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絕密★啟用前2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學(xué)本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共4頁(yè),選擇題部分1至2頁(yè);非選擇題部分3至4頁(yè)。滿分150分??荚囉脮r(shí)120分鐘??忌⒁猓?.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上。2.答題時(shí),請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求,在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答,在本試題卷上的作答一律無(wú)效。參考公式:如果事件A,B互斥,那么如果事件A,B相互獨(dú)立,那么如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率臺(tái)體的體積公式其中分別表示臺(tái)體的上、下底面積,表示臺(tái)體的高柱體的體積公式其中表示柱體的底面積,表示柱體的高錐體的體積公式其中表示錐體的底面積,表示錐體的高球的表面積公式球的體積公式其中表示球的半徑選擇題部分(共40分)一?選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合,,則()A. B. C. D.2.已知,,(i虛數(shù)單位),則()A. B.1 C. D.33.已知非零向量,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件4.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B.3 C. D.5.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,則最小值是()A. B. C. D.6.如圖已知正方體,M,N分別是,的中點(diǎn),則()A.直線與直線垂直,直線平面B.直線與直線平行,直線平面C.直線與直線相交,直線平面D.直線與直線異面,直線平面7.已知函數(shù),則圖象為如圖的函數(shù)可能是()A. B.C. D.8.已知是互不相同的銳角,則在三個(gè)值中,大于的個(gè)數(shù)的最大值是()A.0 B.1 C.2 D.39.已知,函數(shù).若成等比數(shù)列,則平面上點(diǎn)的軌跡是()A.直線和圓 B.直線和橢圓 C.直線和雙曲線 D.直線和拋物線10.已知數(shù)列滿足.記數(shù)列前n項(xiàng)和為,則()A. B. C. D.非選擇題部分(共110分)二?填空題:本大題共7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分。11.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3,4,記大正方形的面積為,小正方形的面積為,則___________.12.已知,函數(shù)若,則___________.13.已知多項(xiàng)式,則___________,___________.14.在中,,M是的中點(diǎn),,則___________,___________.15.袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球,n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球,記取出的紅球數(shù)為,若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為,一紅一黃的概率為,則___________,___________.16.已知橢圓,焦點(diǎn),,若過(guò)的直線和圓相切,與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P,且軸,則該直線的斜率是___________,橢圓的離心率是___________.17.已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x,y,在方向上的投影為z,則的最小值為___________.三?解答題:本大題共5小題,共74分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。18.設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期;求函數(shù)在上的最大值.19.如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,,M,N分別為的中點(diǎn),.證明:;求直線與平面所成角的正弦值.20.已知數(shù)列前n項(xiàng)和為,,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng);(2)設(shè)數(shù)列滿足,記的前n項(xiàng)和為,若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.如圖,已知F是拋物線的焦點(diǎn),M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),且,求拋物線的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn),斜率為2的直線l與直線,x軸依次交于點(diǎn)P,Q,R,N,且,求直線l在x軸上截距的范圍.22.設(shè)a,b實(shí)數(shù),且,函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對(duì)任意,函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求a的取值范圍;(3)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)任意,函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),滿足.(注:是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))絕密★啟用前2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學(xué)本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共4頁(yè),選擇題部分1至2頁(yè);非選擇題部分3至4頁(yè)。滿分150分??荚囉脮r(shí)120分鐘??忌⒁猓?.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上。2.答題時(shí),請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求,在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答,在本試題卷上的作答一律無(wú)效。參考公式:如果事件A,B互斥,那么如果事件A,B相互獨(dú)立,那么如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率臺(tái)體的體積公式其中分別表示臺(tái)體的上、下底面積,表示臺(tái)體的高柱體的體積公式其中表示柱體的底面積,表示柱體的高錐體的體積公式其中表示錐體的底面積,表示錐體的高球的表面積公式球的體積公式其中表示球的半徑一?選擇題1.設(shè)集合,,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合交集的定義可得結(jié)果.【詳解】由交集的定義結(jié)合題意可得:.故選:D.2.已知,,(i為虛數(shù)單位),則()A. B.1 C. D.3【答案】C【解析】【分析】首先計(jì)算左側(cè)的結(jié)果,然后結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】,利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得:.故選:C.3.已知非零向量,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】如圖所示,,當(dāng)時(shí),與垂直,,所以成立,此時(shí),∴不是的充分條件,當(dāng)時(shí),,∴,∴成立,∴是的必要條件,綜上,“”是“”的必要不充分條件故選:B.4.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體,根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.【詳解】幾何體為如圖所示的四棱柱,其高為1,底面為等腰梯形,該等腰梯形的上底為,下底為,腰長(zhǎng)為1,故梯形的高為,故,故選:A.5.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,則最小值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出滿足條件的可行域,目標(biāo)函數(shù)化為,求出過(guò)可行域點(diǎn),且斜率為的直線在軸上截距的最大值即可.【詳解】畫出滿足約束條件的可行域,如下圖所示:目標(biāo)函數(shù)化為,由,解得,設(shè),當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最小值為.故選:B6.如圖已知正方體,M,N分別是,的中點(diǎn),則()A.直線與直線垂直,直線平面B.直線與直線平行,直線平面C.直線與直線相交,直線平面D.直線與直線異面,直線平面【答案】A【解析】【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系,可證平面,即可得出結(jié)論.【詳解】連,在正方體中,M是的中點(diǎn),所以為中點(diǎn),又N是的中點(diǎn),所以,平面平面,所以平面.因?yàn)椴淮怪保圆淮怪眲t不垂直平面,所以選項(xiàng)B,D不正確;在正方體中,,平面,所以,,所以平面,平面,所以,且直線是異面直線,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤,選項(xiàng)A正確.故選:A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵,如兩條棱平行或垂直,同一個(gè)面對(duì)角線互相垂直,正方體的對(duì)角線與面的對(duì)角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.7.已知函數(shù),則圖象為如圖的函數(shù)可能是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B,結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C,即可得解.【詳解】對(duì)于A,,該函數(shù)非奇非偶函數(shù),與函數(shù)圖象不符,排除A;對(duì)于B,,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),與函數(shù)圖象不符,排除B;對(duì)于C,,則,當(dāng)時(shí),,與圖象不符,排除C.故選:D.8.已知是互不相同的銳角,則在三個(gè)值中,大于的個(gè)數(shù)的最大值是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式或排序不等式得,從而可判斷三個(gè)代數(shù)式不可能均大于,再結(jié)合特例可得三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值.【詳解】法1:由基本不等式有,同理,,故,故不可能均大于.取,,,則,故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2,故選:C.法2:不妨設(shè),則,由排列不等式可得:,而,故不可能均大于.取,,,則,故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2,故選:C.【點(diǎn)睛】思路分析:代數(shù)式的大小問(wèn)題,可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進(jìn)行放縮,注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.9.已知,函數(shù).若成等比數(shù)列,則平面上點(diǎn)的軌跡是()A.直線和圓 B.直線和橢圓 C.直線和雙曲線 D.直線和拋物線【答案】C【解析】【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式,然后對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得,即,對(duì)其進(jìn)行整理變形:,,,,所以或,其中為雙曲線,為直線.故選:C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查軌跡方程,關(guān)鍵之處在于由題意對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形,提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),屬于中等題.10.已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則()A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】顯然可知,,利用倒數(shù)法得到,再放縮可得,由累加法可得,進(jìn)而由局部放縮可得,然后利用累乘法求得,最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到,從而得解.【詳解】因?yàn)?,所以,.由,即根?jù)累加法可得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),,由累乘法可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),由裂項(xiàng)求和法得:所以,即.故選:A.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系,再由累加法可求得,由題目條件可知要證小于某數(shù),從而通過(guò)局部放縮得到的不等關(guān)系,改變不等式的方向得到,最后由裂項(xiàng)相消法求得.二?填空題11.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3,4,記大正方形的面積為,小正方形的面積為,則___________.【答案】25【解析】【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積,然后計(jì)算其比值即可.【詳解】由題意可得,大正方形的邊長(zhǎng)為:,則其面積為:,小正方形的面積:,從而.故答案為:25.12.已知,函數(shù)若,則___________.【答案】2【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程,解方程可得的值.【詳解】,故,故答案為:2.13.已知多項(xiàng)式,則___________,___________.【答案】(1).;(2)..【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式定理,分別求出的展開式,即可得出結(jié)論.【詳解】,,所以,,所以.故答案為:.14.在中,,M是的中點(diǎn),,則___________,___________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得,進(jìn)而可得,再由余弦定理可得.【詳解】由題意作出圖形,如圖,在中,由余弦定理得,即,解得(負(fù)值舍去),所以,在中,由余弦定理得,所以;在中,由余弦定理得.故答案為:;.15.袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球,n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球,記取出的紅球數(shù)為,若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為,一紅一黃的概率為,則___________,___________.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可列式求得的值,再根據(jù)隨機(jī)變量的分布列即可求出.【詳解】,所以,,所以,則.由于.故答案為:1;.16.已知橢圓,焦點(diǎn),,若過(guò)的直線和圓相切,與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P,且軸,則該直線的斜率是___________,橢圓的離心率是___________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】不妨假設(shè),根據(jù)圖形可知,,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出;再根據(jù)橢圓的定義求出,即可求得離心率.【詳解】如圖所示:不妨假設(shè),設(shè)切點(diǎn)為,,所以,由,所以,,于是,即,所以.故答案為:;.17.已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x,y,在方向上的投影為z,則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè),由平面向量的知識(shí)可得,再結(jié)合柯西不等式即可得解.【詳解】由題意,設(shè),則,即,又向量在方向上的投影分別為x,y,所以,所以在方向上的投影,即,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立,所以的最小值為.故答案為:.點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵是由平面向量的知識(shí)轉(zhuǎn)化出之間的等量關(guān)系,再結(jié)合柯西不等式變形即可求得最小值.三?解答題18.設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求函數(shù)在上的最大值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合三角恒等變換可得,再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解;(2)由三角恒等變換可得,再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.【詳解】(1)由輔助角公式得,則,所以該函數(shù)的最小正周期;(2)由題意,,由可得,所以當(dāng)即時(shí),函數(shù)取最大值.19.如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,,M,N分別為的中點(diǎn),.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】【分析】(1)要證,可證,由題意可得,,易證,從而平面,即有,從而得證;(2)取中點(diǎn),根據(jù)題意可知,兩兩垂直,所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量,即可根據(jù)線面角的向量公式求出.【詳解】(1)在中,,,,由余弦定理可得,所以,.由題意且,平面,而平面,所以,又,所以.(2)由,,而與相交,所以平面,因?yàn)?,所以,取中點(diǎn),連接,則兩兩垂直,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn),所以.由(1)得平面,所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化,要證明,可以考慮,題中與有垂直關(guān)系的直線較多,易證平面,從而使問(wèn)題得以解決;第二問(wèn)思路直接,由第一問(wèn)的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出.20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng);(2)設(shè)數(shù)列滿足,記的前n項(xiàng)和為,若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由,結(jié)合與的關(guān)系,分討論,得到數(shù)列為等比數(shù)列,即可得出結(jié)論;(2)由結(jié)合的結(jié)論,利用錯(cuò)位相減法求出,對(duì)任意恒成立,分類討論分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),由①,得②,①②得,又是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,;(2)由,得,所以,,兩式相減得,所以,由得恒成立,即恒成立,時(shí)不等式恒成立;時(shí),,得;時(shí),,得;所以.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛:(1)已知求不要忽略情況;(2)恒成立分離參數(shù)時(shí),要注意變量的正負(fù)零討論,如(2)中恒成立,要對(duì)討論,還要注意時(shí),分離參數(shù)不等式要變號(hào).21.如圖,已知F是拋物線的焦點(diǎn),M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),且,(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn),斜率為2的直線l與直線,x軸依次交于點(diǎn)P,Q,R,N,且,求直線l在x軸上截距的范圍.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)求出的值后可求拋物線的方程.(2)設(shè),,,聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程后可得,求出直線的方程,聯(lián)立各直線方程可求出,根據(jù)題設(shè)條件可得,從而可求的范圍.【詳解】(1)因?yàn)?,故,故拋物線的方程為:.(2)設(shè),,,所以直線,由題設(shè)可得且.由可得,故,因?yàn)?,故,?又,由可得,同理,由可得,所以,整理得到,故,令,則且,故,故即,解得或或.故直線在軸上的截距的范圍為或或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:直線與拋物線中的位置關(guān)系中的最值問(wèn)題,往往需要根據(jù)問(wèn)題的特征合理假設(shè)直線方程的形式,從而便于代數(shù)量的計(jì)算,對(duì)于構(gòu)建出的函數(shù)關(guān)系式,注意利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍問(wèn)題.22.設(shè)a,b為實(shí)數(shù),且
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