高中數(shù)學(xué)全一冊學(xué)案湘教版選修2-2

2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)全一冊學(xué)案湘教版選修2-2

4.1.1問題探索一一求自由落體的瞬時速度

聲預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)J挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.理解并掌握平均速度的概念.

2.通過實例的分析，經(jīng)歷平均速度過渡到瞬時速度的過程.

［知識鏈接］

1.一物體的位移s與時間t滿足函數(shù)關(guān)系s=F,則在時間段［1,2］內(nèi)的平均速度丁=

_22-I2

答案，=n=3.

2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律s=5+3,則在時間(3,3+中中，相應(yīng)的平均速度等于

+d2+3-32-3,

答案~+d-3-6+d

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

1.伽利略通過實驗得到的自由落體的下落距離s和時間才有近似的函數(shù)關(guān)系，其關(guān)系是三

4.9?.

2.瞬時速度

(1)在友時刻的瞬時速度即指在時刻t?+d,當(dāng)d趨于0時，時間段［航益+H內(nèi)的平均速度.

(2)若物體的運(yùn)動方程為s=f1),則物體在任意時刻t的瞬時速度”￡)就是平均速度v(t,

cb=/」+”―/一—在d趨于o時的極限.

歹課堂講義J重點(diǎn)難點(diǎn)，個個擊破___________________________________________________________

要點(diǎn)一求平均速度

例1已知一物體做自由落體運(yùn)動，運(yùn)動的方程為4位移單位：m,時間單位：s),求：

(1)物體在力。到必+d這段時間內(nèi)的平均速度

(2)物體在i=10s到1=10.1s這段時間內(nèi)的平均速度.

解⑴s(1+6—s(。=(g(￡o+42—城

=gUd+-gcf,

在備到必+d這段時間內(nèi)，物體平均速度為

,12

gtod~\~書d］

*￡o,d)=------------=gU+~^gd.

(2)由(1)知:to=10s,d=0.1s,

平均速度為10吐;gXO.1=10.05g(m/s).

規(guī)律方法物體的運(yùn)動方程是s(t),則從r=G到的平均速度是K(r,也=

S方2—S3

tL、t\,

跟蹤演練1已知物體運(yùn)動方程為sC)=2"+2力(位移單位：m,時間單位：s),求：

(1)物體在運(yùn)動前3s內(nèi)的平均速度；

(2)物體在2s到3s內(nèi)的平均速度.

解(1)物體在前3s內(nèi)的位移為：

s—s24

s(3)-s(0)=2X32+2X3-0=24(m),故前3s內(nèi)的平均速度為:------------=彳=

OO

8(m/s).

(2)物體在2s到3s內(nèi)的位移為

s(3)-s(2)=24-(2X22+2X2)=12(m).

c—S

故物體在2s到3s這段時間內(nèi)的平均速度為1——=-----=12(m/s).

0-幺

要點(diǎn)二求瞬時速度

例2已知一物體做自由落體運(yùn)動，s=ggd(位移單位：時間單位：s,

^=9.8m/s2).

(1)計算1從3s到3.1s,3.01s,3.001s各段時間內(nèi)平均速度；

(2)求￡=3s時的瞬時速度.

解⑴當(dāng)方在區(qū)間［3,3.1］時，rf=3.1-3=0.l(s),

s(3.1)—s(3)=^X3.I2—^X32=2.989(m),

-s-s2,989

］=-=29.89(m/s).

V~d-0.1

同理,當(dāng)方在區(qū)間［3,3.01］時，v2=29.449(m/s),

2

當(dāng)2在區(qū)間［3,3.001］時，v3=29.4049(m/s).

(2)物體在［3,3+M上的平均速度是：

\g+d2-1^X3~

s+d-s

~d~~-------------?-------------=/g(6+4

當(dāng)d-C時，上式表達(dá)式值為3g,即物體在3s時的瞬時速度為3g=29.4(m/s).

規(guī)律方法平均速度即位移增量與時間增量之比

ctd—st

:,-----,而瞬時速度為平均速度在40時的極限值，二者有本質(zhì)區(qū)別.

d

跟蹤演練2槍彈在槍筒中運(yùn)動可以看作勻加速運(yùn)動，如果它的加速度是5.0X10,m/l,槍

彈從槍口中射出時所用的時間為1.6X103s,求槍彈射出槍口時的瞬時速度.

解運(yùn)動方程為5=1ar.

1,1

5at+d2一談

v[t,d)----------------

d

1￡

-ad-\~atd

d~\~Qt.

=d3=7/7d

當(dāng)，趨于0時，^ad+at的極限為at.

a=5.OX105m/s2,t=l.6XIO-3s,

，槍彈射出槍口時的瞬時速度為5X1()5XL6X1()Tm/s,

即800m/s.

歹當(dāng)堂檢測/當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗成功___________________________________________________________

1.一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程是s=4—2乙則在時間段［1,1+M內(nèi)相應(yīng)的平均速度為

()

A.2d+4B.-2d+4

C.2d—4D.—2d—4

答案D

+d2-4+2X/4d+2t/

解析K(1,d)'d=~2d-4.

2.已知物體位移s與時間力的函數(shù)關(guān)系為$=『1).下列敘述正確的是()

A.在時間段［友，友+M內(nèi)的平均速度即是在,時刻的瞬時速度

B.在力=1.1,fe=1.01,益=1.001,tI=1.0001,這四個時刻的速度都與1=1時刻的速

度相等

C.在時間段M—d,詞與to+M(心0)內(nèi)當(dāng)，趨于。時，兩時間段的平均速度相等

D.以上三種說法都不正確

答案C

解析兩時間段的平均速度都是在加時刻的瞬時速度.

3.已知s=：g/,從3秒到3.1秒的平均速度與=.

答案3.05g

11,

_5g.3.12一歹3-

解析v=Q-]Q=3.05g

3.1—3

4.如果質(zhì)點(diǎn)"的運(yùn)動方程是s=25—2,則在時間段[2,2+M內(nèi)的平均速度是.

答案8+24

解析“2,小==~2~~-.....=8+24

a

課堂小結(jié)

1.平均速度與瞬時速度的區(qū)別與聯(lián)系

平均速度是運(yùn)動物體在某一段時間內(nèi)位移的平均值，即用時間除位移得到，而瞬時速度是物

體在某一時間點(diǎn)的速度，當(dāng)時間段越來越小的過程中，平均速度就越來越接近一個數(shù)值，這

個數(shù)值就是瞬時速度，可以說，瞬時速度是平均速度在時間間隔無限趨于。時的“飛躍”.

2.求瞬時速度的一般步驟

設(shè)物體運(yùn)動方程為s=g則求物體在t時刻瞬時速度的步驟為：

fd—ft

(1)從t到t+d這段時間內(nèi)的平均速度為“，其中Ht+4一f(e)稱為位移

的增量；

⑵對上式化簡，并令，趨于0,得到極限數(shù)值即為物體在t時刻的瞬時速

度.

h分層訓(xùn)練1解疑糾偏，訓(xùn)練檢測___________________________________________________________

一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.設(shè)物體的運(yùn)動方程S=f(?,在計算從1到1+d這段時間內(nèi)的平均速度時，其中時間的

增量"()

A.d>0B.點(diǎn)0

C.d=0D.

4

答案D

2.一物體運(yùn)動的方程是s=2巴則從2s到（2+協(xié)s這段時間內(nèi)位移的增量為

()

A.8B.8+2d

C.8d+2(fD.4d+24

答案C

解析As=2(2+<y)’-2X22=8d+2d.

3.一物體的運(yùn)動方程為s=3+*則在時間段［2,2.1］內(nèi)相應(yīng)的平均速度為()

A.4.11B.4.01C,4.0D.4.1

答案D

—3+2.12-3-22

解析V==4.1.

0.1

4.一木塊沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間I之間的方程為

s=9,則t=2時，此木塊水平方向的瞬時速度為（）

O

11

A.2B.1C.-D.-

答案c

-+At2--X22

△S88Z111、

解析

△t------獲-----=尹於上廿「°)?

5.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律s=2/+l,則從t=l到t=l+d時間段內(nèi)運(yùn)動距離對時間的變化率為

答案4+24

+2+l-2Xl2-l

解析=4+2d

l+d-l

6.已知某個物體走過的路程s（單位：m）是時間t（單位：s）的函數(shù)：s=—「+1.

（1）t—2到t—2.1；

⑵t=2到t=2.01；

（3）t—2到t—2.001.

則三個時間段內(nèi)的平均速度分別為,,，估計該物體在力=2時的

瞬時速度為.

答案一4.1m/s—4.01m/s—4.001m/s

—4m/s

7.某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時，需在2s內(nèi)完成剎車，其位移

（單位：m）關(guān)于時間（單位：s）的函數(shù)為：

s(t)=—3t3+?+20,求：

(1)開始剎車后is內(nèi)的平均速度；

(2)剎車1s到2s之間的平均速度；

(3)剎車1s時的瞬時速度.

解(1)剎車后1s內(nèi)平均速度

—s-s-3X13+12+-20

=—2(m/s).

(2)剎車后1s到2s內(nèi)的平均速度為:

—S—S_____

匕=2^1

—3X23+2?+——3x1+12+

1

=-18(m/s).

(3)從方=1s至I」1=(l+由s內(nèi)平均速度為：

—s+d—s_____

八=萬

一+d4+d2+20-TXl+R

=d

=-ld-8?Td=30)

a

即t=ls時的瞬時速度為一7m/s.

二、能力提升

8.質(zhì)點(diǎn)材的運(yùn)動方程為s=2—-2,則在時間段[2,2+△打內(nèi)的平均速度為()

A.8+2△tB.4+2At

C.7+2AtD.-8+2At

答案A

.△S+△[2_2_2一

斛析=8+2△t.

9.自由落體運(yùn)動的物體下降的距離力和時間力的關(guān)系式為則從t=0至Ur=l時間

段內(nèi)的平均速度為,在t=l到t=l+△力時間段內(nèi)的平均速度為________,在t=

1時刻的瞬時速度為.

答案5gg+^gAtg

6

I^xi2-^xo2

解析-----匚不----=]g

消+At2

—二吟gAt.

當(dāng)AL0時，Q由△tfg.

10.自由落體運(yùn)動的物體下降距離方和時間t的關(guān)系式為力=上^2,1=2時的瞬時速度為19.6,

則g=?

答案9.8

1,21c2

5g+△t---^X2]

解析----------t-------書&t.

當(dāng)At-0時，2g+*Atf2g.

.*.2^=19.6,g=9.8.

11.求函數(shù)s=2/+力在區(qū)間⑵2+d]內(nèi)的平均速度.

解,/As=2(2+d)2+(2+^-(2X22+2)=9d+2d,

△s

平均速度為=7=9+2d

a

12.甲、乙二人平時跑步路程與時間的關(guān)系以及百米賽跑路程和時間的關(guān)系分別如圖①、②

所示.問：

(D甲、乙二人平時跑步哪一個跑得快？

(2)甲、乙二人百米賽跑，快到終點(diǎn)時，誰跑得快(設(shè)As為s的增量)？

①②

解(1)由題圖①在(0,“時間段內(nèi)，甲、乙跑過的路程S，P〈SS故有?〈年即在任一時間段

(0,句內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度，所以乙比甲跑得快.

(2)由題圖②知，在終點(diǎn)附近"一，力)時間段內(nèi)，路程增量As乙》As%所以當(dāng)然為即

aa

快到終點(diǎn)時，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快.

三、探究與創(chuàng)新

13.質(zhì)量為10kg的物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律做直線運(yùn)動，求運(yùn)動開始后4秒時物

體的動能.

s—s

解

△t

t+2++4—2+4+

=3At+25,

△t

當(dāng)At-0時，3A25-25.

即4秒時刻的瞬時速度為25.

.?.物質(zhì)的動能為*/=310X252=3125(J)

4.1.2問題探索——求作拋物線的切線

h預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

理解并掌握如何求拋物線的切線.

［知識鏈接］

1.設(shè)函數(shù)尸/Kx),當(dāng)自變量x由加改變到x0+d時，函數(shù)的改變量為.

答案/■(*。+中一/Xx。)

2.函數(shù)在％=1處的切線斜率k=.

Ay+△x-—1"

答案—―——L=2+△L2(AL0).

Ax△x

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

求曲線上點(diǎn)一處切線斜率的方法

設(shè)P(u,/Xu))是函數(shù)y=f(x)的曲線上的任一點(diǎn)，則求點(diǎn)。處切線斜率的方法是：

⑴在曲線上取不同于一的點(diǎn)0(u+d,/'(〃+中)，計算直線制的斜率k(u,d)=

fu+d—fu

d?

(2)在所求得的閭的斜率的表達(dá)式Hu,近中，讓d趨于0,如果k(u,d)趨于確定的數(shù)值k⑺,

則以就是曲線在。處的切線斜率.

尹課堂講義i重點(diǎn)難點(diǎn)，個個擊破___________________________________________________________

要點(diǎn)一有關(guān)曲線的割線斜率的探索

8

例1點(diǎn)尸(3,9)為拋物線尸f上的一點(diǎn)，4(1,1),4(2,4),4(4,16),4(5,25)為拋物線

上另外四點(diǎn).

⑴分別求割線9，PAz,PA?必$的斜率；

(2)若用刖，烯為曲線上異于〃的動點(diǎn)，當(dāng)4逐漸向P趨近時，說明割線斜率的變化情

況.

1—94—9

解(1)*勺===4,*啊===5,

16-925-916

"啊=口"=7,4飛=缶=^=萬=8.

⑵當(dāng)力沿曲線趨近于2點(diǎn)時，施的值趨近于3,不妨設(shè)刖=3+"(40),當(dāng)x°f3時，d/0,

2__9

則kpA—T=AO+3=(3+#+3=6+4

xo—3

當(dāng)“一0時，56,表明隨力點(diǎn)無限趨近于R割線用的斜率無限趨近于6.

規(guī)律方法割線向切線逼近的過程是從有限到無限的過程，也是d趨于0的過程，這一過程實

現(xiàn)了從割線到切線質(zhì)的飛躍.

跟蹤演練1已知點(diǎn)/(小，yi),B〈xz,㈤為函數(shù)曲線上兩不同點(diǎn).

(1)當(dāng)小=1,及=2時，求七招

(2)求當(dāng)汨=照，怒=xo+d時，力、占兩點(diǎn)連線斜率左小

q,/、fx-i-fx\23—I3

解(1)岫=—*77~=7?

X2~Xi2—1

/c\zfX2-fX\

k=：

(2)Ali---------X-L--X--\------

照+dB—總

3x：d+3施4+/

d

=3x：+3xod+d.

要點(diǎn)二有關(guān)切線方程的探索

例2已知曲線方程為y=f(x)=f+2x,求曲線在點(diǎn)〃(1,3)處的切線方程.

解/、(照+d)-/、(照)=F(1+中一F(l)

=(l+^3+2(l+^-(l3+2Xl)

=3d+3/+/+2d

=5d+3/+/

則雇1,劣=網(wǎng)土"=5+3什/

d

當(dāng)仆0時，XI)=5,

則切線方程為廠-3=5(x-l)即5x-y-2=0.

規(guī)律方法求曲線上點(diǎn)(用，㈤處切線方程的步驟：

(1)求割線斜率；(2)求切線斜率；(3)求切線方程.

跟蹤演練2求y=F(x)=/-1在x=l處的切線斜率及切線方程.

解f(x?+d)—f(xo)=f(l+"-f(l)=(1+而2—1—(f—1)=4+2d,

(f+2d,、

j=d+2f2，

d

即在x=l處切線斜率為2.

；/W=0,

.??切線方程為y=2(x—1),

即2x—y—2=0.

要點(diǎn)三求切點(diǎn)坐標(biāo)

例3在曲線了=4步上求一點(diǎn)尸使得曲線在該點(diǎn)處的切線分別滿足下列條件：

(1)平行于直線/=犬+1;

⑵垂直于直線2x—16y+1=0；

(3)傾斜角為135°.

解設(shè)/10=4x2且P點(diǎn)坐標(biāo)為(u,〃力).在曲線上取另一點(diǎn)Hu+4)，計算直線

國的斜率

,..fu+d—fu

k{u,d)=--------------------------

在所求得的斜率表達(dá)式中讓d趨于0,表達(dá)式趨于8u,所以。點(diǎn)處切線斜率為8u.

(1)因為切線與直線y=x+l平行，所以8u=l.

1.,1

即七*'

⑵因為切線與直線2x-16y+l=0垂直，

2

所以8〃?(一一7T)=-1,

-16

?J=-1.

o

.??〃=—1,F(u)=4,即P(—1,4).

(3)因為切線傾斜角為135°,所以8u=tan135°=-1,

10

11

-/力

^7=

U=-0\

16

即*于m

規(guī)律方法解答此類題目，切點(diǎn)橫坐標(biāo)是關(guān)鍵信息，因為切線斜率與之密切相關(guān).同時應(yīng)注

意解析幾何知識的應(yīng)用，特別是直線平行、垂直、傾斜角與斜率關(guān)系等知識.

跟蹤演練3在拋物線上求一點(diǎn)只使點(diǎn)尸到直線5的距離最小.

解設(shè)一點(diǎn)坐標(biāo)為(“，人力)，在拋物線上另取一點(diǎn)0(u+d,f(u+中).

直線產(chǎn)。的斜率

fu+d-fu

k(u,d)—

d

u+d2

'=2u+d,

在所求得的斜率表達(dá)式中讓d趨于0,表達(dá)式趨于2u,

所求過戶點(diǎn)處切線斜率為2u,當(dāng)過。點(diǎn)的切線與直線y=4x—5平行時，一點(diǎn)到直線尸4%一

5的距離最小,

所以2u=4,u—2.

?"點(diǎn)在拋物線了=/上，??.f(u)=4,

二所求于點(diǎn)坐標(biāo)為⑵4).

r當(dāng)堂檢測J當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗成功

i.一物體作勻速圓周運(yùn)動，其運(yùn)動到圓周4處時()

A.運(yùn)動方向指向圓心。

B.運(yùn)動方向所在直線與力垂直

C.速度與在圓周其他點(diǎn)處相同

D.不確定

答案B

2.若已知函數(shù)Ax)=2/-1的圖象上的一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1+41+△_/),則學(xué)等于

d

()

A.1B.2+dC.4+2dD.4+d

答案C

△y+d"-1—

解析+=------------[-----------=4+2d

da

3.過曲線尸2'上兩點(diǎn)(0,1),(1,2)的割線的斜率為

答案1

解析由平均變化率的幾何意義知，衣=m=L

4.已知函數(shù)f(x)=-/+萬的圖象上一點(diǎn)(一1,—2)及鄰近一點(diǎn)(-1+4-2+Ay),則：

a

解析△y=F(—1+中——1)

=一(-1+近2+(-1+初一(-2)

=—4+34

.Ay一7+34

??~;=~d-v6.

da

答案一d+3

課堂小結(jié)

1.求曲線尸f(x)上一點(diǎn)(照,㈤處切線斜率的步驟

(1)作差求函數(shù)值增量Xy,即/"(而+"一〃劉).

(2)化簡用M與d表示化簡結(jié)果.

d

(3)令公0,求，的極限即所求切線的斜率.

2.過某點(diǎn)的曲線的切線方程

要正確區(qū)分曲線“在點(diǎn)(〃，，)處的切線方程”和“過點(diǎn)2,力的切線方程”.前者以點(diǎn)(小

。為切點(diǎn)，后者點(diǎn)可能在曲線上，也可能不在曲線上，即使在曲線上，也不一定是切點(diǎn).

3.曲線的割線與切線的區(qū)別與聯(lián)系

曲線的割線的斜率反映了曲線在這一區(qū)間上上升或下降的變化趨勢，刻畫了曲線在這一區(qū)間

升降的程度，而曲線的切線是割線與曲線的一交點(diǎn)向另一交點(diǎn)逼近時的一種極限狀態(tài)，它實

現(xiàn)了由割線向切線質(zhì)的飛躍.

#分層訓(xùn)練J解疑糾偏，訓(xùn)練檢測___________________________________________________________

一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.已知曲線了=2￡上一點(diǎn)4(1,2),則/處的切線斜率等于()

A.2B.4

C.6+6d+2dD.6

答案B

12

2.已知曲線2上的一點(diǎn)〃(1,-|),則過點(diǎn)尸的切線的傾斜角為()

A.30°B.45°

C.135°D.165°

答案B

3.如果曲線尸2V+x+iO的一條切線與直線尸5x+3平行，則切點(diǎn)坐標(biāo)為

()

A.(-1,-8)B.(1,13)

C.(1,12)或(-1,8)D.(1,7)或(-1,-1)

答案B

4.曲線/二次芻在點(diǎn)尸(3,1)處的切線斜率為()

11

A.—~B.0C.D.1

答案C

解析+A.-V-2-VE2

△X

“△x+1-l1

當(dāng)△%-*0時，/1——

[Ax+1+l2

5.若曲線y=f+l在曲線上某點(diǎn)處的斜率為2,則曲線上該切點(diǎn)的坐標(biāo)為,

答案(1,2)

6.曲線y=f+2在點(diǎn)尸(1,3)處的切線方程為.

答案2A~7+1=0

當(dāng)ALO時，Ax+2-2.

所以曲線y=x+2在點(diǎn)A1,3)處的切線斜率為2,其方程為了-3=2(>-1).

即為2x—y+l=O.

7.拋物線尸產(chǎn)在點(diǎn)月處的切線與直線2x—y+4=o平行,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)及切線方程.

解設(shè)點(diǎn)P(劉，珀，

f照+d-fXo施+d’—武

,——d\2Ab,

ad

0時，d+2x()f2照.

拋物線在點(diǎn)〃處的切線的斜率為2的，

由于切線平行于2x—y+4=0,??.2照=2,照=1,

即一點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,

切線方程為y—1=2（*—1）,即為2x—y—1=0.

二、能力提升

8.曲線了=一：在點(diǎn)（1,一1）處的切線方程為（）

A.y=x~2B.y=x

C.y=x+2D.y=-x—2

答案A

------1----——1—1—1

Ax+11Ax+11

解析

△x△xAx+1

當(dāng)“一0時，77+7-1.

曲線尸—：在點(diǎn)（1,—1）處的切線的斜率為1,切線方程為y+l=lX（x—1）,即y=x-2.

9.曲線/"（x）=x2+3x在點(diǎn)4（2,10）處的切線的斜率為.

答案7

+△x2++Ax-'+

當(dāng)Ax-0時.，△x+7-7,

所以，/Xx）在/處的切線的斜率為7.

10.曲線/'（x）=f+3x在點(diǎn)力處的切線的斜率為7,則/點(diǎn)坐標(biāo)為—

答案（2,10）

解析設(shè)｛點(diǎn)坐標(biāo)為（新，必+3照）,

?.f%o+△X—fXQ

則--------------------

照+△x'+施+△x——+3十

卜X

=△矛+（2冊+3）,

當(dāng)Ax-＞。時，Ax+（2施+3）f2照+3,

，2弱+3=7,???施=2.

/+3照=10./點(diǎn)坐標(biāo)為（2,10）.

11.已知拋物線尸V+i,求過點(diǎn)以0,0）的曲線的切線方程.

解設(shè)拋物線過點(diǎn)〃的切線的切點(diǎn)為。（照，/+1）.

14

XQ+△X2+1—■+

則.—△X+2XQ.

bx

△xf0時，△x+2x°f2xo.

.總+1—0

=2施,??.施=1或照=—1.

Ab—0

即切點(diǎn)為（1,2）或（一1,2）.

所以，過AO,0）的切線方程為y=2x或y=-2x.即2x一尸=0或2%+尸0.

三、探究與創(chuàng)新

12.直線/：y=x+a（aW0）和曲線Gy=f-/+］相切，求切點(diǎn)的坐標(biāo)及8的值.

解設(shè)切點(diǎn)力（即，㈤，

Ab+dAb+d"+1-Ab-總+

d

3總d+3的d(f—2x()d-(f

d

=3右—2照+(3選—1)d+/f3/一2照(d~*0).

故曲線上點(diǎn)A處切線斜率為3/-2照，???3'一2胸=1,

.,.Ab=l或Xo=—代入。的方程得

o

1

照=1,為=一不

或代入直線7,

Jb=123

|/。=近

1

施=1,32

當(dāng)時，a=0（舍去）,當(dāng)《時，a=—,

乂）=123

即切點(diǎn)坐標(biāo)為（一；，a=||.

力乙/乙/

4.1.3導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

，預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)J挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.理解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求函數(shù)在一點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)的方法.

2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

［知識鏈接］

曲線y=F（x）在點(diǎn)P（x。,以施））的切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

答函數(shù)/Xx）在點(diǎn)刖處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù)/"（X）的曲線必有切線，且導(dǎo)數(shù)值是該切線

的斜率；但函數(shù)Hx）的曲線在點(diǎn)X。處有切線，而函數(shù)f（x）在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)，如f{x）=,

在x=0處有切線，但它不可導(dǎo).即若曲線y=f（x）在點(diǎn)。（粉f（劉））處的導(dǎo)數(shù)f（揚(yáng)）不存

在，但有切線，則切線與x軸垂直.若產(chǎn)（施）存在，且F（旗）＞0,則切線與x軸正向夾角

為銳角；f'UXO,切線與x軸正向夾角為鈍角；f（的）=0,切線與x軸平行.

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

1.函數(shù)在自變量的某個區(qū)間上的平均變化率

函數(shù)Ax）在x=〃處步長為d的差分為f（〃+中一代力，差商為/”+?”一?U，它表示

函數(shù)在自變量的某個區(qū)間上的平均變化率,它反映了自變量在某個范圍內(nèi)變化時，函數(shù)值變

化的總體的快慢.

2.導(dǎo)數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)f（x）在包含刖的某個區(qū)間上有定義，如果比值/劉+”丁劉在d趨于0時（小0）

趨于確定的極限值,則稱此極限值為函數(shù)/'（王）在入=而處的導(dǎo)數(shù)或微通，記作f（加,上述

定義可簡述為/照+d_/x。__y（荀）（.0）,

d

當(dāng)劉是f（x）的定義區(qū)間中的任意一點(diǎn)，所以也可以就是X,而f（x）也是X的函數(shù)，叫作

/Xx）的導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)數(shù).

limfx+d_fx

有時也可記作f(%)=df()~d

3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)Hx）在照處的導(dǎo)數(shù)（圍）的幾何意義是曲線Mx）在點(diǎn)（照，Hx。））處的切線的斜率.

聲課堂講義J重點(diǎn)難點(diǎn)，個個擊破

要點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念

例1設(shè)函數(shù)/"（x）（xeR）可導(dǎo)，則當(dāng)d趨于0時，~乜F——趨于（）

3（7

A.f（1）B.3r（1）C.（1）D.f（3）

o

答案c

解析原式「——，當(dāng)d趨于OB寸，f+"?―,'——趨于F（l）.

oda

16

故原式趨于(1),故選c.

規(guī)律方法在利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值時，往往采用湊項的方法湊成定義的形式

再解決.

跟蹤演練1已知/'(x)在XGR時處處可導(dǎo)，若F(1)=1,則M0時，工~——

a

的值為()

A.1B.2C.f(2)D.f(1)

答案B

耍點(diǎn)二求函數(shù)某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

例2已知f{x)求f(1).

X

1___

1+d1—-d—1

AZ,f+d

解--------T~~d-+drf=T+?

-1

由于…。時;故f(1)=-1.

1-ra

規(guī)律方法差分式化成分子和分母極限都在的情形(但分母極限不能為0),如果分母極限為

0,則從分母中分離出導(dǎo)致分母趨于0的因式，與分子約分消去，便可得出正確結(jié)論.

跟蹤演練2己知f(x)=F(x>0),求F(1).

f+d_fW+d-1________d1

dddyjl+d+'yjl+d+1'

當(dāng)公。時'/瓦rT故F⑴+

要點(diǎn)三求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

4

例3求函數(shù)“*)="7的導(dǎo)函數(shù)/(x),并求/(2).

X

44

fx+d-fx______x+d-I_4dx+d_—x+d

dd殳x+d2/x+d

d

x+d

當(dāng)公0時,

x+d

o

即/(x)=--3.：.f'(2)=-l.

x

規(guī)律方法求某一點(diǎn)劉處的導(dǎo)數(shù)值一(加)，可先求出導(dǎo)函數(shù)F(*),再賦值求解￡(劉).

跟蹤演練3求函數(shù)4)=出的導(dǎo)函數(shù)/(x)及尸(1).

-7~x+d—~~X

x-\~ax

=d

—d,

xx+d1

d1xx+d'

當(dāng)d-*0時，1--------1—3,

xx+dx

:(x)=l-:?f(1)=1—p=0.

要點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)求切線方程

例4已知曲線Gy=x,

⑴求曲線C在點(diǎn)(1,1)處的切線方程，

⑵求過點(diǎn)(1,0)且與曲線。相切的直線的方程.

,、fx+d-fxx+d=殳八

解⑴--------7------------=---------7--------=2才+d.

aa

當(dāng)d-0時，2x+M2x,

：.f(x)=2x,f(1)=2,

???曲線尸?在(i,i)處的切線方程為

p—l=2(x—1),即2x—y—1=0.

(2)點(diǎn)(1,0)不在曲線上.

設(shè)過點(diǎn)(1,0)與曲線C相切的直線其切點(diǎn)為(照，者)，

則切點(diǎn)處的斜率為2照.切線方程為y—/=2照(王一照)(*)

又因為此切線過點(diǎn)(1,0).

*'?-Ao=2Ab(1—Ab)>解得旗=0或即=2,

代入(*)式得過點(diǎn)(1,0)與曲線c：p=V相切的直線方程為尸：0或4x—y—4=0.

規(guī)律方法本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線方程的知識，若求某點(diǎn)處的切線方程，

此點(diǎn)即為切點(diǎn)，否則除求過二次曲線上的點(diǎn)的切線方程外，不論點(diǎn)是否在曲線上，均需設(shè)出

切點(diǎn).

9

跟蹤演練4求曲線f(x)=-在點(diǎn)(-2,—1)處的切線的方程.

x

9

解由于點(diǎn)(一2,—1)恰好在曲線/'(x)=-上，

x

18

2

所以曲線在點(diǎn)(一2,—1)處的切線的斜率就等于函數(shù)/*(x)=］在點(diǎn)(-2,—1)處的導(dǎo)數(shù).

2

lim-2+產(chǎn)limii

=""d—=""-2+-=~29

故曲線在點(diǎn)(一2,—1)處的切線方程為y+l=-](x+2),

整理得x+2y+4=0.

歹當(dāng)堂檢測I當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗成功___________________________________________________________

1.f(x)在x=x。處可導(dǎo),則融//'"()

A.與施、方都有關(guān)

B.僅與及有關(guān)，而與//無關(guān)

C.僅與人有關(guān)，而與的無關(guān)

D.與施、均無關(guān)

答案B

2.若/'(xo)一『(加一"=2揚(yáng)"+(/,下列選項正確的是()

A.f(x)=2B.f(x)=2x°

C.f'(屈)=2加D.f(x°)=d+2的

答案C

3.己知函數(shù)『/"(x)圖象如圖,則/(必)與f(弱)的大小關(guān)系是()

A.f(xi)>f(xtf)

B.f(x^<f(x)

C.f3=f(XB)

D.不能確定

答案A

4.在曲線Ax)=f+x上取一點(diǎn)P(l,2),則在區(qū)間［1,1+M上的平均變化率為—

在點(diǎn)以1,2)處的導(dǎo)數(shù)f(1)=.

答案3+d3

課堂小結(jié)

1.求導(dǎo)數(shù)的步驟主要有三步:

(1)求函數(shù)值的增量：△曠=汽加+中一”和)；

Ayf-+d-f蜀

⑵求平均變化率:

lim△Y

⑶取極限:f(加)=，…w

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(D對于函數(shù)y=f(x)在X。處的導(dǎo)數(shù)是表示在的處函數(shù)值變化快慢的一個量，其幾何意義為

在*=加處的切線的斜率.

(2)/(x)是指隨x變化，過曲線上的點(diǎn)(x,/"(X))的切線斜率與自變量x之間的函數(shù).

h分層訓(xùn)練1解疑糾偏，訓(xùn)練檢測__________________________________________________

一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.設(shè)f(選)=0,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(施，F(xiàn)(x。))處的切線()

A.不存在B.與x軸平行或重合

C.與x軸垂直D.與x軸斜交

答案B

2.己知函數(shù)尸f(x)的圖象如圖，則￡(的)與F(X,)的大小關(guān)系是()

XBXAX

(^)>/(a)B.f(x〃)

C.f(Xl)=f(xjD.不能確定

答案B

解析分別作出/、8兩點(diǎn)的切線，由題圖可知即，(煬＞￡(也).

3.已知曲線了=2/上一點(diǎn)加2,8),則在點(diǎn)4處的切線斜率為()

A.4B.16C.8D.2

解析在點(diǎn)｛處的切線的斜率即為曲線y=2f在x=2時的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)定義可求V=4x,

：.f(2)=8.

答案C

4.已知函數(shù)/Xx)在x=l處的導(dǎo)數(shù)為3,則/'(x)的解析式可能為()

A.f(x)=(x—l)'+3(x—1)

B.f(x)=2(x—1)

C.Ax)=2(x-1)2

20

D.f{x)=x~1

答案A

解析分別求四個選項的導(dǎo)函數(shù)分別為，(x)=2(x-l)+3；f(x)=2；f(入)=45—1)；

f(x)=L

5.拋物線尸f+x+2上點(diǎn)(1,4)處的切線的斜率是,該切線方程為..

答案33LF+1=0

解析△/=(1+由'+(1+功+2—(1'+1+2)=3d+d,故y'L=i=lijjo-

lrfi-*mO(3+1=3.

???切線的方程為y-4=3(x-l),

即3x—y+1=0.

6.若曲線尸步一1的一條切線平行于直線p=4x—3,則這條切線方程為.

答案4x—y—5=0

2

,/、limyx+d-fxlimx+d-l-

解析t(x)=d>>'-----------------=d*0----------------------

lin12xd+dlim,k

=d>0---;—=d>0(2x+a)=2x.

d

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(旗，㈤，則由題意知/(照)=4,即2照=4,?，.照=2,代入曲線方程得為=3,

故該切線過點(diǎn)(2,3)且斜率為4.所以這條切線方程為y-3=4(x—2),即4%-y-5=0.

7.求曲線在點(diǎn)(3,27)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積.

limf+d—f

解??"，(3)=八。--_--

lim+，3-3：ilim*,、

=d------------=d,(/+9