上海市長寧區(qū)2025屆高三一模數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第第頁上海市長寧區(qū)2025屆高三一模數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1．設(shè)全集為R，集合A=xx2?2x?3≥02．已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則該圓錐的體積是（結(jié)果保留π）．3．曲線y=lnx在點1,0處的切線方程為.4．以C3,4為圓心，3為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是5．投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察擲得的點數(shù)，則擲得的點數(shù)之和為7的概率是．6．x?1x67．已知a∈?1,?23,?138．已知向量a=1,2,b=3,?1，則向量9．已知α:2x+log2x≤2,β:x<m，若10．若正實數(shù)a,b滿足ab=2a+b，則a+2b的最小值是.11．設(shè)O為坐標(biāo)原點，從集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取兩個不同的元素x、y，組成A、B兩點的坐標(biāo)x,y、y,x，則S△AOB12．點P、M、N分別位于正方體ABCD?A'B'C'D二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．已知復(fù)數(shù)z和z，則下列說法正確的是（）A．z+z一定是實數(shù) B．z?C．若z+z=0，則z是純虛數(shù) D．若z?z14．已知非零空間向量a,b和A．若a⊥b,a⊥c，則b∥c C．若a⊥b,a∥c，則b∥c 15．已知函數(shù)y=sinωx+π6A．0,1 B．0,1 C．1,43 16．?dāng)?shù)列an為嚴(yán)格增數(shù)列，且對任意的正整數(shù)n，都有an+1n+1①存在等差數(shù)列an②任意等比數(shù)列an，若首項a1>0下列選項中正確的是（）A．①是真命題，②是真命題； B．①是真命題，②是假命題；C．①是假命題，②是真命題； D．①是假命題，②是假命題．三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bsinA?3（1）求角B的大??；（2）若b=2,△ABC的面積為3，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．18．如圖所示，四棱柱ABCD?A1B1C1D（1）求證：A1C⊥平面（2）求直線OA1與平面19．2024年第七屆中國國際進(jìn)口博覽會（簡稱進(jìn)博會）于11月5日至10日在上海國家會展中心舉行.為了解進(jìn)博會參會者的年齡結(jié)構(gòu)，某機構(gòu)隨機抽取了年齡在15-75歲之間的200名參會者進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制了頻率分布直方圖，分組區(qū)間為15,25,25,35,35,45,45,55,（1）求所抽取的“青年人”的人數(shù)；（2）以分層抽樣的方式從“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名參會者做進(jìn)一步訪談，發(fā)現(xiàn)其中女性共4人，這4人中有3人是“中年人”.再用抽簽法從所抽取的10名參會者中任選2人.①簡述如何采用抽簽法任選2人；②設(shè)事件A：2人均為“中年人”，事件B：2人中至少有1人為男性，判斷事件A與事件B是否獨立，并說明理由.20．已知橢圓的左、右焦點分別為F1?1,0，F(xiàn)2（1）求該橢圓的離心率；（2）點Q為橢圓上一點，且位于第三象限，若△PQF（3）A，B，C，D是橢圓上不重合的四個點，AB與CD相交于點F1，且AB?CD21．雙曲余弦函數(shù)cos?x=ex+（1）求函數(shù)cos?x=e（2）若函數(shù)y=cos?2x?asin?x在0,+∞上的最小值是1（3）對任意x∈R,cos?x

答案解析部分1．【答案】?1,3【解析】【解答】解：由A=(?∞,?1]∪[3,+∞)，則A=故答案為：?1,3.【分析】先解一元二次不等式得出集合A，再根據(jù)補集定義得出集合A的補集.2．【答案】3【解析】【解答】解：如下圖做出軸截面：則?=l代入圓錐體積公式：V=1故答案為：33【分析】利用已知條件作出軸截面，根據(jù)母線與底面半徑結(jié)合勾股定理求出圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式得出該圓錐的體積.3．【答案】y=x?1???????【解析】【解答】解：曲線y=lnx，求導(dǎo)可得y'當(dāng)x=1時，y'則曲線y=lnx在點1,0處的切線方程為y=x?1.故答案為：y=x?1.【分析】先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.4．【答案】(x?3)【解析】【解答】解：由題意得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?3)2故答案為：(x?3)2【分析】利用已知條件寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.5．【答案】1【解析】【解答】解：因為一枚骰子的點數(shù)有6種情況，則兩枚骰子點數(shù)所對應(yīng)總情況為36種，又注意到點數(shù)之和為7的情況有：1，6；6，1；2，5；5，2；3，4；4，3共6種，則擲得的點數(shù)之和為7的概率是636故答案為：16【分析】由題意可得投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子所對應(yīng)點數(shù)的總情況數(shù)，再根據(jù)可得擲得的點數(shù)之和為7的情況數(shù)結(jié)合古典概率公式得出擲得的點數(shù)之和為7的概率.6．【答案】?20【解析】【解答】解：由題意，x?1x6的二項展開式的第r+1令6?2r=0?r=3，則常數(shù)項為?13故答案為：?20.【分析】由題意可得展開式的第r+1項，令x指數(shù)為0，從而可得常數(shù)項對應(yīng)r的值，進(jìn)而得出x?17．【答案】?【解析】【解答】解：因為圖像關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)，又因為圖像與坐標(biāo)軸無交點，所以指數(shù)a為負(fù)數(shù)，

綜上所述，a=?2故答案為：?2【分析】根據(jù)冪函數(shù)圖象的對稱性判斷出函數(shù)的奇偶性，再由冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的關(guān)系，即可得出a的取值.8．【答案】1【解析】【解答】解：由題得a?b=1×3+2×?1=1,|與向量a的同向單位向量為a|所以向量b在向量a方向上的投影的坐標(biāo)為|故答案為：15【分析】利用向量的數(shù)量積求向量夾角公式和數(shù)量積求投影坐標(biāo)的公式，從而得出向量b在a方向上的投影的坐標(biāo)．9．【答案】1,+【解析】【解答】解：設(shè)f(x)=2則f(x)在0,+∞單調(diào)遞增，又因為f(1)=2所以2x+log2x≤2，即f(x)≤f(1)由題意0<x≤1是x<m的充分條件，則0,1?所以m>1，故實數(shù)m的取值范圍是1,+∞故答案為：1,+∞【分析】通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x,x∈0,+∞，利用10．【答案】9【解析】【解答】解：方法一：ab?b=a?1則a+2b=a+4aa?1=a+4+所以a+2b的最小值是9.方法二：ab?2a?b=0?a?1則a+2b=a?1+2b?4+5≥22當(dāng)a?1=2b?4a+2b=9?a=3故答案為：9.

【分析】利用兩種方法求解.

方法一：采取消元法和基本不等式求最值的方法，從而得出a+2b的最小值.

方法二：利用已知條件和變形法，再結(jié)合基本不等式求最值的方法得出a+2b的最小值.11．【答案】13【解析】【解答】解：設(shè)AB與直線y=x的交點為C，由題意知A，B關(guān)于y=x對稱，可知C為線段AB的中點，且OC⊥AB，則C(x+y可得AB=(x?y)2則S△AOB=1列表可得：xy1234567891╱3815243548638023╱5122132456077385╱71627405572415127╱92033486552421169╱1124395663532272011╱1328457484540332413╱1532863605548392815╱1798077726556453217╱設(shè)樣本空間為Ω，S△AOB≤10為事件A，可得所以所求概率為P=n故答案為：1336．

【分析】設(shè)AB與直線y=x的交點為C，由三角形的面積關(guān)系可得x2?12．【答案】?【解析】【解答】解：如圖建立以D為原點的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)Px0,y則PM=則PM==+=?=?14MN2，則為使PM?PN最小，則應(yīng)使MN盡量的大，且P為又因為點P、M、N均位于正方體表面上，

則P、M、N在正方體同一面上，則當(dāng)MN為正方體一面的對角線，P為對角線中點時，滿足題意，此時MN=2，則故答案為：?12.

【分析】利用已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，可得PM?PN的坐標(biāo)表達(dá)式，再配方結(jié)合使MN盡量的大且P為MN中點，利用點P、M、N均位于正方體表面上，則P、M、N在正方體同一面上，則當(dāng)13．【答案】A【解析】【解答】解：對于A，設(shè)z=a+bi,b,a∈R，則z=a?bi,故z+對于B，設(shè)z?z=2bi，當(dāng)b=0時，此時對于C，設(shè)z+z=2a=0,則a=0，當(dāng)b=0時，此時對于D，設(shè)z?z=2bi=0，則b=0，則故答案為：A.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法運算法則，再結(jié)合虛數(shù)和純虛數(shù)的定義，即可逐項判斷，從而找出說法正確的選項.14．【答案】D【解析】【解答】解：若a⊥b,a⊥c，則若a⊥b,故答案為：D.【分析】根據(jù)空間向量平行與垂直的判斷方法，從而逐項判斷，進(jìn)而找出說法正確的選項.15．【答案】A【解析】【解答】解：x∈?因為y=sinx在?π則π3ω+π又因為ω>0，則取k=0?ω≤1，則0<ω≤1.故答案為：A.【分析】由題意可得y=sint，其中t=ωx+π6，在?π16．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的首項和公差分別為a1若等差數(shù)列an由an+1n+1≥ann可得an+dn+1≥a設(shè)等比數(shù)列an的首項和公比分別為a1,q，

若q=1，a因此存在等比數(shù)列an不滿足“性質(zhì)Ω”，故②故答案為：B.【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算，即可判斷①；根據(jù)等比數(shù)列為常數(shù)列和數(shù)列an的“性質(zhì)Ω”的定義，即可判斷②17．【答案】（1）解：由正弦定理可得sinBsinA?3因為sinA≠0，所以tanB=3，

因為B∈0,π，所以???????（2）解：△ABC是等邊三角形，理由如下：

因為S△ABC=1由余弦定理b2=a即16c2+所以△ABC是等邊三角形.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，從而化簡得出角B的正切值，再結(jié)合三角形中角B的取值范圍，從而求出角B的值.（2）利用三角形的面積公式和已知條件，從而計算得出ac的值，結(jié)合余弦定理得出三角形的邊長，再根據(jù)等邊三角形的定義判斷出三角形的形狀.（1）由正弦定理可得sinBsinA?3因為sinA≠0，所以tanB=3，B∈0,π，所以（2）S△ABC所以ac=4，由余弦定理b2=a即16c2+所以△ABC是等邊三角形.18．【答案】（1）證明：因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD,OA=OC=1，因為A1O⊥底面所以A1O⊥BD，

又因為A1O∩AC=O，A1所以BD⊥平面AA1C，A1C由AA1=可得A1所以AA12因為AA1∥BB1，

所以BB1⊥A所以A1C⊥平面（2）解：方法1：設(shè)點O到平面AA1B

則VO?由題意可知OA1=1，S所以?=1×13=33，

則直線OA1方法2：（建系法）以O(shè)為原點，射線OA、OB、OA1為x軸、y軸、z軸的正半軸，可得A則OA1設(shè)平面AA1B則n→·AA?1直線OA1與平面AA1B所成角θ的正弦值等于向量O【解析】【分析】（1）利用已知條件和正方形的結(jié)構(gòu)特征，再結(jié)合線線垂直證出線面垂直，則證出A1C⊥平面（2）利用兩種方法求解.

方法一：利用三棱錐的體積公式和等體積法，從而求出點到平面的距離，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出直線OA1與平面AA1B所成角的正弦值.

方法二：利用建系的方法得出點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，求得平面AA1B的一個法向量，再根據(jù)數(shù)量積求向量夾角公式和直線OA1與平面AA（1）因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD,OA=OC=1，因為A1O⊥底面所以A1O⊥BD，又A1O∩AC=O，A1所以BD⊥平面AA1C，A所以BD⊥A由AA1=可得A1所以AA12因為AA1∥BBB1和BD在平面BDD所以A1C⊥平面（2）方法1：設(shè)點O到平面AA1BV由題可知OA1=1，S所以?=1×1得直線OA1與平面AA1B方法2：（建系）以O(shè)為原點，射線OA、OB、OA1為x軸、y軸、可得A則OA1設(shè)平面AA1B則n→·AA?1直線OA1與平面AA1B所成角θ的正弦值等于向量O19．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖可得2a+0.01×2+0.015×2×10=1，

解得：a=0.025，

又因為“青年人”占比為0.015+0.025×10=0.4，

所以所抽取的“青年人”人數(shù)為（2）解：①先將10名參會者進(jìn)行編號：1、2、?、10，并將10個號碼寫在完全相同的紙片上，放入某容器中充分混合均勻，再取出2張，2張紙片上所對應(yīng)的參會者就是要選取的人.

②“青年人”“中年人”“老年人”的人數(shù)之比為0.04:0.05:0.01=4:5:1，

所以10人中“中年人”共有5人，

2人均為“中年人”的概率PA=C52C102=29，

【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得a的值，再求出“青年人”人數(shù)的占比，再根據(jù)頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量的公式，從而可得“青年人”人數(shù).（2）①利用簡單隨機抽樣設(shè)計出抽簽法任選2人.

②根據(jù)獨立事件判斷公式結(jié)合超幾何分布求概率的方法，從而得出PA（1）由頻率分布直方圖可得2a+0.01×2+0.015×2×10=1，解得：a=0.025又“青年人”占比為0.015+0.025×10=0.4所以所抽取的“青年人”人數(shù)為200×0.4=80人；（2）①先將10名參會者進(jìn)行編號：1、2、?、10，并將10個號碼寫在完全相同的紙片上，放入某容器中充分混合均勻，再取出2張，2張紙片上所對應(yīng)的參會者就是要選取的人，②“青年人”“中年人”“老年人”的人數(shù)之比為0.04:0.05:0.01=4:5:1，所以10人中“中年人”共有5人，2人均為“中年人”的概率PA2人中至少有1人為男性的概率PB2人均為“中年人”且至少有1人為男性的概率PA∩B因為PA∩B20．【答案】（1）解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b因為點P?1,32又因為a2=b2+1所以，橢圓方程為x2所以，該橢圓的離心率e=c（2）解：①PF2=52因為△PQF2的面積為3，所以PF過Q做PF則直線QR的解析式為y=?34x?94解得：x1=?1y所以點Q的坐標(biāo)為?1,?32或（3）解：①若AB或CD垂直于x軸，則AB+②若AB和CD不垂直于x軸，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+1，點Ax1聯(lián)立方程組x24+則x1+x所以，AB=1+k2??8AB因為12k2+綜上所述，AB+CD的取值范圍是【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式，從而求出橢圓方程，再結(jié)合橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式和橢圓的離心率公式，從而得出橢圓的離心率.（2）根據(jù)△PQF2的面積為3可得PF2邊上的高，過Q做（3）分AB和CD垂直于x軸和AB和CD不垂直于x軸兩種情況，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+1，再設(shè)點Ax1,y1，（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b因為點P?1,32又a2=b2+1所以橢圓方程為x2所以e=c（2）①PF2=52因為△PQF2的面積為3，所以PF過Q做PF2的平行線，則直線QR的解析式為聯(lián)立方程組x2解得：x1=?1y所以點Q的坐標(biāo)為?1,?32或（3）①若AB或CD垂直于x軸，則AB+②若AB和CD不垂直于x軸，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+1，點Ax1聯(lián)立方程組x24+從而x1+xAB=1+同理CD=12AB+因為12k2+綜上，AB+CD的取值范圍是21．【答案】（1）解：由cos?x=ex+e?x2，x∈R，則(cos?x)當(dāng)x>0時，(cos?x)'=當(dāng)x<0時，(cos?x)'=所以函數(shù)cos?x=ex+（2）解：y=cos?2x?asin?x=令t=e所以t=ex?則當(dāng)x∈0,+∞時，函數(shù)y=1當(dāng)a<0時，y=12t當(dāng)a>0時，ymin=?1綜上所述，實數(shù)a的值為6.（3）解：①證明sinhx令tx則t'所以tx=sin?x?x在則x∈0,+∞，sin?x令s(x)=x?sinx,x∈0,+所以s(x)在0,+∞上單調(diào)增，則s則當(dāng)x∈0,+∞，x?sin故sinhx②證明cos?x?cosx?x2令?x=令cx=?則當(dāng)x∈0,+∞時，

由①結(jié)論可知，則c(x)≥c(0)=0，即當(dāng)x∈0,+∞時，由偶函數(shù)性質(zhì)得x∈R,?'x≥0，

則所以當(dāng)x∈?∞,0時，g'x當(dāng)x∈0,+∞時，g'x≥0從而gx≥g0③再證明：任意x∈R，當(dāng)m≤1時，cos?x設(shè)φ(m)=x2m+cosx?當(dāng)x=0時，φ(m)=0?m+cos0?cosh(0)=0當(dāng)x≠0時，x2>0，φ(m)在則φ(m)≤φ(1)=x2+cosx?故φ(m)=x即任意x∈R，當(dāng)m≤1時，cos?x④再證明對任意的m>1，都存在實數(shù)x，

使得fx令g令?1令c1則當(dāng)x∈0,+∞時，所以c1由于m>1，所以c10(由于c1x=cos?所以，存在x0>0，使得則當(dāng)x∈0,x0時，c1x≤0，即當(dāng)x∈x0,+∞時，c1x≥0又因為?10=0,x→+所以存在x1>0，使得即當(dāng)x∈0,x1時，?1x≤0，即g1當(dāng)x∈x1,+∞時，?1x≥0，即g又因為g10=0,x→+所以，存在x2>0，使得g1x2對任意的m>1，都存在x，使得fx綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為?∞【解析】【分析】（1）利用已知條件求出導(dǎo)函數(shù)零點，再通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）利用整體換元法，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值問