江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

盛澤中學(xué)2024-2025學(xué)年高一第一次階段反饋練習(xí)（數(shù)學(xué)）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式化角，再根據(jù)兩角差正弦公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】,選C.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基本題.2.下列四個(gè)函數(shù)中以為最小正周期且為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】A選項(xiàng)，函數(shù)不是周期函數(shù)；BC選項(xiàng)，不滿足奇偶性；D選項(xiàng)滿足要求.【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)圖象如下：不是周期函數(shù)，BC選項(xiàng)，與是偶函數(shù)，D選項(xiàng)，的周期為且，故為奇函數(shù)，D正確.故選：D．3.已知，都銳角，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，湊角法得到答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，所?故選：C4.（）A B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正切公式以及誘導(dǎo)公式求得正確答案.【詳解】，，所以，所以故選：A5.2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)．弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖），如果小正方形的邊長(zhǎng)為1，大正方形的邊長(zhǎng)為5，直角三角形中較大的銳角為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出和的值，利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求出結(jié)果即可.【詳解】由題意可知，設(shè)直角三角形兩直角邊為a，，則，解得，，，故選：B6.把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像.則函數(shù)的一個(gè)解析式為（）A.2 B.2C.2 D.2【答案】B【解析】【分析】將函數(shù)的圖像所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即得解.【詳解】將函數(shù)的圖像所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到，再把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到.故選：B7.若中，，則此三角形的形狀是（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)和與差的正弦公式，即可判斷三角形的形狀.【詳解】中，，已知等式變形得，，即，整理得，即，或（不合題意，舍去）．，，則此三角形形狀為直角三角形．故選：A8.在銳角三角形中，，則的最小值是（）.A.3 B. C. D.12【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)可得，將化成，即可根據(jù)的范圍求解【詳解】∵，∴，∴，∴，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義分別求出的值，再利用二倍角公式計(jì)算即可一一判斷.【詳解】由題意，,對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因，，則，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.故選：BD.10.下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用三角恒等變換逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】，A正確；，B正確；，C錯(cuò)誤；由，可得，D正確；故選：ABD11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖象D.若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A：由圖可知，，所以，所以，則，將點(diǎn)代入得：，所以，，又，所以，所以，A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；對(duì)于C，將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以函?shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，由條件結(jié)合圖象可知，于是，所以，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算即得.【詳解】由，得，則，，由，解得，而，所以.故答案為：13.已知，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】由兩角和差的正弦公式及輔助角、二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】因?yàn)椋?jiǎn)得所以故答案為：14.已知函數(shù)在上恰好有7個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)為，令，即在上恰有7個(gè)不相等的實(shí)根，由的性質(zhì)可得解【詳解】，令，，，由題意在上恰有7個(gè)零點(diǎn)，即在上恰有7個(gè)不相等的實(shí)根，即，或，，當(dāng)時(shí)，，…當(dāng)，.由的性質(zhì)可得，解得．故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15化簡(jiǎn)求值（1）已知，求值（2）已知，且．求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求得，再由倍角公式求的值；（2）先求得的值，再求得的值，從而可求得的值.【小問1詳解】由得，因?yàn)?，所以，，?【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以所以因?yàn)?，所?16.已知，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角差正切公式求得，然后化弦為切及二倍角公式，結(jié)合“1”的代換化弦為切求解即可；（2）先利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得，然后利用兩角和正切公式求值，最后根據(jù)角的范圍確定角的大小.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，解得，所以；【小?詳解】因?yàn)?，且，所以，所?所以，又因?yàn)?，，所以，所?17.已知函數(shù)的最大值為3．（1）若的定義域?yàn)?，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的值．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和（2）【解析】分析】（1）利用二倍角公式將化簡(jiǎn)并利用最值可得，再由三角函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）代入解析式可求得，再根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系以及二倍角等公式即可求得結(jié)果.【小問1詳解】將化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?，所以．此時(shí)，當(dāng)時(shí)，令．得；令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和．【小問2詳解】由（1）知．由，得，所以．又因?yàn)椋裕裕?，，所?18.已知函數(shù)，其中.如圖是函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，A為圖象的最高點(diǎn)，為圖象與x軸的交點(diǎn)，為等邊三角形，且是偶函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）解不等式，實(shí)數(shù)x的取值范圍；（3）若在只有兩條對(duì)稱軸，求m的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先根據(jù)正三角形求出周期，結(jié)合偶函數(shù)可求，進(jìn)而得到答案；（2）化簡(jiǎn)不等式，利用正弦函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.（3）令，可得圖象的對(duì)稱軸為，從而可知，求解即可.【小問1詳解】由可知，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為；因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，即函?shù)的周期，所以，所以，因?yàn)?，所以，又是偶函?shù)，所以，所以，所以.【小問2詳解】不等式即，所以，所以，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍；【小問3詳解】令，解得，所以圖象的對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，兩相鄰的對(duì)稱軸為，因?yàn)樵谥挥袃蓷l對(duì)稱軸，所以，故m的取值范圍為.19.某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者，工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點(diǎn)P為半圈上一點(diǎn)（異于），點(diǎn)H在線段上，且滿足.已知，設(shè).（1）為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿足，且達(dá)到最大，當(dāng)為何值時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果；（2）為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足，且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求