鄭州市重點中學2025屆高三5月模擬考試（二）數(shù)學試題含解析

鄭州市重點中學2025屆高三5月模擬考試（二）數(shù)學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為實現(xiàn)國民經濟新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標，國家加大了扶貧攻堅的力度．某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率（脫離貧困的戶數(shù)占當年貧困戶總數(shù)的比）為．2015年開始，全面實施“精準扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實施的扶貧項目，各項目參加戶數(shù)占比（參加該項目戶數(shù)占2019年貧困戶總數(shù)的比）及該項目的脫貧率見下表：實施項目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務業(yè)參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍2．已知與函數(shù)和都相切，則不等式組所確定的平面區(qū)域在內的面積為（）A． B． C． D．3．已知純虛數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)等于（）A． B．1 C． D．24．設集合，，則（）A． B．C． D．5．函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖像為（）A． B． C． D．6．已知雙曲線的實軸長為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上運動，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．做拋擲一枚骰子的試驗，當出現(xiàn)1點或2點時，就說這次試驗成功，假設骰子是質地均勻的.則在3次這樣的試驗中成功次數(shù)X的期望為（）A．13 B．18．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－在區(qū)間(a，a＋5)上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)9．若實數(shù)滿足的約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學難題之一，其內容是：一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質數(shù)(素數(shù))之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質數(shù)的概率為（）A． B． C． D．11．已知向量，則（）A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥()12．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若且時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．14．已知，，是平面向量，是單位向量.若，，且，則的取值范圍是________.15．從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，，，則事件“抽到的產品不是一等品”的概率為________16．設實數(shù)，滿足，則的最大值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質媒體遭受到了強烈的沖擊．某雜志社近9年來的紙質廣告收入如下表所示：根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對和作線性相關性檢驗，求得樣本相關系數(shù)的絕對值為0.243；根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對和作線性相關性檢驗，求得樣本相關系數(shù)的絕對值為0.984.（1）如果要用線性回歸方程預測該雜志社2019年的紙質廣告收入，現(xiàn)在有兩個方案，方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進行預測，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進行預測．從實際生活背景以及線性相關性檢驗的角度分析，你覺得哪個方案更合適？附：相關性檢驗的臨界值表：（2）某購物網站同時銷售某本暢銷書籍的紙質版本和電子書，據(jù)統(tǒng)計，在該網站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質版本和電子書同時購買的讀者比例為，現(xiàn)用此統(tǒng)計結果作為概率，若從上述讀者中隨機調查了3位，求購買電子書人數(shù)多于只購買紙質版本人數(shù)的概率．18．（12分）如圖所示，在三棱柱中，為等邊三角形，，，平面，是線段上靠近的三等分點.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）表示，中的最大值，如，己知函數(shù)，.（1）設，求函數(shù)在上的零點個數(shù)；（2）試探討是否存在實數(shù)，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.20．（12分）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E為AB的中點，底面四邊形ABCD滿足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝1．（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．21．（12分）已知函數(shù).（1）當a=2時，求不等式的解集；（2）設函數(shù).當時，，求的取值范圍.22．（10分）已知橢圓，點為半圓上一動點，若過作橢圓的兩切線分別交軸于、兩點.（1）求證：；（2）當時，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

設貧困戶總數(shù)為，利用表中數(shù)據(jù)可得脫貧率，進而可求解.【詳解】設貧困戶總數(shù)為，脫貧率，所以.故年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的倍.故選：B本題考查了概率與統(tǒng)計，考查了學生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.2．B【解析】

根據(jù)直線與和都相切，求得的值，由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓，由此求得正確選項.【詳解】.設直線與相切于點，斜率為，所以切線方程為，化簡得①.令，解得，，所以切線方程為，化簡得②.由①②對比系數(shù)得，化簡得③.構造函數(shù)，，所以在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即，畫出其對應的區(qū)域如下圖所示.圓可化為，圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示，不等式組所確定的平面區(qū)域在內的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為，直線的斜率為.所以，所以，而圓的半徑為，所以陰影部分的面積是.故選：B本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù)，考查不等式組表示區(qū)域的畫法，考查圓的方程，考查兩條直線夾角的計算，考查扇形面積公式，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，考查分析思考與解決問題的能力，屬于難題.3．B【解析】

先根據(jù)復數(shù)的除法表示出，然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對應的的值即可.【詳解】因為，所以，又因為是純虛數(shù)，所以，所以.故選：B.本題考查復數(shù)的除法運算以及根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值，難度較易.若復數(shù)為純虛數(shù)，則有.4．A【解析】

解出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，又，所以.故選：A.本題考查交集的計算，同時也考查了一元二次不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎題.5．D【解析】由題意得，函數(shù)點定義域為且，所以定義域關于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故選D.6．A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結合即可解決.【詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設點在雙曲線右支上運動，則，當時，此時，所以，，所以；當軸時，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.本題考查雙曲線的性質及其應用，本題的關鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.7．C【解析】

每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選：C.本題考查了二項分布求數(shù)學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.8．C【解析】

求函數(shù)導數(shù)，分析函數(shù)單調性得到函數(shù)的簡圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.【詳解】由題意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2，0)上是減函數(shù)，作出其圖象如圖所示．令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，則結合圖象可知，解得a∈[－3，0)，故選C.本題主要考查了利用函數(shù)導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而研究函數(shù)的最值，屬于?？碱}型.9．B【解析】

根據(jù)所給不等式組，畫出不等式表示的可行域，將目標函數(shù)化為直線方程，平移后即可確定取值范圍.【詳解】實數(shù)滿足的約束條件，畫出可行域如下圖所示：將線性目標函數(shù)化為，則將平移，平移后結合圖像可知，當經過原點時截距最小，；當經過時，截距最大值，，所以線性目標函數(shù)的取值范圍為，故選：B.本題考查了線性規(guī)劃的簡單應用，線性目標函數(shù)取值范圍的求法，屬于基礎題.10．A【解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質數(shù)的只有，利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知，所求概率為.故選：A.本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.11．D【解析】

由題意利用兩個向量坐標形式的運算法則，兩個向量平行、垂直的性質，得出結論.【詳解】∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐標對應不成比例，故、不平行，故排除A；顯然，?3+2≠0，故、不垂直，故排除B；∴（﹣2，﹣1），顯然，和的坐標對應不成比例，故和不平行，故排除C；∴?（）＝﹣2+2＝0，故⊥（），故D正確，故選：D.本題主要考查兩個向量坐標形式的運算，兩個向量平行、垂直的性質，屬于基礎題.12．C【解析】

由已知畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求最大值．【詳解】解：表示可行域內的點到坐標原點的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點到坐標原點的距離最大，即．故選：．本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想以及運算求解能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

將不等式兩邊同時平方進行變形，然后得到對應不等式組，對的取值進行分類，將問題轉化為二次函數(shù)在區(qū)間上恒正、恒負時求參數(shù)范圍，列出對應不等式組，即可求解出的取值范圍.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以或，當時，對且不成立，當時，取，顯然不滿足，所以，所以，解得；當時，取，顯然不滿足，所以，所以，解得，綜上可得的取值范圍是：.故答案為：.本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍，難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：（1）分類討論法：分析參數(shù)的臨界值，對參數(shù)分類討論；（2）參變分離法：將參數(shù)單獨分離出來，再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關系求解出參數(shù)范圍.14．【解析】

先由題意設向量的坐標，再結合平面向量數(shù)量積的運算及不等式可得解．【詳解】由是單位向量．若，，設，則，，又，則，則，則，又，所以，（當或時取等）即的取值范圍是，，故答案為：，．本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．15．0.35【解析】

根據(jù)對立事件的概率和為1，結合題意，即可求出結果來．【詳解】解：由題意知本題是一個對立事件的概率，抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品，，抽到不是一等品的概率是，故答案為：．本題考查了求互斥事件與對立事件的概率的應用問題，屬于基礎題．16．1【解析】

根據(jù)目標函數(shù)的解析式形式，分析目標函數(shù)的幾何意義，然后判斷求出目標函數(shù)取得最優(yōu)解的點的坐標，即可求解．【詳解】作出實數(shù)，滿足表示的平面區(qū)域，如圖所示：由可得，則表示直線在軸上的截距，截距越小，越大.由可得，此時最大為1，故答案為：1．本題主要考查線性規(guī)劃知識的運用，考查學生的計算能力，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）選取方案二更合適；（2）【解析】

(1)可以預見，2019年的紙質廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經不能作為預測后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù)，而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關系數(shù)的絕對值，所以有的把握認為與具有線性相關關系，從而可得結論；(2)求得購買電子書的概率為,只購買紙質書的概率為,購買電子書人數(shù)多于只購買紙質書人數(shù)有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質書，由此能求出購買電子書人數(shù)多于只購買紙質版本人數(shù)的概率.【詳解】（1）選取方案二更合適，理由如下：①題中介紹了，隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙媒受到了強烈的沖擊，從表格中的數(shù)據(jù)中可以看出從2014年開始，廣告收入呈現(xiàn)逐年下降的趨勢，可以預見，2019年的紙質廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經不能作為預測后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù).②相關系數(shù)越接近1，線性相關性越強，因為根據(jù)9年的數(shù)據(jù)得到的相關系數(shù)的絕對值，我們沒有理由認為與具有線性相關關系；而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關系數(shù)的絕對值，所以有的把握認為與具有線性相關關系.(2)因為在該網站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質版本和電子書同時購買的讀者比例為，所以從該網站購買該書籍的大量讀者中任取一位，購買電子書的概率為，只購買紙質書的概率為，購買電子書人數(shù)多于只購買紙質書人數(shù)有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質書.概率為：.本題主要考查最優(yōu)方案的選擇，考查了相關關系的定義以及互斥事件的概率與獨立事件概率公式的應用，考查閱讀能力與運算求解能力，屬于中檔題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數(shù)學模型進行解答.18．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由，故，所以四邊形為菱形，再通過，證得，所以四邊形為正方形，得到.（2）根據(jù)（1）的論證，建立空間直角坐標，設平面的法向量為，由求得，再由，利用線面角的向量法公式求解.【詳解】（1）因為，故，所以四邊形為菱形，而平面，故.因為，故，故，即四邊形為正方形，故.（2）依題意，.在正方形中，，故以為原點，所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系；如圖所示：不紡設，則，又因為，所以.所以.設平面的法向量為，則，即，令，則.于是.又因為，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.本題考查空間線面的位置關系、線面成角，還考查空間想象能力以及數(shù)形結合思想，屬于中檔題.19．（1）個；（1）存在，.【解析】試題分析：（1）設，對其求導，及最小值，從而得到的解析式，進一步求值域即可；（1）分別對和兩種情況進行討論，得到的解析式，進一步構造，通過求導得到最值，得到滿足條件的的范圍．試題解析：（1）設，．．．．．．．．．．．．．1分令，得遞增；令，得遞減，．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴，∴，即，∴．．．．．．．．．．．．．3分設，結合與在上圖象可知，這兩個函數(shù)的圖象在上有兩個交點，即在上零點的個數(shù)為1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（或由方程在上有兩根可得）（1）假設存在實數(shù)，使得對恒成立，則，對恒成立，即，對恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分①設，令，得遞增；令，得遞減，∴，當即時，，∴，∵，∴4．故當時，對恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分當即時，在上遞減，∴．∵，∴，故當時，對恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分②若對恒成立，則，∴．．．．．．．．．．．11分由①及②得，．故存在實數(shù)，使得對恒成立，且的取值范圍為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分考點：導數(shù)應用.【思路點睛】本題考查了函數(shù)恒成立問題；利用導數(shù)來判斷函數(shù)的單調性，進一步求最值；屬于難題．本題考查函數(shù)導數(shù)與單調性.確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可結合導數(shù)知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數(shù)的值域問題處理.恒成立問題以及可轉化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉化為求函數(shù)最值處理．也可構造新函數(shù)然后利用導數(shù)來求解.注意利用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.20．（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）．（Ⅲ）﹣．【解析】

（Ⅰ）由題知，如圖以點為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，計算，證明，從而平面PAC，即可得證；（Ⅱ）求解平面PDE的一個法向量，計算，即可得直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求解平面PBE的一