浙江省杭州市臨安區(qū)達(dá)標(biāo)名校2025年初三第四次?？紨?shù)學(xué)試題含解析

浙江省杭州市臨安區(qū)達(dá)標(biāo)名校2025年初三第四次?？紨?shù)學(xué)試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是()A． B． C． D．2．如圖1是2019年4月份的日歷，現(xiàn)用一長方形在日歷表中任意框出4個數(shù)(如圖2)，下列表示a，b，c，d之間關(guān)系的式子中不正確的是()A．a(chǎn)﹣d＝b﹣c B．a(chǎn)+c+2＝b+d C．a(chǎn)+b+14＝c+d D．a(chǎn)+d＝b+c3．由五個相同的立方體搭成的幾何體如圖所示，則它的左視圖是()A． B．C． D．4．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著．書中有下列問題“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是“今有直角三角形(如圖)，勾(短直角邊)長為8步，股(長直角邊)長為15步，問該直角三角形能容納的圓形(內(nèi)切圓)直徑是多少？”()A．3步 B．5步 C．6步 D．8步5．在圍棋盒中有x顆白色棋子和y顆黑色棋子，從盒中隨機(jī)取出一顆棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放進(jìn)3顆黑色棋子，取得白色棋子的概率變?yōu)?，則原來盒里有白色棋子（）A．1顆 B．2顆 C．3顆 D．4顆6．⊙O是一個正n邊形的外接圓，若⊙O的半徑與這個正n邊形的邊長相等，則n的值為（）A．3 B．4 C．6 D．87．某校在國學(xué)文化進(jìn)校園活動中，隨機(jī)統(tǒng)計50名學(xué)生一周的課外閱讀時間如表所示，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）學(xué)生數(shù)（人）5814194時間（小時）678910A．14，9 B．9，9 C．9，8 D．8，98．如圖,A,B兩點(diǎn)分別位于一個池塘的兩端,小聰想用繩子測量A,B間的距離,但繩子不夠長,一位同學(xué)幫他想了一個主意:先在地上取一個可以直接到達(dá)A,B的點(diǎn)C,找到AC,BC的中點(diǎn)D,E,并且測出DE的長為10m,則A,B間的距離為（）A．15m B．25m C．30m D．20m9．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于，M為EF的中點(diǎn)，連接DM，若的半徑為2，則MD的長度為A． B． C．2 D．110．在下列各平面圖形中，是圓錐的表面展開圖的是()A． B． C． D．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．如圖，在矩形ABCD中，過點(diǎn)A的圓O交邊AB于點(diǎn)E，交邊AD于點(diǎn)F，已知AD=5，AE=2，AF=1．如果以點(diǎn)D為圓心，r為半徑的圓D與圓O有兩個公共點(diǎn)，那么r的取值范圍是______．12．如圖，一艘輪船自西向東航行，航行到A處測得小島C位于北偏東60°方向上，繼續(xù)向東航行10海里到達(dá)點(diǎn)B處，測得小島C在輪船的北偏東15°方向上，此時輪船與小島C的距離為_________海里.（結(jié)果保留根號）13．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的兩根為m，n，則m2+n2=_____．14．函數(shù)y＝2xx+5的自變量x15．如圖，二次函數(shù)y=a（x﹣2）2+k（a＞0）的圖象過原點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，矩形OABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn)，連結(jié)PB、PC．則△PBC的面積為_____．16．如圖Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中點(diǎn)，P是直線BC上一點(diǎn)，把△BDP沿PD所在直線翻折后，點(diǎn)B落在點(diǎn)Q處，如果QD⊥BC,那么點(diǎn)P和點(diǎn)B間的距離等于____．17．如圖，△ABC的面積為6，平行于BC的兩條直線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G．若AD=DF=FB，則四邊形DFGE的面積為_____．三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．19．（5分）如圖1，將長為10的線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到OB，點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡為，P是半徑OB上一動點(diǎn)，Q是上的一動點(diǎn)，連接PQ．（1）當(dāng)∠POQ＝時，PQ有最大值，最大值為；（2）如圖2，若P是OB中點(diǎn)，且QP⊥OB于點(diǎn)P，求的長；（3）如圖3，將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在OA的延長線上，求陰影部分面積．20．（8分）如圖，為了測量山頂鐵塔AE的高，小明在27m高的樓CD底部D測得塔頂A的仰角為45°，在樓頂C測得塔頂A的仰角36°52′．已知山高BE為56m，樓的底部D與山腳在同一水平線上，求該鐵塔的高AE．（參考數(shù)據(jù)：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）21．（10分）我市為創(chuàng)建全國文明城市，志愿者對某路段的非機(jī)動車逆行情況進(jìn)行了10天的調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計圖（圖2不完整）：請根據(jù)所給信息，解答下列問題：（1）這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，眾數(shù)是；（2）請把圖2中的頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整；（溫馨提示：請畫在答題卷相對應(yīng)的圖上）（3）通過“小手拉大手”活動后，非機(jī)動車逆向行駛次數(shù)明顯減少，經(jīng)過這一路段的再次調(diào)查發(fā)現(xiàn)，平均每天的非機(jī)動車逆向行駛次數(shù)比第一次調(diào)查時減少了4次，活動后，這一路段平均每天還出現(xiàn)多少次非機(jī)動車逆向行駛情況？22．（10分）某校計劃購買籃球、排球共20個．購買2個籃球，3個排球，共需花費(fèi)190元；購買3個籃球的費(fèi)用與購買5個排球的費(fèi)用相同．籃球和排球的單價各是多少元？若購買籃球不少于8個，所需費(fèi)用總額不超過800元．請你求出滿足要求的所有購買方案，并直接寫出其中最省錢的購買方案．23．（12分）甲、乙兩人相約周末登花果山，甲、乙兩人距地面的高度（米）與登山時間（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題：（1）甲登山上升的速度是每分鐘米，乙在地時距地面的高度為米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，請求出乙登山全程中，距地面的高度（米）與登山時間（分）之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）登山多長時間時，甲、乙兩人距地面的高度差為50米？24．（14分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，取AC的中點(diǎn)E，邊結(jié)DE，OE、OD，求證：DE是⊙O的切線．

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、D【解析】

根據(jù)拋物線和直線的關(guān)系分析.【詳解】由拋物線圖像可知，所以反比例函數(shù)應(yīng)在二、四象限，一次函數(shù)過原點(diǎn)，應(yīng)在二、四象限.故選D考核知識點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象.2、A【解析】

觀察日歷中的數(shù)據(jù)，用含a的代數(shù)式表示出b，c，d的值，再將其逐一代入四個選項中，即可得出結(jié)論．【詳解】解：依題意，得：b＝a+1，c＝a+7，d＝a+1．A、∵a﹣d＝a﹣(a+1)＝﹣1，b﹣c＝a+1﹣(a+7)＝﹣6，∴a﹣d≠b﹣c，選項A符合題意；B、∵a+c+2＝a+(a+7)+2＝2a+9，b+d＝a+1+(a+1)＝2a+9，∴a+c+2＝b+d，選項B不符合題意；C、∵a+b+14＝a+(a+1)+14＝2a+15，c+d＝a+7+(a+1)＝2a+15，∴a+b+14＝c+d，選項C不符合題意；D、∵a+d＝a+(a+1)＝2a+1，b+c＝a+1+(a+7)＝2a+1，∴a+d＝b+c，選項D不符合題意．故選：A．考查了列代數(shù)式，利用含a的代數(shù)式表示出b，c，d是解題的關(guān)鍵．3、D【解析】

找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．【詳解】解：從正面看第一層是二個正方形，第二層是左邊一個正方形．

故選A．本題考查了簡單組合體的三視圖的知識，解題的關(guān)鍵是了解主視圖是由主視方向看到的平面圖形，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．4、C【解析】試題解析：根據(jù)勾股定理得：斜邊為則該直角三角形能容納的圓形(內(nèi)切圓)半徑(步)，即直徑為6步，故選C5、B【解析】試題解析：由題意得，解得：．故選B．6、C【解析】

根據(jù)題意可以求出這個正n邊形的中心角是60°，即可求出邊數(shù).【詳解】⊙O是一個正n邊形的外接圓，若⊙O的半徑與這個正n邊形的邊長相等，則這個正n邊形的中心角是60°，n的值為6，故選：C考查正多邊形和圓，求出這個正多邊形的中心角度數(shù)是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】

解:觀察、分析表格中的數(shù)據(jù)可得：∵課外閱讀時間為1小時的人數(shù)最多為11人，∴眾數(shù)為1．∵將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，第25個和第26個數(shù)據(jù)的均為2，∴中位數(shù)為2．故選C．本題考查（1）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；（2）中位數(shù)的確定要分兩種情況：①當(dāng)數(shù)據(jù)組中數(shù)據(jù)的總個數(shù)為奇數(shù)時，把所有數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，中間的那個數(shù)就是中位數(shù)；②當(dāng)數(shù)據(jù)組中數(shù)據(jù)的總個數(shù)為偶數(shù)時，把所有數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，中間的兩個數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).8、D【解析】

根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)果.【詳解】解:由題意得AB=2DE=20cm，故選D.本題考查的是三角形的中位線，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．9、A【解析】

連接OM、OD、OF，由正六邊形的性質(zhì)和已知條件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函數(shù)求出OM，再由勾股定理求出MD即可．【詳解】連接OM、OD、OF，∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，M為EF的中點(diǎn)，∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，∴∠MOD=∠OMF=90°，∴OM=OF?sin∠MFO=2×=，∴MD=，故選A．本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由三角函數(shù)求出OM是解決問題的關(guān)鍵．10、C【解析】

結(jié)合圓錐的平面展開圖的特征，側(cè)面展開是一個扇形，底面展開是一個圓．【詳解】解：圓錐的展開圖是由一個扇形和一個圓形組成的圖形．故選C．考查了幾何體的展開圖，熟記常見立體圖形的展開圖的特征，是解決此類問題的關(guān)鍵．注意圓錐的平面展開圖是一個扇形和一個圓組成．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、【解析】

因為以點(diǎn)D為圓心，r為半徑的圓D與圓O有兩個公共點(diǎn)，則圓D與圓O相交，圓心距滿足關(guān)系式：|R-r|<d<R+r，求得圓D與圓O的半徑代入計算即可.【詳解】連接OA、OD，過O點(diǎn)作ON⊥AE，OM⊥AF.AN=AE=1，AM=AF=2，MD=AD-AM=3∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ANO=∠AMO=90°，∴四邊形OMAN是矩形∴OM=AN=1∴OA=,OD=∵以點(diǎn)D為圓心，r為半徑的圓D與圓O有兩個公共點(diǎn)，則圓D與圓O相交∴本題考查了圓與圓相交的條件，熟記圓與圓相交時圓的半徑與圓心距的關(guān)系是關(guān)鍵.12、5【解析】

如圖，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC即可．【詳解】如圖，作BH⊥AC于H．

在Rt△ABH中，∵AB=10海里，∠BAH=30°，

∴∠ABH=60°，BH=AB=5（海里），

在Rt△BCH中，∵∠CBH=∠C=45°，BH=5（海里），

∴BH=CH=5海里，

∴CB=5（海里）．

故答案為:5．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題．13、【解析】

先由根與系數(shù)的關(guān)系得：兩根和與兩根積，再將m2+n2進(jìn)行變形，化成和或積的形式，代入即可．【詳解】由根與系數(shù)的關(guān)系得：m+n=，mn=，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=()2-2×=，故答案為：．本題考查了利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值，先將一元二次方程化為一般形式，寫出兩根的和與積的值，再將所求式子進(jìn)行變形；如、x12+x22等等，本題是?？碱}型，利用完全平方公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化．14、x≠﹣1【解析】

根據(jù)分母不等于2列式計算即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意得x+1≠2，解得x≠﹣1．故答案為：x≠﹣1．考查的知識點(diǎn)為：分式有意義，分母不為2．15、4【解析】

根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得出BC的長度，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)得出三角形的高線，從而得出答案．【詳解】∵二次函數(shù)的對稱軸為直線x=2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0)，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－2)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，－2)，∴BC=4，則．本題主要考查的是二次函數(shù)的對稱性，屬于基礎(chǔ)題型．理解二次函數(shù)的軸對稱性是解決這個問題的關(guān)鍵．16、2.1或2【解析】

在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理可求AB的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得QD=BD，QP=BP，根據(jù)三角形中位線定理可得DE=AC，BD=AB，BE=BC，再在Rt△QEP中，根據(jù)勾股定理可求QP，繼而可求得答案．【詳解】如圖所示：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

AB==2，

由折疊的性質(zhì)可得QD=BD，QP=BP，

又∵QD⊥BC，

∴DQ∥AC，

∵D是AB的中點(diǎn)，

∴DE=AC=3，BD=AB=1，BE=BC=4，

①當(dāng)點(diǎn)P在DE右側(cè)時，

∴QE=1-3=2，

在Rt△QEP中，QP2=（4-BP）2+QE2，

即QP2=（4-QP）2+22，

解得QP=2.1，

則BP=2.1．

②當(dāng)點(diǎn)P在DE左側(cè)時，同①知，BP=2

故答案為：2.1或2．考查了折疊的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系．17、1．【解析】

先根據(jù)題意可證得△ABC∽△ADE，△ABC∽△AFG，再根據(jù)△ABC的面積為6分別求出△ADE與△AFG的面積，則四邊形DFGE的面積=S△AFG-S△ADE.【詳解】解：∵DE∥BC，,

∴△ADE∽△ABC，∵AD=DF=FB，

∴=（）1,即=（）1,∴S△ADE=；∵FG∥BC，∴△AFG∽△ABC，

=（）1，即=（）1，∴S△AFG=；∴S四邊形DFGE=S△AFG-S△ADE=-=1.故答案為：1.本題考查了相似三角形的性質(zhì)與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相似三角形的性質(zhì)與應(yīng)用.三、解答題（共7小題，滿分69分）18、﹣1≤x＜1．【解析】

求不等式組的解集首先要分別解出兩個不等式的解集，然后利用口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（”確定不等式組解集的公共部分.【詳解】解不等式①，得x＜1，解不等式②，得x≥﹣1，∴不等式組的解集是﹣1≤x＜1．不等式組的解集在數(shù)軸上表示如下：19、（1）；（2）；（3）【解析】

（1）先判斷出當(dāng)PQ取最大時，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出∠POQ＝60°，最后用弧長用弧長公式即可得出結(jié)論；（3）先在Rt△B'OP中，OP2+＝，解得OP＝，最后用面積的和差即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵P是半徑OB上一動點(diǎn)，Q是上的一動點(diǎn)，∴當(dāng)PQ取最大時，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，此時，∠POQ＝90°，PQ＝，故答案為：90°，10；（2）解：如圖，連接OQ，∵點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，∴OP＝OB＝OQ．∵QP⊥OB，∴∠OPQ＝90°在Rt△OPQ中，cos∠QOP＝，∴∠QOP＝60°，∴l(xiāng)BQ；（3）由折疊的性質(zhì)可得，，在Rt△B'OP中，OP2+＝,解得OP＝，S陰影＝S扇形AOB﹣2S△AOP＝.此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，弧長公式，扇形的面積公式，熟記公式是解本題的關(guān)鍵．20、52【解析】

根據(jù)樓高和山高可求出EF，繼而得出AF，在Rt△AFC中表示出CF，在Rt△ABD中表示出BD，根據(jù)CF=BD可建立方程，解出即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F.設(shè)塔高AE=x，由題意得,EF=BE?CD=56?27=29m,AF=AE+EF=(x+29)m，在Rt△AFC中,∠ACF=36°52′,AF=(x+29)m，則，在Rt△ABD中,∠ADB=45°，AB=x+56，則BD=AB=x+56，∵CF=BD，∴，解得：x=52，答：該鐵塔的高AE為52米.本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，注意利用方程思想求解，難度一般.21、(1)7、7和8；(2)見解析；（3）第一次調(diào)查時，平均每天的非機(jī)動車逆向行駛的次數(shù)3次【解析】

（1）將數(shù)據(jù)按照從下到大的順序重新排列，再根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義解答可得；（2）根據(jù)折線圖確定逆向行駛7次的天數(shù)，從而補(bǔ)全直方圖；（3）利用加權(quán)平均數(shù)公式求得違章的平均次數(shù)，從而求解．【詳解】解:（1）∵被抽查的數(shù)據(jù)重新排列為：5、5、6、7、7、7、8、8、8、9，∴中位數(shù)為=7，眾數(shù)是7和8，故答案為：7、7和8；（2）補(bǔ)全圖形如下：（3）∵第一次調(diào)查時，平均每天的非機(jī)動車逆向行駛的次數(shù)為=7（次），∴第一次調(diào)查時，平均每天的非機(jī)動車逆向行駛的次數(shù)3次．本題考查的是條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)．22、（1）籃球每個50元，排球每個30元.（2）滿足題意的方案有三種：①購買籃球8個，排球12個；②購買籃球9，排球11個；③購買籃球2個，排球2個；方案①最省錢【解析】試題分析：（1）設(shè)籃球每個x元，排球每個y元，根據(jù)費(fèi)用可得等量關(guān)系為：購買2個籃球，3個排球，共需花費(fèi)190元；購買3個籃球的費(fèi)用與購買5個排球的費(fèi)用相同，列方程求解即可；（2）不等關(guān)系為：購買足球和籃球的總費(fèi)用不超過1元，列式求得解集后得到相應(yīng)整數(shù)解，從而求解．試題解析：解：（1）設(shè)籃球每個x元，排球每個y元，依題意，得：解得．答：籃球每個50元，排球每個30元．（2）設(shè)購買籃球m個，則購買排球（20-m）個，依題意，得：50m+30（20-m）≤1．解得：m≤2．又∵m≥8，∴8≤m≤2．∵籃球的個數(shù)必須為整數(shù)，∴只能取8、9、2．∴滿足題意的方案有三種：①購買籃球8個，排球12個，費(fèi)用為760元；②購買籃球9，排球11個，費(fèi)用為780元；③購買籃球2個，排球2個，費(fèi)用為1元．以上三個方案中，方案①最省錢．點(diǎn)睛：本題主要考查了二元一次方程組及一元一次不等式的應(yīng)用；得到相應(yīng)總費(fèi)用的關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．23、（1）10；1；（2）；（3）4分鐘、9分鐘或3分鐘．【解析】

（1）根據(jù)速度=高度÷時間即可算出甲登山上升的速度；根據(jù)高度=速度×?xí)r間即可算出乙在A地時距地面的高度b的值；（2）分0≤