2023-2024學(xué)年浙江省杭州市浙里特色聯(lián)盟高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市浙里特色聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，則.故選：D2.在等差數(shù)列中，，，則的值是（）A.13 B.14 C.16 D.17【答案】B【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，，所以，即，解得.故選：B.3.已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.與夾角的余弦值為C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A：，因?yàn)椋耘c不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：與夾角余弦值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，，則，即，故C正確；對(duì)于D：，，故D錯(cuò)誤；故選：C4.若函數(shù)，則（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】，所以.故選：A.5.若點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，且，則y的值為（）A. B. C.－2 D.2【答案】D【解析】，又由三角函數(shù)的定義得，所以，又，解得.故選:D.6.已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圓，圓心，半徑，，圓心，半徑，由題意知，是圓和圓圓心連線的垂直平分線，，，的中點(diǎn)，圓心連線的斜率為，則直線的斜率為，故的方程：，即,故C正確．故選：C．7.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個(gè)商標(biāo)中抽象出一個(gè)圖象如圖，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，函?shù)與的定義域均為.由圖知的定義域?yàn)椋懦x項(xiàng)B、D，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，不符合圖象，所以排除選項(xiàng)C.故選：A.8.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)易知，從而準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為，由拋物線的定義知，，所以有，所以到軸距離，故B正確；故選:B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.z的實(shí)部為1 B.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C.z的虛部為﹣i D.z的共軛復(fù)數(shù)為【答案】ABD【解析】因?yàn)椋詚實(shí)部為1，虛部為-1，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1，-1)，在第四象限，共軛復(fù)數(shù)為，故C錯(cuò)誤，ABD正確.故選：ABD10.袋子中共有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中2個(gè)白球和2個(gè)黑球，從袋中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“兩次都摸到白球”，則（）A.甲與乙互斥 B.乙與丙互斥 C.甲與乙獨(dú)立 D.甲與乙對(duì)立【答案】BC【解析】首先抽取方法是有放回，每次摸出個(gè)球，共抽取次.基本事件為：白白，白黑，黑白，黑黑，共種情況.事件甲和事件乙可能同時(shí)發(fā)生：白黑，所以甲與乙不是互斥事件，A錯(cuò)誤.事件乙和事件丙不可能同時(shí)發(fā)生，所以乙與丙互斥，B正確.事件甲和事件乙是否發(fā)生沒有關(guān)系，用表示事件甲，用表示事件乙，，則，所以甲與乙獨(dú)立，C正確.由于事件甲和事件乙是否發(fā)生沒有關(guān)系，所以不是對(duì)立事件.故選：BC11.如圖所示，“嫦娥五號(hào)”月球探測(cè)器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則（）A.軌道Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為B.軌道Ⅱ的焦距為C.若不變，越小，軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)越大D.若不變，越大，軌道Ⅱ離心率越小【答案】AB【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸，短軸，焦距，對(duì)于A選項(xiàng)，由橢圓的性質(zhì)可知，軌道Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由橢圓的性質(zhì)知，，又因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由前面選項(xiàng)知，若R不變，越小，越小，軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)越小，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋魊不變，R越大，則越小，所以越大，軌道Ⅱ的離心率越大，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，，則__________.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，，，所以，解得，故答案為?3.已知直線：.若點(diǎn)在直線上，則數(shù)列的前n項(xiàng)和__________.【答案】【解析】直線過點(diǎn),可得,,是等差數(shù)列，所以.故答案為：.14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果，其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓,已知點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡與圓的公切線的條數(shù)為______.【答案】2【解析】由題意設(shè)，易知，即可得，整理得點(diǎn)的軌跡方程為，其軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，而圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，可得兩圓的圓心距為2，大于，小于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是相交.故公切線的條數(shù)為2.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，．再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并解決下面的問題：（1）求角的大?。唬?）求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，不給分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）依題意，，由正弦定理得.選①，，則，三角形不存在，不符合題意.選②，，則，，則為銳角，且.且由得，三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合題意.選③，，由正弦定理得，由于，所以，則，則為銳角，且.由余弦定理得，即，得，所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合題意.（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，所以.16.已知在處取得極小值．（1）求的解析式；（2）求在處的切線方程；（3）若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.解：（1）由題意知，因?yàn)樵谔幦〉脴O小值則，解得：經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以，所以（2）由題意知，，所以所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率所以切線方程為：，即.（3）令，解得或，則，，的關(guān)系如下表：+00+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增則，，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即或，解得：或，所以.17.已知數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)的和；（2）設(shè)，證明：.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，又，故數(shù)列{}是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，.（2）由題可知，記，所以①①，得②①②，得，故，又，故，即證18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，是等邊三角形，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，得，又，則，因此四邊形為平行四邊形，于是，而平面平面，所以平面.（2）過作于點(diǎn)，連接，由，得≌，則，即，而，因此，又平面，則平面，平面，所以平面平面.（3）由（2）知，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)與平面所成角為，，所以與平面所成角的正弦值是.19.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)分別為，若以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，3為半徑的圓相交于兩點(diǎn)，若橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且直線的斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.①求證直線恒過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)；②求面積的最小值.解：（1）若以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，3為半徑的圓相交于兩點(diǎn)，若橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，可得，可得，設(shè)，且，則，因?yàn)?，可得，所以，所以橢圓的方程為.（2）①由（1）知，橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)，則切線的方程為，即，點(diǎn)在直線上，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，代入上式，可得所以，同理，所以直線恒過定點(diǎn).②由（1）知直線恒過定點(diǎn)，令直線，代入橢圓方程，聯(lián)立方程組，可得，則，且，（i）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又由弦長(zhǎng)公式，可得，所以，令，所以，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以；（ii）當(dāng)時(shí)，，綜上可得，的最小值為.浙江省杭州市浙里特色聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，且，則.故選：D2.在等差數(shù)列中，，，則的值是（）A.13 B.14 C.16 D.17【答案】B【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，，所以，即，解得.故選：B.3.已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.與夾角的余弦值為C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A：，因?yàn)?，所以與不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：與夾角余弦值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，，則，即，故C正確；對(duì)于D：，，故D錯(cuò)誤；故選：C4.若函數(shù)，則（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】，所以.故選：A.5.若點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，且，則y的值為（）A. B. C.－2 D.2【答案】D【解析】，又由三角函數(shù)的定義得，所以，又，解得.故選:D.6.已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圓，圓心，半徑，，圓心，半徑，由題意知，是圓和圓圓心連線的垂直平分線，，，的中點(diǎn)，圓心連線的斜率為，則直線的斜率為，故的方程：，即,故C正確．故選：C．7.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個(gè)商標(biāo)中抽象出一個(gè)圖象如圖，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)與的定義域均為.由圖知的定義域?yàn)?，排除選項(xiàng)B、D，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，不符合圖象，所以排除選項(xiàng)C.故選：A.8.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)易知，從而準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為，由拋物線的定義知，，所以有，所以到軸距離，故B正確；故選:B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.z的實(shí)部為1 B.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C.z的虛部為﹣i D.z的共軛復(fù)數(shù)為【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以z實(shí)部為1，虛部為-1，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1，-1)，在第四象限，共軛復(fù)數(shù)為，故C錯(cuò)誤，ABD正確.故選：ABD10.袋子中共有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中2個(gè)白球和2個(gè)黑球，從袋中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“兩次都摸到白球”，則（）A.甲與乙互斥 B.乙與丙互斥 C.甲與乙獨(dú)立 D.甲與乙對(duì)立【答案】BC【解析】首先抽取方法是有放回，每次摸出個(gè)球，共抽取次.基本事件為：白白，白黑，黑白，黑黑，共種情況.事件甲和事件乙可能同時(shí)發(fā)生：白黑，所以甲與乙不是互斥事件，A錯(cuò)誤.事件乙和事件丙不可能同時(shí)發(fā)生，所以乙與丙互斥，B正確.事件甲和事件乙是否發(fā)生沒有關(guān)系，用表示事件甲，用表示事件乙，，則，所以甲與乙獨(dú)立，C正確.由于事件甲和事件乙是否發(fā)生沒有關(guān)系，所以不是對(duì)立事件.故選：BC11.如圖所示，“嫦娥五號(hào)”月球探測(cè)器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則（）A.軌道Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為B.軌道Ⅱ的焦距為C.若不變，越小，軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)越大D.若不變，越大，軌道Ⅱ離心率越小【答案】AB【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸，短軸，焦距，對(duì)于A選項(xiàng)，由橢圓的性質(zhì)可知，軌道Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由橢圓的性質(zhì)知，，又因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由前面選項(xiàng)知，若R不變，越小，越小，軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)越小，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋魊不變，R越大，則越小，所以越大，軌道Ⅱ的離心率越大，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，，則__________.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄浚?，，所以，解得，故答案為?3.已知直線：.若點(diǎn)在直線上，則數(shù)列的前n項(xiàng)和__________.【答案】【解析】直線過點(diǎn),可得,,是等差數(shù)列，所以.故答案為：.14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果，其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓,已知點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡與圓的公切線的條數(shù)為______.【答案】2【解析】由題意設(shè)，易知，即可得，整理得點(diǎn)的軌跡方程為，其軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，而圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，可得兩圓的圓心距為2，大于，小于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是相交.故公切線的條數(shù)為2.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，．再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并解決下面的問題：（1）求角的大?。唬?）求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，不給分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）依題意，，由正弦定理得.選①，，則，三角形不存在，不符合題意.選②，，則，，則為銳角，且.且由得，三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合題意.選③，，由正弦定理得，由于，所以，則，則為銳角，且.由余弦定理得，即，得，所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合題意.（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，所以.16.已知在處取得極小值．（1）求的解析式；（2）求在處的切線方程；（3）若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.解：（1）由題意知，因?yàn)樵谔幦〉脴O小值則，解得：經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以，所以（2）由題意知，，所以所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率所以切線方程為：，即.（3）令，解得或，則，，的關(guān)系如下表：+00+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增則，，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即或，解得：或，所以.17.已知數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)的和；（2）設(shè)，證明：.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，又，故