高中數(shù)學(xué)必修4全冊教案精美版(全冊)

高中數(shù)學(xué)教案（人教A版必修全套）

【必修4教案|全套】

目錄

第一章三角函數(shù)..............................................................................1

1.1任意角和弧度制.....................................................................2

1.1.2弧度制..............................................................................7

1.2.1任意角的三角函數(shù)..................................................................14

1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系............................................................29

1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.................................................................35

1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.........................................................45

1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì).........................................................51

1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象..............................................................62

1.5函數(shù)y=Asin（cox+q））的圖象............................................................69

1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用............................................................82

第二章平面向量............................................................................93

2.2.1向量加法運算及其幾何意義.........................................................100

2.2.2向量減法運算及其幾何意義.........................................................108

2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義.........................................................113

2.3.1平面向量基本定理..................................................................118

2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示....................................................118

2.3.3平面向量的坐標(biāo)運算...............................................................127

2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示...........................................................127

2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義.................................................135

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角...............................................141

2.5.1平面幾何中的向量方法.............................................................146

2.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例...........................................................154

第三章三角恒等變換.......................................................................158

3.1.1兩角差的余弦公式.................................................................159

3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式.................................................166

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式.....................................................180

3.2簡單的三角恒等變換.................................................................187

第一章三角函數(shù)

本章教材分析

1.本章知識結(jié)構(gòu)如下:

任意角與任意角三角函數(shù)線;:用函數(shù)

弧度制；的?:角三角函數(shù)的模型的簡

單位惻函數(shù)圖象和性質(zhì)單應(yīng)用

同為

角

三

函數(shù)

基

的

本關(guān)

式

系

2.本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容主要是:三角函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.三角函數(shù)是高中教材中的一種重要函數(shù)，與

其他的函數(shù)相比，具有許多重要的特征:它以角為自變量，是周期函數(shù).三角函數(shù)是解決其他問題的重要工具,

是高中階段學(xué)習(xí)的最后個基本初等函數(shù)，是深化函數(shù)性質(zhì)的極好素材.本章的認(rèn)知基礎(chǔ)主要是幾何中圓的

性質(zhì)、相似形的有關(guān)知識，特別強調(diào)了單位圓的直觀作用，借助單位圓直觀地認(rèn)識任意角、任意角的三角函

數(shù).

3.本章教學(xué)的重點是三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,正弦函數(shù)的圖象及基本性質(zhì).難點是弧度

制和圖象變換的準(zhǔn)確理解和掌握.關(guān)鍵是學(xué)好三角函數(shù)定義.從實際教學(xué)情況來看，教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生的畫

圖.“五點畫圖”雖然簡單旭卻易學(xué)難掌握.在本章教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗和己有的數(shù)學(xué)知識，通

過列舉熟知的實例，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，使學(xué)生體會三角函數(shù)模型的意義.教學(xué)時，可結(jié)合本章引言的章頭圖，讓

學(xué)生圍繞這些問題展開討論，通過思考,讓學(xué)生知道三角函數(shù)可以刻畫這些周期變化規(guī)律，從而激發(fā)學(xué)生的求

知欲.

4.三角函數(shù)的內(nèi)容一直是高考的重要內(nèi)容，特別是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，及結(jié)合三角形的基礎(chǔ)知識為背景

的三角函數(shù)知識，頻頻在各省高考試題中出現(xiàn),難度雖有降低，卻是經(jīng)久不衰的高考考查內(nèi)容.

5.本章教學(xué)時間約需16課時,具體分配如下（僅供參考）：

標(biāo)題課時

1.1任意角和弧度制約2課時

1.2任意角的三角函數(shù)約3課時

1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式約2課時

1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)約4課時

1.5函數(shù)y=Asin?x+（p）的圖象約2課時

1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用約2課時

本章復(fù)習(xí)約1課時

1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

整體設(shè)計

教學(xué)分析

教材首先通過實際問題的展示,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，然后通過具體例子，將初中學(xué)過的角的概念推廣到

任意角，在此基礎(chǔ)上引出終邊相同的角的集合的概念.這樣可以使學(xué)生在已有經(jīng)驗（生活經(jīng)驗、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗）

的基礎(chǔ)匕更好地認(rèn)識任意角、象限角、終邊相同的角等概念.讓學(xué)生體會到把角推廣到任意角的必要性，引

出角的概念的推廣問題.本節(jié)充分結(jié)合角和平面直角坐標(biāo)系的關(guān)系,建立了象限角的概念.使得任意角的討論

有一個統(tǒng)一的載體.教學(xué)中要特別注意這種利用幾何的直觀性來研究問題的方法，引導(dǎo)學(xué)生善于利用數(shù)形結(jié)

合的思想方法來認(rèn)識問題、解決問題.讓學(xué)生初步學(xué)會在平面直角坐標(biāo)系中討論任意角.能熟練寫出與已知

角終邊相同的角的集合，是本節(jié)的一個重要任務(wù).

學(xué)生的活動過程決定著課堂教學(xué)的成敗，教學(xué)中應(yīng)反復(fù)挖掘“探究”欄目及“探究”示圖的過程功能，在這

個過程上要不惜多花些時間，讓學(xué)生進(jìn)行操作與思考，自然地、更好地歸納出終邊相同的角的一般形式.也就

自然地理解了集合S={0|B=a+k36（）o,kwZ}的含義.如能借助信息技術(shù)，則可以動態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程,

更有利于學(xué)生觀察角的變化與終邊位置的關(guān)系,讓學(xué)生在動態(tài)的過程中體會，既要知道旋轉(zhuǎn)量,又要知道旋轉(zhuǎn)

方向,才能準(zhǔn)確刻畫角的形成過程的道理，更好地了解任意角的深刻涵義.

三維目標(biāo)

1.通過實例的展示,使學(xué)生理解角的概念推廣的必要性，理解并掌握正角、負(fù)角、零角、象限角、終邊相

同角的概念及表示,樹立運動變化的觀點，并山此深刻理解推廣之后的角的概念.

2.通過自主探究、合作學(xué)習(xí)，認(rèn)識集合S中k、a的準(zhǔn)確含義，明確終邊相同的角不一定相等，終邊相同的

角有無限多個，它們相差360。的整數(shù)倍.這對學(xué)生的終身發(fā)展,形成科學(xué)的世界觀、價值觀具有重要意義.

3.通過類比正、負(fù)數(shù)的規(guī)定，讓學(xué)生認(rèn)識正角、負(fù)角并體會類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運用，為今后的

學(xué)習(xí)與發(fā)展打下良好的基礎(chǔ).

重點難點

教學(xué)重點:將0?！?60。范圍的角推廣到任意角，終邊相同的角的集合.

教學(xué)難點:用集合來表示終邊相同的角.

課時安排

1課時

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

圖1

思路1.（情境導(dǎo)入）如圖1,在許多學(xué)校的門口都有擺設(shè)的一些游戲機，只要指針旋轉(zhuǎn)到陰影部分即可獲得

高額獎品.由此發(fā)問:指針怎樣旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)多少度才能贏?還有我們所熟悉的體操運動員旋轉(zhuǎn)的角度，自行車車

輪旋轉(zhuǎn)的角度，螺絲扳手的旋轉(zhuǎn)角度，這些角度都怎樣解釋?在學(xué)生急切想知道的渴望中引入角的概念的推

廣.進(jìn)而引入角的概念的推廣的問題.

思路2.（復(fù)習(xí)導(dǎo)入）回憶初中我們是如何定義?個角的?所學(xué)的角的范圍是什么?用這些角怎樣解釋現(xiàn)實

生活的一些現(xiàn)象，比如你原地轉(zhuǎn)體一周的角度,應(yīng)怎樣修正角的定義才能解釋這些現(xiàn)象？由此讓學(xué)生展開討

論，進(jìn)而引入角的概念的推廣問題.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

①你的手表慢了5分鐘，你將怎樣把它調(diào)整準(zhǔn)確?假如你的手表快了1.25小時,你應(yīng)當(dāng)怎樣將它調(diào)整準(zhǔn)確?當(dāng)

時間調(diào)整準(zhǔn)確后，分針轉(zhuǎn)過了多少度角？

②體操運動中有轉(zhuǎn)體兩周，在這個動作中,運動員轉(zhuǎn)體多少度？

③請兩名男生（或女生、或多名男女學(xué)生）起立，做由“面向黑板轉(zhuǎn)體背向黑板”的動作.在這個過程中，他們各轉(zhuǎn)

體了多少度？

活動:讓學(xué)生到講臺利用準(zhǔn)備好的教具——鐘表,實地演示撥表的過程.讓學(xué)生站立原地做轉(zhuǎn)體動作.教

師強調(diào)學(xué)生觀察旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量，并思考怎樣表示旋轉(zhuǎn)方向.對回答正確的學(xué)生及時給予鼓勵、表揚，對回

答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.

角可以看作是平面內(nèi)?條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形，設(shè)條射線的端點是

0,它從起始位置0A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB,則形成了一個角a,點O是角的頂點，射線0A、0B

分別是角a的始邊和終邊.

我們規(guī)定:一條射線繞著它的端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫

做負(fù)角.鐘表的時針和分針在旋轉(zhuǎn)過程中所形成的角總是負(fù)角，為了簡便起見，在不引起混淆的前提下，“角a”

或“Na”可以簡記作“a”.

如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角，零角的始邊和終邊重合，如果a是零角，那么

a=0°.

討論結(jié)果:①順時針方向旋轉(zhuǎn)了30。;逆時針方向旋轉(zhuǎn)了450°.

②順時針方向旋轉(zhuǎn)了720?；蚰鏁r針方向旋轉(zhuǎn)了720°.

③-180。或+180。或-540?；?540。或900。或10800...

提出問題

①能否以同一條射線為始邊作出下列角：210。,-45。,-150。.

②如何在坐標(biāo)系中作出這些角,象限角是什么意思？0。角又是什么意思？

活動:先讓學(xué)生看書、思考、并討論這些問題，教師提示、點撥，并對回答正確的學(xué)生及時表揚，對回答不

準(zhǔn)確的學(xué)生，教師提示、引導(dǎo)考慮問題的思路.學(xué)生作這樣的角，使用一條射線作為始邊，沒有固定的參照，所以

會作出很多形式不同的角.教師可以適時地提醒學(xué)生:如果將角放到平面直角坐標(biāo)系中，問題會怎樣呢?并讓

學(xué)生思考討論在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的好處:使角的討論得到簡化,還能有效地表現(xiàn)出角的終邊“周而復(fù)始”

的現(xiàn)象.

今后我們在坐標(biāo)系中研究和討論角，為了討論問題的方便，我們使角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與

x軸的非負(fù)半軸重合.那么角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.要特別強調(diào)角與直角坐標(biāo)系

的關(guān)系——角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.

討論結(jié)果:①能.

②使角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第

幾象限角.這樣：

210。角是第三象限角；

?45。角是第四象限角；

-150。角是第三象限角.

特別地，終邊落在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何一個象限，比如0。角.

可以借此進(jìn)一步設(shè)問：

銳角是第幾象限角?鈍角是第幾象限角?直角是第幾象限角?反之如何？

將角按照上述方法放在直角坐標(biāo)系中，給定一個角，就有唯一一條終邊與之對應(yīng)，反之，對于直角坐標(biāo)系中的

任意一條射線OB,以它為終邊的角是否唯一?如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關(guān)系？

提出問題

①在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出210。,-150。的角的終邊，你有什么發(fā)現(xiàn)?它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系?328。,-32。,-392。角的

終邊及數(shù)量關(guān)系是怎樣的?終邊相同的角有什么關(guān)系？

②所有與a終邊相同的角，連同角a在內(nèi),怎樣用一個式子表示出來？

活動:讓學(xué)生從具體問題入手，探索終邊相同的角的關(guān)系，再用所準(zhǔn)備的教具或是多媒體給學(xué)生演示:演

示象限角、終邊相同的角，并及時地引導(dǎo):終邊相同的一系列角與0°到360。間的某一角有什么關(guān)系，從而為終

邊相同的角的表示作好準(zhǔn)備.

為了使學(xué)生明確終邊相同的角的表示方法，還可以用教具作一個32。角，放在直角坐標(biāo)系內(nèi)，使角的頂點

與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，形成-32。角后提問學(xué)生這是第幾象限角?是多少度角?學(xué)生

對后者的回答是多種多樣的.

至此,教師因勢利導(dǎo)，予以啟發(fā)，學(xué)生對問題探究的結(jié)果已經(jīng)水到渠成，本節(jié)難點得以突破.同時學(xué)生也在

這一學(xué)習(xí)過程中,體會到了探索的樂趣，激發(fā)起了極大的學(xué)習(xí)熱情，這是比學(xué)習(xí)知識本身更重要的.

討論結(jié)果:①210。與-150。角的終邊相同;328。,-32。,-392。角的終邊相同.終邊相同的角相差360。的整數(shù)倍.

設(shè)S={pIp=-32°+k-360°,keZ}JlJ328。,-392。角都是S的元素,-32。角也是S的元素（此時k=0）.因此,所有與

-32。角的終邊相同的角，連同-32。在內(nèi)，都是集合S的元素;反過來，集合S的任何一個元素顯然與-32。角終邊相

同.

②所有與a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可以構(gòu)成一個集合S={PIp=k-360°+a,keZ}.

即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成a與整數(shù)個周角的和.

適時引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識:①kdZ;②a是任意角;③終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差

360。的整數(shù)倍.

應(yīng)用示例

例1在0。一360。范圍內(nèi)，找出與-950。12,角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.

解:-950。12，=129。48。3'360。,所以在0。―360。的范圍內(nèi)，與-950。12,角終邊相同的角是129。4牛,它是第二象限

的角.

點評:教師可引導(dǎo)學(xué)生先估計-950。12,大致是360。的幾倍，然后再具體求解.

例2寫出終邊在y軸上的角的集合.

活動:終邊落在y軸上，應(yīng)分y軸的正方向與y軸的負(fù)方向兩個.

學(xué)生很容易分別寫出所有與90。,270。的終邊相同的角構(gòu)成集合，這時應(yīng)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:能否化簡

這兩個式子，用一個式子表示出來.

讓學(xué)生觀察、討論、思考，并逐漸形成共識，教師再規(guī)范地板書出來.并強調(diào)數(shù)學(xué)的簡捷性.在數(shù)學(xué)表達(dá)式

子不唯一的情況下，注意采用簡約的形式.

解:在0。―360。范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個,

即90。和270。角，如圖2.

因此,所有與90。的終邊相同的角構(gòu)成集合

S|={pIp=90°+k-360°,keZ）.

而所有與270。角的終邊相同的角構(gòu)成集合

S2={pIp=270°+k-360°,keZ}.

于是,終邊在y軸上的角的集合

s=Sius2

={pI0=90°+2k180°,keZ}U{p|0=90°+180°+2k-180°,keZ}

={pIp=90°+2k-180°,keZ}U{p|p=90°+(2k+l)180°,kGZ}

={PIp=90°+n-180°,neZ}.

點評:本例是讓學(xué)生理解終邊在坐標(biāo)軸上的角的表示.教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會用集合表示終邊相同的角

時，表示方法不唯一，要注意采用簡約的形式.

變式訓(xùn)練

①寫出終邊在x軸上的角的集合.

②寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.

答案:①S={pIp=(2n+l)-180°,neZ}.

②S={BIp=n-90°,neZ}.

例3寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360。印<720。的元素0寫出來.

圖3

解:如圖3,在直角坐標(biāo)系中畫出直線產(chǎn)x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸夾角是45。,在0。―360。范圍內(nèi)，終邊在直線y=x

上的角有兩個：45。和225。,因此，終邊在直線y=x上的角的集合

S={pIp=45°+k-360°,kGZ}U{p|p=225°+k-360°,keZ}.

S中適合-360咚。<720。的元素是：

450-2xl80°=-315°,

45°-lxl80o=-135°,

450+0xl80°=45°,

450+1X180°=225°,

45°+2xl80°=405°,

450+3xl80°=585°.

點評:本例是讓學(xué)生表示終邊在已知直線的角,并找出某一范圍的所有的角，即按一定順序取k的值，應(yīng)訓(xùn)

練學(xué)生掌握這一方法.

例4寫出在下列象限的角的集合：

①第一象限；②第二象限；

③第三象限；④第四象限.

活動:本題關(guān)鍵是寫出第一象限的角的集合，其他象限的角的集合依此類推即可，如果學(xué)生閱讀例題后沒

有解題思路，或者把①中的范圍寫成0°—90。,可引導(dǎo)學(xué)生分析360。―450。范圍的角是不是第一象限的角呢?

進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生寫出所有終邊相同的角.

解:①終邊在第一象限的角的集合:出In-360o<p<n-360°+90°,nGZ}.

②終邊在第二象限的角的集合:仍In-360°+90o<p<n-360°+180°,neZ}.

③終邊在第三象限的角的集合:@In360°+l80°<p<n-360°+270°,nGZ}.

④終邊在第四象限的角的集合:仍In-360o4-270o<p<n-360o+360°,nGZ}.

點評:教師給出以上解答后可進(jìn)一步提問:以上的解答形式是唯一的嗎?充分讓學(xué)生思考、討論后形成共

識，并進(jìn)一步深刻理解終邊相同角的意義.

知能訓(xùn)練

課本本節(jié)練習(xí).

解答：

1.銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；

直角不屬于任何一個象限,不屬于任何一個象限的角不一定是直角；

鈍角是第二象限角，但是第二象限角不一定是鈍角.

點評:要深刻認(rèn)識銳角、直角、鈍角和象限角的區(qū)別與聯(lián)系，并理解記憶.為弄清概念的本質(zhì)屬性，還可以再進(jìn)

一步啟發(fā)設(shè)問：

銳角一定小于90。嗎?小于90。的角一定是銳角嗎？

鈍角一定大于90。嗎?大于90。的角一定是鈍角嗎？

答案當(dāng)然是:不一定.

讓學(xué)生展開討論，在爭論中,將對問題的認(rèn)識進(jìn)一步升華，并牢牢的記憶這些基礎(chǔ)知識.

2.三、三、五.

點評:本題的目的是將終邊相同的角的符號表示應(yīng)用到其他周期性問題匕題目聯(lián)系實際,把教科書中除

數(shù)360換成每個星期的天數(shù)7,利用了“同余”來確定7k天后、7k天前也是星期三,這樣的練習(xí)難度不大，可以

口答.

3.(1)第一象限角.

(2)第四象限角.

(3)第二象限角.

(4)第三象限角.

點評:能作出給定的角，并判斷是第幾象限的角.

4.(1)305。42；第四象限角.

(2)35。8，,第一象限角.

(3)249。30。第三象限角.

點評:能在給定的范圍內(nèi)找出與指定角終邊相同的角，并判斷是第幾象限的角.

5.(1){PIp=l303°8,+k-360o,kGZ},-496o42,,-136o42,,223018,.

(2){pIp=-225°+k-360°,keZ},-585°,-225°,135°.

點評:用集合表示法和符號語言寫出與指定角終邊相同的角的集合，并在給定的范圍內(nèi)找出與指定的角

的終邊相同的角.

課堂小結(jié)

以提問的方式與學(xué)生一起回顧本節(jié)所學(xué)內(nèi)容并簡要總結(jié)：

讓學(xué)生自己回憶:本節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些新知識?你是怎樣獲得這些新知識的?你從本節(jié)課上都學(xué)到了哪些數(shù)

學(xué)方法?讓學(xué)生自己得到以下結(jié)論：

本節(jié)課推廣了角的概念,學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角、零角的定義，象限角的概念以及終邊相同的角的表示方法，零角

是射線沒有作任何旋轉(zhuǎn).一個角是第幾象限的角，關(guān)鍵是看這個角的終邊落在第幾象限,終邊相同的角的表示

有兩方面的內(nèi)容:⑴與角a終邊相同的角，這些角的集合為S={0I。=妙360。+建€2};(2)在0。一360吶找與已

知角終邊相同的角a,其方法是用所給的角除以360。,所得的商為k,余數(shù)為a(a必須是正數(shù)),a即為所找的角.

數(shù)形結(jié)合思想、運動變化觀點都是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法.

作業(yè)

①課本習(xí)題1.1A組1、3、5.

②預(yù)習(xí)下一節(jié):弧度制.

設(shè)計感想

1.本節(jié)課設(shè)計的容量較大，學(xué)生的活動量也較大,若用信息技術(shù)輔助教學(xué)效果會很好.教師可充分利用多媒體

做好課件，在課堂上演示給學(xué)生;有條件的學(xué)校，可以讓學(xué)生利用計算機或計算器進(jìn)行探究，讓學(xué)生在動態(tài)中

掌握知識、提煉方法.

2.本節(jié)設(shè)計的指導(dǎo)思想是加強直觀,利用幾何直觀有利于對抽象概念的理解.在學(xué)生得出象限角的概念后，可

以充分讓學(xué)生討論在直角坐標(biāo)系中研究角的好處.前瞻性地引導(dǎo)學(xué)生體會:在直角坐標(biāo)系中角的“周而復(fù)始”

的變化規(guī)律，為研究三角函數(shù)的周期性奠定基礎(chǔ).

3.幾點說明：

(1)列舉不在0。-360。的角時，應(yīng)注意所有的角在同一個平面內(nèi)，且終邊在旋轉(zhuǎn)的過程中，角的頂點不動.

（2）在研究終邊相同的兩個角的關(guān)系時，k的正確取值是關(guān)鍵，應(yīng)讓學(xué)生獨立思考領(lǐng)悟.

（3）在寫出終邊相同的角的集合時，可根據(jù)具體問題，對相應(yīng)的集合內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí).

1.1.2弧度制

整體設(shè)計

教學(xué)分析

在物理學(xué)利日常生活中,一個量常常需要用不同的方法進(jìn)行度量，不同的度量方法可以滿足我們不同的

需要.現(xiàn)實生活中有許多計量單位，如度量長度可以用米、厘米、尺、碼等不同的單位制，度量重量可以用千

克、斤、噸、磅等不同的單位制，度量角的大小可以用度為單位進(jìn)行度量，并且一度的角等于周角的言,

記作1°.

通過類比引出弧度制，給出1弧度的定義，然后通過探究得到弧度數(shù)的絕對值公式，并得出角度和弧度的

換算方法.在此基礎(chǔ)上，通過具體的例子,鞏固所學(xué)概念和公式，進(jìn)一步認(rèn)識引入弧度制的必要性.這樣可以盡

量自然地引入弧度制，并讓學(xué)生在探究過程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合與實數(shù)集的一一對應(yīng),

為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).

通過探究討論，關(guān)鍵弄清1弧度角的定義，使學(xué)生建立弧度的概念，理解弧度制的定義，達(dá)到突破難點之目

的.通過電教手段的直觀性，使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性、可行性.通過周角的兩種單

位制的度量,得到角度與弧度的換算公式.使學(xué)生認(rèn)識到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者雖單位不同,

但卻是互相聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的.進(jìn)一步加強對辯證統(tǒng)一思想的理解，滲透數(shù)學(xué)中普遍存在、相互聯(lián)系、相互

轉(zhuǎn)化的觀點.

三維目標(biāo)

1.通過類比長度、重量的不同度量制，使學(xué)生體會一個量可以用不同的單位制來度量，從而引出弧度制.

2.通過探究使學(xué)生認(rèn)識到角度制和弧度制都是度量角的制度,通過總結(jié)引入弧度制的好處，學(xué)會歸納整

理并認(rèn)識到任何新知識的學(xué)習(xí)，都會為解決實際問題帶來方便,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

重點難點

教學(xué)重點:理解弧度制的意義，并能進(jìn)行角度和弧度的換算.

教學(xué)難點:弧度的概念及其與角度的關(guān)系.

課時安排

1課時

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路1.（類比導(dǎo)入）測量人的身高常用米、厘米為單位進(jìn)行度量，這兩種度量單位是怎樣換算的?家庭購買

水果常用千克、斤為單位進(jìn)行度量，這兩種度量單位是怎樣換算的?度量角的大小除了以度為單位度量外，還

可采用哪種度量角的單位制?它們是怎樣換算的？

思路2.（情境導(dǎo)入）利用古代度量時間的一種儀器——日辱，或者利用普遍使用的鐘表.實際上我們使用

的鐘表是用時針、分針和秒針角度的變化來確定時間的.無論采用哪?種方法，度量?個確定的量所得到的

量數(shù)必須是唯一確定的.在初中，已學(xué)過利用角度來度量角的大小，現(xiàn)在來學(xué)習(xí)角的另一種度量方法——弧度

制.要使學(xué)生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含義,并能進(jìn)行弧度與角度換算的關(guān)鍵.

在引入弧度制后，可以引導(dǎo)學(xué)生建立弧與圓心角的聯(lián)系——弧的度數(shù)等于圓心角的度數(shù).隨著角的概念

的推廣，圓心角和弧的概念也隨之推廣:從“形”上說，圓心角有正角、零角、負(fù)角,相應(yīng)的，弧也就有正弧、零弧、

負(fù)弧;從“數(shù)''上講，圓心角與弧的度數(shù)有正數(shù)、0、負(fù)數(shù).圓心角和弧的正負(fù)實際上表示了“角的不同方向”，就

像三角函數(shù)值的正負(fù)可以用三角函數(shù)線（有向線段）的方向來表示一樣.每一個圓心角都有一條弧與它對應(yīng),

并且不同的圓心角對應(yīng)著不同的弧，反之亦然.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

fnj題①:在初中幾何里，我們學(xué)習(xí)過角的度量,1°的角是怎樣定義的呢？

問題②:我們從度量長度和重量上知道，不同的單位制能給我們解決問題帶來方便.那么角的度量是否也

能用不同單位制呢？

活動:教師先讓學(xué)生思考或討論問題,并讓學(xué)生回憶初中有關(guān)角度的知識，提出這是認(rèn)識弧度制的關(guān)鍵,

為更好地理解角度弧度的關(guān)系奠定基礎(chǔ).討論后教師提問學(xué)生,并對回答好的學(xué)生及時表揚，對回答不準(zhǔn)確的

學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的關(guān)鍵.教師板書弧度制的定義:規(guī)定長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧

度的角.以弧度為單位來度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度記作1rad.如圖1中,冠的長等于半徑

r,AB所對的圓心角NAOB就是1弧度的角，即4=1.

討論結(jié)果:

①1°的角可以理解為將圓周角分成360等份，每?等份的弧所對的圓心角就是1。.它是一個定值，與所取圓的

半徑大小無關(guān).

②能，用弧度制.

提出問題

問題①:作半徑不等的甲、乙兩圓，在每個圓上作出等于其半徑的弧長，連結(jié)圓心與弧的兩個端點，得到兩

個角，將乙圖移到甲圖上，兩個角有什么樣的關(guān)系？

問題②:如果一個半徑為r的圓的圓心角a所對的弧長是1,那么a的弧度數(shù)是多少?既然角度制、弧度制

都是角的度量制，那么它們之間如何換算？

活動:教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會總結(jié)和歸納角度制和弧度制的關(guān)系，提問學(xué)生歸納的情況,讓學(xué)生找出區(qū)別和聯(lián)

系.教師給予補充和提示，對表現(xiàn)好的學(xué)生進(jìn)行表揚，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示和鼓勵.引入弧度之后,應(yīng)與角

度進(jìn)行對比，使學(xué)生明確:第一，弧度制是以“弧度”為單位來度量角的單位制，角度制是以“度”為單位來度量角

的單位制;第二,1弧度是等于半徑長的弧所對的圓心角(或這條弧)的大小，而1°的角是周角的二一；第三，無論

360

是以“弧度”還是以“度”為單位,角的大小都是一個與半徑大小無關(guān)的定值.教師要強調(diào)為了讓學(xué)生習(xí)慣使用

弧度制，本教科書在后續(xù)的內(nèi)容中盡量采用弧度制.

討論結(jié)果:①完全重合，因為都是1弧度的角.

17T

②a=一；將角度化為弧度:360。=2兀rad,l°=—rad=0.01745rad,將弧度化為角度:2兀rad=360°,l

180

rad=(——)°~57.30o=57o18;弧度制與角度制的換算公式：設(shè)一個角的弧度數(shù)為a

71

180a7i

rad=(-----)°,n°=n——(rad).

7i180

提出問題

問題①:引入弧度之后,在平面直角坐標(biāo)系中，終邊相同的角應(yīng)該怎么用弧度來表示?扇形的面積與弧長

公式用弧度怎么表示？

問題②:填寫下列的表格，找出某種規(guī)律.

Xb的長OB旋轉(zhuǎn)的方向ZAOB的弧度數(shù)ZAOB的度數(shù)

zrr逆時針方向

271r逆時針方向

R1

2r-2

-71

0

180°

360°

活動:教師先給學(xué)生說明教科書上為什么設(shè)置這個“探究”?其意圖是先根據(jù)所給圖象對一些特殊角填表,

然后概括出一般情況.教師讓學(xué)生互動起來，討論并總結(jié)出規(guī)律，提問學(xué)生的總結(jié)情況，讓學(xué)生板書，教師對做

正確的學(xué)生給予表揚，對沒有總結(jié)完全的學(xué)生進(jìn)行簡單的提示.檢查完畢后，教師做個總結(jié).

由上表可知，如果一個半徑為r的圓的圓心角a所對的弧長是1,那么a的弧度數(shù)的絕對值是L這里，應(yīng)當(dāng)

a

注意從數(shù)學(xué)思想的高度引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“換算”問題，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它們一定可以換算.

推而廣之,同一個數(shù)學(xué)對象用不同方式表示時，它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)識這種聯(lián)系性也是數(shù)學(xué)研究的重

要內(nèi)容之一.

教師給學(xué)生指出，角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系:每一個

角都有唯一的一個實數(shù)（即這個角的弧度數(shù)）與它對應(yīng);反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角（即弧度數(shù)等

于這個實數(shù)的角）與它對應(yīng).值得注意的是:今后在表示與角a終邊相同的角時，有弧度制與角度制兩種單位制,

7T

要根據(jù)角a的單位來決定另一項的單位，即兩項所用的單位制必須一致,絕對不能出現(xiàn)小360。+〈或者

3

21＜兀+60。一類的寫法.在弧度制中，與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可以寫成B=a+2k7i（kGZ）的形式.如圖2

為角的集合與實數(shù)集R之間的一一對應(yīng)關(guān)系.

討論結(jié)果:①與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可以寫成。=a+2kMkez）的形式.弧度制下關(guān)于扇形的公式

為l=aR,S=—aR2,S=—1R.

22

②

汕的長OB旋轉(zhuǎn)的方向ZAOB的弧度數(shù)ZAOB的度數(shù)

nr逆時針方向n180°

2jtr逆時針方向2兀360°

R逆時針方向157.3°

2r順時針方向-2-114.6°

nr順時針方向■兀-180°

0未旋轉(zhuǎn)00°

兀r逆時針方向n180°

2兀r逆時針方向271360°

應(yīng)用示例

例1下列諸命題中，真命題是（）

A.一弧度是一度的圓心角所對的弧

B.一弧度是長度為半徑的弧

C.一弧度是一度的弧與一度的角之和

D.一弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角，它是角的一種度量單位

活動:本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下理解弧度制與角度制的聯(lián)系與區(qū)別，以達(dá)到熟練掌握定義.從實

際教學(xué)上看，弧度制不難理解，學(xué)生結(jié)合角度制很容易記住.

根據(jù)弧度制的定義:我們把長度等于半徑長的弧和所對的圓心角叫做一弧度的角.對照各項，可知D為真命

題.

答案:D

點評:本題考查弧度制下角的度量單位:1弧度的概念.

變式訓(xùn)練

下列四個命題中，不正確的一個是（）

A.半圓所對的圓心角是兀rad

B.周角的大小是27t

C.1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑

D.長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度

答案:D

例2將下列用弧度制表示的角化為2k7i+a（kEZ,ae[0,2初的形式，并指出它們所在的象

限:①一——;?-20;?-2A/3.

43

活動:本題的目的是讓學(xué)生理解什么是終邊相同的角，教師給予指導(dǎo)并討論歸納出般規(guī)律.即終邊在x

TT

軸、y軸上的角的集合分別是鄧Ip=krt,kGZ},{pIB'Mk/kez}.第一、二、三、四象限角的集合分別為:

71

{pI2k7t<p<2k7t+y,keZ},

71

!PI2kn:+—<p<2k7u+7i,kZ},

clc3

!PI2k7u+7i:<p<2k7t+,k￡Z},

37r

{pI2k兀+-^-v0〈2k7r+2兀,k￡Z}.

解:①—旦157r=4兀+—TC,是第一象限角.

44

②4=10兀+=，是第二象限角.

43

@-20=-3x6.28-1.16,是第四象限角.

④-23X-3.464,是第二象限角.

點評:在這類題中對于含有兀的弧度數(shù)表示的角，我們先將它化為2尿+01（1<64016[0,2兀））的形式,再根據(jù)

a角終邊所在的位置進(jìn)行判斷，對于不含有兀的弧度數(shù)表示的角，取兀=3.14,化為kx6.28+a,kSZ,IaIe

[0,6.28）的形式，通過a與生TT，兀，把37r比較大小，估計出角所在的象限.

22

變式訓(xùn)練

（l）JE-l480。寫成2k7t+a（kGZ,aG[0,2兀））的形式；

(2)若pe[4兀,0),且p與⑴中a終邊相同，求p.

74乃16〃八16%

解:⑴:-1480°=-—=-10兀+----,0<------<2兀,

999

16萬

A-1480。=2(-5)兀+方.

1z-

(2)?邙與a終邊相同,I.P=2k7c+,kez.

,2乃20)

又[-4兀,0),，d=——,p2=-----.

例3已知0Vo<2兀，且e與70相同，求e.

活動:本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下會用弧度制求終邊相同的角，并通過獨立完成課后練習(xí)真正領(lǐng)

悟弧度制的要領(lǐng)，最終達(dá)到熟練掌握.從實際教學(xué)來看,用弧度制解決角的問題要很容易卻難掌握，很有可能

記錯或者混淆或者化簡錯誤，學(xué)生需多做些這方面的題來練基本功.可先讓學(xué)生多做相應(yīng)的隨堂練習(xí)，在黑板

上當(dāng)場演練，教師給予批改指導(dǎo)，對易出錯的地方特別強調(diào).對學(xué)生出現(xiàn)的種種失誤,教師不要著急，在學(xué)生的

練習(xí)操作中一一糾正，這對以后學(xué)習(xí)大有好處.

k

解：由己》知，得7e=2k7r+e,keZ,即60=2匕1.，。=—兀

3

k

又,/0<9<2K,0<—兀<2兀.

3

；kez,當(dāng)k=l、2、3、4、5時,0=工、網(wǎng)、兀、竺、—.

3333

點評：本題是在定的約束條件下,求與角a終邊相同的角，?般地，首先將這樣的角表示為

2kn+a(kez,a6[0,2兀))的形式，然后在約束條件下確定k的值，進(jìn)而求適合條件的角.

例4已知一個扇形的周長為a,求當(dāng)扇形的圓心角多大時，扇形的面積最大，并求這個最大值.

活動:這是一道應(yīng)用題,并且考查了函數(shù)思想，教師提示學(xué)生回顧一下用函數(shù)法求最值的思路與步驟，教

師提問學(xué)生對已學(xué)知識的掌握和鞏固,并對回答好的學(xué)生進(jìn)行表揚，對回答不全面的學(xué)生給予一定的提示和

鼓勵.教師補充，函數(shù)法求最值所包括的五個基本環(huán)節(jié):(1)選取自變量;(2)建立目標(biāo)函數(shù);(3)指出函數(shù)的定義

域;(4)求函數(shù)的最值;(5)作出相應(yīng)結(jié)論.其中自變量的選取不唯一，建立目標(biāo)函數(shù)結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行，函數(shù)定義

域要根據(jù)題意確定,有些函數(shù)是結(jié)構(gòu)確定求最值的方法，并確保在定義域內(nèi)能取到最值.

解:設(shè)扇形的弧長為1,半徑為r,圓心角為a,面積為S.

由已知,2rH=a，即l=a?2r.

2

-1.17aa9a

??S=-卜尸一(a-ZrpL-rH-L-Cr—---

222416

*/r>0,l=a-2r>0,0<r<.

?二當(dāng)r=:時,Smax=--?

416

111匕時,l=a?2,—=—a=—=2.

42r

故當(dāng)扇形的圓心角為2rad時，扇形的面枳取最大值生.

16

點評:這是一個最大值問題，可用函數(shù)法求解，即將扇形的面積S表示成某個變量的函數(shù),然后求這個函

數(shù)的最大值及相應(yīng)的圓心角.

變式訓(xùn)練

已知一個扇形的周長為學(xué)+4,圓心角為80。,求這個扇形的面積.

TT4^r

解:設(shè)扇形的半徑為r,面積為S,由已知知道，扇形的圓心角為80乂忘=看，

...扇形的弧長為也r,由已知，陽r+2r=—+4,二廠2.

999

147r28萬,.4#L.?87r

??S=-------1--r2=—.故扇形的面積為一.

2999

點評:求扇形的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.相反，也可由扇形的面積

結(jié)合其他條件，求扇形的圓心角、半徑、弧長.解題時要注意公式的靈活變形及方程思想的運用.

知能訓(xùn)練

課本本節(jié)練習(xí).

〃”田47m20m

解答:1.⑴?、?丁;⑶一；-.

oO3

點評:能進(jìn)行角度與弧度的換算.

2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.

點評:能進(jìn)行弧度與角度的換算.

71_

3.(l){a|a=kn,keZ};(2){a|a=—+kn,keZ}.

點評:用弧度制表示終邊分別在x軸和y軸上的角的集合.

4.(l)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1,20<tan1.2.

點評:體會同數(shù)值不同單位的角對應(yīng)的三角函數(shù)值可能不同，并進(jìn)一步認(rèn)識兩種單位制.注意在用計算器

求三角函數(shù)值之前,要先對計算器中角的模式進(jìn)行設(shè)置.如求cos0.75。之前，要將角模式設(shè)置為DEG(角度制);

求cosO.75之前，要將角模式設(shè)置為RAD(弧度制).

冗

5.——m.

3

點評:通過分別運用角度制和弧度制卜的弧長公式,體會引入弧度制的必要性.

6.弧度數(shù)為1.2.

點評:進(jìn)一步認(rèn)識弧度數(shù)的絕對值公式.

課堂小結(jié)

由學(xué)生總結(jié)弧度制的定義，角度與弧度的換算公式與方法.教師強調(diào)角度制與弧度制是度量角的兩種不

同的單位制，它們是互相聯(lián)系的，辯證統(tǒng)一的;角度與弧度的換算，關(guān)鍵要理解并牢記180。=兀rad這一關(guān)系式,

由此可以很方便地進(jìn)行角度與弧度的換算;三個注意的問題，同學(xué)們要切記;特殊角的弧度數(shù)，同學(xué)們要熟記.

重要的一點是，同學(xué)們自己找到了角的集合與實數(shù)集R的一一對應(yīng)關(guān)系，對弧度制下的弧長公式、扇形

面積公式有了深刻的理解，要把這兩個公式記下來，并在解決實際問題中靈活運用，表揚學(xué)生能總結(jié)出引入弧

度制的好處,這種不斷總結(jié)，不斷歸納，梳理知識，編織知識的網(wǎng)絡(luò)，特別是同學(xué)們善于聯(lián)想、積極探索的學(xué)習(xí)品

質(zhì)，會使我們終生受用，這樣持之以恒地堅持下去，你會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)王國的許多寶藏，以服務(wù)于社會,造福于人類.

作業(yè)

①課本習(xí)題1.1A組6、8、10.

②課后探究訓(xùn)練:課本習(xí)題11B組題.

設(shè)計感想

本節(jié)課的設(shè)計思想是:在學(xué)生的探究活動中通過類比引入弧度制這個概念并突破這個難點.因此一開始

要讓學(xué)生從圖形、代數(shù)兩方面深入探究，不要讓開始的探究成為一種擺設(shè).如果學(xué)生一開始沒有很好的理解,

那么以后有些題怎么做就怎么難受.通過探究讓學(xué)生明確知識依附于問題而存在，方法為解決問題的需要而

產(chǎn)生.將弧度制的概念的形成過程自然地貫徹到教學(xué)活動中去，由此把學(xué)生的思維推到更寬的廣度.

本節(jié)設(shè)計的特點是由特殊到一般、由易到難，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律;讓學(xué)生在探究中積累知識,發(fā)展能

力,對形成科學(xué)的探究未知世界的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)有著良好的啟迪.但由于學(xué)生知識水平的限制,本節(jié)不能擴展太多,

建議讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)總結(jié)歸納用弧度來計量角的好處并為后續(xù)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

根據(jù)本節(jié)特點可考慮分層推進(jìn)、照顧全體.對優(yōu)等生，重在引導(dǎo)他們變式思維的訓(xùn)練,培養(yǎng)他們求同思維、

求異思維的能力，以及思維的靈活性、深刻性與創(chuàng)造性.鼓勵他們獨立思考，勇于探索，敢于創(chuàng)新,對正確的要予

以肯定，對暴露出來的問題要及時引導(dǎo)、剖析糾正，使課堂學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造的過程.

1.2任意角的三角函數(shù)

1.2.1任意角的三角函數(shù)

整體設(shè)計

教學(xué)分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，它是用直角三角形邊長的比來刻畫的.銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”

有直接關(guān)系.任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它與“解三角形”己經(jīng)沒有什么關(guān)系了.因此,

與學(xué)習(xí)其他基本初等函數(shù)一樣，學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，關(guān)鍵是要使學(xué)生理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),

并能用三角函數(shù)描述一些簡單的周期變化規(guī)律，解決簡單的實際問題.

本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子，利用單位圓上點的坐標(biāo)定義三角函數(shù).由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種

緊密的內(nèi)部聯(lián)系，使得我們在討論三角函數(shù)的問題時，對于研究哪些問題以及用什么方法研究這些問題等，都

可以從圓的性質(zhì)（特別是對稱性）中得到啟發(fā).三角函數(shù)的研究中，數(shù)形結(jié)合思想起著非常重要的作用.

利用信息技術(shù)，可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點坐標(biāo)、單位圓中的三角函數(shù)線之間的聯(lián)系，

并在角的變化過程中，將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來.所以，信息技術(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì).

激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神;通過學(xué)生之間、師生之間的

交流合作，實現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長的教學(xué)情境.

三維目標(biāo)

1.通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義，理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，并從任

意角的三角函數(shù)定義認(rèn)識正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的

符號.

2.通過對任意角的三角函數(shù)定義的理解,掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等.

3.正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角a的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來，即用正弦線、余

弦線、正切線表示出來.

4.能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡單問題.

重點難點

教學(xué)重點:任意角的正弦、余弦、正切的定義，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

教學(xué)難點:用角的終邊上的點的坐標(biāo)來刻畫三角函數(shù);三角函數(shù)符號;利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意

角a的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示.

課時安排

2課時

教學(xué)過程

第1課時

導(dǎo)入新課

思路1.我們把角的范圍推廣了,銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎?譬如三角形內(nèi)角和為180。,那么

sin200。的值還是三角形中200。的對邊與斜邊的比值嗎?類比角的概念的推廣，怎樣修正三角函數(shù)定義?由此

展開新課.另外用“單位圓定義法''單刀直入給出定義，然后再在適當(dāng)時機聯(lián)系銳角三角函數(shù)，這也是一種不錯

的選擇.

思路2.教師先讓學(xué)生看教科書上的“思考”，通過這個“思考”提出用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點的坐標(biāo)

表示銳角三角函數(shù)的問題,以引導(dǎo)學(xué)生回憶銳角三角函數(shù)概念，體會引進(jìn)象限角概念后,用角的終邊上點的坐

標(biāo)比表示銳角三角函數(shù)的意義，從而為定義任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).教科書在定義任意角的三角函數(shù)之

前,作了如下鋪墊:直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)一象限角為載體的銳角三角函數(shù)一單位圓上點的坐標(biāo)

表示的銳角三角函數(shù).

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

問題①:在初中時我們學(xué)了銳角三角函數(shù)，你能回憶?下銳角三角函數(shù)的定義嗎？

問題②:你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎？

活動:教師提出問題，學(xué)生口頭回答，突出它是以銳角為自變量，邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù)，教師并對

回答正確的學(xué)生進(jìn)行表揚，對回答不出來的同學(xué)給予提示和鼓勵.然后教師在黑板上畫出直角三角形.

教師提示:前面我們對角的概念已經(jīng)進(jìn)行了擴充，并且學(xué)習(xí)了弧度制，知道了角的集合與實數(shù)集是??一對

應(yīng)的，在此基礎(chǔ)上，我們來研究任意角的三角函數(shù).教師在直角三角形所在的平面上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，畫出

角a的終邊;學(xué)生給出相應(yīng)點的坐標(biāo)，并用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù).

如圖1,設(shè)銳角a的頂點與原點0重合,始邊與x軸的正半軸重合，那么它的終邊在第?象限.在a的終邊

上任取一點P(a,b),它與原點的距離Ja?+/>0.過P作x軸的垂線,垂足為M,則線段OM的長度為a,線段

MP的長度為b.

根據(jù)初中學(xué)過的三角函數(shù)定義,我們有