高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.1.1 集合的含義與表示備課資料素材 新人教A版必修1（通用）

1、1.1.1集合的含義和表示備課材料替代示例例1確定下列集合是有限集合還是無(wú)限集合，并用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎荆?1)由除以3和1的自然數(shù)組成的集合；(2)由所有小于20的奇數(shù)和素?cái)?shù)組成的集合；(3)二次函數(shù)y=x2 2x-10的圖像上的所有點(diǎn)的集合；(4)設(shè)A和B為非零實(shí)數(shù)，找出由y=的所有值組成的集合。思路分析：本主題主要研究集合的表示和集合的分類。當(dāng)通過(guò)枚舉和描述來(lái)表達(dá)集合時(shí)，有必要區(qū)分元素是什么以及元素滿足什么條件。解：(1)有無(wú)數(shù)的1除以3的自然數(shù)，可用3n 1(nN)表示，用描述的方法表示為x|x=3n 1，nN。(2)根據(jù)問(wèn)題含義，有：3、5、7、11、13、17、19個(gè)正整數(shù)。那么這個(gè)集

2、合中有7個(gè)元素，通過(guò)枚舉表示為3，5，7，11，13，17，19。(3)如果有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足條件，那么這個(gè)集合中就有無(wú)數(shù)個(gè)元素，可以用描述的方法來(lái)表示。通常，有序數(shù)對(duì)(x，y)用于表示點(diǎn)，然后由滿足條件的點(diǎn)組成的集合被表示為(x，y)|y=x2 2x-10。(4)當(dāng)ab0時(shí)y=-1；當(dāng)ab0，a0，b0或a0，b0。如果A0和B0，y=3；如果A0和B0，y=-1。由y=的所有值組成的集合有兩個(gè)元素-1和3。通過(guò)枚舉將其表示為-1，3。示例2定義A-B=x|xA，xB。如果M=1，2，3，4，5，N=2，3，6，嘗試通過(guò)枚舉來(lái)表示集合N-M。分析：應(yīng)用集合A-B=x|xA，xB與集合A和B之間的

3、關(guān)系。根據(jù)定義，N-M是由集合N的公共元素組成的集合，不包括集合M和集合N。觀察集合M和N，它們的公共元素是2，3。如果元素2，3被移除，而元素6留在集合N中，那么N-M回答：6。設(shè)計(jì)方案(2)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思考1。在初中代數(shù)不等式的求解部分，提到了：一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)帶未知數(shù)的不等式的所有解構(gòu)成了這個(gè)不等式的解集，簡(jiǎn)稱這個(gè)不等式的解集。不等式解集的定義涉及到“集合”，那么集合的含義是什么？這就是我們將在這門(mén)課中學(xué)習(xí)的內(nèi)容。今天，我們開(kāi)始學(xué)習(xí)集合和引出主題。思考2。引言：集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，它能簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容。這個(gè)詞聽(tīng)起來(lái)很奇怪，但事實(shí)上，我們?cè)诔踔袝r(shí)就已經(jīng)相互接觸過(guò)了，比如自然

4、數(shù)集、有理數(shù)集、一元線性不等式的解集x-35，所有這些都是集合。另外，我們所學(xué)的圓的定義是什么？(提問(wèn)者)圓是一組點(diǎn)到固定點(diǎn)的距離等于固定長(zhǎng)度的點(diǎn)。然后指出主題。推廣新課程探索新知識(shí)審問(wèn)教師使用多媒體設(shè)備向?qū)W生展示下列例子。這五個(gè)例子的共同特點(diǎn)是什么？(1)1 20內(nèi)的所有素?cái)?shù)；(2)中國(guó)古代的四大發(fā)明；安全理事會(huì)所有常任理事國(guó)；(4)所有方塊；(5)2020年9月北京大學(xué)入學(xué)的所有學(xué)生?；顒?dòng)：教師組織學(xué)生分組討論，每組選擇一名同學(xué)公布該組的討論結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，教師和學(xué)生共同總結(jié)了五個(gè)例子的特點(diǎn)，并給出了集合的含義。引導(dǎo)過(guò)程：(1)通常，所有指定的對(duì)象都稱為集合，集合中的每個(gè)對(duì)象都稱為該集合

5、的元素。集合通常用大寫(xiě)字母A，B，C，D，表示，元素通常用小寫(xiě)字母A，B，C，D，表示。集合：a的表示。自然語(yǔ)言(5個(gè)例子)；字母符號(hào)。4集合元素：a的屬性。決定性：意味著任何元素和集合都是給定的，那么這個(gè)元素和這個(gè)集合之間只有兩種關(guān)系。該元素要么屬于該集合，要么不屬于該集合；異質(zhì)性：給定集合的元素互不相同，即集合中的元素不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)；集合中的元素是無(wú)序的。集合相等：如果兩個(gè)集合中的元素相同，則兩個(gè)集合相等。元素和集合：之間的關(guān)系“歸屬”和“不歸屬”分別用“”和“”表示。元素確定性的符號(hào)語(yǔ)言表示為：對(duì)任意元素A和集合A，或者aA或者A A A自然數(shù)集(包括零):N，正整數(shù)集：N*(N)，整數(shù)集

6、：Z，有理數(shù)集：Q，實(shí)數(shù)集：R。因此，字母n，z，q和r不能再代表其他集合，否則將會(huì)出現(xiàn)混亂。審問(wèn)(1)請(qǐng)列出“集合a由小于5的所有自然數(shù)組成”。(2)你能寫(xiě)出不等式2-x3的所有解嗎？如何表達(dá)這個(gè)不等式的解集？活動(dòng)：學(xué)生回答后，老師指出：(1)在數(shù)學(xué)中，為了寫(xiě)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，我們把一條封閉的曲線簡(jiǎn)化成一個(gè)括號(hào)，然后一個(gè)接一個(gè)地列出元素，并把它們寫(xiě)在括號(hào)里用逗號(hào)來(lái)表示集合。這種表示集合的方法稱為枚舉。例如，它可以表示為A=0，1，2，3，4。描述性方法：以x|p(x)的形式表示集合中所有元素的性質(zhì)(滿足條件)，其中x是元素的一般特征，p(x)是x滿足的條件。例如，x|p(x)通常用于所有集合，而(x

7、，y) | p(。應(yīng)用示例想法11.教科書(shū)第3頁(yè)的例子1。思路分析：用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)定義集合中的元素，然后用括號(hào)寫(xiě)下來(lái)。注釋：本主題主要研究集合表示中的枚舉方法。如果一個(gè)集合是一個(gè)有限集合，并且元素的數(shù)量很少，通常選擇枚舉方法，其特征是集合中元素的非常明顯的表示，這是一種常見(jiàn)的表示；步驟：(1)用字母表示集合；(2)定義集合中的元素；(3)將集合中的所有元素寫(xiě)在大括號(hào)“”中，并以a=.。變體訓(xùn)練請(qǐng)嘗試通過(guò)枚舉來(lái)表達(dá)以下集合：(1)A=xN|和N ；(2)B=y|y=-x2 6，xN，yN ；(3)C=(x，y)|y=-x2 6，xN，yN。分析：檢查枚舉和描述之間的相互轉(zhuǎn)換。每個(gè)集合中的元素被

8、定義，然后寫(xiě)在大括號(hào)中。(1)集合a中的元素x都是自然數(shù)；(2)集合B中的Y值是函數(shù)y=-x2 6的函數(shù)值集合；(3)集合C中的元素是點(diǎn)，拋物線的水平和垂直坐標(biāo)是自然數(shù)的點(diǎn)。回答：(1)A=0，6，8 ；(2)B=2，5，6 ；(3)C=(0，6)、(1，5)、(2，2)。2.教科書(shū)2第4頁(yè)的例子。思路分析：本主題主要學(xué)習(xí)用描述的方法來(lái)表達(dá)一個(gè)集合，用小寫(xiě)英文字母來(lái)表示集合中的元素作為集合中元素的代表符號(hào)，找出集合中元素的共同特征，用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)共同特征，然后用括號(hào)“”來(lái)書(shū)寫(xiě)。備注：本主題主要檢查集合的表示方法和應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力；在描述集合的步驟：中，(1)集合和元素由字母表示，以及(

9、2)集合元素的共同特征由數(shù)學(xué)符號(hào)表示。(3)用大括號(hào)寫(xiě)出集合中元素的代表符號(hào)和取值范圍(或變化)，然后畫(huà)一條垂直線，在垂直線之后寫(xiě)出集合中元素的共同特征，并以A=|的形式寫(xiě)出；描述性方法適用于表達(dá)包含無(wú)數(shù)元素的集合。當(dāng)集合中的元素?cái)?shù)量較少時(shí)，通常用枚舉法來(lái)表示。變體訓(xùn)練教科書(shū)P5練習(xí)2。想法21.下列不能形成集合的對(duì)象是()A.平面上的所有點(diǎn)B.所有大于零的正數(shù)C.一所學(xué)校一年級(jí)四班的高個(gè)子學(xué)生D.有一天在商場(chǎng)購(gòu)物的顧客思維分析：這個(gè)問(wèn)題考察了集合中元素的確定性。從一個(gè)集合的意義上，我們可以看到組成一個(gè)集合的元素必須是清晰的，而不是模糊的。對(duì)于A中的任何一點(diǎn)，它要么在這個(gè)平面上，要么不在這個(gè)平

10、面上，所以它可以形成一個(gè)集合；在b中，因?yàn)榇笥诹愕恼龜?shù)是清楚的，所以b也可以構(gòu)成一個(gè)集合；因?yàn)樵贑語(yǔ)言中沒(méi)有明確的“高”的標(biāo)準(zhǔn)，不可能判斷一個(gè)學(xué)生是否高，所以不能形成一個(gè)集合；在D中，很清楚是否有顧客在這一天去過(guò)購(gòu)物中心并購(gòu)買(mǎi)過(guò)商品，所以它也可以形成一個(gè)集合。答：c變體訓(xùn)練在下列對(duì)象組中，不能形成集合的是()A.所有高中一年級(jí)的女生B.高中一年級(jí)所有學(xué)生的家長(zhǎng)C.高中一年級(jí)開(kāi)設(shè)的所有課程D.高一(1)年級(jí)的高個(gè)男生分析：可以判斷給定的對(duì)象是否能夠形成集合，這只能根據(jù)形成集合的條件，即集合中元素的確定性來(lái)解決。因?yàn)樵贏、B和C中給定的對(duì)象都是確定的，它們可以形成一個(gè)集合；然而，在D中給出的物體是

11、不確定的，因?yàn)闆](méi)有標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量學(xué)生的高，所以他們不能形成一個(gè)集合。如果把D中的“高男生”改為“高175厘米以上的男生”，就可以組成一個(gè)集合?；卮穑篸2.以另一種形式表示以下集合：(1)絕對(duì)值不大于3的整數(shù)；(2)所有可被3整除的數(shù)字；(3)x|x=|x|，xZ和X5 ；(4)x|(3x-5)(x 2)(x2 3)=0，xZ ；(5)(x，y)|x y=6，x0，y0，xZ，yZ。思路分析：當(dāng)使用枚舉和描述來(lái)表達(dá)集合時(shí)，我們必須區(qū)分什么是元素以及元素滿足什么條件。答：(1)絕對(duì)值不大于3的整數(shù)也可以表示為x|x|3，xZ，或-3，-2，-1，0，1，2，3。(2)x|x=3n，nZ。(3)x=|x

12、|,x0.和xZ和x5，x|x=|x|,xZ和x5也可以表示為0，1，2，3，4。(4)-2。(5)(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)。變體訓(xùn)練以下集合：以適當(dāng)?shù)男问奖硎?1)一組絕對(duì)值不大于3的整數(shù)；(2)由所有可被3整除的數(shù)組成的集合；(3)方程(3x-5)(x 2)(x2 3)=0的實(shí)數(shù)解的集合；(4)圖像上具有線性函數(shù)y=x 6的所有點(diǎn)的集合。應(yīng)采用枚舉法分析：中元素較少的有限集合；無(wú)限集合或元素較多的有限集合應(yīng)采用描述方法?；卮穑?1)x|x|3，xZ或-3，-2，-1，0，1，2，3 ；(2)x|x=3n，nZ ；(3)，-2 ；(4)(x，y)|y=x 6

13、。3.給定集合A=x|ax2-3x 2=0，aR，如果在A中至少有一個(gè)元素，則求A得取值范圍.思維分析：對(duì)于方程ax2-3x 2=0，aR的解，我們應(yīng)該看這個(gè)方程左邊的x2系數(shù)。如果方程a=0和a0的根不同，集合a的元素也不同，所以我們應(yīng)該先分類討論。解答：當(dāng)a=0時(shí)，原方程為-3x 2=0x=，這符合問(wèn)題的含義；當(dāng)a0時(shí)，方程ax2-3x 2=0是二次方程，那么解是a0和a?？偠灾?，a的范圍是a|a。4.以適當(dāng)?shù)姆绞奖硎疽韵录希?1)方程組的解集；(2)一組在1000內(nèi)被3和2除的正整數(shù)；(3)直角坐標(biāo)平面上第二象限的點(diǎn)集；(4)所有方塊；(5)直角坐標(biāo)平面上直線x=1和x=-1兩側(cè)的點(diǎn)

14、集。分析：中測(cè)試集的表示方法。所謂的適當(dāng)表示法是一種更簡(jiǎn)單、更清晰的表示法。因?yàn)榉匠滔到y(tǒng)的解是X=4和Y=-2，(1)應(yīng)該使用枚舉法；(2)雖然它是一個(gè)有限集合，但由于它的元素?cái)?shù)量很大，用枚舉來(lái)表示它是不明智的，所以用描述來(lái)描述它。(3)和(5)也應(yīng)使用描述性方法。(4)最好使用枚舉法。解決方案：(1)(4，-2)；(2)x|x=3k 2，kN和x 1000 ；(3)(x，y)|x0和y0 ；(4)廣場(chǎng)；(5)(x，y)|x-1或x1。知識(shí)培訓(xùn)教科書(shū)P5練習(xí)1，2。擴(kuò)展和升級(jí)1.假設(shè)A=xR|x=，abc0，集合A用枚舉表示。通過(guò)分析：解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào)，這需要分類討論。解答：

15、本主題中X的值取決于A、B和c的正負(fù)條件。討論：可分為以下幾種情況(1)a、b和c都是正的，x=7；(2)當(dāng)A、B、C為正、負(fù)時(shí)，x=-1；(3)當(dāng)A、B、C為正、負(fù)時(shí)，x=-1；(4)當(dāng)a、b和c都為負(fù)時(shí)，x=-1。A=7,-1.注：(2)和(3)包括各種情況(分別是A、B和C的積極和消極情況)，解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)綜合考慮。2.已知集C=x|x=a b，aA，bB。(1)如果A=0，1，2，3，B=6，7，8，9，求集合c中所有元素的和；(2)如果A=0，1，2，3，4，2 005，B=5，6，7，8，9，嘗試用代數(shù)表達(dá)式表示集合C中所有元素的和S；(3)結(jié)合高斯求S=1 2 3 4 99 100的方法，試著求(2)中的S。思路分析：首先用枚舉法寫(xiě)出集合C，然后解決每一個(gè)小問(wèn)題。答案是：(1)枚舉法表示集合C=6，7，8，9，10，11，12，然后s=67，8，9，10，11，12=63。(2)枚舉法表示集合C=5，6，7，2 013，2 014，從中可以得到S=5 6