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1、2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽試題(高一年級)說明:評閱試卷時,請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8分和0分兩檔;解答題的評閱,只要思路合理、步驟正確,在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分。一、填空題(本題滿分64分,每小題8分。直接將答案寫在橫線上。) 1計(jì)算: 5 2設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則_7_3已知P是ABC所在平面上一點(diǎn),滿足,則ABP與ABC的面積之比為45滿足方程()的實(shí)數(shù)對的個數(shù)為 8 6已知函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄆ渲校涤驗(yàn)?,則符合條件的數(shù)組為7設(shè)集合.如果方程()至少有一個根,就稱該方程為合格方程,則合格方程的個數(shù)為 23 8已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實(shí)
2、根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是二、解答題(本大題滿分56分,第9題16分,第10題20分,第11題20分)9已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,13),且函數(shù)是偶函數(shù).(1)求的解析式;(2)函數(shù)的圖象上是否存在這樣的點(diǎn),其橫坐標(biāo)是正整數(shù),縱坐標(biāo)是一個完全平方數(shù)?如果存在,求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.解 (1)因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),所以二次函數(shù)的對稱軸方程為,故. -4分又因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過點(diǎn)(1,13),所以,故.因此,的解析式為. -8分(2)如果函數(shù)的圖象上存在符合要求的點(diǎn),設(shè)為P,其中為正整數(shù),為自然數(shù),則,從而,即. -12分注意到43是質(zhì)數(shù),且,所以有解得因此,函數(shù)的圖象上存在符合要求的點(diǎn),它的坐標(biāo)為(10,121). -16分10已知,關(guān)于的方程有一個實(shí)根,求的最小值解 設(shè)為方程的實(shí)根,則有,即. 顯然. -5分容易證明,于是. -15分當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立,此時,.結(jié)合可求得或因此的最小值為8. -20分11已知數(shù)列滿足.證明:對一切,有(1); (2)解 (1)顯然,所以().所以,對一切,所以. -5分所以,當(dāng)時,所以.又,故對一切,有.因此,對一切,有. -1
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