高三總復(fù)習(xí)第一二章知識點

高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科③3

第一章集合與常用邏輯用語

第1講集合及其運算

最新考綱1.了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系；2.理解集合之間包含與

相等的含義，能識別給定集合的子集；3.理解兩個集合的并集與交集的含義，會

求兩個簡單集合的并集與交集；4.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會

求給定子集的補集；5.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算.

基礎(chǔ)診斷梳理自測，理解記憶

知識梳理

1.元素與集合

(1)集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系,用符號且或生表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

2.集合間的基本關(guān)系

表示

文字語言符號語言

關(guān)系

相等集合〃與集合8中的所有元素都相同A=B

集合間的子集集合A中任意一個元素均為集合B中的元素

基本關(guān)系集合/中任意一個元素均為集合3中的元素,且集合8

真子集ZB

中至少有一個元素不是集合N中的元素

空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集

3.集合的基本運算

集合的并集集合的交集集合的補集

圖形語言麒

AUBAQB

AUB—AQB=

符號語言

UrW4或xW研一|x￡U,且

4.集合的運算性質(zhì)

并集的性質(zhì)：

AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；AUB=A^B^A.

交集的性質(zhì)：

AQ0—0；AClA—A；AriB=BHA；AC\B=A^A^B.

補集的性質(zhì)：

/u([網(wǎng)=D；zn([〃)=g；[“[/)=4.

診斷自測

1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“J”或"X”)喑精彩PPT展示

(1)若/={x『=x2},8={(x,y)\y=x2},C={y[y=x2},則N=8=C.(X)

(2)若{Pi}={0,1},則x=0,L(X)

(3)已知集合4={動內(nèi)=1},5={1,2},且力￡8,則實數(shù)〃?=1或〃?=g.(X)

(4)含有〃個元素的集合的子集個數(shù)是2",真子集個數(shù)是2"—1,非空真子集的個

數(shù)是2"—2.(J)

2.(2014?新課標(biāo)全國I卷)已知集合4={小2—2x—320},B={x\~2^x<2},

則408=()

A.[-2,-1]B.[-1,2)

C.[-1,1]D.[1,2)

解析由不等式f-2x-320解得x>3或xW-1,因此集合/={x|xW-1或

x23},又集合5={x|~2Wx<2},所以>08={x|-1},故選A.

答案A

3.已知集合4={(X'ydR,且.+y2=i},5={(x,y)\x,yCR,且y=x},

則NC8的元素個數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

解析集合4表示的是圓心在原點的單位圓，集合8表示的是直線y=x,據(jù)此

畫出圖象，可得圖象有兩個交點，即/C8的元素個數(shù)為2.

答案C

4.(人教B必修1P19練習(xí)B2改編)已知集合4={x|3WxV7},5={x|2<x<10),

則([/)03=.

解析''1={x|x<3或x27},

??.([/"={x|2<x<3或7Wx<10}.

答案{x\2<x<3或7WxV10}

5.設(shè)集合Z={X|X2+2X—3>0},集合8=任,2—2辦一1W0,介0}.若ZC8中

恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是.

解析A={x|x2+2x-3>0}={x|x>l或x<-3},

因為函數(shù)歹=/x)=x2-lax-1的對稱軸為x=<7>0,

且#0)=-1<0,

根據(jù)對稱性可知要使NA3中恰含有一個整數(shù)，

則這個整數(shù)為2,所以有R2)W0且義3)>0,

‘4-4a-1W0,

pnv加3,4

即19-6。-l>0,即產(chǎn)呷

答案,i9

考點突破分類講練，以例求法陶柄彩PIq名師講解

考點一集合的含義

【例1】⑴若集合4=“金園方2+辦+1=0}中只有一個元素，貝ij《=()

A.4B.2

C.0D.0或4

(2)已知adR,6GR,若,51)={/，。+40},則/I/O$

解析(1)由辦2+辦+1=0只有一個實數(shù)解，可得當(dāng)。=0時，方程無實數(shù)解；

當(dāng)qWO時，則/=4/2-4“=0,解得“=4(“=0不合題意舍去).

(2)由已知得(=0及<7#0,所以8=0,于是。2=1,即4=1或a=-1,又根據(jù)

集合中元素的互異性可知。=1應(yīng)舍去，因此。=-1,故。2016+層016=].

答案(1)A(2)1

規(guī)律方法(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看

元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型集合.(2)集合

中元素的三個特性中的互異性對解題的影響較大，特別是含有字母的集合，在求

出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.

【訓(xùn)練1】⑴已知集合/={0』,2},則集合8=任一加金工，用/}中元素的個

數(shù)是()

A.1B.3C.5D.9

(2)已知集合4={機+2,2/+%},若3金4則他的值為.

解析(l)Vx-y={-2,-1,0,1,2},...其元素個數(shù)為5.

、3

(2)由題意得加+2=3或2/?-+〃?=3,則〃?=1或/*=—/,當(dāng)陽=1口寸，〃?+2=3

且2/+根=3,根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當(dāng)冽=一|時，m+2

13

=2-而2M72+機=3,故機=-].

3

答案(1)C(2)-2

考點二集合間的基本關(guān)系

【例2】(1)已知集合Z={x|-2WxW7},B={x\m+\<x<2m-\],若B』,則

實數(shù)m的取值范圍為.

(2)設(shè)U=R,集合/={x|?+3x+2=0},B={x|x2+(w+1)X+/M=0},若([』)A8

=0,則m=.

解析(1)當(dāng)8=0時，有TM+122/M-I,則"W2.

當(dāng)8#0時，若如圖.

?.....41.

m+\02m-17*

深度思考①你會用這些結(jié)論嗎？

AUB=A^B^A,

AQB^A^AQB,

（〔MC8=00

BJA;

②你考慮到空集了嗎？

（m-\-12—2,

則{2m—1<7,

lw+l<2m—1,

解得2<mW4.

綜上，加的取值范圍是（一8,4].

（2）/={-2,-1},由（[/）門8=0,得BJ4,

,方程/+（掰+1就+m=0的判別式/=（加+1）2—4m=（加一1）220,，臺士。..，*

={-1}或3={-2}或8={-1,-2}.

①若B={-1},則加=1；

②若8={—2},則應(yīng)有一（加+1）=（—2）+（—2）=—4,且加=（一2>（—2）=4,這

兩式不能同時成立，

③若5={-1,-2},則應(yīng)有一（加+1）=（—1）+（—2）=—3,且加=（一1）?（—2）

=2,由這兩式得加=2.

經(jīng)檢驗知相=1和加=2符合條件....ZMUI或2.

答案（1）（—8,4]（2）1或2

規(guī)律方法（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集

的情況，否則會造成漏解.（2）已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件

轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系.常用數(shù)軸、

Venn圖來直觀解決這類問題.

【訓(xùn)練2】（1）已知集合4={%b=111（》+3）},B={x[x^2},則下列結(jié)論正確的是

（）

A.A=BB.AQB=0C.ANBD.B^A

(2)已知集合N={x|log2X<2},8={x|xVa},若A^B,則實數(shù)a的取值范圍是

解析(1M={x|x>-3},B={x\x^2},結(jié)合數(shù)軸可得:

BEA.

(2)由log2xW2,得0<xW4,

即/={x[0<xW4},

而8={x|x<a],

由于/三&如圖所示，則a〉4.

答案(1)D(2)(4,+8)

考點三集合的基本運算

【例3】(1)(2014?四川卷)已知集合/={小2一》一2W0},集合3為整數(shù)集，則/A3

=()

A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}

C.{0,1}D.{-1,0}

出(2015?開封模擬)設(shè)集合。=&/=32*1)<1},5={x[y=ln(l-x)},則圖中

陰影部分表示的集合為()

A.{x\x^l}B.{x|Kx<2}

C.{x|0VxWl}D.{x|xWl}

解析(1)因為/={沖？-x-2W0}={x|-1WxW2},

B=Z,所以{-l,0,l,2}.

(2)易知A={x|2A(A2)<1}={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2},B={x|y=ln(l-x)}=

{x|l-x>0}={x\x<\},

則[述={沖cNl},

陰影部分表示的集合為40([曲)={x|lWx<2}.

答案(1)A(2)B

規(guī)律方法(1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中

的元素若是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況.(2)運算過程

中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會使運算簡化.

【訓(xùn)練3】(1)(2014?浙江卷)設(shè)全集U={xGN|x22},集合/={xeN|#25},則

[〃=()

A.。B.{2}C.{5}D.{2,5}

(2)設(shè)集合M={x|-lWxV2},[y\y<a},若A/CNW。，則實數(shù)。的取值范圍

一定是()

A.[-1,2)B.(-8,2]

C.[-1,+8)D.(-1,+0°)

解析(1)因為2="€?^^-4或%>小},所以[/={x￡N|2Wx<小},故(:

uA={2}.

(2)借助數(shù)軸可知a>-1,故選D.

答案(1)B(2)D

微型專題集合背景下的新定義問題

以集合為背景的新定義問題，集合只是一種表述形式，實質(zhì)上考查的是考生接受

新信息、理解新情境、解決新問題的數(shù)學(xué)能力.解決此類問題，要從以下兩點入

手：

(1)正確理解創(chuàng)新定義.分析新定義的表述意義，把新定義所表達(dá)的數(shù)學(xué)本質(zhì)弄

清楚，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成熟知的數(shù)學(xué)情境，并能夠應(yīng)用到具體的解題之中，這是解決問

題的基礎(chǔ).

(2)合理利用集合性質(zhì).運用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運算性質(zhì)等)是破

解新定義型集合問題的關(guān)鍵.在解題時要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以

使用集合性質(zhì)的一些因素，但關(guān)鍵之處還是合理利用集合的運算與性質(zhì).

311'

【例4】(2014,青島質(zhì)檢)設(shè)集合/MWXW/M+W,?N=xn—'WxWn

且A/,N都是集合{0|0WxWl}的子集，如果把叫作集合{x|aWxWb}的“長

度”，那么集合"AN的“長度”的最小值是

()

點撥先理解集合的“長度”，然后求MAN的“長度”的最小值.

加20,

解析由已知，可得3一即0W加

加+不1,4

f1

〃一60,1「31

<3即取加的最小值0,〃的最大值1,可得M=0,a，N

〃W1,

-21「31「21「231

=亨1.所以MCN=0，Wn?，1=亨“此時集合MCN的“長度”的最

321

小值為^-§=適.故選c.

答案C

點評本題的難點是理解集合的“長度”，解題時緊扣新定義與基礎(chǔ)知識之間的

相互聯(lián)系，把此類問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進(jìn)行求解.

課堂總結(jié)反思?xì)w納，感悟提升

［思想方法］

1.在解題時經(jīng)常用到集合元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性能順利

找到解題的切入點；另一方面，在解答完畢時，注意檢驗集合的元素是否滿足互

異性以確保答案正確.

2.求集合的子集（真子集）個數(shù)問題，需要注意的是：首先，過好轉(zhuǎn)化關(guān)，即把

圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言；其次，當(dāng)集合的元素個數(shù)較少時，常利用枚舉法解決，

枚舉法不失為求集合的子集（真子集）個數(shù)的好方法，使用時應(yīng)做到不重不漏.

3.對于集合的運算，常借助數(shù)軸、Venn圖，這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn).

［易錯防范］

1.集合問題解題中要認(rèn)清集合中元素的屬性（是數(shù)集、點集還是其他類型集合）,

要對集合進(jìn)行化簡.

2.空集不含任何元素，但它是存在的，在利用解題時，若不明確集合/

是否為空集時應(yīng)對集合力的情況進(jìn)行分類討論.如例2（1）“錯解1：由

加+1<2w—1,

加+12—2,解得2V

｛2m—1<7,

錯因都是對集合B=1<x<2/?-1}“認(rèn)識不清.

3.Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補運算的常用方法，其中運

用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心.

課時作業(yè)分層訓(xùn)練，提升能力

基礎(chǔ)鞏固題組

（建議用時：30分鐘）

一、選擇題

1.設(shè)集合S={x,>—2},T={xp+3x-4W0},貝IJ([RS)U7=()

A.(-2,1]B.(-8,-4]

C.(一8,1]D.[1,+00)

解析因為S={x[x>-2},所以CRS={X|XW-2},

而T={X|X2+3X-4^0}={x|-4?l},

所以([RS)UT=

答案D

2.(2015?東北四市聯(lián)考)設(shè)集合4={1,2,4},集合8={小=a+b,a^A,b^A},

則集合8中的元素個數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

解析"-'aA,bWA,x=a+b,---x=2,3,4,5,6,8.

-B中共有6個元素.

答案C

3.(2015?煙臺監(jiān)測)若集合R={X|X2=1},8={X[?_3X+2=0},則集合/U6=

()

A.{1}B.{152}

C.{-1,1,2}D.{-1,1,-2}

解析???/={-1,1},5={1,2},

.'.AUB={-1,1,2).

答案c

4.已知集合”={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=MCN,則尸的子集共有（）

A.2個B.4個C.6個D.8個

解析P=MAN={1,3},故尸的子集共有4個.

答案B

5.（2014?撫順檢測）設(shè)集合P={x|x>l},Q={X\X2-X>0},則下列結(jié)論正確的是

（）

A.PJQB.Q^P

C.P=QD.PU0=R

解析由集合0={x|x2-x>0},知。={x|x<0或x>1},所以PJ0,故選A.

答案A

6.（2014?山東卷）設(shè)集合A={x||x-l|<2）,B={y\y=2x,x^[Q,2]},則AC8=（）

A.[0,2]B.（1,3）C.[1,3）D.（1,4）

解析A={x||x-1|<2）={x|-1<x<3},B={y\y=2',x￡[0,2]}=,

??.jnS={x|-1<x<3}A{y|lWj<4}={x|l4<3}.

答案C

7.已知集合2=國7=1},8=3依=1},若814,則實數(shù)。的取值集合為（）

A.{-1,0,1}B.{-1,1}

C.{-1,0}D.{0,1}

解析因為/={1,-1},當(dāng)a=0時，B=0,適合題意；當(dāng)aW0時，B={1}

力，則[=1或-1,解得a=l或-1,所以實數(shù)a的取值集合為{-1,0,1}.

答案A

8.（2015?威海模擬）已知集合3x+2=0,xER},ff={xfO<x<5,xG

N},則滿足條件4NCN8的集合C的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

解析A={1,2},8={1,2,3,4},AJC三B,則集合?？梢詾椋簕1,2},{1,2,3},

{1,2,4},{1,2,3,4}.故選D.

答案D

二、填空題

9.設(shè)全集U=R,集合/={xb>0},8={x|x>l},則集合([g)A/=.

解析?.[/={x|xWln/={x|O<xWl}.

答案{x|OVxWl}

10.集合N={0,2,研,8={1,/},若/U8={0,1,2,4,16}，則a的值為.

解析根據(jù)并集的概念，可知{%?2}={4,16},故只能是“=4.

答案4

11.已知集合2={xdR朧+2|<3},集合8={xGR|(x—M(x—2)<0},且NC8=

(―1,〃)，貝ij偌=,n=.

解析J={x|-5<JC<1},因為AC\B={x|-1<X<H},B={x|(x-m)(x-2)<0},所

以m=-1,〃=1.

答案T1

12.已知集合力=何1忘》<5},C={x[-a<xWa+3},若CC/=C,則。的取

值范圍是.

解析因為CCZ=C,所以。三4

①當(dāng)C=0時，滿足cm

3

此時-a2a+3,得

(-Q<Q+3,

②當(dāng)時，要使CG4則{一自,

〔〃+3<5,

解得-3界后-1.

答案(一8,—1]

能力提升題組

(建議用時：15分鐘)

13.（2015?皖南八校聯(lián)考）設(shè)集合Af={（x,y）ly=lgx},N={x[y=lgx},則下列結(jié)

論中正確的是（）

A.B.MCN=0

C.MUN=ND.MUN=M

解析因為加為點集，N為數(shù)集，所以A/nN=0.

答案B

14.已知集合4={(x，y)[y=log2x},B={(x,內(nèi)b=》2—2x},則ZCl8的元素有

()

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析

在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=log2x與y=x2-2x的圖象，如圖所示：

由圖可知y=log2x與y=f-2x圖象有兩個交點，則/C8的元素有2個.

答案B

15.已知集合Z={xly=lg(x—x2)},B={x\x1-cx<0,c>0},若AJB,則實數(shù)

c的取值范圍是()

A.(0,1]B.[1,+00)

C.(0,1)D.(1,+0°)

解析

A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={xpr2-cx<0,c>0}=(0,c),因

為AJB,畫出數(shù)軸，如圖所示，得c》l.應(yīng)選B.

答案B

16.已知U={y[y=log2X,x>l},0=卜/=:，x>2：,貝.

解析U={y\y=log2x,x>1}=州〉0},

P=W=5x〉2—%|0勺<泉

「?[/=%"招.

答案{叱3

17.已知集合4={(x,y)\y—a},B—{(x,y)?="+l,b>0,6W1},若集合NC8

只有一個真子集，則實數(shù)。的取值范圍是.

解析由于集合8中的元素是指數(shù)函數(shù)卜=方、的圖象向上平移一個單位長度后得

到的函數(shù)圖象上的所有點，要使集合ZC8只有一個真子集，那么y=6*+l(A>0,

6W1)與歹="的圖象只能有一個交點，所以實數(shù)。的取值范圍是(1,+8).

答案(1,+°°)

第2講命題與量詞、基本邏輯聯(lián)結(jié)詞

最新考綱1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；2.理解全稱量詞與存

在量詞的意義；3.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.

基礎(chǔ)診斷梳理自測，理解記憶

知識梳理

1.基本邏輯聯(lián)結(jié)詞

(1)命題中的且、或、韭叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.

(2)命題p/\q、pVq、的真假判斷

Pqp'qp'q初

真真M真假

真假假真假

假真假真

假假假暇真

2.全稱量詞與全稱命題

(1)全稱量詞：短語“直直”在陳述中表示所述事物的全體,邏輯中通常叫做全

稱量詞，并用符號“乂”表示.

(2)全稱命題：含有全稱量詞的命題.

(3)全稱命題的符號表示：形如“對”中的所有x,p(x)”的命題，用符號簡記為

“WxeA/,p(x)”.

3.存在量詞與存在性命題

(1)存在量詞：短語“有一個”或“直些”或“至少有一個”在陳述中表示所述

事物的個體或部分,邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“旦”表示.

(2)存在性命題：含有存在量詞的命題.

(3)存在性命題的符號表示：形如“存在集合M中的元素x,g(x)”的命題，用符

號簡記為mxeA/,.

4.命題的否定

(1)全稱命題的否定是存在性命題;存在性命題的否定是金獨命題.

(2加或q的否定為：非p且非q；p且q的否定為：非p或非q.

診斷自測

1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“J”或"X”)暗精彩PPT展示

(1)命題為假命題，則命題p,q都是假命題.(X)

(2)若命題p,q至少有一個是真命題，則pVq是真命題.(J)

GG

(3)已知命題p：3woN,2wo>l000,則^p：3?oN,2M0<1000.(X)

(4)命題“DxCR,的否定是“DxGR,/<0".(X)

2.(2014?重慶卷)已知命題口對任意xCR,總有慟20；

q：x=l是方程x+2=0的根.則下列命題為真命題的是()

A.pN鏢?qB.糠p/\q

C.糠p/\糠qD.p/\q

解析由題意知，命題p為真命題，命題g為假命題，故為真命題，所以p

A㈱q為真命題.

答案A

3.(2014?湖南卷)設(shè)命題p：VxSR,?+1>0,則^〃為()

A.3x^R,x2+1>0B.3xGR,x2+1^0

C.3XGR,J2+1<0D.VXGR,f+lWO

解析“Wx￡R,x2+l>0"的否定為"人￡R,#+lW0”，故選B.

答案B

4.若命題“VxWR,一一ax—2W0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是

解析當(dāng)。=0時，不等式顯然成立；當(dāng)aWO時,

4Z<0,

由題意知，

d=a2+8a^0,

得-8Wa<0.綜上，-8<aW0.

答案［-8,0］

5.(人教B選修2-1P16練習(xí)B3改編)給出下列命題:

①Dx@N,x3>x2；

②所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0；

(3)3x￡R,『一x+lW0；

④存在一個四邊形，它的對角線互相垂直.

則以上命題的否定中，真命題的序號為.

答案①②③

考點突破分類講練，以例求法喏粉彩PPT%師講解

考點一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題及其真假判斷

【例1】(1)(2014?遼寧卷)設(shè)a,b,c是非零向量.已知命題p：若ab=O,be

=0,則a-c=O；命題q：若a〃〃，Z>〃c,則a〃c.則下列命題中真命題是()

A.p\JqB.p/\q

C.僚p)八僚］)D.p\儂*

(2)在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次.設(shè)命題P是“甲降落在指定

范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定

范圍”可表示為()

A./?)V(^q)B.pY儂q)

C.佛p)八儂q)D.pV!?

解析

(1)由于a,b,c都是非零向量，,.,匱方=0,，a_LZ>.：Z>,c=O,，方_Lc.如圖，則可

能aIIc,.,.命題p是假命題，，㈱p是真命題.命題夕中，aIIb,則

。與方方向相同或相反；bIIc,則5與c方向相同或相反.故a與c方向相同或

相反，:.a"。，即q是真命題，則是假命題，故pVq是真命題，p!\q,

p)A(苗q),pV(豚,)都是假命題.

(2)命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包含以下三種情況：“甲、乙

均沒有降落在指定范圍”“甲降落在指定范圍，乙沒有降落在指定范圍”“乙降

落在指定范圍，甲沒有降落在指定范圍”.選A.或者，命題“至少有一位學(xué)員

沒有降落在指定范圍”等價于命題“甲、乙均降落在指定范圍”的否命題，即“p

Nq”的否定.選A.

答案(1)A(2)A

規(guī)律方法若要判斷一個含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個命題

的每個簡單命題的真假，再依據(jù)“或"———真即真，“且”——一假即假，

“非”——真假相反，做出判斷即可.

【訓(xùn)練1】(1)若命題夕：函數(shù)y=f—2x的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8),命題小

函數(shù)歹=X—;的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8),則()

A."Aq是真命題B.pVq是假命題

C.是真命題D.㈱q是真命題

(2)“pVq”為真命題是“p/\q”為真命題的條件.

解析(1)因為函數(shù)歹=d-2x的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8),所以p是真命題；

因為函數(shù)、=X-:的單調(diào)遞增區(qū)間(-8,0)和(0,+8),所以g是假命題.

深度思考常常借助集合的''并、交、補”的意義來理解由“或、且、非”三個

聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題，你清楚嗎？

所以pAq為假命題，p\/q為真命題，^夕為假命題，為真命題，故選D.

(2)若命題“pVq”為真命題，則p,q中至少有一個為真命題.

若命題“p!\q"為真命題，則p,q都為真命題，因此“pVq”為真命題是“p

Nq”為真命題的必要不充分條件.

答案(1)D(2)必要不充分

考點二全稱(存在性)命題的否定及其真假判定

【例2】(1)(2014?安徽卷)命題“VxGR,慟+/20”的否定是()

A.VxeR,|x|+?<0B.Vx￡R,IM+fWO

C.|x|+x2<0D.3xGR,|x|+x2^0

(2)(2014?沈陽質(zhì)量監(jiān)測)下列命題中，真命題的是()

A.Vx^R,x2>0B.Vx￡R,-1<sinx<1

C.Bx€R,2'<0D.3xGR,tanx=2

解析（1）全稱命題的否定是存在性命題，即命題“VxCR,憾+￥20”的否定

為“mx￡R,|x|+x2<0w.故選C.⑵VxWR,x2^0,故A錯;Vx€R,-iWsin

xWl,故B錯；Vx€R,2V>0,故C錯，故選D.

答案（1）C（2）D

規(guī)律方法（1）對全稱（存在性）稱命題進(jìn)行否定的方法有：①找到命題所含的量

詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進(jìn)行否定；②對原命題的結(jié)論進(jìn)

行否定.（2）判定全稱命題“X/x￡V,p（x）”是真命題，需要對集合M中的每個

元素x,證明p（x）成立；要判斷存在性命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)至少能

找至一個X,使p（x）成立.

【訓(xùn)練2】（1）命題“存在實數(shù)x,使x>l”的否定是（）

A.對任意實數(shù)x,都有x>l

B.不存在實數(shù)x,使xWl

C.對任意實數(shù)x,都有xWl

D.存在實數(shù)x,使xWl

（2）下列四個命題

3x^(0,+8),

Pi-3xE(0,l),logix>logix；

23

l>>logU；

Pi-VxG(0,+°°),

2

Vx￡(0,J

P4：0、〈吟

其中真命題是（）

A.Pl，P3B.P\,P4

C.Pl,P3D.p2,P4

解析（1）利用存在性命題的否定是全稱命題求解.

“存在實數(shù)X,使X>1”的否定是“對任意實數(shù)X,都有xWl”.故選C.

（2）根據(jù)嘉函數(shù)的性質(zhì)，對Wx￡（O,+8）,G）〉七）,故命題pi是假命題；由

.I,1IgxlgXlgx(lg2-lg3),,p,1、，I

于log-x-log：=_lg2-_lg3=一愴21g3一，故對VxC(0,1),log-x>log-x,

所以（0,1）,log』x>logic,命題P2是真命題；當(dāng)x￡（0，0時,0<（少<1,

log|x>1,故（；）〉logk不成立，命題P3是假命題；Wx￡（o,

log-x>1,故（；）<log』X,命題P4是真命題.

答案（1）C（2）D

考點三與邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱（存在性）命題有關(guān)的參數(shù)問題

【例3】已知p：3xGR,7MX2+1^0,q：DxCR,X2+/MX+1>0,若pVq為

假命題，則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.[2,+°°）B.（—8,-2]

C.（-8,-2]U[2,+8）D.[-2,2]

解析依題意知，p,q均為假命題.當(dāng)p是假命題時，如？+1〉（）恒成立，則有

當(dāng)q是假命題時，則有/=〃/-420,mW-2或〃?22.因此由p,q均為

m^O,

假命題得，即加22.

mW-2或加22,

答案A

規(guī)律方法以命題真假為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時，首先要對兩個簡單命題進(jìn)行

化簡，然后依據(jù)“pVq”“pNq”“㈱p”形式命題的真假，列出含有參數(shù)的不

等式（組）求解即可.

【訓(xùn)練3】已知命題p："VxW[0,l],；命題q：“mxCR,使得/十

4x+a=0”.若命題“p\q”是真命題，則實數(shù)。的取值范圍是.

解析若命題“pNq”是真命題，那么命題p,q都是真命題.由Wx￡[0,l],“2eX,

得a2e；由使/+以+“=0,知/=16-4。20,aW4,因此eWaW4.

答案［e,4］

微型專題利用邏輯關(guān)系判斷命題真假

2014年高考試題新課標(biāo)全國I卷中考查了一道實際問題的邏輯推理題，這也是

今后高考命題的新趨向，大家應(yīng)加以重視，解決問題的關(guān)鍵是弄清實際問題的含

義，結(jié)合數(shù)學(xué)的邏輯關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

【例4】（1）（2014?新課標(biāo)全國I卷）甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過B,

C三個城市時，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過6城市；

乙說：我沒去過。城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市.

由此可判斷乙去過的城市為.

（2）對于中國足球參與的某次大型賽事，有三名觀眾對結(jié)果作如下猜測：

甲：中國非第一名，也非第二名；

乙：中國非第一名，而是第三名；

丙：中國非第三名，而是第一名.

競賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)，一人全猜對，一人猜對一半，一人全猜錯，則中國足球隊得了

第名.

點撥找出符合命題的形式，根據(jù)邏輯分析去判斷真假.

解析（1）由題意可推斷：甲沒去過8城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人

去過同一城市”，說明甲去過4C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過

城市由此可知，乙去過的城市為4

（2）由上可知：甲、乙、丙均為“p且q”形式，所以猜對一半者也說了錯誤''命

題”，即只有一個為真，所以可知丙是真命題，因此中國足球隊得了第一名.

答案（1M（2）-

點評在一些邏輯問題中，當(dāng)字面上并未出現(xiàn)“或”“且”“非”字樣時，應(yīng)從

語句的陳述中搞清含義，并根據(jù)題目進(jìn)行邏輯分析，找出各個命題之間的內(nèi)在聯(lián)

系，從而解決問題.

課堂總結(jié)反思?xì)w納，感悟提升

［思想方法］

1.把握含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的形式，特別是字面上未出現(xiàn)“或”、“且”、“非”

字眼，要結(jié)合語句的含義理解.

2.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假判斷口訣：pVqf見真即真，p/\q一見假即假，p

與㈱"f真假相反.

3.要寫一個命題的否定，需先分清其是全稱命題還是存在性命題，對照否定結(jié)

構(gòu)去寫，否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

［易錯防范］

1.命題的否定與否命題

“否命題”是對原命題“若p,則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，

它既否定其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”即“非p”，只是否定命題.

的結(jié)論.

2.命題的否定包括：（1）對“若p,則/'形式命題的否定；（2）對含有邏輯聯(lián)結(jié)

詞命題的否定；（3）對全稱命題和存在性命題的否定，要特別注意下表中常見詞

語的否定.

詞語詞語的否定

等于不等于

大于不大于（或小于等于）

小于不小于（或大于等于）

是不是

一定是不一定是

都是不都是（至少有一個不是）

必有一個一個也沒有

任意的某，一個

且或

或且

至多有一個至少有兩個

課時作業(yè)分層訓(xùn)練，提升能力

基礎(chǔ)鞏固題組

（建議用時:30分鐘）

一、選擇題

1.（2014?湖北卷）命題“Vx￡R,的否定是（）

A.X/x6R,x2^xB.VxER,x2=x

C.mxaR,J?—；D.3x￡R,x2=x

解析原命題的否定為“mx￡R,f=x”.

答案D

2.（2014?天津卷）已知命題p：Wx>0,總有（》+1）廿>1,則㈱〃為（）

A.3%<0,使得（x+l）e*Wl

B.3x>0,使得（》+1）爐<1

C.Vx>0,總有（x+l）e'Wl

D.WxWO,總有（x+DFWl

解析命題p為全稱命題，所以^p:>0,使得（x+l）eiWl.

答案B

3.（2015?北京海淀區(qū)模擬）已知命題p：3xER,f+x—i<o,則^尸為（）

A.R,%2+%—1>0B.VxWR,x2+x—120

C.Elx4R,x2+x—120D.Vx^R,x2+x-1>0

解析含有存在量詞的命題的否定，需將存在量詞改為全稱量詞，并將結(jié)論否定,

即Vx€R,x2+x-1^0.

答案B

4.（2014,湖南卷）已知命題p：若x>y,則一x<一y；命題q：若x>y,則

在命題①p/\q；②pVq；（3）/?A（S（7）;④（^p）V夕中，真命題是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

解析由不等式性質(zhì)知：命題p為真命題，命題q為假命題，從而為假命題,

為真命題.故pAq為假命題，pVq為真命題，p/\（㈱/為真命題，p）

Vq為假命題，故選C.

答案C

5.（2014?湖北七市（州）聯(lián)考）已知命題p：3x￡R,cosx=1；命題q：DxWR,

?-x+l>0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.命題pVq是假命題

B.命題p/\g是真命題

C.命題（㈱p）八（7）是真命題

D.命題（^p）V（^q）是真命題

解析易判斷p為假命題，q為真命題，從而只有選項D正確.

答案D

6.下列命題中的假命題是（）

A.3XGR,lgx=0B.tanx=-\/3

C.VxGR,x3>0D.VxGR,2A>0

7T

解析當(dāng)x=l時，lgx=0,故命題“mx￡R,lgx=0”是真命題；當(dāng)x=§時，

tanx=A/3,故命題"三》￡R,tanx=小”是真命題；由于x=-l時，x3<0,

故命題“DxER,/〉（）”是假命題；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對Dx￡R,2'〉0,

故命題“Wx￡R,2'〉0"是真命題.

答案C

7T

7.設(shè)命題p：函數(shù)y=sin2x的最小正周期為5；命題q：函數(shù)y=cosx的圖象關(guān)

JT

于直線對稱.則下列判斷正確的是（）

A.p為真B.為假

C.p/\q為假D.pVq為真

解析p是假命題，4是假命題，因此只有C正確.

答案c

8.(2015?武漢調(diào)研測試)已知命題p：三0GR,使/(x)=sin(x+9)為偶函數(shù)；命題

q：VxGR,cos2x+4sinx—3Vo，則下列命題中為真命題的是()

A.p/\qB.僻p)Vq

C.p\/讖*D.保p)八儂q)

解析利用排除法求解.三夕=冬使/(x)=sin(x+9)=sin(x+，)=cosx是偶函數(shù)，

7T

所以。是真命題，是假命題；2x=2>使cos2x+4sinx-3=-1+4-3=0,

所以q是假命題，㈱q是真命題.所以p八q,(^p)Vq,(^p)A(^q)都是假命

題，排除A,B,D,pV(^q)是真命題，故選C.

答案C

二、填空題

9.(2014?合肥質(zhì)量檢測)命題p：Vx^O,都有》3一120,則㈱p是.

答案3x^0,有

10.命題“三》右(0,2)，tanx>sinx"的否定是.

答案VxG(0,,,tanxWsinx

11.若命題p：關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集是{xb>—1},命題/關(guān)于x

的不等式(x—a)(x—b)V0的解集是{x|aVxVb},則在命題“p/\q"、“pVq”、

、“轆q”中，是真命題的有.

解析依題意可知命題。和q都是假命題，所以“pAg”為假、“pVq”為假、

“野0”為真、“㈱q”為真.

答案㈱p、㈱q

12.下列結(jié)論:

①若命題p：3x^R,tanx=1；命題q：Vx￡R,x2—x+1>0.則命題?p/\糠q”

是假命題；

②已知直線/i：ax+3y-1=0,/2：x+勿+1=0,則/山2的充要條件是號=一3；

③命題“若X2-3X+2=0,則x=l”的逆否命題：若“xWl,則X2-3X+

2W0”.其中正確結(jié)論的序號為.

解析①中命題p為真命題，命題q為真命題，

所以pA㈱q為假命題，故①正確；

②當(dāng)6=a=0時，有/I_L，2，故②不正確；

③正確.所以正確結(jié)論的序號為①③.

答案①③

能力提升題組

(建議用時：15分鐘)

13.(2014?衡水中學(xué)調(diào)研)給定命題p：函數(shù)歹=ln[(l—x)(l+x)]為偶函數(shù)；命題q：

ev—1

函數(shù)歹=￡百為偶函數(shù)?下列說法正確的是()

A.是假命題B.(㈱p)/\q是假命題

C.是真命題D.(^p)Vq是真命題

解析對于命題p:令y=段)=ln[(l-x)(l+x)],由(1-x)(l+x)〉0,得-l<x

<1,.,.函數(shù)/(x)的定義域為(-1,1),關(guān)于原點對稱，X---/(-x)=ln[(l+x)(l-x)]

x

e-1

=/(x),函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，，命題p為真命題；對于命題q:令y=/(x)=e、+丁

-xv

e-11-e

函數(shù)/(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，/(-x)=e-x+1=1-----=J+e，r=

7+1

???函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，，命題q為假命題，...(^p)Aq是假命題，故選B.

答案B

14.(2014?湖南五市十校聯(lián)考)下列命題中是假命題的是()

A.3a,QWR,使sin(a+H)=sina+sin夕

B.VgSR,函數(shù)/(x)=