九年級中考2025年安徽中考數(shù)學(xué)真題匯編 專題17 圖形的變換

專題17圖形的變換課標(biāo)要求考點(diǎn)考向能夠在格點(diǎn)中進(jìn)行圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等變換作圖。明確變換的性質(zhì)和規(guī)律，準(zhǔn)確找出圖形變換后對應(yīng)點(diǎn)的位置，進(jìn)而作出變換后的圖形。學(xué)生不僅要能作出圖形，還要理解作圖的原理和依據(jù)，能夠運(yùn)用幾何知識對所作圖形的合理性進(jìn)行解釋和證明，將作圖與幾何推理、計(jì)算等相結(jié)合，解決相關(guān)問題。了解比例的基本性質(zhì)、了解相似三角形的判定定理：了解相似三角形判定定理的證明。了解相似三角形的性質(zhì)定理、了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。知道特殊角的三角函數(shù)值。會使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳角。在平面上，能用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置。能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實(shí)際問題。格點(diǎn)作圖考向一平移考向二對稱考向三旋轉(zhuǎn)考向四位似相似三角形考向一相似三角形的性質(zhì)與判定考向二相似三角形綜合解直角三角形考向一三角函數(shù)考向二解直角三角形的應(yīng)用考點(diǎn)一格點(diǎn)作圖?考向一平移1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，再將所得正方形繞原點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到四邊形，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．（2024·海南·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A向右平移3個單位長度得到點(diǎn)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．（2024·四川資陽·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)沿y軸向上平移1個單位后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．（2024·河北·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的點(diǎn)稱為“和點(diǎn)”．將某“和點(diǎn)”平移，每次平移的方向取決于該點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)為0時，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．例：“和點(diǎn)”按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點(diǎn)，其平移過程如下：若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）A．或 B．或 C．或 D．或5．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，將線段平移得到線段．若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．6．（2024·江蘇無錫·中考真題）在探究“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時，小明先將直角邊長為5個單位長度的等腰直角三角板擺放在平面直角坐標(biāo)系中，使其兩條直角邊分別落在軸負(fù)半軸、軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，小明發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)恰好都落在函數(shù)的圖象上，則的值為．?考向二對稱1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)畫出關(guān)于y軸對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；2．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，．

(1)將向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到，請畫出．3．（2023·山東棗莊·中考真題）（1）觀察分析：在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，老師向同學(xué)們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請你結(jié)合自己所學(xué)的知識，觀察圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，寫出三個圖案都具有的兩個共同特征：___________，___________．

（2）動手操作：請?jiān)趫D④中設(shè)計(jì)一個新的圖案，使其滿足你在（1）中發(fā)現(xiàn)的共同特征．

4．（2022·吉林·中考真題）圖①，圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．其中點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．請?jiān)诮o定的網(wǎng)格中按要求畫四邊形．(1)在圖①中，找一格點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是軸對稱圖形；(2)在圖②中，找一格點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是中心對稱圖形．5．（2020·吉林·中考真題）如圖①、圖②、圖③都是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．，，均為格點(diǎn)．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，畫一條不與重合的線段，使與關(guān)于某條直線對稱，且，為格點(diǎn)．（2）在圖②中，畫一條不與重合的線段，使與關(guān)于某條直線對稱，且，為格點(diǎn)．（3）在圖③中，畫一個，使與關(guān)于某條直線對稱，且，，為格點(diǎn)．?考向三旋轉(zhuǎn)1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，再將所得正方形繞原點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到四邊形，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，將線段繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．以為邊作矩形，若將矩形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸，垂足為點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在直線上，再將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)也落在直線上，如此下去，……，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．5．（2025·江蘇南京·中考真題）如圖，在邊長為4的等邊三角形中，是中線，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則．6．（2023·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，將一個多邊形先繞自身的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時針旋轉(zhuǎn)，記作，順，；若逆時針旋轉(zhuǎn)，記作，逆，．例如：如圖①，先將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)為位似中心縮小到原來的，得到，這個變換記作，逆，．(1)如圖②，經(jīng)過，順，得到，用尺規(guī)作出．（保留作圖痕跡）(2)如圖③，經(jīng)過，逆，得到，經(jīng)過，順，得到，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．(3)如圖④，在中，若經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形是正方形．①用尺規(guī)作出點(diǎn)D（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；②直接寫出的長．7．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在中，，，點(diǎn)D、E在邊上，且，，，求的長．解：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：______；“②”處應(yīng)填：______；“③”處應(yīng)填：______．劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬變．【知識遷移】如圖3，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，滿足的周長等于正方形的周長的一半，連結(jié)，分別與對角線交于M、N兩點(diǎn)．探究的數(shù)量關(guān)系并證明．

【拓展應(yīng)用】如圖4，在矩形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且．探究的數(shù)量關(guān)系：______（直接寫出結(jié)論，不必證明）．

【問題再探】如圖5，在中，，，，點(diǎn)D、E在邊上，且．設(shè)，，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

?考向四位似1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，矩形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，以原點(diǎn)為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點(diǎn)在第一象限對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．2．（2024·浙江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，位似中心為點(diǎn)．若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時，在點(diǎn)光源的照射下形成的投影是，若，則的面積是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二相似三角形?考向一相似三角形的性質(zhì)與判定1．（2024·山東德州·中考真題）如圖中，，，垂足為D，平分，分別交，于點(diǎn)F，E．若，則為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，正方形與（其中邊，分別在，軸的正半軸上）的公共頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，直線與，軸分別相交于點(diǎn)，．若這兩個正方形的面積之和是，且．則的值是（

）A．5 B．1 C．3 D．23．（2024·山東德州·中考真題）有一張如圖所示的四邊形紙片，，，為直角，要在該紙片中剪出一個面積最大的圓形紙片，則圓形紙片的半徑為cm．4．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是矩形的頂點(diǎn)，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)在邊的中點(diǎn)處，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則5．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在邊長為10的菱形中，對角線，相交與點(diǎn)，點(diǎn)在延長線上，與相交與點(diǎn)．若，，則菱形的面積為．6．（2024·海南·中考真題）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱經(jīng)過的中點(diǎn)O，與地面垂直于點(diǎn)M，，當(dāng)蹺蹺板的一端A著地時，另一端B離地面的高度為．7．（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實(shí)踐：九年級某學(xué)習(xí)小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學(xué)習(xí)活動．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標(biāo)注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線的長的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②12圖③1__________________請補(bǔ)全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．已知的角平分線，，，用含的等式寫出兩腰之和與兩腰之積之間的數(shù)量關(guān)系：______．【變式思考】（2）已知的角平分線，，用等式寫出兩邊之和與兩邊之積之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【拓展運(yùn)用】（3）如圖④，中，，點(diǎn)D在邊上，．以點(diǎn)C為圓心，長為半徑作弧與線段相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作任意直線與邊，分別交于M，N兩點(diǎn)．請補(bǔ)全圖形，并分析的值是否變化？8．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，內(nèi)接于，直徑交于點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，使得，延長交過點(diǎn)的切線于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)若．①求的長；②求的半徑．9．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)P落在邊上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，交于點(diǎn)H．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)P為的中點(diǎn)，，時，求的長；(3)如圖3，連接，當(dāng)P，H分別為，的中點(diǎn)時，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．?考向二相似三角形綜合1．（2024·山東德州·中考真題）在中，，，點(diǎn)D是上一個動點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），以點(diǎn)D為中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)得到線．(1)如圖1，當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)如圖2，連接，當(dāng)時，的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，的度數(shù)；如果變化，請說明理由；(3)如圖3，點(diǎn)M在CD上，且，以點(diǎn)C為中心，將線CM逆時針轉(zhuǎn)得到線段CN，連接EN，若，求線段EN的取值范圍．2．（2024·山東淄博·中考真題）在綜合與實(shí)踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學(xué)習(xí)．【操作發(fā)現(xiàn)】小明作出了的內(nèi)接等腰三角形，．并在邊上任取一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，然后將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到．如圖①小明發(fā)現(xiàn)：與的位置關(guān)系是__________，請說明理由：【實(shí)踐探究】連接，與相交于點(diǎn)．如圖②，小明又發(fā)現(xiàn)：當(dāng)確定時，線段的長存在最大值．請求出當(dāng)．時，長的最大值；【問題解決】在圖②中，小明進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)分線段所成的比與點(diǎn)分線段所成的比始終相等．請予以證明．3．（2024·海南·中考真題）正方形中，點(diǎn)E是邊上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），，，交于點(diǎn)H，交延長線于點(diǎn)G．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，于點(diǎn)P，交于點(diǎn)M．①求證：點(diǎn)P在的平分線上；②當(dāng)時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；③作于點(diǎn)N，連接，當(dāng)時，若，求的值．4．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）主題學(xué)習(xí)：僅用一把無刻度的直尺作圖【閱讀理解】任務(wù)：如圖1，點(diǎn)D、E分別在的邊、上，，僅用一把無刻度的直尺作、的中點(diǎn)．

操作：如圖2，連接、交于點(diǎn)P，連接交于點(diǎn)M，延長交于點(diǎn)N，則M、N分別為、的中點(diǎn)．理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，則，，即M、N分別為、的中點(diǎn)．【實(shí)踐操作】請僅用一把無刻度的直尺完成下列作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．（1）如圖3，，點(diǎn)E、F在直線上．①作線段的中點(diǎn)；②在①中作圖的基礎(chǔ)上，在直線上位于點(diǎn)Ｆ的右側(cè)作一點(diǎn)P，使得；（2）小明發(fā)現(xiàn)，如果重復(fù)上面的過程，就可以作出長度是已知線段長度的3倍、4倍、…k倍（k為正整數(shù)）的線段．如圖4，，已知點(diǎn)、在上，他利用上述方法作出了．點(diǎn)E、F在直線上，請?jiān)趫D4中作出線段的三等分點(diǎn)；【探索發(fā)現(xiàn)】請僅用一把無刻度的直尺完成作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．（3）如圖5，是的中位線．請?jiān)诰€段上作出一點(diǎn)Q，使得（要求用兩種方法）．5．（2024·江蘇宿遷·中考真題）在綜合實(shí)踐活動課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開數(shù)學(xué)探究活動【操作判斷】操作一：如圖①，對折正方形紙片，得到折痕，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊上選一點(diǎn)E，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部，得到折痕；操作三：如圖③，在邊上選一點(diǎn)F，沿折疊，使邊與邊重合，得到折痕把正方形紙片展平，得圖④，折痕與的交點(diǎn)分別為G、H．根據(jù)以上操作，得________．【探究證明】（1）如圖⑤，連接，試判斷的形狀并證明；（2）如圖⑥，連接，過點(diǎn)G作的垂線，分別交于點(diǎn)P、Q、M．求證：．【深入研究】若，請求出的值（用含k的代數(shù)式表示）．6．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，點(diǎn)D在邊上．若，則，請證明；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，在中，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)E在上，連接，．若，求的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，延長，相交于點(diǎn)G．若，，求的長．7．（2024·湖南長沙·中考真題）對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個頂點(diǎn)都在同一個圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；

（

）②內(nèi)角不等于的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；

（

）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有．（

）(2)如圖1，已知四邊形內(nèi)接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點(diǎn)E，的平分線交于點(diǎn)F，連接．求證：是的直徑．(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．①如圖2．連接交于點(diǎn)P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內(nèi)切圓的半徑r及的長．8．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在中，，．點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），作射線，在射線上取點(diǎn)，使，以為邊作正方形，使點(diǎn)和點(diǎn)在直線同側(cè)．(1)當(dāng)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時，求的長；(2)當(dāng)時，點(diǎn)到直線的距離為________；(3)連結(jié)，當(dāng)時，求正方形的邊長；(4)若點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線距離的3倍，則的長為________．（寫出一個即可）考點(diǎn)三解直角三角形?考向一三角函數(shù)1．（2024·四川資陽·中考真題）第屆國際數(shù)學(xué)教育大會（）會標(biāo)如圖所示，會標(biāo)中心的圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（，，，）和一個小正方形拼成的大正方形．若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林長春·中考真題）2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發(fā)射．當(dāng)火箭上升到點(diǎn)時，位于海平面處的雷達(dá)測得點(diǎn)到點(diǎn)的距離為千米，仰角為，則此時火箭距海平面的高度為（）

A．千米 B．千米 C．千米 D．千米3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點(diǎn)，且，連接與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，把沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2024·云南·中考真題）在中，若，則（

）A． B． C． D．6．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形中，，點(diǎn)，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處．則的值是（

）A．2 B． C． D．7．（2024·天津·中考真題）的值等于（

）A． B． C． D．?考向二解直角三角形的應(yīng)用1．（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量潮汐塔的高度，測量方案如圖所示：無人機(jī)在距水平地面的點(diǎn)M處測得潮汐塔頂端A的俯角為，再將無人機(jī)沿水平方向飛行到達(dá)點(diǎn)N，測得潮汐塔底端B的俯角為（點(diǎn)在同一平面內(nèi)），則潮汐塔的高度為（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．2．（2024·四川雅安·中考真題）在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動中，某小組測量一棟樓房的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進(jìn)50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計(jì)）（

）A．米 B．25米 C．米 D．50米3．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高的測量儀測得的仰角為，小軍在小明的前面處用高的測量儀測得的仰角為，則電子廠的高度為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．4．（2024·四川德陽·中考真題）某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動，測量一建筑物的高度，在建筑物旁邊有一高度為10米的小樓房，小李同學(xué)在小樓房樓底處測得處的仰角為，在小樓房樓頂處測得處的仰角為．（在同一平面內(nèi)，在同一水平面上），則建筑物的高為（

）米A．20 B．15 C．12 D．5．（2024·山西·中考真題）研學(xué)實(shí)踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學(xué)校組織研學(xué)活動．同學(xué)們來到毛主席東渡黃河紀(jì)念碑所在地，在了解相關(guān)歷史背景后，利用航模搭載的掃描儀采集紀(jì)念碑的相關(guān)數(shù)據(jù)．?dāng)?shù)據(jù)采集：如圖，點(diǎn)是紀(jì)念碑頂部一點(diǎn)，的長表示點(diǎn)到水平地面的距離．航模從紀(jì)念碑前水平地面的點(diǎn)處豎直上升，飛行至距離地面20米的點(diǎn)處時，測得點(diǎn)的仰角；然后沿方向繼續(xù)飛行，飛行方向與水平線的夾角，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)正上方的點(diǎn)處時，測得米；數(shù)據(jù)應(yīng)用：已知圖中各點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，，，三點(diǎn)在同一直線上．請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算紀(jì)念碑頂部點(diǎn)到地面的距離的長（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．6．（2024·西藏·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，次仁和格桑自主設(shè)計(jì)了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業(yè)．如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為；格桑在B處測得山頂C的仰角為．已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度米，B處距地面的垂直高度米，點(diǎn)M，F(xiàn)，N在同一條直線上，求小山的高度．（結(jié)果保留根號）

7．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標(biāo)．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的A處．記錄二：上午8時30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的B處．記錄三：根據(jù)氣象觀測，當(dāng)天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點(diǎn)周圍5海里內(nèi)，會出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔P北偏東方向．請你根據(jù)以上信息解決下列問題：(1)填空：________，________，________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)，請計(jì)算說明．（參考數(shù)據(jù)：）8．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．現(xiàn)將左側(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖抽象成右側(cè)示意圖，已知試管，試管傾斜角為．(1)求試管口B與鐵桿的水平距離的長度；（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）(2)實(shí)驗(yàn)時，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁，延長交的延長線于點(diǎn)F，且于點(diǎn)N（點(diǎn)C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測得：，求線段的長度．（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）9．（2024·湖北·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組在校園內(nèi)開展綜合與實(shí)踐活動，記錄如下：活動項(xiàng)目測量校園中樹的高度活動方案“測角儀”方案“平面鏡”方案方案示意圖實(shí)施過程1．選取與樹底B位于同一水平地面的D處；2．測量D，B兩點(diǎn)間的距離；3．站在D處，用測角儀測量從眼睛C處看樹頂A的仰角；4．測量C到地面的高度．1．選取與樹底B位于同一水平地面的E處；2．測量E，B兩點(diǎn)間的距離；3．在E處水平放置一個平面鏡，沿射線方向后退至D處，眼睛C剛好從鏡中看到樹頂A；4．測量E，D兩點(diǎn)間的距離；5．測量C到地面的高度．測量數(shù)據(jù)1．；2．；3．．1．；2．；3．．備注1．圖上所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)；2．均與地面垂直；3．參考數(shù)據(jù)：．1．圖上所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)；2．均與地面垂直；3．把平面鏡看作一個點(diǎn)，并由物理學(xué)知識可得．請你從以上兩種方案中任選一種，計(jì)算樹的高度．一、單選題1．（2024·安徽宿州·模擬預(yù)測）如圖，實(shí)線部分是一個正方體展開圖，點(diǎn)A，B，C，D，E均在的邊上，則（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽宿州·模擬預(yù)測）的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽合肥·三模）如圖，在四邊形中，，以為直角邊作等腰直角，點(diǎn)E正好落在邊上，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．4．（2024·安徽宿州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，于E，且，則的長為（

）A．2 B． C． D．5．（2024·安徽亳州·模擬預(yù)測）如圖，是的中線，點(diǎn)F在上，延長交于點(diǎn)D，若，則（

）A． B． C． D．6．（2024·安徽亳州·模擬預(yù)測）若，則銳角的度數(shù)應(yīng)是（

）A． B． C． D．7．（2024·安徽亳州·模擬預(yù)測）在中，，，，則的值為（

）A．10 B．8 C．6 D．4二、填空題8．（2024·安徽宿州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，為對角線，點(diǎn)F在上，連接交于點(diǎn)E，且；（1）則；（2）若為等腰直角三角形，，則．9．（2024·安徽宿州·模擬預(yù)測）已知，那么．10．（22-23九年級上·山東濰坊·階段練習(xí)）在中，若，則．三、解答題11．（2024·安徽宿州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．(1)畫出關(guān)于y軸對稱的（點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)．）；(2)以點(diǎn)O為位似中心在第四象限內(nèi)畫出的位似圖形，使得與的相似比為．12．（2024·安徽·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點(diǎn)分別是，，．(1)請畫出將繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的；(2)在（2）的條件下，求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留π）．13．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知，四邊形為菱形，對角線，交于點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，為對角線上一點(diǎn)，且，．(1)如圖，當(dāng)時，連接并延長交于點(diǎn)；求證：；求的度數(shù)；(2)如圖，求證：．14．（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖所示，圖中的小方格都是邊長為的正方形，與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)畫出位似中心，并直接寫出與的相似比；(2)以位似中心為旋轉(zhuǎn)中心，把按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，畫出．15．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點(diǎn)是對角線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)如圖，連接與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)．①若，求證：；②如圖，若正方形的邊長為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，試求的長．16．（2024·安徽·模擬預(yù)測）某超市自動扶梯路線如圖所示，一樓扶梯段坡角為，中轉(zhuǎn)平臺，二樓扶梯段坡角為，已知，，，求水平距離的長．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）17．（2024·安徽·模擬預(yù)測）某海域有兩個海拔均為米的海島A和海島，一勘測飛機(jī)在距離海平面垂直高度為米的空中飛行，飛行到點(diǎn)處時測得正前方一海島頂端A的俯角是，然后沿平行與的方向水平飛行米到達(dá)點(diǎn)處，在處測得正前方另一海島頂端的俯角是，求兩海島間的距離．18．（2024·安徽·三模）如圖1是某地紅色廣場標(biāo)牌，將其紅色主體部分拍象為圖2，，，，米，米，求該標(biāo)牌的高（精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，，

專題17圖形的變換課標(biāo)要求考點(diǎn)考向能夠在格點(diǎn)中進(jìn)行圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等變換作圖。明確變換的性質(zhì)和規(guī)律，準(zhǔn)確找出圖形變換后對應(yīng)點(diǎn)的位置，進(jìn)而作出變換后的圖形。學(xué)生不僅要能作出圖形，還要理解作圖的原理和依據(jù)，能夠運(yùn)用幾何知識對所作圖形的合理性進(jìn)行解釋和證明，將作圖與幾何推理、計(jì)算等相結(jié)合，解決相關(guān)問題。了解比例的基本性質(zhì)、了解相似三角形的判定定理：了解相似三角形判定定理的證明。了解相似三角形的性質(zhì)定理、了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。知道特殊角的三角函數(shù)值。會使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳角。在平面上，能用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置。能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實(shí)際問題。格點(diǎn)作圖考向一平移考向二對稱考向三旋轉(zhuǎn)考向四位似相似三角形考向一相似三角形的性質(zhì)與判定考向二相似三角形綜合解直角三角形考向一三角函數(shù)考向二解直角三角形的應(yīng)用考點(diǎn)一格點(diǎn)作圖?考向一平移1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，再將所得正方形繞原點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到四邊形，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)和平移，全等三角形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)題意得到平移方式為向右平移3個單位長度，則可得平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為；如圖所示，設(shè)繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90度后的對應(yīng)點(diǎn)為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，證明，得到，則，即點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．【詳解】解：由題意得，平移前，∵將正方形先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，∴平移方式為向右平移3個單位長度，∴平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖所示，設(shè)繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90度后的對應(yīng)點(diǎn)為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：A．2．（2024·海南·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A向右平移3個單位長度得到點(diǎn)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形的平移變化．根據(jù)坐標(biāo)的平移變化的規(guī)律，左右平移只改變點(diǎn)的橫坐標(biāo)，左減右加．上下平移只改變點(diǎn)的縱坐標(biāo)，下減上加．據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵將點(diǎn)A向右平移3個單位長度得到點(diǎn)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，即．故選：C．3．（2024·四川資陽·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)沿y軸向上平移1個單位后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移規(guī)律．根據(jù)橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減可得答案．【詳解】點(diǎn)沿y軸向上平移1個單位后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：B．4．（2024·河北·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的點(diǎn)稱為“和點(diǎn)”．將某“和點(diǎn)”平移，每次平移的方向取決于該點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)為0時，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．例：“和點(diǎn)”按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點(diǎn)，其平移過程如下：若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查了坐標(biāo)內(nèi)點(diǎn)的平移運(yùn)動，熟練掌握知識點(diǎn)，利用反向運(yùn)動理解是解決本題的關(guān)鍵．先找出規(guī)律若“和點(diǎn)”橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平移，按照的反向運(yùn)動理解去分類討論：①先向右1個單位，不符合題意；②先向下1個單位，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時，共計(jì)向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標(biāo)為，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為．【詳解】解：由點(diǎn)可知橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，繼而向上平移1個單位得到，此時橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為2，繼而向左平移1個單位得到，此時橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，又要向上平移1個單位，因此發(fā)現(xiàn)規(guī)律為若“和點(diǎn)”橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平移，若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)，則按照“和點(diǎn)”反向運(yùn)動16次求點(diǎn)Q坐標(biāo)理解，可以分為兩種情況：①先向右1個單位得到，此時橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0，應(yīng)該是向右平移1個單位得到，故矛盾，不成立；②先向下1個單位得到，此時橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，則應(yīng)該向上平移1個單位得到，故符合題意，那么點(diǎn)先向下平移，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時，共計(jì)向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標(biāo)為，即，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為，故選：D．5．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，將線段平移得到線段．若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】此題主要考查了點(diǎn)的平移規(guī)律與圖形的平移，關(guān)鍵是掌握平移規(guī)律，左右移，縱不變，橫減加，上下移，橫不變，縱加減．根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合已知點(diǎn)，的坐標(biāo)，知點(diǎn)的橫坐標(biāo)加上了1，縱坐標(biāo)加1，則的坐標(biāo)的變化規(guī)律與點(diǎn)相同，即可得到答案．【詳解】解：平移后對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)加上了4，縱坐標(biāo)加1，，點(diǎn)坐標(biāo)為，即，故答案為：．6．（2024·江蘇無錫·中考真題）在探究“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時，小明先將直角邊長為5個單位長度的等腰直角三角板擺放在平面直角坐標(biāo)系中，使其兩條直角邊分別落在軸負(fù)半軸、軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，小明發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)恰好都落在函數(shù)的圖象上，則的值為．【答案】2或3【分析】本題考查了反比例函數(shù)，平移，解一元二次方程．先得出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，再得出平移后點(diǎn)A和點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)平移后兩點(diǎn)恰好都落在函數(shù)的圖象上，列出方程求解即可．【詳解】解：∵，∴，設(shè)平移后點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為，∴，∵兩點(diǎn)恰好都落在函數(shù)的圖象上，∴把代入得：，解得：或．故答案為：2或3．?考向二對稱1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)畫出關(guān)于y軸對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；【答案】(1)作圖見解析，【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意畫出即可；關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變；【詳解】（1）解：如圖，為所求；點(diǎn)的坐標(biāo)為，2．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，．

(1)將向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到，請畫出．【答案】(1)見解析【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)的位置進(jìn)而畫出圖形；【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

3．（2023·山東棗莊·中考真題）（1）觀察分析：在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，老師向同學(xué)們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請你結(jié)合自己所學(xué)的知識，觀察圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，寫出三個圖案都具有的兩個共同特征：___________，___________．

（2）動手操作：請?jiān)趫D④中設(shè)計(jì)一個新的圖案，使其滿足你在（1）中發(fā)現(xiàn)的共同特征．

【答案】（1）觀察發(fā)現(xiàn)四個圖形都是軸對稱圖形，且面積相等；（2）見解析【分析】（1）應(yīng)從對稱方面，陰影部分的面積等方面入手思考；（2）應(yīng)畫出既是軸對稱圖形，且面積為4的圖形．【詳解】解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)四個圖形都是軸對稱圖形，且面積相等；故答案為：觀察發(fā)現(xiàn)四個圖形都是軸對稱圖形，且面積相等；（2）如圖：

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對稱圖形設(shè)計(jì)圖案，關(guān)鍵是掌握利用軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案．4．（2022·吉林·中考真題）圖①，圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．其中點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．請?jiān)诮o定的網(wǎng)格中按要求畫四邊形．(1)在圖①中，找一格點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是軸對稱圖形；(2)在圖②中，找一格點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是中心對稱圖形．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析【分析】（1）以所在直線為對稱軸，找出點(diǎn)的對稱點(diǎn)即為點(diǎn)，再順次連接點(diǎn)即可得；（2）根據(jù)點(diǎn)平移至點(diǎn)的方式，將點(diǎn)進(jìn)行平移即可得點(diǎn)，再順次連接點(diǎn)即可得．【詳解】（1）解：如圖①，四邊形是軸對稱圖形．（2）解：先將點(diǎn)向左平移2格，再向上平移1個可得到點(diǎn)，則將點(diǎn)按照同樣的平移方式可得到點(diǎn)，如圖②，平行四邊形是中心對稱圖形．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形、平移作圖，熟練掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念是解題關(guān)鍵．5．（2020·吉林·中考真題）如圖①、圖②、圖③都是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．，，均為格點(diǎn)．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，畫一條不與重合的線段，使與關(guān)于某條直線對稱，且，為格點(diǎn)．（2）在圖②中，畫一條不與重合的線段，使與關(guān)于某條直線對稱，且，為格點(diǎn)．（3）在圖③中，畫一個，使與關(guān)于某條直線對稱，且，，為格點(diǎn)．【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析；（3）圖見解析．【分析】（1）先畫出一條的正方形網(wǎng)格的對稱軸，根據(jù)對稱性即可在圖①中，描出點(diǎn)AB的對稱點(diǎn)MN，它們一定在格點(diǎn)上，再連接即可．（2）同（1）方法可解；（3）同（1）方法可解；【詳解】解：（1）如圖①，的正方形網(wǎng)格的對稱軸l，描出點(diǎn)AB關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)MN，連接即為所求；（2）如圖②，同理（1）可得，即為所求；（3）如圖③，同理（1）可得，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖軸對稱變換，解決本題的關(guān)鍵是找到圖形對稱軸的位置．?考向三旋轉(zhuǎn)1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，再將所得正方形繞原點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到四邊形，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)和平移，全等三角形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)題意得到平移方式為向右平移3個單位長度，則可得平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為；如圖所示，設(shè)繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90度后的對應(yīng)點(diǎn)為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，證明，得到，則，即點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．【詳解】解：由題意得，平移前，∵將正方形先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，∴平移方式為向右平移3個單位長度，∴平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖所示，設(shè)繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90度后的對應(yīng)點(diǎn)為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：A．2．（2024·湖北·中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，將線段繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，再結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：如圖所示，分別過點(diǎn)和點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為和，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，．在和中，，，，．點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．3．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．以為邊作矩形，若將矩形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到，再由矩形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，∴，，∴軸，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C．4．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸，垂足為點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在直線上，再將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)也落在直線上，如此下去，……，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)．找出點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律以及旋轉(zhuǎn)過程中線段長度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．通過求出點(diǎn)的坐標(biāo)，、、的長度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)逐步推導(dǎo)出后續(xù)點(diǎn)的位置和坐標(biāo)，然后結(jié)合圖形求解即可．【詳解】軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入，得：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，，，，．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得或（舍去），則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選C．5．（2025·江蘇南京·中考真題）如圖，在邊長為4的等邊三角形中，是中線，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則．【答案】【分析】過點(diǎn)E作交延長線于點(diǎn)H，由等邊三角形的性質(zhì)得到，繼而由三線合一得到，，由勾股定理得到，旋轉(zhuǎn)得到，，則，繼而，即可求解面積．【詳解】解：過點(diǎn)E作交延長線于點(diǎn)H，∵為等邊三角形∴，∵是中線，∴，，∴由勾股定理得：，由旋轉(zhuǎn)得：，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，角直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，將一個多邊形先繞自身的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時針旋轉(zhuǎn)，記作，順，；若逆時針旋轉(zhuǎn)，記作，逆，．例如：如圖①，先將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)為位似中心縮小到原來的，得到，這個變換記作，逆，．(1)如圖②，經(jīng)過，順，得到，用尺規(guī)作出．（保留作圖痕跡）(2)如圖③，經(jīng)過，逆，得到，經(jīng)過，順，得到，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．(3)如圖④，在中，若經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形是正方形．①用尺規(guī)作出點(diǎn)D（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；②直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①見解析；②【分析】（1）旋轉(zhuǎn)，可作等邊三角形，，從而得出點(diǎn)和點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)，，進(jìn)而作出圖形；（2）根據(jù)和位似，與位似得出，，，進(jìn)而推出，從而，進(jìn)而得出，同理可得：，從而推出四邊形是平行四邊形；（3）要使是正方形，應(yīng)使，，從而得出，從而得出，從而，于是作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法．【詳解】（1）解：如圖1，1．以為圓心，為半徑畫弧，以為圓心，為半徑畫弧，兩弧在的上方交于點(diǎn)，分別以，為圓心，以為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，2．延長至，使，延長至，使，連接，則就是求作的三角形；（2）證明：和位似，與位似，，，，，，，，，同理可得：，四邊形是平行四邊形；（3）解：如圖2，1．以為邊在上方作等邊三角形，2．作等邊三角形的外接圓，作直徑，連接，3．作，，延長，交于，連接，，則四邊形是正方形，證明：由上知：，，，，，，，要使是正方形，應(yīng)使，，，，，，，作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法；，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，確定圓的條件，尺規(guī)作圖等知識，解決問題的關(guān)鍵是較強(qiáng)的分析能力．7．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在中，，，點(diǎn)D、E在邊上，且，，，求的長．解：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：______；“②”處應(yīng)填：______；“③”處應(yīng)填：______．劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬變．【知識遷移】如圖3，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，滿足的周長等于正方形的周長的一半，連結(jié)，分別與對角線交于M、N兩點(diǎn)．探究的數(shù)量關(guān)系并證明．

【拓展應(yīng)用】如圖4，在矩形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且．探究的數(shù)量關(guān)系：______（直接寫出結(jié)論，不必證明）．

【問題再探】如圖5，在中，，，，點(diǎn)D、E在邊上，且．設(shè)，，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

【答案】【問題解決】①；②；③5；【知識遷移】，見解析；【拓展應(yīng)用】；【問題再探】【分析】【問題解決】根據(jù)題中思路解答即可；【知識遷移】如圖，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，連接．由旋轉(zhuǎn)的特征得．結(jié)合題意得．證明，得出．根據(jù)正方形性質(zhì)得出．結(jié)合，得出．證明，得出．證明．得出．在中，根據(jù)勾股定理即可求解；【拓展應(yīng)用】如圖所示，設(shè)直線交延長線于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．則．則，，根據(jù)，證明，得出，過點(diǎn)H作交于點(diǎn)O，過點(diǎn)H作交于點(diǎn)M，則四邊形為矩形．得出，證明是等腰直角三角形，得出，，在中，根據(jù)勾股定理即可證明；【問題再探】如圖，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．由旋轉(zhuǎn)的特征得．根據(jù)，得出，證明，得出，根據(jù)勾股定理算出，根據(jù)，表示出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出，，同理可得．，證明四邊形為矩形．得出，，在中，根據(jù)勾股定理即可求解；【詳解】【問題解決】解：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴①．∴．又∵，∴在中，②．∵，，∴③．【知識遷移】．證明：如圖，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得．由題意得，∴．在和中，，∴．∴．又∵為正方形的對角線，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴．在和中，，∴．∴．在中，，∴．【拓展應(yīng)用】．證明：如圖所示，設(shè)直線交延長線于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，

將繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．則．則，，，，在和中，，∴，過點(diǎn)H作交于點(diǎn)O，過點(diǎn)H作交于點(diǎn)M，則四邊形為矩形．∴，，，是等腰直角三角形，，，，，，在中，，，∴，即，又∴，∴，即，【問題再探】如圖，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．

由旋轉(zhuǎn)的特征得．，，，即，在和中，，，，，，又，，，，，，即，，同理可得．，，，又∵，∴四邊形為矩形．，，在中，．，解得．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換作圖，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．?考向四位似1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，矩形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，以原點(diǎn)為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點(diǎn)在第一象限對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意橫縱的坐標(biāo)乘以，即可求解．【詳解】解：依題意，，以原點(diǎn)為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點(diǎn)在第一象限對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：D．2．（2024·浙江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，位似中心為點(diǎn)．若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了位似變換，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得到位似比，再根據(jù)位似比即可求解，掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵與是位似圖形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，∴與的位似比為，∴點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故選：．3．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時，在點(diǎn)光源的照射下形成的投影是，若，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時，在點(diǎn)光源的照射下形成的投影是，，∴，∴位似圖形由三角形硬紙板與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為，∵三角形硬紙板的面積為，∴，∴的面積為．故選：D．考點(diǎn)二相似三角形?考向一相似三角形的性質(zhì)與判定1．（2024·山東德州·中考真題）如圖中，，，垂足為D，平分，分別交，于點(diǎn)F，E．若，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．設(shè)，，利用勾股定理求得，，再證明得到，再利用角平分線的性質(zhì)和三角形的面積得到即可求解．【詳解】解：∵，設(shè)，，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∵平分，∴點(diǎn)F到、的距離相等，又點(diǎn)A到、的距離相等，∴，即，故選：A．2．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，正方形與（其中邊，分別在，軸的正半軸上）的公共頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，直線與，軸分別相交于點(diǎn)，．若這兩個正方形的面積之和是，且．則的值是（

）A．5 B．1 C．3 D．2【答案】C【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖形與性質(zhì)，反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用線段的長度表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．設(shè)，利用正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得到a，b的關(guān)系式，再利用求得a，b值，則點(diǎn)A坐標(biāo)可求，最后利用待定系數(shù)法解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，由題意得：．∵正方形與（其中邊分別在x，y軸的正半軸上）的公共頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．∴．∴，∴．故選：C3．（2024·山東德州·中考真題）有一張如圖所示的四邊形紙片，，，為直角，要在該紙片中剪出一個面積最大的圓形紙片，則圓形紙片的半徑為cm．【答案】【分析】連接，作的平分線交于點(diǎn)，作于，如圖求得，則，，所以平分和，加上平分，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到點(diǎn)到四邊形的各邊的距離相等，則得到是四邊形的內(nèi)切圓，它是所求的面積最大的圓形紙片，其半徑為，接著證明為等腰直角三角形得到，設(shè)，則，，然后證明，利用相似比可計(jì)算出．【詳解】解：連接，作的平分線，交于點(diǎn)O，作于，在和中，，∴，∴，平分和，平分，點(diǎn)到四邊形的各邊的距離相等，∴是四邊形的內(nèi)切圓，它是所求的面積最大的圓形紙片，其半徑為，，，∴為等腰直角三角形，，設(shè)，則，，∵，，∴，，即，．即的半徑為，∴圓形紙片的半徑為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的內(nèi)切圓，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，證明該四邊形的內(nèi)切圓是所求的面積最大的圓是解題的關(guān)鍵．4．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是矩形的頂點(diǎn)，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)在邊的中點(diǎn)處，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則【答案】【分析】設(shè)交與點(diǎn)E，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H．利用矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)和勾股定理等可求出，，，，，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)可求出，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)可求出，，則可出求的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)交與點(diǎn)E，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H．四邊形是矩形，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．在中，，，，矩形沿直線折疊，，，，，，，即，解得，，，，，．，．又，，，即，解得，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)等知識，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造相似三角形求解是解題的關(guān)鍵．5．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在邊長為10的菱形中，對角線，相交與點(diǎn)，點(diǎn)在延長線上，與相交與點(diǎn)．若，，則菱形的面積為．【答案】96【分析】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識．作交于點(diǎn)H，則，求得，再證明，求得，再證明，則，利用勾股定理求得的長，再利用菱形的面積公式求解即可得到問題的答案．【詳解】解：作交于點(diǎn)H，則，∵四邊形是邊長為10的菱形，對角線相交于點(diǎn)O，∴，，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵四邊形是菱形，且，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案為：96．6．（2024·海南·中考真題）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱經(jīng)過的中點(diǎn)O，與地面垂直于點(diǎn)M，，當(dāng)蹺蹺板的一端A著地時，另一端B離地面的高度為．【答案】80【分析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)．過點(diǎn)B作交的延長線于N，求得，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)B作交的延長線于N，

∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴另一端B離地面的高度為．故答案為：80．7．（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實(shí)踐：九年級某學(xué)習(xí)小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學(xué)習(xí)活動．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標(biāo)注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線的長的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②12圖③1__________________請補(bǔ)全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．已知的角平分線，，，用含的等式寫出兩腰之和與兩腰之積之間的數(shù)量關(guān)系：______．【變式思考】（2）已知的角平分線，，用等式寫出兩邊之和與兩邊之積之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【拓展運(yùn)用】（3）如圖④，中，，點(diǎn)D在邊上，．以點(diǎn)C為圓心，長為半徑作弧與線段相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作任意直線與邊，分別交于M，N兩點(diǎn)．請補(bǔ)全圖形，并分析的值是否變化？【答案】（1）見解析；，（2），證明見解析；（3）是定值【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值分別計(jì)算，再填表即可；再由可得結(jié)論；（2）如圖，延長至使，連接，過作于，延長交于，證明為等邊三角形，，，設(shè)，，利用相似三角形的性質(zhì)求解，再進(jìn)一步可得；（3）根據(jù)題目要求畫圖，設(shè)，運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求得，過點(diǎn)作于，于，過點(diǎn)作于，利用，即可求得答案．【詳解】解：（1）∵，是的角平分線，，∴，∴；∴，；圖序角平分線的長的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②12圖③1如圖，由（1）可得：，∴，∴，，∴；（2）猜想：，理由如下：如圖，延長至使，連接，過作于，延長交于，∵，平分，∴為等邊三角形，，，設(shè)，，∴，，而，∴，∵，，∴，∴，，∴，，∵，∴，即，解得：，∴；，∴；（3）補(bǔ)全圖形如圖所示：設(shè)，，，，，，，，，，解得：，，如圖，過點(diǎn)作于，于，過點(diǎn)作于，，，，，，，在中，，，，，，，由是確定的，由作圖可得為定長，而和為定值，為定值，即為定值．【點(diǎn)睛】本題屬于實(shí)際探究題，考查了類比方法的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的靈活應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．8．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，內(nèi)接于，直徑交于點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，使得，延長交過點(diǎn)的切線于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)若．①求的長；②求的半徑．【答案】(1)證明見解析；(2)①；②．【分析】（）連接，則，可得，由可得，進(jìn)而由等腰三角形的性質(zhì)可得，得到，即可求證；（）①證明得到，據(jù)此即可求解；②由①可得，進(jìn)而得，，利用勾股定理得，再證明，得到，即可得，求出即可求解．【詳解】（1）證明：連接，則，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：①∵是的切線，∴，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)和判定，余角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)P落在邊上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，交于點(diǎn)H．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)P為的中點(diǎn)，，時，求的長；(3)如圖3，連接，當(dāng)P，H分別為，的中點(diǎn)時，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)，見解析【分析】（1）證明對應(yīng)角相等，即可得到；（2）根據(jù)，求得的長度，從而得出長度；（3）延長，交于一點(diǎn)，連接，先證明，得到相等的邊，再根據(jù)，得出大小關(guān)系．【詳解】（1）證明：如圖，四邊形是矩形，，，，分別在，上，將四邊形沿翻折，使的對稱點(diǎn)落在上，，，，；（2）解：四邊形是矩形，，，，為中點(diǎn)，，設(shè)，，在中，，即，解得，，，，，即，，，．（3）解：如圖，延長，交于一點(diǎn)，連接，，分別在，上，將四邊形沿翻折，使的對稱點(diǎn)落在上，，直線，，，，，是等腰三角形，，為中點(diǎn)，設(shè)，，為中點(diǎn)，，，，，，，，，在中，，，，在中，，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握以上基礎(chǔ)知識是解題關(guān)鍵．?考向二相似三角形綜合1．（2024·山東德州·中考真題）在中，，，點(diǎn)D是上一個動點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），以點(diǎn)D為中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)得到線．(1)如圖1，當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)如圖2，連接，當(dāng)時，的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，的度數(shù)；如果變化，請說明理由；(3)如圖3，點(diǎn)M在CD上，且，以點(diǎn)C為中心，將線CM逆時針轉(zhuǎn)得到線段CN，連接EN，若，求線段EN的取值范圍．【答案】(1)(2)的大小不發(fā)生變化，，理由見解析(3)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理得到，由三角形外角的性質(zhì)得，進(jìn)而可求出的度數(shù)；（2）連接交于點(diǎn)O，證明得，再證明即可求出的度數(shù)；（3）過點(diǎn)C作于H，求出，則；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，設(shè)，則；如圖所示，過點(diǎn)D作于G，則可得到，，由勾股定理得；證明，在中，由勾股定理得；再求出，即可得到．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得．∵，，∴．∵，∴，∴；（2）解：的大小不發(fā)生變化，，理由如下：連接交于點(diǎn)O，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，∴，∴，又∵，∴，∴∴，∵，∴，∴；（3）解：如圖所示，過點(diǎn)C作于H，∵，，∴，∵，∴；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，設(shè)，∵，∴，如圖所示，過點(diǎn)D作于G，∵，，∴，∵，∴，，在中，由勾股定理得，∴,∵，∴，在中，由勾股定理得，∴或（舍去）；∵點(diǎn)D是上一個動點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊對等角等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2024·山東淄博·中考真題）在綜合與實(shí)踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學(xué)習(xí)．【操作發(fā)現(xiàn)】小明作出了的內(nèi)接等腰三角形，．并在邊上任取一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，然后將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到．如圖①小明發(fā)現(xiàn)：與的位置關(guān)系是__________，請說明理由：【實(shí)踐探究】連接，與相交于點(diǎn)．如圖②，小明又發(fā)現(xiàn)：當(dāng)確定時，線段的長存在最大值．請求出當(dāng)．時，長的最大值；【問題解決】在圖②中，小明進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)分線段所成的比與點(diǎn)分線段所成的比始終相等．請予以證明．【答案】操作發(fā)現(xiàn)：與相切；實(shí)踐探究：；問題解決：見解析【分析】操作發(fā)現(xiàn)：連接并延長交于點(diǎn)M，連接，根據(jù)直徑所對圓周角為直角得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，由圓周角定理推出，等量代換得到，利用直角三角形的性質(zhì)即可證明，即可得出結(jié)論；實(shí)踐探究：證明，得到，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得到，易證，得到，設(shè)，則，得到，利用二次函是的性質(zhì)即可求解；問題解決：過點(diǎn)E作交于點(diǎn)N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：，證明，推出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，得到，根據(jù)，易證，得到，即可證明結(jié)論．【詳解】操作發(fā)現(xiàn)：解：連接并延長交于點(diǎn)M，連接，是直徑，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，是的半徑，與相切；實(shí)踐探究：解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，即，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，當(dāng)時，有最大值為；問題解決：證明：過點(diǎn)E作交于點(diǎn)N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的證明，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)最值的應(yīng)用，正確作出輔助線，構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．3．（2024·海南·中考真題）正方形中，點(diǎn)E是邊上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），，，交于點(diǎn)H，交延長線于點(diǎn)G．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，于點(diǎn)P，交于點(diǎn)M．①求證：點(diǎn)P在的平分線上；②當(dāng)時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；③作于點(diǎn)N，連接，當(dāng)時，若，求的值．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②；③．【分析】（1）利用即可證明；（2）①證明是等腰直角三角形，再推出四點(diǎn)共圓，求得，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；②由①得點(diǎn)P在的平分線即正方形的對角線上，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；③證明四邊形是平行四邊形，推出和都是等腰直角三角形，設(shè)，則，，由，得到，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：∵正方形，∴，∵，∴，∵，，∴；（2）①證明：連接，

由（1）得，∴，∴，即，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∵，，∴點(diǎn)P在的平分線上；②，理由如下：由①得點(diǎn)P在的平分線即正方形的對角線上，

∵正方形，∴，∴，∴，∵，即，∴，∴；③由①得點(diǎn)P在的平分線即正方形的對角線上，

∴，同理四點(diǎn)共圓，則，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，設(shè)平行四邊形的對角線的交點(diǎn)為，且，∵是等腰直角三角形，∴和都是等腰直角三角形，設(shè)，則，，∵，，∴，∴，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）主題學(xué)習(xí)：僅用一把無刻度的直尺作圖【閱讀理解】任務(wù)：如圖1，點(diǎn)D、E分別在的邊、上，，僅用一把無刻度的直尺作、的中點(diǎn)．

操作：如圖2，連接、交于點(diǎn)P，連接交于點(diǎn)M，延長交于點(diǎn)N，則M、N分別為、的中點(diǎn)．理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，則，，即M、N分別為、的中點(diǎn)．【實(shí)踐操作】請僅用一把無刻度的直尺完成下列作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．（1）如圖3，，點(diǎn)E、F在直線上．①作線段的中點(diǎn)；②在①中作圖的基礎(chǔ)上，在直線上位于點(diǎn)Ｆ的右側(cè)作一點(diǎn)P，使得；（2）小明發(fā)現(xiàn)，如果重復(fù)上面的過程，就可以作出長度是已知線段長度的3倍、4倍、…k倍（k為正整數(shù)）的線段．如圖4，，已知點(diǎn)、在上，他利用上述方法作出了．點(diǎn)E、F在直線上，請?jiān)趫D4中作出線段的三等分點(diǎn)；【探索發(fā)現(xiàn)】請僅用一把無刻度的直尺完成作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．（3）如圖5，是的中位線．請?jiān)诰€段上作出一點(diǎn)Q，使得（要求用兩種方法）．【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】實(shí)踐操作（1）①根據(jù)[閱讀理解]部分的作法：在上方任取一點(diǎn)，得到，與交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，作射線交，分別于，，點(diǎn)即為所求點(diǎn)；②作射線交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；（2）根據(jù)上述作法，有兩種作法；[探索發(fā)現(xiàn)]如作法一，根據(jù)相似可知，連接，交于點(diǎn)，則，即點(diǎn)是的三等分點(diǎn)之一，由此可以得出過點(diǎn)作的平行線；同理可得點(diǎn)是的三等分點(diǎn)之一，則，即點(diǎn)為所求作點(diǎn)．【詳解】解：[實(shí)踐操作]（1）①如圖，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；②如圖，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；（2）如圖，作法一、作法二、點(diǎn)，即為所求作的點(diǎn)；[探索發(fā)現(xiàn)]（3）如圖，作法一、作法二、作法三、作法四、作法五、點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要相似三角形的性質(zhì)與判定，復(fù)雜的幾何作圖，考查類比的數(shù)學(xué)思想，理解[閱讀理解]部分中，為中點(diǎn)是解題關(guān)鍵．5．（2024·江蘇宿遷·中考真題）在綜合實(shí)踐活動課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開數(shù)學(xué)探究活動【操作判斷】操作一：如圖①，對折正方形紙片，得到折痕，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊上選一點(diǎn)E，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部，得到折痕；操作三：如圖③，在邊上選一點(diǎn)F，沿折疊，使邊與邊重合，得到折痕把正方形紙片展平，得圖④，折痕與的交點(diǎn)分別為G、H．根據(jù)以上操作，得________．【探究證明】（1）如圖⑤，連接，試判斷的形狀并證明；（2）如圖⑥，連接，過點(diǎn)G作的垂線，分別交于點(diǎn)P、Q、M．求證：．【深入研究】若，請求出的值（用含k的代數(shù)式表示）．【答案】[操作判斷]45；[探究證明]（1）等腰直角三角形，理由見詳解；（2）見詳解；[深入研究]【分析】[操作判斷]根據(jù)正方形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)即可求解；[探究證明]（1）先證明，再證明，則，繼而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，則，因此；[深入研究]連接，先證明，則，由，設(shè)，則，而，

則，可得，，，那么，故．【詳解】[操作判斷]解：如圖，由題意得，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，即，故答案為：45；[探究證明]解：（1）如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形；（2）如圖，由翻折得，，∵四邊形是正方形，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；[深入研究]解：如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，，，∵是對角線，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴,∵，∴設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形背景下的折疊問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟練掌握知識點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，點(diǎn)D在邊上．若，則，請證明；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，在中，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)E在上，連接，．若，求的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，延長，相交于點(diǎn)G．若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）證明，得出，即可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，解直角三角形得出，，證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理得出，得出，證明，得出，求出；（3）連接，證明，得出，求出，證明為直角三角形，得出，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∴；（2）過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，如圖所示：則，∴，∵，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：；（3）連接，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，負(fù)值舍去，∴，∴，∵，∴為直角三角形，，∴，∴在中根據(jù)勾股定理得：，∴，∵，∴，∴，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．7．（2024·湖南長沙·中考真題）對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個頂點(diǎn)都在同一個圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；

（

）②內(nèi)角不等于的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；

（

）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有．（

）(2)如圖1，已知四邊形內(nèi)接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點(diǎn)E，的平分線交于點(diǎn)F，連接．求證：是的直徑．(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．①如圖2．連接交于點(diǎn)P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內(nèi)切圓的半徑r及的長．【答案】(1)①×；②√；③√(2)①外接型單圓；②