811向量數(shù)量積的概念教學(xué)設(shè)計-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

8.1.1向量數(shù)量積的概念教材分析本節(jié)課是人教B版必修3第八章《向量數(shù)量積與三角恒等變換》的第一課時《向量數(shù)量積的概念》，數(shù)量積是繼向量的線性運算（加法、減法、向量的數(shù)乘）后的又一種新的運算，它的內(nèi)容很豐富，包括定義、幾何意義、性質(zhì)與運算律，而且在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用。它與向量的線性運算有著本質(zhì)的區(qū)別，運算結(jié)果是一個數(shù)量，數(shù)量積為解決有關(guān)幾何問題提供了方便，可以利用平面向量的數(shù)量積求解向量的模和向量的夾角，解決線段的垂直問題。向量的數(shù)量積分為兩個重要部分，一個是數(shù)量積的概念和運算律，另一個是數(shù)量積的坐標(biāo)運算。本節(jié)課作為本章的第一課時，向量的數(shù)量積是繼向量的線性運算后的一種新的重要的運算，它有明顯的物理意義、幾何意義。向量數(shù)量積是代數(shù)、幾何與三角的結(jié)合點，應(yīng)用廣泛，很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)考點教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)平面向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)和物理意義理解平面數(shù)量積的概念、性質(zhì)及物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模數(shù)量積的幾何意義通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義直觀想象、數(shù)學(xué)運算數(shù)量積的簡單應(yīng)用掌握數(shù)量積的簡單應(yīng)用，會利用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系邏輯推理、數(shù)學(xué)運算教學(xué)重難點【教學(xué)重點】平面向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)和物理意義、幾何意義、應(yīng)用【教學(xué)難點】平面向量數(shù)量積的幾何意義理解教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境引入背景觀看2018年克里米亞快速拉力比賽報道，俄羅斯選手尼格馬圖林創(chuàng)造新的世界紀(jì)錄。將實際問題抽象出物理模型思考1：卡車在力的作用下產(chǎn)生位移（如圖）,那么如何通過力和位移表達出該力對物體所做的功呢？答：力對物體所做的功=思考2：功的大小由那些因素決定呢？答：功不僅與力和位移的大小有關(guān)，而且還與它們的方向有關(guān)，具體地，它和力與位移的夾角有關(guān)。思考3：從求功的運算中，你能抽象出什么樣的數(shù)學(xué)運算？答：我們將功的運算類比到兩個向量的一種運算，得到向量“數(shù)量積”的概念。兩個向量的模長與這兩個向量夾角的余弦值的乘積就是我們今天要學(xué)習(xí)的新的運算——數(shù)量積。其中，是兩個向量的夾角。我們?nèi)绾握业絻蓚€向量的夾角呢？（一）兩個向量的夾角給定兩個非零向量與，在平面內(nèi)任選一點，作，，則稱內(nèi)的為向量與的夾角，記作.思考1：向量的夾角與兩條直線的夾角有何區(qū)別？提示：向量的夾角α的范圍為0°≤α≤180°，兩條直線的夾角β的范圍是0°≤β≤90°.思考2：=是否成立？提示：成立．通過練習(xí)總結(jié)向量夾角的特殊情況：=0；此時向量與共線且方向相同.=；此時向量與共線且方向相反.=；此時稱向量與垂直，記作小結(jié)：向量的夾角決定了兩個向量的位置關(guān)系.明確范圍內(nèi)的角的分類標(biāo)準(zhǔn).明確了兩個向量的夾角的定義，接下來，我們給出向量數(shù)量積的準(zhǔn)確定義.（二）向量數(shù)量積的定義一般地，當(dāng)與都是非零向量時，稱為向量與的數(shù)量積（也稱為內(nèi)積），記作.即.說明：（1）由定義可知，兩個非零向量的數(shù)量積是一個數(shù)量.（2）符號“·”是數(shù)量積運算的專用符號，運算符號不可省略，不可用×號替代.（3）定義的適用條件是兩個非零向量.規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.即：例1：已知｜｜＝5，｜｜＝4，與的夾角=，求·解：由向量的數(shù)量積公式得：（先復(fù)習(xí)特殊角度的余弦值）·=||||cos=5×4×cos=5×4×（）=10練習(xí)1：在△ABC中，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝7，則求:.思考：如果，都是非零向量，那么的符號由誰決定，什么時候為正，什么時候為負？結(jié)論：深入探究：（三）數(shù)量積的性質(zhì)應(yīng)用概念探究性質(zhì)做一做：4.已知｜｜＝3，｜｜＝2，=，求總結(jié)性質(zhì)：(1)|；（處理不等式、求范圍問題）(2)，即;（處理長度問題）(3);（處理垂直問題）(4);（處理夾角問題、判斷三角形形狀）向量的投影（1）向量在直線上的投影非零向量，過，分別作直線的垂線，垂足分別為,，則稱向量為向量在直線上的投影向量或投影.明確投影是向量；掌握投影的做法；（2）向量在向量上的投影給定平面上的非零向量，設(shè)所在的直線為，則在直線上的投影稱為向量在向量上的投影.（3）投影的數(shù)量θ為直角時，|a|cosθθ為直角時，|a|cosθ=0θ為鈍角時，|a|cosθ＜0θ為銳角時，θ為銳角時，|a|cosθ＞0一般地，如果，為非零向量，則稱為向量在向量上投影的數(shù)量.數(shù)量可以是正數(shù)，可以是零，也可以是負數(shù)，符號由向量夾角的大小決定.（五）向量的數(shù)量積的幾何意義由可知，向量數(shù)量積的幾何意義為：兩個非零向量，的數(shù)量積，等于在向量上投影的數(shù)量與的模的乘積.特別地，當(dāng)為單位向量時，，即任意向量與單位向量的數(shù)量積，等于這個向量在單位向量上的投影的數(shù)量.由向量數(shù)量積的幾何意義，還可以得到：向量在向量上的投影數(shù)量為.例2:如圖所示，求出以下向量的數(shù)量積.；（2）；（3）.解：（1）方法一：由圖可知，，，所以方法二：，（2）因為，所以（3）方法一：由圖可知，，，不是特殊角，但方法二：，小結(jié)：求兩個非零向量數(shù)量積的問題，可以借助兩個向量數(shù)量積的定義求解（方法一）；也可以