duì)于A：取，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B：取，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C：取，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以，所以，D選項(xiàng)正確.故選：D.6.延慶媯水公園岸邊設(shè)有如圖所示的護(hù)欄，護(hù)欄與護(hù)欄之間用一條鐵鏈相連.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條均勻，柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線.已知函數(shù)的部分圖象與懸鏈線類似，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為奇函數(shù) B.的最大值為1C.在上單調(diào)遞增 D.方程有2個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】D【解析】對(duì)A，定義域?yàn)镽，∵，則為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)BC，又∵，根據(jù)，在R上均單調(diào)遞增，則在在R上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；則，即的最小值為，B錯(cuò)誤；對(duì)D，令,，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根,故D正確.故選：D7.“”是“直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，得，因?yàn)橹本€與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的充要條件是或，所以”能推出“直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)不能推出，“”是“直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的充分而不必要條件，故選：A8.已知圓和兩點(diǎn)，（）.若圓C上存點(diǎn)P，使得，則m的最大值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】以為直徑的圓的方程為，圓心為原點(diǎn)，半徑為.圓圓心為，半徑為.要使圓上存在點(diǎn)，使得，則圓與圓有公共點(diǎn)，所以，即，所以，解得，所以的最大值為6.故選：C9.已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為.若，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，且?duì)恒成立，則，整理可得恒成立，則，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，由B項(xiàng)已得，，則，，而，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，即，故D正確.故選：C.10.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，若在該正方體的棱上有點(diǎn)M，滿足，則點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)M不在棱，棱上，所以當(dāng)點(diǎn)M在棱上時(shí)，設(shè)，連，中，，由余弦定理可得，，即，可解得，所以在棱上存在滿足題意的一個(gè)點(diǎn)M；由對(duì)稱性可知在棱，棱，棱上各存在一個(gè)點(diǎn)M；因?yàn)?，所以點(diǎn)M不在平面內(nèi).所以當(dāng)點(diǎn)M在棱上時(shí)，設(shè)，連，在直角三角形中，，所以，即，可解得，所以在棱上存在滿足題意的一個(gè)點(diǎn)M；由對(duì)稱性可知在棱上也存在一個(gè)點(diǎn)M；綜上可知滿足題意的點(diǎn)M共6個(gè).故選：C.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_______.【答案】60【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：，令，解得，所以可得第三項(xiàng)中的系數(shù)是.故答案為：6012.已知雙曲線的一條漸近線過(guò)點(diǎn)，則其離心率為_(kāi)_______.【答案】【解析】由題意雙曲線漸近線方程為，它過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以其離心率為.故答案為：.13.已知是第四象限角且，，則的值為_(kāi)_______.【答案】【解析】因?yàn)槭堑谒南笙藿乔?，所以，，因?yàn)?，所以，則.故答案為：.14.數(shù)列中，若存在，使得“且”成立，（，）則稱為的一個(gè)峰值.若，則的峰值為_(kāi)_______；若，且不存在峰值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】①.②.【解析】由，函數(shù)的對(duì)稱軸為，又，所以，所以的峰值為；若，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)上單調(diào)遞減，則數(shù)列是遞減數(shù)列，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使數(shù)列不存在峰值，則，即，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.15.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①，使得關(guān)于直線對(duì)稱；②，使得存在最小值；③，在上單調(diào)遞減；④，使得有三個(gè)零點(diǎn)；其中所有正確的結(jié)論的序號(hào)是________.【答案】①③④【解析】取，得，因?yàn)?，所以，使得關(guān)于直線對(duì)稱；故①對(duì)；由，所以，若，當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，在上單調(diào)遞減，故，不存在最小值，故②錯(cuò)，③對(duì)，如圖若，則當(dāng)函數(shù)與直線的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，此時(shí)，則，得到方程組，化簡(jiǎn)得，易得，則此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，圖象見(jiàn)下圖，AI當(dāng)時(shí)，只需將上圖相切時(shí)的直線向左偏一點(diǎn)，圖象如下圖所示，則兩函數(shù)會(huì)出現(xiàn)三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)，如下圖所示，AI故④對(duì)，故答案為：①③④三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中點(diǎn)，平面ABE與線段PD交于點(diǎn)F.（1）求證：；（2）若，求直線BE與平面BCF所成角的正弦值.（1）證明：在矩形中，，又平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，且平面平面，所?（2）解：由（1）可知，又因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以F是的中點(diǎn)，因?yàn)?，即，?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以又在正方形中，，所以兩兩垂?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則故直線BE與平面BCF所成角的正弦值為.17.在中，，.（1）求b；（2）再?gòu)臈l件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使為銳角三角形，并求的面積.條件①：；條件②：AB邊上中線的長(zhǎng)為；條件③：.注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）在中，因?yàn)?，再由可?所以，即，所以.因?yàn)?，所?（2）選擇條件①：，，，由余弦定理得，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以不符合題意，不存在三角形；選擇條件②：在中，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，，中，根據(jù)余弦定理解得，所以，所以，因?yàn)?，所以為銳角三角形，所以，在中，.選擇條件③：在中，為銳角三角形，因?yàn)?，所以，所以，，，所以，所以，所以，解得或?所以，所以為銳角三角形，所以，在中，.18.在北京延慶，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的傳統(tǒng)大集文化依舊煥發(fā)著生機(jī).這是一種融合了傳統(tǒng)文化與飲食娛樂(lè)的民間活動(dòng)，人們?cè)谶@里沉浸于這份樸素而直接的歡樂(lè)之中.2025年延慶大集的時(shí)間和地點(diǎn)信息匯總?cè)缦卤?，根?jù)下表的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，回答以下問(wèn)題.時(shí)間地點(diǎn)周一周二周三周四周五周六周日康莊鎮(zhèn)刁千營(yíng)村√√康莊鎮(zhèn)榆林堡村√√康莊鎮(zhèn)小豐營(yíng)村√√延慶鎮(zhèn)付余屯村√√延慶鎮(zhèn)東小河屯村√√√√√√√香營(yíng)鄉(xiāng)屈家窯村√舊縣鎮(zhèn)米糧屯村√√舊縣鎮(zhèn)東羊坊村√永寧鎮(zhèn)古城北街√√√√√√√（1）若從周一和周四的大集中各隨機(jī)選一個(gè)大集，求恰好選的都是延慶鎮(zhèn)大集的概率；（2）若從周六和周日的大集中隨機(jī)選3個(gè)大集，記X為選延慶鎮(zhèn)東小河屯村大集的次數(shù)，求X的分布列及期望；（3）從周一到周四這四天的大集中任選2個(gè)大集，設(shè)為選永寧鎮(zhèn)古城北街大集的個(gè)數(shù)，從周五到周日這三天的大集中任選2個(gè)大集，設(shè)為選永寧鎮(zhèn)古城北街大集的個(gè)數(shù)，比較隨機(jī)變量和隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的大小.（結(jié)論不要求證明）解：（1）記“周一和周四的大集中各隨機(jī)選一次大集，恰好選的都是延慶鎮(zhèn)大集”為事件A，由表可知，周一選一次大集，恰好選的是延慶鎮(zhèn)大集的概率為,周四選一次大集，恰好選的是延慶鎮(zhèn)大集的概率為，所以.（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為，根據(jù)題意，，，隨機(jī)變量的分布列是:012數(shù)學(xué)期望（3）由題意，可能取值為，，，，故；由題意，可能取值為，，，，故，所以.19.已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，且，離心率為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是直線上不同于點(diǎn)Q的一點(diǎn)，直線BP與橢圓E交于點(diǎn)M，直線AM與直線交于點(diǎn)N，判斷是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）由題意得，解得，所以，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得，則‖，所以，設(shè)，則，所以，直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P是直線上不同于點(diǎn)Q的一點(diǎn)，所以，所以，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，所以存在點(diǎn)P，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或20.已知函數(shù).（1）若，求在處的切線方程；（2）若，求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，且，證明：.解：（1）由，所以所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即（2）由，定義域?yàn)椋畹没蛞驗(yàn)?，所?所以，列表：00遞減遞增遞減所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（3）因?yàn)椋?，，所以是方程的兩個(gè)根.依題意，有，所以，即，所以，令，則，令，則因?yàn)?，所以，所以在上是增函?shù)，所以，所以在為減函數(shù)，所以，即.21.數(shù)字的任意一個(gè)排列記作，設(shè)為所有這樣的排列構(gòu)成的集合.集合任意整數(shù)都有，集合任意整數(shù)都有（1）用列舉法表示集合；（2）求集合的元素個(gè)數(shù)；（3）記集合的元素個(gè)數(shù)為，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（1）解：,（2）解：考慮集合中的元素.由已知,對(duì)任意整數(shù)都有,所以,所以.由的任意性可知,是的單調(diào)遞增排列,所以.又因?yàn)楫?dāng)時(shí),對(duì)任意整數(shù)都有.所以,所以.所以