2024八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十九章一次函數(shù)小專(zhuān)題十一一次函數(shù)與方程不等式的應(yīng)用練習(xí)新版新人教版

PAGEPAGE7小專(zhuān)題(十一)一次函數(shù)與方程、不等式的應(yīng)用某長(zhǎng)途汽車(chē)客運(yùn)公司規(guī)定旅客可免費(fèi)攜帶肯定質(zhì)量的行李，當(dāng)行李的質(zhì)量超過(guò)規(guī)定時(shí)，需付的行李費(fèi)y(元)是行李質(zhì)量x(kg)的一次函數(shù)．已知行李質(zhì)量為20kg時(shí)需付行李費(fèi)2元，行李質(zhì)量為50kg時(shí)需付行李費(fèi)8元．(1)當(dāng)行李的質(zhì)量x超過(guò)規(guī)定時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求旅客最多可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量．解：(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b.將(20，2)，(50，8)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20k＋b＝2，,50k＋b＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,5)，,b＝－2.))∴當(dāng)行李的質(zhì)量x超過(guò)規(guī)定時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(1,5)x－2.(2)當(dāng)y＝0時(shí)，eq\f(1,5)x－2＝0，解得x＝10.答：旅客最多可免費(fèi)攜帶行李10kg.甲、乙兩家綠化養(yǎng)護(hù)公司各自推出了校內(nèi)綠化養(yǎng)護(hù)服務(wù)的收費(fèi)方案．甲公司方案：每月的養(yǎng)護(hù)費(fèi)用y(元)與綠化面積x(平方米)是一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．乙公司方案：綠化面積不超過(guò)1000平方米時(shí)，每月收取費(fèi)用5500元；綠化面積超過(guò)1000平方米時(shí)，每月在收取5500元的基礎(chǔ)上，超過(guò)部分每平方米收取4元．(1)求如圖所示的y與x的函數(shù)解析式；(2)假如某學(xué)校目前的綠化面積是1200平方米，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：選擇哪家公司的服務(wù)，每月的綠化養(yǎng)護(hù)費(fèi)用較少．解：(1)設(shè)y＝kx＋b，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝400，,100k＋b＝900，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝5，,b＝400，))∴y＝5x＋400.(2)當(dāng)綠化面積是1200平方米時(shí)，甲公司的費(fèi)用為6400元，乙公司的費(fèi)用為5500＋4×200＝6300(元)，∵6300＜6400，∴選擇乙公司的服務(wù)，每月的綠化養(yǎng)護(hù)費(fèi)用較少．某蔬菜加工公司先后兩批次收購(gòu)蒜薹共100噸．第一批蒜薹價(jià)格為4000元/噸；因蒜薹大量上市，其次批價(jià)格跌至1000元/噸．這兩批蒜薹共用去16萬(wàn)元．(1)求兩批次購(gòu)進(jìn)蒜薹各多少噸？(2)公司收購(gòu)后對(duì)蒜薹進(jìn)行加工，分為粗加工和精加工兩種：粗加工每噸利潤(rùn)400元，精加工每噸利潤(rùn)1000元．要求精加工數(shù)量不多于粗加工數(shù)量的三倍．為獲得最大利潤(rùn)，精加工數(shù)量應(yīng)為多少噸？最大利潤(rùn)是多少？解：(1)設(shè)第一批購(gòu)進(jìn)蒜薹x噸，其次批購(gòu)進(jìn)蒜薹y噸．由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝100，,4000x＋1000y＝160000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝80.))答：第一批購(gòu)進(jìn)蒜薹20噸，其次批購(gòu)進(jìn)蒜薹80噸．(2)設(shè)精加工m噸，總利潤(rùn)為w元，則粗加工(100－m)噸．由m≤3(100－m)，解得m≤75，利潤(rùn)w＝1000m＋400(100－m)＝600m＋40000，∵600>0，∴w隨m的增大而增大．∴m＝75時(shí)，w有最大值為85000元．4．某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，當(dāng)產(chǎn)量至少為10噸，但不超過(guò)55噸時(shí)，每噸的成本y(萬(wàn)元/噸)與產(chǎn)量x(噸)之間是一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x(噸)102030y(萬(wàn)元/噸)454035(1)求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(2)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)覺(jué)，這種產(chǎn)品每月銷(xiāo)售量m(噸)與銷(xiāo)售單價(jià)n(萬(wàn)元/噸)之間滿意如圖所示的函數(shù)關(guān)系．該廠第一個(gè)月按同一銷(xiāo)售單價(jià)賣(mài)出這種產(chǎn)品25噸，懇求出該廠第一個(gè)月銷(xiāo)售這種產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)．(注：利潤(rùn)＝售價(jià)—成本)解：(1)設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，將(10，45)，(20，40)代入解析式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10k＋b＝45，,20k＋b＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－0.5，,b＝50.))∴y＝－0.5x＋50(10≤x≤55)．(2)設(shè)每月銷(xiāo)售量m(噸)與銷(xiāo)售單價(jià)n(萬(wàn)元/噸)之間的函數(shù)解析式為m＝k1n＋b1，把(40，30)，(55，15)代入解析式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k1＋b1＝30，,55k1＋b1＝15，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－1，,b1＝70.))∴m＝－n＋70，當(dāng)m＝25時(shí)，n＝45，在y＝－0.5x＋50(10≤x≤55)中，當(dāng)x＝25時(shí)，y＝37.5，∴利潤(rùn)為25×(45－37.5)＝187.5(萬(wàn)元)．5．(2024·銅仁)學(xué)校打算購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種辦公桌若干張，并且每買(mǎi)1張辦公桌必需買(mǎi)2把椅子，椅子每把100元，若學(xué)校購(gòu)進(jìn)20張甲種辦公桌和15張乙種辦公桌共花費(fèi)24000元；購(gòu)買(mǎi)10張甲種辦公桌比購(gòu)買(mǎi)5張乙種辦公桌多花費(fèi)2000元．(1)求甲、乙兩種辦公桌每張各多少元？(2)若學(xué)校購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種辦公桌共40張，且甲種辦公桌數(shù)量不多于乙種辦公桌數(shù)量的3倍，請(qǐng)你給出一種費(fèi)用最少的方案，并求出該方案所需費(fèi)用．解：(1)設(shè)甲種辦公桌每張x元，乙種辦公桌每張y元．依據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x＋15y＋7000＝24000，,10x－5y＋1000＝2000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝400，,y＝600.))答：甲種辦公桌每張400元，乙種辦公桌每張600元．(2)設(shè)甲種辦公桌購(gòu)買(mǎi)a張，則乙種辦公桌購(gòu)買(mǎi)(40－a)張，購(gòu)買(mǎi)的總費(fèi)用為y元，則y＝400a＋600(40－a)＋2×40×100＝－200a＋32000，∵a≤3(40－a)，∴a≤30.∵－200＜0，∴y隨a的增大而減?。喈?dāng)a＝30時(shí)，y取得最小值，最小值為26000元．答：購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種辦公桌分別為30張、10張時(shí)，費(fèi)用最少，為26000元．6．(教材P100習(xí)題T15變式)江漢平原享有“中國(guó)小龍蝦之鄉(xiāng)”的美稱(chēng)，甲、乙兩家農(nóng)貿(mào)商店，平常以同樣的價(jià)格出售品質(zhì)相同的小龍蝦．“龍蝦節(jié)”期間，甲、乙兩家商店都讓利酬賓，付款金額y甲，y乙(單位：元)與原價(jià)x(單位：元)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)干脆寫(xiě)出y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)“龍蝦節(jié)”期間，如何選擇甲、乙兩家商店購(gòu)買(mǎi)小龍蝦更省錢(qián)？解：(1)y甲＝0.8x.y乙＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（0<x<2000），,0.7x＋600（x≥2000）.))(2)當(dāng)0<x<2000時(shí)，0.8x<x，到甲商店購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián)；當(dāng)x≥2000時(shí)，若到甲商店購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián)，則0.8x<0.7x＋600，解得x<6000；若到乙商店購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián)，則0.8x>0.7x＋600，解得x>6000；若到甲、乙兩商店購(gòu)買(mǎi)一樣省錢(qián)，則0.8x＝0.7x＋600，解得x＝6000.故當(dāng)購(gòu)買(mǎi)金額按原價(jià)小于6000元時(shí)，到甲商店購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián)；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)金額按原價(jià)大于6000元時(shí)，到乙商店購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián)；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)金額按原價(jià)等于6000元時(shí)，到甲、乙兩商店購(gòu)買(mǎi)一樣．賽龍舟是端午節(jié)的主要習(xí)俗，某市甲、乙兩支龍舟隊(duì)在端午節(jié)期間進(jìn)行劃龍舟競(jìng)賽，從起點(diǎn)A駛向終點(diǎn)B，在整個(gè)行程中，龍舟離開(kāi)起點(diǎn)的距離y(米)與時(shí)間x(分鐘)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題：(1)起點(diǎn)A與終點(diǎn)B之間相距多遠(yuǎn)？(2)哪支龍舟隊(duì)先動(dòng)身？哪支龍舟隊(duì)先到達(dá)終點(diǎn)？(3)分別求甲、乙兩支龍舟隊(duì)的y與x的函數(shù)關(guān)系式；(4)甲龍舟隊(duì)動(dòng)身多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)兩支龍舟隊(duì)相距200米？解：(1)由圖可得，起點(diǎn)A與終點(diǎn)B之間相距3000米．(2)由圖可得，甲龍舟隊(duì)先動(dòng)身，乙龍舟隊(duì)先到達(dá)終點(diǎn)．(3)設(shè)甲龍舟隊(duì)的y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx.把(25，3000)代入，可得3000＝25k，解得k＝120.∴甲龍舟隊(duì)的y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝120x(0≤x≤25)．設(shè)乙龍舟隊(duì)的y與x函數(shù)關(guān)系式為y＝ax＋b.把(5，0)，(20，3000)代入，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝5a＋b，,3000＝20a＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝200，,b＝－1000.))∴乙龍舟隊(duì)的y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝200x－1000(5≤x≤20)．(4)令120x＝200x－1000，可得x＝12.5.即當(dāng)x＝12.5時(shí)，兩龍舟隊(duì)相遇．當(dāng)x＜5時(shí)，令120x＝200，則x＝eq\f(5,3)(符合題意)；當(dāng)5≤x＜12.5時(shí)，