高三數(shù)學(xué)典型例題解析：第六章 立體幾何初步（通用）

1、第六章 立體幾何初步6.1 兩條直線(xiàn)之間的位置關(guān)系一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 平面的基本性質(zhì).公理1：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn).公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論1：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面.2. 空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系，包括：相交、平行、異面.3. 公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行.定理4：如果一個(gè)角的兩邊和另一

2、個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.推論：如果兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成的銳角（或直角）相等.4. 異面直線(xiàn).異面直線(xiàn)所成的角；兩條異面直線(xiàn)互相垂直的概念；異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)及距離. 5. 反證法.會(huì)用反證法證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1異面直線(xiàn)是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).強(qiáng)調(diào)任何一個(gè)平面.2異面直線(xiàn)所成的角是指經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)作兩條分別和異面的兩條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)所成的銳角（或直角）.一般通過(guò)平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍.3異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)要求和兩條異面直線(xiàn)垂直并且相交，4異面直線(xiàn)的距離是指夾在兩異面直線(xiàn)之間公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度.

3、求兩條異面直線(xiàn)的距離關(guān)鍵是找到它們的公垂線(xiàn).5異面直線(xiàn)的證明一般用反證法、異面直線(xiàn)的判定方法：如圖，如果b,A且A,a,則a與b異面.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1在正方體ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點(diǎn)，則直線(xiàn)OM( ).A .是AC和MN的公垂線(xiàn). B .垂直于AC但不垂直于MN.C .垂直于MN，但不垂直于AC. D .與AC、MN都不垂直.錯(cuò)解:B.錯(cuò)因：學(xué)生觀(guān)察能力較差，找不出三垂線(xiàn)定理中的射影.正解：A. 例2如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且,求證:直線(xiàn)EG,FH,AC相交于一點(diǎn). 錯(cuò)

4、解：證明：、F分別是AB,AD的中點(diǎn),BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD, 四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T, ,F分別是AD.AC與FH交于一點(diǎn).直線(xiàn)EG,FH,AC相交于一點(diǎn)正解：證明：、F分別是AB,AD的中點(diǎn),BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD, 四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T, 平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,直線(xiàn)EG,FH,AC相交于一點(diǎn)T.例3判斷：若a,b是兩條異面直線(xiàn)，P為空間任意一點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與a,b都平行.錯(cuò)解：認(rèn)為正確.錯(cuò)因：空間想像力不夠.忽略P在

5、其中一條線(xiàn)上，或a與P確定平面恰好與b平行，此時(shí)就不能過(guò)P作平面與a平行.正解：假命題 例4 如圖，在四邊形ABCD中，已知ABCD，直線(xiàn)AB，BC，AD，DC分別與平面相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線(xiàn)（在同一條直線(xiàn)上）分析：先確定一個(gè)平面，然后證明相關(guān)直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)，最后證明四點(diǎn)共線(xiàn)證明 AB/CD， AB，CD確定一個(gè)平面又AB E，AB， E，E，即 E為平面與的一個(gè)公共點(diǎn)同理可證F，G，H均為平面與的公共點(diǎn) 兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線(xiàn)， E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線(xiàn)點(diǎn)評(píng)：在立體幾何的問(wèn)題中，證明若干點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，先證明這些點(diǎn)都是某兩平面的公

6、共點(diǎn)，而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線(xiàn)上的結(jié)論例5如圖，已知平面，且設(shè)梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD，求證：AB，CD，共點(diǎn)（相交于一點(diǎn)） 分析：AB，CD是梯形ABCD的兩條腰，必定相交于一點(diǎn)M，只要證明M在上，而是兩個(gè)平面，的交線(xiàn)，因此，只要證明M，且M即可證明： 梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的兩條腰 AB，CD必定相交于一點(diǎn)，設(shè) AB CDM又 AB，CD， M，且M M又 ， M，即 AB，CD，共點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：證明多條直線(xiàn)共點(diǎn)時(shí)，與證明多點(diǎn)共線(xiàn)是一樣的 例6已知：a，b，c，d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線(xiàn)，求證：a，b，c，d共面 分析：弄清楚四條直線(xiàn)不共點(diǎn)且兩

7、兩相交的含義：四條直線(xiàn)不共點(diǎn)，包括有三條直線(xiàn)共點(diǎn)的情況；兩兩相交是指任何兩條直線(xiàn)都相交在此基礎(chǔ)上，根據(jù)平面的性質(zhì)，確定一個(gè)平面，再證明所有的直線(xiàn)都在這個(gè)平面內(nèi)證明 1若當(dāng)四條直線(xiàn)中有三條相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)a，b，c相交于一點(diǎn)A 直線(xiàn)d和A確定一個(gè)平面 又設(shè)直線(xiàn)d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G，則 A，E，F(xiàn)，G A，E，A，Ea， a同理可證 b，c a，b，c，d在同一平面內(nèi)2當(dāng)四條直線(xiàn)中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖 這四條直線(xiàn)兩兩相交，則設(shè)相交直線(xiàn)a，b確定一個(gè)平面設(shè)直線(xiàn)c與a，b分別交于點(diǎn)H，K，則 H，K又 H，Kc， c同理可證 d a，b，c，d四條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)點(diǎn)評(píng)：證明若干條線(xiàn)

8、(或若干個(gè)點(diǎn))共面的一般步驟是：首先由題給條件中的部分線(xiàn)(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證明其余的線(xiàn)(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)本題最容易忽視“三線(xiàn)共點(diǎn)”這一種情況因此，在分析題意時(shí)，應(yīng)仔細(xì)推敲問(wèn)題中每一句話(huà)的含義 例7 在立方體ABCDA1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜線(xiàn)BD1在平面AC內(nèi)的射影；（2）直線(xiàn)BD1和直線(xiàn)AC的位置關(guān)系如何？（3）直線(xiàn)BD1和直線(xiàn)AC所成的角是多少度？ 解：(1)連結(jié)BD, 交AC于點(diǎn)O .(2)BD1和AC是異面直線(xiàn).(3)過(guò)O作BD1的平行線(xiàn)交DD1于點(diǎn)M，連結(jié)MA、MC，則MOA或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)AC和BD1所成的角.不難得到MAMC，而O為AC的中點(diǎn)，因

9、此MOAC，即MOA90，異面直線(xiàn)BD1與AC所成的角為90.例8 已知：在直角三角形ABC中，A為直角，PA平面ABC，BDPC，垂足為D，求證：ADPC證明：PA 平面ABCPABA又BAAC BA平面PACAD是BD在平面PAC內(nèi)的射影又BDPC ADPC.（三垂線(xiàn)定理的逆定理）四、典型習(xí)題導(dǎo)練1如圖, P是ABC所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六條棱所在的直線(xiàn)中，異面直線(xiàn)的對(duì)數(shù)為( ) A.2對(duì) B.3對(duì) C.4對(duì) D.6對(duì)2. 兩個(gè)正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，則異面直線(xiàn)AC和BF所成角的大小為 3. 在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C

10、1D1中，體對(duì)角線(xiàn)DB1與面對(duì)角線(xiàn)BC1所成的角是 ，它們的距離是 .4.長(zhǎng)方體中，則所成角的大小為_(kāi) _.5.關(guān)于直角AOB在定平面內(nèi)的射影有如下判斷：可能是0的角；可能是銳角；可能是直角；可能是鈍角；可能是180的角. 其中正確判斷的序號(hào)是_.（注：把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）. 6在空間四邊形ABCD中，ABCD，AH平面BCD，求證：BHCD 7如圖正四面體中，D、E是棱PC上不重合的兩點(diǎn)；F、H分別是棱PA、PB上的點(diǎn)，且與P點(diǎn)不重合求證：EF和DH是異面直線(xiàn)6.2直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 掌握空間直線(xiàn)與平面的三種位置關(guān)系（直線(xiàn)在平面內(nèi)、相交、平行）.2. 直線(xiàn)和平面所

11、成的角，當(dāng)直線(xiàn)與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)所成的角是，當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直時(shí)所成的角是9，當(dāng)直線(xiàn)與平面斜交時(shí)所成的角是直線(xiàn)與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角.3. 掌握直線(xiàn)與平面平行判定定理（如果平面外的一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和平面平行）和性質(zhì)定理（如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行）.4. 直線(xiàn)與平面垂直的定義是：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)所有直線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直；掌握直線(xiàn)與平面垂直的判定定理（如果一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面）和性質(zhì)定理（如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行

12、）.5. 直線(xiàn)與平面的距離（一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面的距離）.6. 三垂線(xiàn)定理（在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直）、逆定理（在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直）.7. 從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段中：射影相等的兩條斜線(xiàn)段相等，射影較長(zhǎng)的斜線(xiàn)段也較長(zhǎng)；相等的斜線(xiàn)段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線(xiàn)段的射影也較長(zhǎng)；垂線(xiàn)段比任何一條斜線(xiàn)段都短.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.斜線(xiàn)與平面所成的角關(guān)鍵在于找射影，斜線(xiàn)與平面所成的角，是這條斜線(xiàn)

13、和這個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)所成的一切角中最小的角.2.在證明平行時(shí)注意線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行及面面平行判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用.3.在證明垂直時(shí)注意線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直及面面垂直判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用，同時(shí)還要注意三垂線(xiàn)定理及其逆定理的運(yùn)用.要注意線(xiàn)面垂直的判定定理中的“兩條相交直線(xiàn)”，如果用“無(wú)數(shù)”或“兩條”都是錯(cuò)誤的.4.直線(xiàn)與平面的距離一般是利用直線(xiàn)上某一點(diǎn)到平面的距離.“如果在平面的同一側(cè)有兩點(diǎn)到平面的距離（大于0）相等，則經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)與這個(gè)平面平行.”要注意“同一側(cè)”、“距離相等”.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知平面平面，直線(xiàn)平面,點(diǎn)P直線(xiàn),平面、間的距離為8，則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10，且

14、到的距離為9的點(diǎn)的軌跡是（ ）A.一個(gè)圓 B.四個(gè)點(diǎn) C.兩條直線(xiàn) D .兩個(gè)點(diǎn) 錯(cuò)解：A.錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)點(diǎn)線(xiàn)距離、線(xiàn)線(xiàn)距離、面面距離的關(guān)系掌握不牢.正解：B. 例2 a和b為異面直線(xiàn)，則過(guò)a與b垂直的平面( ). A有且只有一個(gè) B一個(gè)面或無(wú)數(shù)個(gè) C可能不存在 D可能有無(wú)數(shù)個(gè)錯(cuò)解：A.錯(cuò)因：過(guò)a與b垂直的平面條件不清.正解：C.例3由平面外一點(diǎn)P引平面的三條相等的斜線(xiàn)段，斜足分別為A,B,C，O為ABC的外心，求證：.錯(cuò)解：因?yàn)镺為ABC的外心，所以O(shè)AOBOC，又因?yàn)镻APBPC，PO公用，所以POA，POB，POC都全等，所以POAPOBPOC，所以.錯(cuò)因：上述解法中POAPOBPOCRT

15、，是對(duì)的，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄兀窟@里缺少必要的證明.正解：取BC的中點(diǎn)D，連PD、OD，例4如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M為AA1的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC1到M點(diǎn)的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為，設(shè)這條最短路線(xiàn)與C1C的交點(diǎn)為N,求: （1）該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)；（2）PC和NC的長(zhǎng)；（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反三角函數(shù)表示）錯(cuò)因：（1）不知道利用側(cè)面BCC1 B1展開(kāi)圖求解,不會(huì)找 的線(xiàn)段在哪里;(2)不會(huì)找二面角的平面角.正解：(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為9，寬為4的矩形，其對(duì)角線(xiàn)

16、長(zhǎng)為(2)如圖，將側(cè)面BC1旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面AC1在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1的位置，連接MP1 ，則MP1就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)CC1到點(diǎn)M的最短路線(xiàn).設(shè)PC，則P1C，在(3)連接PP1（如圖），則PP1就是平面NMP與平面ABC的交線(xiàn)，作NH于H，又CC1平面ABC，連結(jié)CH，由三垂線(xiàn)定理的逆定理得，.例5 P是平行四邊形ABCD 所在平面外一點(diǎn)，Q 是PA 的中點(diǎn)，求證：PC 平面BDQ 分析：要證明平面外的一條直線(xiàn)和該平面平行，只要在該平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)平行就可以了證明：如圖所示，連結(jié)AC ，交BD 于點(diǎn)O ，四邊形ABCD 是平行四邊形.AO=CO ，連結(jié)OQ ，則OQ

17、 在平面BDQ 內(nèi)，且OQ 是 的中位線(xiàn)，PCOQ PC 在平面BDQ 外，PC平面BDQ 點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用線(xiàn)面平行的判定定理證明線(xiàn)面平行時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行.例6 在正方體A1B1C1D1ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中點(diǎn)求證：EF垂直平面BB1O證明： 如圖,連接AC、BD，則O為AC和BD的交點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF是ABC的中位線(xiàn)，EFACB1B平面ABCD,AC平面ABCDACB1B，由正方形ABCD知：ACBO，又BO與BB1是平面BB1O上的兩條相交直線(xiàn)，AC平面BB1O(線(xiàn)面垂直判定定理)ACEF， EF平面BB1O

18、例7如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中，E 是BB1 的中點(diǎn)，O 是底面正方形ABCD 的中心，求證：OE 平面ACD1 分析：本題考查的是線(xiàn)面垂直的判定方法根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定方法，要證明OE 平面ACD1 ，只要在平面ACD1 內(nèi)找兩條相交直線(xiàn)與OE 垂直證明：連結(jié)B1D 、A!D 、BD ，在B1BD 中，E,O 分別是B1B 和DB 的中點(diǎn)，EOB1D B1A1 面AA1D1D ，DA1 為DB1 在面AA1D1D 內(nèi)的射影又AD1A1D ，AD1DB1 同理可證B1DD1C 又AD1，AD1,D1C 面ACD1 ，B1D 平面ACD1 B1DOE ，OE 平面ACD1 點(diǎn)評(píng)：

19、要證線(xiàn)面垂直可找線(xiàn)線(xiàn)垂直，這是立體幾何證明線(xiàn)面垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法在證明線(xiàn)線(xiàn)垂直時(shí)既要注意三垂線(xiàn)定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用例8如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)N在BD上, 點(diǎn)M在B1C上,且CM=DN,求證:MN平面AA1B1B.證明：證法一.如圖,作MEBC,交BB1于E,作NFAD,交AB于F,連EF則EF平面AA1B1B.ME=NF又MEBCADNF,MEFN為平行四邊形,MNEF. MN平面AA1B1B.證法二.如圖,連接并延長(zhǎng)CN交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P,連B1P,則B1P平面AA1B1B.,又CM=DN,B1C=BD,

20、B1P. B1P平面AA1B1B, MN平面AA1B1B.證法三.如圖,作MPBB1,交BC于點(diǎn)P,連NP.MPBB1,BD=B1C,DN=CM, NPCDAB.面MNP面AA1B1B.MN平面AA1B1B.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1設(shè)a ，b 是空間兩條垂直的直線(xiàn)，且b平面 則在“a平面 ”、“a ”、“a與相交”這三種情況中，能夠出現(xiàn)的情況有（ ）A0個(gè)B1C2個(gè)D3個(gè)2一個(gè)面截空間四邊形的四邊得到四個(gè)交點(diǎn)，如果該空間四邊形僅有一條對(duì)角線(xiàn)與這個(gè)截面平行，那么此四個(gè)交點(diǎn)圍成的四邊形是（）A梯形B任意四邊形C平行四邊形D菱形3若一直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，夾在直線(xiàn)和平面間的兩條線(xiàn)段相等，那么這兩條線(xiàn)段的位置

21、關(guān)系是（ ）A平行B相交C異面D平行、相交或異面4空間四邊形的邊AB 、BC 、CD 、DA 的中點(diǎn)分別是E 、F 、G 、H ，若兩條對(duì)角線(xiàn)BD 、AC 的長(zhǎng)分別為2和4，則EG2+HF2 的值（ ）A5B10 C20 D405點(diǎn)P 、Q 、R 、S 分別是空間四邊形ABCD 四邊的中點(diǎn)，則：當(dāng)AC 時(shí)，四邊形PQRS 是_形；當(dāng)AC=BD 時(shí)，四邊形PQRS 是_形6已知兩個(gè)全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面內(nèi)，M 、N 分別在它們的對(duì)角線(xiàn)AC ，BF 上，且CM=BN ， 求證：MN 平面BCE 7.如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且(1)

22、證明C1C;(2) 當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C平面C1BD？請(qǐng)給出證明.6.3平面與平面之間的位置關(guān)系一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué)1空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系（有交點(diǎn)的是相交；沒(méi)交點(diǎn)的是平行）.2理解并掌握空間兩個(gè)平面平行的定義；掌握空間兩個(gè)平面平行判定定理（如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行）和性質(zhì)定理（如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行）.3理解并掌握空間兩個(gè)平面垂直的定義（一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直）；判定定理（如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面垂直）和性質(zhì)定理（如果兩個(gè)平面垂直，那么在

23、一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面）.4二面角的有關(guān)概念（從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角）與運(yùn)算； 二面角的平面角（以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常見(jiàn)作法(定義法、三垂線(xiàn)定理及逆定理法、垂面法等).二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1兩個(gè)平面的位置關(guān)系關(guān)系的判定關(guān)鍵看有沒(méi)有公共點(diǎn).2面面平行也是推導(dǎo)線(xiàn)面平行的重要手段；還要注意平行與垂直的相互聯(lián)系，如：如果兩個(gè)平面都垂直于同一條直線(xiàn)，則這兩個(gè)平面平行；如果兩條直線(xiàn)都垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線(xiàn)平行等.在證明平行時(shí)注意線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行及面面平

24、行的判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用.3對(duì)于命題“三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線(xiàn)，則這三條交線(xiàn)互相平行或者相交于同一點(diǎn).”要會(huì)證明.4.在證明垂直時(shí)注意線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直及面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用.5注意二面角的范圍是，找二面角的平面角時(shí)要注意與棱的垂直直線(xiàn)，這往往是二面角的平面角的關(guān)鍵所在.求二面角的大小還有公式,用的時(shí)候要進(jìn)行交代.在二面角棱沒(méi)有給出的情況下求二面角大小方法一：補(bǔ)充棱；方法二：利用“如果”；方法三：公式等，求二面角中解三角形時(shí)注意垂直（直角）、數(shù)據(jù)在不同的面上轉(zhuǎn)換.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1一直線(xiàn)與直二面角的兩個(gè)面所成的角分別為，則+滿(mǎn)足（ ）.A.+900 D.+900

25、錯(cuò)解:A.錯(cuò)因：忽視直線(xiàn)與二面角棱垂直的情況.正解：B.例2.如圖，ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A，B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線(xiàn)與地面成40角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角應(yīng)為（ ）.A90 B60 C50 D45錯(cuò)解:A.正解：C例3已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面邊長(zhǎng)是10，高是12，過(guò)底面一邊AB，作與底面ABC成角的截面面積是_.錯(cuò)解：.用面積射影公式求解：S底=S截=.錯(cuò)因：沒(méi)有弄清截面的形狀不是三角形而是等腰梯形.正解：.例4點(diǎn)是邊長(zhǎng)為4的正方形的中心，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)沿對(duì)角線(xiàn)把正方形折成直二面角DACB（1）求的大小；（2）求二面角的大

26、小錯(cuò)解:不能認(rèn)識(shí)折疊后變量與不變量.不會(huì)找二面角的平面角.正解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EGAC，垂足為G，過(guò)點(diǎn)F作FHAC，垂足為H，則，CDMHGOFABEGHMABCDEFO因?yàn)槎娼荄ACB為直二面角， 又在中， （2）過(guò)點(diǎn)G作GM垂直于FO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，連EM二面角DACB為直二面角，平面DAC平面BAC，交線(xiàn)為AC，又EGAC，EG平面BACGMOF，由三垂線(xiàn)定理，得EMOF就是二面角的平面角在RtEGM中，所以，二面角的大小為例5如圖，平面平面平面，且在、之間，若和的距離是5，和的距離是3，直線(xiàn)和、分別交于A、B、C，AC12，則AB ，BC . 解:作，與、也垂直，與、分別交于A

27、1、B1、C1.因此，A1B1是與平面間的距離，B1C1是與平面間的距離，A1C1是與之間的距離.A1B15，B1C13，A1C18，又知AC12AB= ， ，BC= .答：AB= ，BC .例6 如圖，線(xiàn)段PQ分別交兩個(gè)平行平面、于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段PD分別交、于C、D兩點(diǎn)，線(xiàn)段QF分別交、于F、E兩點(diǎn)，若PA9，AB12，BQ12，ACF的面積為72，求BDE的面積.解：平面QAFAF，平面QAFBE又，AFBE同理可證：ACBD.FAC與EBD相等成互補(bǔ)由FABE，得：BE：AFQB：QA12：241：2，BE=由BDAC，得：AC：BDPA：PB9：213：7，BD=又ACF的面積為72

28、，即 72S=,答：BDE的面積為84平方單位.例7如圖，B為ACD所在平面外一點(diǎn)，M、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心.（1）求證：平面MNG平面ACD（2）求S：S解:（1）連結(jié)BM、BN、BG并延長(zhǎng)交AC、AD、CD分別于P、F、HM、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心，則有：連結(jié)PF、FH、PH有MNPF又PF 平面ACDMN平面ACD同理：MG平面ACD，MGMNM平面MNG平面ACD.（2）由（1）可知：MG=，又PH=MG= ，同理：NG= ， MNGACD，其相似比為1：3S：S=1：9例8如圖，平面EFGH分別平行于CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、A

29、C、AD上，且CDa，ABb，CDAB.(1)求證：EFGH是矩形.(2)求當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，EFGH的面積最大.(1)證明：CD面EFGH,而面EFGH面BCDEF.CDEF同理HGCD.EFHG同理HEGF.四邊形EFGH為平行四邊形由CDEF，HEABHEF為CD和AB所成的角或其補(bǔ)角，又CDAB.HEEF.四邊形EFGH為矩形.(2)解：由(1)可知在BCD中EFCD，其中DEm，EBn由HEAB又四邊形EFGH為矩形S矩形EFGHHEEFbaabmn2，（mn）2mn，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號(hào)，即E為BD的中點(diǎn)時(shí),S矩形EFGH=abab，矩形EFGH的面積最大為ab.點(diǎn)評(píng)：求最值時(shí)經(jīng)

30、常轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值、不等式求最值、導(dǎo)數(shù)求最值、線(xiàn)性規(guī)劃求最值等.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. 山坡面與水平面成30的角，坡面上有一條公路AB與坡角線(xiàn)BC成45的角，沿公路向上去1公里時(shí)，路基升高_(dá)米2. 過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線(xiàn)段PA平面ABCD，且PA=AB，則平面ABP與平面CDP所成二面角(小于或等于90)的度數(shù)是_3. 在60二面角的棱上，有兩個(gè)點(diǎn)A、B，AC、BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線(xiàn)段已知：AB4cm，AC=6cm，BD8cm，求CD長(zhǎng)4.如圖，過(guò)S引三條長(zhǎng)度相等但不共面的線(xiàn)段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90. 求證：平面ABC平面BSC. 5

31、. 已知：如圖，SA平面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分別交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角EBDC的度數(shù). 6.4空間角和距離一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.掌握兩條異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角及二面角，掌握上述三類(lèi)空間角的作法及運(yùn)算.2掌握給出公垂線(xiàn)的兩條異面直線(xiàn)的距離、點(diǎn)到直線(xiàn)（或平面）的距離、直線(xiàn)與平面的距離及兩平行平面間距離的求法.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1求空間角的大小時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為平面上的角來(lái)求，具體地將其轉(zhuǎn)化為某三角形的一個(gè)內(nèi)角.2求二面角大小時(shí)，關(guān)鍵是找二面角的平面角，可充分利用定義法或垂面法等.3空間距離的計(jì)算一般將其轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離.求點(diǎn)到平面距離時(shí)，

32、可先找出點(diǎn)在平面內(nèi)的射影（可用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)），也可用等體積轉(zhuǎn)換法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圓心的距離由勾股定理得4球面上兩點(diǎn)間的距離是指經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的球的大圓的劣弧的長(zhǎng)，關(guān)鍵在于畫(huà)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓以及小圓.5要注意距離和角在空間求值中的相互作用，以及在求面積和體積中的作用.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1平面外有兩點(diǎn)A,B，它們與平面的距離分別為a,b，線(xiàn)段AB上有一點(diǎn)P，且AP:PB=m:n，則點(diǎn)P到平面的距離為_(kāi).錯(cuò)解：.錯(cuò)因：只考慮AB在平面同側(cè)的情形，忽略AB在平面兩測(cè)的情況.正解：.例2與空間四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有_個(gè).錯(cuò)解：4個(gè).錯(cuò)因：只分1個(gè)點(diǎn)與3個(gè)點(diǎn)在平面

33、兩側(cè).沒(méi)有考慮2個(gè)點(diǎn)與2個(gè)點(diǎn)在平面兩側(cè).正解：7個(gè).例3一個(gè)盛滿(mǎn)水的三棱錐形容器，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用這個(gè)容器盛水，則最多可盛原來(lái)水的（ ）A. B. C. D. 錯(cuò)解：A、B、C.由過(guò)D或E作面ABC的平行面，所截體計(jì)算而得.正解：D.當(dāng)平面EFD處于水平位置時(shí)，容器盛水最多最多可盛原來(lái)水得1例4斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)等于b，一條側(cè)棱AA1與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積.錯(cuò)解：一是不給出任何證明，直接計(jì)算得結(jié)果；二是作直截面的方法不當(dāng)，即“過(guò)BC作平

34、面與AA1垂直于M”；三是由條件“A1AB=A1ACAA1在底面ABC上的射影是BAC的平分線(xiàn)”不給出論證.正解：過(guò)點(diǎn)B作BMAA1于M，連結(jié)CM，在ABM和ACM中，AB=AC，MAB=MAC=450，MA為公共邊，ABMACM，AMC=AMB=900，AA1面BHC，即平面BMC為直截面，又BM=CM=ABsin450=a，BMC周長(zhǎng)為2xa+a=(1+)a，且棱長(zhǎng)為b，S側(cè)=(1+)ab例5已知CA平面，垂足為A；AB ，BDAB，且BD與成30角；AC=BD=b，AB=a.求C，D兩點(diǎn)間的距離.解: 本題應(yīng)分兩種情況討論：（1）如下左圖.C，D在同側(cè)：過(guò)D作DF，垂足為F.連BF，則于

35、是.根據(jù)三垂線(xiàn)定理BDAB得BFAB.在RtABF中，AF=過(guò)D作DEAC于E，則DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故CD=(2)如上右圖.C，D在兩側(cè)時(shí)：同法可求得CD=點(diǎn)評(píng): 本題是通過(guò)把已知量與未知量歸結(jié)到一個(gè)直角三角形中，應(yīng)用勾股定理來(lái)求解.例6如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，.（1）試確定，使得直線(xiàn)與平面所成角的正切值為；（2）在線(xiàn)段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得對(duì)任意的，在平面上的射影垂直于.并證明你的結(jié)論.解：解法一（1）連AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,AP與平面相交于點(diǎn)，,連結(jié)OG，因?yàn)镻C平面，平面平面APCOG,故OGPC，所以，OGPC.又A

36、OBD,AOBB1，所以AO平面，故AGO是AP與平面所成的角. 在RtAOG中，tanAGO，即m.所以，當(dāng)m時(shí)，直線(xiàn)AP與平面所成的角的正切值為.（2）可以推測(cè)，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是AICI的中點(diǎn)O1，因?yàn)镈1O1A1C1, 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP.那么根據(jù)三垂線(xiàn)定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。解法二：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，為平面的一個(gè)法向量。設(shè)AP與平面所成

37、的角為，則。依題意有解得。故當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)AP與平面所成的角的正切值為。（2）若在A1C1上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則Q(x，1，1)，。依題意，對(duì)任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等價(jià)于D1QAP即Q為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足題設(shè)要求。例7在梯形ABCD中，ADC=90，ABDC，AB=1，DC=2，P為平面ABCD外一點(diǎn)，PAD是正三角形，且PAAB，求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小；（2）D點(diǎn)到平面PBC的距離解: （1）設(shè)ADBC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交線(xiàn)，依題設(shè)條件得PA=AD=AE，則EPD=90，PDPE又PAAB，DAAB

38、，故AB平面PAD DCAB， DC平面PAD由PEPC得PEPD，DPC是平面PBC與平面PAD所成二面角的平面角，DC=2，tan，（2）由于PEPD，PEPC，故PE平面PDC，因此平面PDC平面PBC，作DHPC，H是垂足，則DH是D到平面PBC的距離在RtPDC中，DC=2，平面PBC與平面PAD成二面角的大小為arctan，D到平面PBC的距離為.例8 半徑為1的球面上有A、B、C三點(diǎn)，A與B和A與C的球面距離都是，B與C的球面距離是，求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的截面到球心O距離分析： 轉(zhuǎn)化為以球心O為頂點(diǎn)，ABC為底面的三棱錐問(wèn)題解決由題設(shè)知OBC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，AOB和AOC是腰

39、長(zhǎng)為1的全等的等腰三角形取BC中點(diǎn)D，連AD、OD，易得BC面AOD，進(jìn)而得面AOD面ABC，過(guò)O作OHAD于H，則OH面ABC，OH的長(zhǎng)即為所求，在Rt中,AD=,故在Rt,OH=點(diǎn)評(píng)： 本題若注意到H是ABC的外心，可通過(guò)解ABC和AHO得OH或利用體積法四、典型習(xí)題導(dǎo)練1在平面角為600的二面角內(nèi)有一點(diǎn)P，P到、的距離分別為PC=2cm，PD=3cm，則P到棱的距離為_(kāi).2異面直線(xiàn)a , b所成的角為，過(guò)空間一定點(diǎn)P，作直線(xiàn)，使與a ,b 所成的角均為，這樣的直線(xiàn)有 條.3在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面EFB1D1的距離為 4

40、.二面角內(nèi)一點(diǎn)P，分別作兩個(gè)面的垂線(xiàn)PA、PB，A、B為垂足已知PA=3，PB=2，APB=60求的大小及P到的距離5.ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，CG面ABCD，CG = 2E、F分別是AD、AB的中點(diǎn)求點(diǎn)B到面EFG的距離 6.如圖：二面角-為銳角，P為二面角內(nèi)一點(diǎn)，P到的 距離為，到面的距離為4，到棱的距離為，求二面角- -的大小.7.如圖，已知三棱柱A1B1C1-ABC的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱A1A與AB、AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F.(1)求點(diǎn)A到平面B1BCC1的距離；(2)當(dāng)AA1多長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)A1到平面ABC與平面B1BCC1的距離相等.6.5空間幾

41、何體及投影一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 了解投影（投影線(xiàn)通過(guò)物體，向選定的面透射，并在該面上得到圖形的方法）、中心投影（投射線(xiàn)交于一點(diǎn)的投影稱(chēng)為中心投影）、平行投影（投影線(xiàn)互相平行的投影稱(chēng)為平行投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正對(duì)著投影面的投影）、正投影（平行投影投射方向正對(duì)著投影面的投影）的概念.2. 了解三視圖的有關(guān)概念（視圖是指將物體按正投影向投影面投射所得到的圖形.光線(xiàn)自物體的前面向后面投射所得的投影稱(chēng)之為主視圖或正視圖，自上而下的稱(chēng)為俯視圖，自左向右的稱(chēng)為左視圖，用這三種視圖刻畫(huà)空間物體的結(jié)構(gòu)，稱(chēng)之為三視圖）;了解三視圖畫(huà)法規(guī)則，能作出物體的三視圖.3. 注意投影和射影的關(guān)系，以及在解題中的

42、作用.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1三視圖間基本投影關(guān)系的三條規(guī)律：主視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖高平齊，俯視圖與左視圖寬相等.概括為“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”；看不見(jiàn)的畫(huà)虛線(xiàn).2主視圖的上、下、左、右對(duì)應(yīng)物體的上、下、左、右；俯視圖的上、下、左、右對(duì)應(yīng)物體的后、前、左、右；左視圖的上、下、左、右對(duì)應(yīng)物體的上、下、后、前.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1如圖，該物體的俯視圖是（）.錯(cuò)解：B.錯(cuò)因：投影方向不對(duì).正解：C.例2 如圖所示的正方體中，E、F分別是AA1,D1C1的中點(diǎn)，G是正方形BDB1D1的中心，則空間四邊形AGEF在該正方體面上的投影不可能是（ ）A B C D錯(cuò)解：C.正解：D 例3水平放置的ABC有一邊在水平線(xiàn)上，它的直觀(guān)圖是正A1B1C1，則ABC是（ ）A. 銳角三角形B. 直角三角形C. 鈍角三角形D. 任意三角形錯(cuò)解：B.錯(cuò)因：不熟悉斜二側(cè)畫(huà)