2024年領(lǐng)軍高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題20三角恒等變換考點(diǎn)必練理

PAGEPAGE1考點(diǎn)20三角恒等變換1．設(shè)α，β∈[0，π]，且滿意sinαcosβ－cosαsinβ＝1，則sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范圍為()A．[－eq\r(2)，1] B．[－1，eq\r(2)]C．[－1,1] D．[1，eq\r(2)]【答案】C2．已知eq\f(2sin2θ＋sin2θ,1＋tanθ)＝k,0<θ<eq\f(π,4)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))的值為()A．隨著k的增大而增大B．有時(shí)隨著k的增大而增大，有時(shí)隨著k的增大而減小C．隨著k的增大而減小D．是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)【答案】A【解析】eq\f(2sin2θ＋sin2θ,1＋tanθ)＝eq\f(2sinθsinθ＋cosθ,\f(sinθ＋cosθ,cosθ))＝2sinθcosθ＝sin2θ，∵0<θ<eq\f(π,4)，∴0<sinθ<eq\f(\r(2),2)<cosθ<1,0<2θ<eq\f(π,2)，∴k＝sin2θ∈(0,1)，(sinθ－cosθ)2＝1－sin2θ，sinθ－cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\r(1－k)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sinθ－cosθ)＝－eq\f(\r(2－2k),2)，其值隨著k的增大而增大，故選A.3．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】函數(shù)；∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，故答案為.4．在銳角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C，則的最小值為_(kāi)__．【答案】故答案為：.5．已知，則______．【答案】【解析】∵，∴.故答案為：6．三角形ABC中，，AC=1，以B為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形BCD（A、D在BC兩側(cè)），當(dāng)∠BAC改變時(shí)，線段AD的長(zhǎng)度最大值為._______________.【答案】3＝5﹣2cos∠BAC+2sin∠BAC＝5+4sin（∠BAC﹣45°），∴當(dāng)∠BAC＝135°時(shí)AD2最大為9，AD最大值為3，故答案為：3．7．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】，所以.8．計(jì)算：______【答案】9．對(duì)于三次函數(shù)有如下定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”。若點(diǎn)是函數(shù)的“拐點(diǎn)”，也是函數(shù)圖像上的點(diǎn)，則函數(shù)的最大值是__________．【答案】【解析】，由于是函數(shù)的拐點(diǎn)，故，解得.所以，依據(jù)，解得，故，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為.10．在ABC中，，且，則_______.【答案】11．若，則____.【答案】7【解析】由正切的二倍角公式得，.故答案為：7.12．函數(shù)f(x)＝4cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1(x∈R)的最大值為．【答案】2【解析】∵f(x)＝4cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1＝4cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)cosx))－1＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，∴f(x)max＝2.13．已知函數(shù)f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的最大值為3，f(x)的圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為2，則f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝.【答案】403214．已知函數(shù)f(x)＝sin(3x＋eq\f(π,4))．(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若α是其次象限角，f(eq\f(α,3))＝eq\f(4,5)cos(α＋eq\f(π,4))cos2α，求cosα－sinα的值．【答案】[－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)，eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)]，k∈Z.－eq\r(2)或－eq\f(\r(5),2).【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ]，k∈Z.由－eq\f(π,2)＋2kπ≤3x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)≤x≤eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)，k∈Z.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)，eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)]，k∈Z.(2)由已知，有sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(4,5)cos(α＋eq\f(π,4))(cos2α－sin2α)，所以sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)(cosαcoseq\f(π,4)－sinαsineq\f(π,4))·(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝eq\f(4,5)(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．當(dāng)sinα＋cosα＝0時(shí)，由α是其次象限角，知α＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.此時(shí)，cosα－sinα＝－eq\r(2).當(dāng)sinα＋cosα≠0時(shí)，有(cosα－sinα)2＝eq\f(5,4).由α是其次象限角，知cosα－sinα<0，此時(shí)cosα－sinα＝－eq\f(\r(5),2).綜上所述，cosα－sinα＝－eq\r(2)或－eq\f(\r(5),2).15．在中，記，若，則的最大值為_(kāi)___．【答案】16．設(shè)函數(shù)（其中A，，為常數(shù)且A＞0，＞0，）的部分圖象如圖所示，若（），則的值為_(kāi)__．【答案】17．已知向量與向量相互平行，則的值為_(kāi)______?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)橄蛄颗c向量相互平行所以，解得，所以，故填.18．已知，，則________.【答案】19．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱．若，則=___________．【答案】【解析】∵角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱．，

∴，，

∴即答案為.20．已知為銳角，，則_____________．【答案】21．在中，若，，且，則________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，由余弦定理知，所以，故?22．已知曲線f（x）=ex+sinx﹣x3+1在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的傾斜角為α，則tan2α的值為_(kāi)____【答案】23．若函數(shù)f（x）=﹣x﹣cos2x+m（sinx﹣cosx）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，則m的取值范圍是____________．【答案】[，]【解析】函數(shù)f（x）=﹣x﹣cos2x+m（sinx﹣cosx）,則f′（x）=﹣+sin2x+m（sinx+cosx），令sinx+cosx=t，（）則sin2x=t2﹣1那么y=+mt-1，因?yàn)閒（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，則h（t）=+mt-1≤0在t∈[，]恒成立．可得，即解得：，故答案為：[，]．24．已知函數(shù)f(x)＝sinωx－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)．(1)若f(x)在[0，π]上的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)