空間向量與立體幾何空間位置關(guān)系的向量證明空間角度與空間距離的向量求法高三三輪沖刺高頻考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義（原卷版）

空間向量與立體幾何：空間位置關(guān)系的向量證明、空間角度與空間距離的向量求法高頻考點(diǎn)分析高頻考點(diǎn)分析1.平面的法向量的求解：已知平面，且(1)表示平面中兩條相交直線所形成的向量.(2)設(shè)為平面的一個法向量.(3)利用法向量與平面的所有直線垂直列方程.(4)賦值求解法向量.2.空間向量與空間位置關(guān)系空間位置關(guān)系向量表示線線平行：線面平行：面面平行：線線垂直：線面垂直：面面垂直：3.空間向量與空間距離問題空間距離問題向量表示點(diǎn)到平面的距離若點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，則.點(diǎn)到直線的距離若點(diǎn)為直線外一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，直線的方向向量為，則.異面直線的距離已知直線與為異面直線，與與均垂直的向量為，直線與上各取一點(diǎn)形成，4.空間向量與空間角度問題空間角度問題向量表示異面直線所成之角（線線角）若求直線與直線所稱之角(1)表示、、、四點(diǎn)的坐標(biāo).(2)表示與.(3)記直線所成之角為，.直線與平面所成之角（線面角）若求直線與平面所成之角(1)表示、、、、五點(diǎn)的坐標(biāo).(2)表示與平面兩條相交直線所形成的向量.(3)設(shè)平面的一個法向量為，利用法向量與平面的所有直線垂直列方程，賦值求解.(4)記直線與平面所成之角為，.平面與平面所成之角（二面角）若求平面與平面所成之角(1)表示、、、、、五點(diǎn)的坐標(biāo).(2)分別表示平面與平面兩條相交直線所形成的向量.(3)設(shè)平面的一個法向量為，利用法向量與平面的所有直線垂直列方程，賦值求解，同理求平面的一個法向量.(4)記平面與平面所成之角為，.

真題真題速遞1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．2．（2024·全國甲卷（文）·高考真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到的距離.

3．（2024·全國甲卷（理）·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．4．（2024·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，平面，，．分別為的中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．

5．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．6．（2024·新課標(biāo)I卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．

實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練一：空間位置關(guān)系的向量證明1．（2425高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則（

）A． B． C．3 D．2．（2425高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知直線的方向向量為，平面的一個法向量為，若，則的值（

）A． B． C．1 D．43．（2425高二下·福建漳州·階段練習(xí)）如果直線的方向向量是，直線方向向量是，那么（

）A． B．與相交 C．與異面 D．4．（2025·寧夏吳忠·一?！ざ噙x）在正方體中，點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，則（

）A．B．C．平面D．與平面所成的角為5．（2425高三下·北京·階段練習(xí)·節(jié)選）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，(1)求證：平面；

6．（2425高二下·廣東佛山·階段練習(xí)·節(jié)選）如圖多面體中，四邊形為菱形，且，，，，M，N分別為棱，上的點(diǎn)且，.(1)用向量法證明：平面；7．（2425高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為上一點(diǎn)，且．（請用空間向量法予以證明）(1)求證：平面PBC；(2)求證：平面BDE．8．（2425高三下·江蘇連云港·階段練習(xí)·節(jié)選）如圖，在直四棱柱中，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；

實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練二：空間角度的向量求法1．（2425高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，三角形是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，，E為PD的中點(diǎn).(1)證明：平面PAB；(2)若，求直線CE與平面PBC的夾角的余弦值.2．（2425高三下·上?！るA段練習(xí)）棱錐中，平面平面，，，是棱的中點(diǎn).(1)證明：平面;(2)求二面角的余弦值.

3．（2025·廣東深圳·一模）如圖，在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．4．（2025·廣東汕頭·一模）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，平面，二面角與二面角的大小相等．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．

5．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，側(cè)面是等邊三角形，三棱錐的體積為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．6．（2025·陜西漢中·二模）如圖，是圓柱上底面圓周上的三個不同的點(diǎn)，為直徑，，均為該圓柱的母線．(1)證明：平面平面．(2)若，，，求與平面所成角的正弦值．

7．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測）如圖所示的多面體中，平面，，，，，，，．(1)若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．8．（2425高二下·甘肅金昌·階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，，.(1)證明:平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值.

9．（2425高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中點(diǎn).(1)求異面直線AE和PD所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)B到平面CDE的距離；10．（2025·貴州·二模）如圖，在四棱錐中，，，，．(1)證明：平面平面．(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．

實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練三：空間距離的向量求法1．（2025·天津·一模）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，為棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)P到平面的距離．2．（2025·天津紅橋·一模）如圖，已知四棱錐平面ABCD，，，，，E是PA的中點(diǎn)，．(1)求證：∥平面PBC；(2)求平面FPC與平面PBC夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

3．（2025·河南信陽·一模）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面ABCD，，.(1)若為線段的中點(diǎn)，求證：平面.(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求平面與平面夾角的正弦值.4．（2025·湖南邵陽·二模）如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，，為線段上一點(diǎn)，且．(1)證明：平面；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

5．（2425高二上·四川綿陽·期末