高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第84課時(shí)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念教案(通用)_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、第84課時(shí) 課題:復(fù)數(shù)的有關(guān)概念一教學(xué)目標(biāo):1使學(xué)生了解擴(kuò)充實(shí)數(shù)集的必要性,正確理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)、幾何、三角表示及其轉(zhuǎn)換;2掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,能正確地進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算,并理解復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義;3掌握在復(fù)數(shù)集中解實(shí)數(shù)系數(shù)一元二次方程和二項(xiàng)方程的方法4通過(guò)內(nèi)容的闡述,帶綜合性的例題和習(xí)題的訓(xùn)練,繼續(xù)提高學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力5通過(guò)數(shù)的概念的發(fā)展,復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)及位置向量三者之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換的復(fù)習(xí)教學(xué),繼續(xù)對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證觀點(diǎn)的教育二教學(xué)重點(diǎn):復(fù)數(shù)三角形式表示法及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系。三教學(xué)過(guò)程:(一)主要知識(shí):1.數(shù)的概念的發(fā)展,復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(實(shí)數(shù)、

2、虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)、模);2.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與向量表示;3.復(fù)數(shù)的加法與減法,復(fù)數(shù)的乘法與除法,復(fù)數(shù)的三角形式,復(fù)數(shù)三角形式的乘法與乘方,復(fù)數(shù)三角形式的除法與開方;4.復(fù)數(shù)集中解實(shí)系數(shù)方程(包括一元二次方程、二項(xiàng)方程)。復(fù)數(shù)在過(guò)去幾年里是代數(shù)的重要內(nèi)容之一,涉及的知識(shí)面廣,對(duì)能力要求較高,是高考熱點(diǎn)之一。但隨著新教材對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)的淡化,高考試題比例下降,因此考生要把握好復(fù)習(xí)的尺度。從近幾年的高考試題上看:復(fù)數(shù)部分考查的重點(diǎn)是基礎(chǔ)知識(shí)題型和運(yùn)算能力題型?;A(chǔ)知識(shí)部分重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、兩復(fù)數(shù)相等的充要條件及其應(yīng)用,復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)的幾何表示及復(fù)向量的運(yùn)算。主要

3、考點(diǎn)為復(fù)數(shù)的模與輻角主值,共軛復(fù)數(shù)的概念和應(yīng)用。若只涉及到一、二個(gè)知識(shí)點(diǎn)的試題大都集中在選擇題和填空題;若涉及幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的試題,往往是中、高檔題目,解答此類問題一般要抓住相應(yīng)的概念進(jìn)行正確的變換,對(duì)有些題目,往往用數(shù)形結(jié)合可獲得簡(jiǎn)捷的解法。有關(guān)復(fù)數(shù)n次乘方、求輻角(主值)等問題,涉及到復(fù)數(shù)的三角形式,首先要將所給復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式后再進(jìn)行變換。復(fù)數(shù)的運(yùn)算是高考中復(fù)數(shù)部分的熱點(diǎn)問題。主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)和三角形式的運(yùn)算,復(fù)數(shù)模及輻角主值的求解及復(fù)向量運(yùn)算等問題。基于上述情況,我們?cè)趯W(xué)習(xí)“復(fù)數(shù)”一章內(nèi)容時(shí),要注意以下幾點(diǎn):(1)復(fù)數(shù)的概念幾乎都是解題的手段。因此在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時(shí)要在深入理解、熟練掌握復(fù)數(shù)

4、概念上下功夫。除去復(fù)數(shù)相等、模、輻角、共軛復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)式,提供了將“復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化”的手段。復(fù)數(shù)的幾何意義也是解題的一個(gè)重要手段。(2)對(duì)于涉及知識(shí)點(diǎn)多,與方程、三角、解析幾何等知識(shí)綜合運(yùn)用的思想方法較多的題型,以及復(fù)數(shù)本身的綜合題,一直成為學(xué)生的難點(diǎn),應(yīng)掌握規(guī)律及典型題型的技巧解法,并加以強(qiáng)化訓(xùn)練以突破此難點(diǎn);(3)重視以下知識(shí)盲點(diǎn):不能正確理解復(fù)數(shù)的幾何意義,常常搞錯(cuò)向量旋轉(zhuǎn)的方向;忽視方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)的條件是實(shí)系數(shù);盲目地將實(shí)數(shù)范圍內(nèi)數(shù)與形的一些結(jié)論,不加懷疑地引用到復(fù)數(shù)范圍中來(lái);容易混淆復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,如純虛數(shù)與虛數(shù)的區(qū)別問題,實(shí)軸與虛軸的交集問題,復(fù)數(shù)輻角主值的范圍問題等。

5、(二)知識(shí)點(diǎn)詳析1知識(shí)體系表解2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì):(1)i稱為虛數(shù)單位,規(guī)定,形如a+bi的數(shù)稱為復(fù)數(shù),其中a,bR(2)復(fù)數(shù)的分類(下面的a,b均為實(shí)數(shù))(3)復(fù)數(shù)的相等設(shè)復(fù)數(shù),那么的充要條件是:(4)復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)可用平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)Z(a,b)來(lái)表示這時(shí)稱此平面為復(fù)平面,x軸稱為實(shí)軸,y軸除去原點(diǎn)稱為虛軸這樣,全體復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面上全體點(diǎn)集是一一對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)還可以用以原點(diǎn)O為起點(diǎn),以點(diǎn)Z(a,b)向量所成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的(例外的是復(fù)數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)O,看成零向量)(7)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)不同處任意兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小,而任意兩個(gè)復(fù)數(shù)中至少有一個(gè)

6、不是實(shí)數(shù)時(shí)就不能比較大小實(shí)數(shù)對(duì)于四則運(yùn)算是通行無(wú)阻的,但不是任何實(shí)數(shù)都可以開偶次方而復(fù)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算和開方均通行無(wú)阻3有關(guān)計(jì)算:怎樣計(jì)算?(先求n被4除所得的余數(shù),)是1的兩個(gè)虛立方根,并且:3 復(fù)數(shù)集內(nèi)的三角形不等式是:,其中左邊在復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的向量共線且反向(同向)時(shí)取等號(hào),右邊在復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的向量共線且同向(反向)時(shí)取等號(hào)。4 棣莫佛定理是:5 若非零復(fù)數(shù),則z的n次方根有n個(gè),即:它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在分布上有什么特殊關(guān)系?都位于圓心在原點(diǎn),半徑為的圓上,并且把這個(gè)圓n等分。6 若,復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B,則AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是。7 =。8 復(fù)平面內(nèi)復(fù)

7、數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的幾個(gè)基本軌跡:軌跡為一條射線。軌跡為一條射線。軌跡是一個(gè)圓。軌跡是一條直線。軌跡有三種可能情形:a)當(dāng)時(shí),軌跡為橢圓;b)當(dāng)時(shí),軌跡為一條線段;c)當(dāng)時(shí),軌跡不存在。軌跡有三種可能情形:a)當(dāng)時(shí),軌跡為雙曲線;b)當(dāng)時(shí),軌跡為兩條射線;c)當(dāng)時(shí),軌跡不存在。4學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)聯(lián)系實(shí)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算等內(nèi)容,加強(qiáng)對(duì)復(fù)數(shù)概念的認(rèn)識(shí);(2)理順復(fù)數(shù)的三種表示形式及相互轉(zhuǎn)換:z=r(cos+isin)(Z(a,b)z=a+bi復(fù)數(shù)集純虛數(shù)集虛數(shù)集實(shí)數(shù)集(3)正確區(qū)分復(fù)數(shù)的有關(guān)概念;(4)掌握復(fù)數(shù)幾何意義,注意復(fù)數(shù)與三角、解幾等內(nèi)容的綜合;(5)正確掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除;

8、三角形式的乘、除、乘方、開方及幾何意義;虛數(shù)單位i及1的立方虛根的性質(zhì);模及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì);(6)掌握化歸思想將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化(三角化、幾何化);(7)掌握方程思想利用復(fù)數(shù)及其相等的有關(guān)充要條件,建立相應(yīng)的方程,轉(zhuǎn)化復(fù)數(shù)問題。(三)例題分析:.2020年高考數(shù)學(xué)題選1. (2020年四川卷理3)設(shè)復(fù)數(shù)i,則1A.B.2C.D.2(2020重慶卷2))設(shè)復(fù)數(shù), 則 ( )A3 B3 C3i D3i3. (2020高考數(shù)學(xué)試題廣東B卷14)已知復(fù)數(shù)z與 (z +2)2-8i 均是純虛數(shù),則 z = .范例分析實(shí)數(shù)?虛數(shù)?純虛數(shù)?復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是:當(dāng)m2時(shí)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件:

9、當(dāng)m3且m2時(shí)復(fù)數(shù)z為虛數(shù)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是:當(dāng)m1時(shí)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)【說(shuō)明】要注意復(fù)數(shù)z實(shí)部的定義域是m3,它是考慮復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù),虛數(shù)純虛數(shù)的必要條件要特別注意復(fù)數(shù)za+bi(a,bR)為純虛數(shù)的充要條件是a0且b0,所以,代入得,故選解法3:選擇支中的復(fù)數(shù)的模均為,又,而方程右邊為2+i,它的實(shí)部,虛部均為正數(shù),因此復(fù)數(shù)z的實(shí)部,虛部也必須為正,故選擇B【說(shuō)明】解法1利用復(fù)數(shù)相等的條件;解法2利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì);解法3考慮選擇題的特點(diǎn)求:z【分析】確定一個(gè)復(fù)數(shù)要且僅要兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b,而題目恰給了兩個(gè)獨(dú)立條件采用待定系數(shù)法可求出a、b確定z運(yùn)算簡(jiǎn)化解:設(shè)z=x+yi(x,yR)將z=x+

10、yi代入|z4|z4i|可得xy,z=x+xi(2)當(dāng)|z1|13時(shí),即有xx6=0則有x=3或x=2綜上所述故z0或z=3+3i或z=-22i【說(shuō)明】注意熟練地運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)其性質(zhì)有:(3)1+2i+3+1000【說(shuō)明】計(jì)算時(shí)要注意提取公因式,要注意利用i的冪的周期性,(3)解法1:原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2:設(shè)S1+2i+3+1000,則iSi+2+3+999+1000,(1i)S1+i+1000【說(shuō)明】充分利用i的冪的周期性進(jìn)行組合,注意利用等比數(shù)列求和的方法【例6】已知三邊都不相等的三角

11、形ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足、的值.【解】得3分上式化簡(jiǎn)為6分9分當(dāng)12分【例7】設(shè)z1=1-cos+isin,z2=a2+ai(aR),若z1z20,z1z2+=0,問在(0,2)內(nèi)是否存在使(z1-z2)2為實(shí)數(shù)?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】這是一道探索性問題可根據(jù)復(fù)數(shù)的概念與純虛數(shù)的性質(zhì)及復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件,直接進(jìn)行解答【解】假設(shè)滿足條件的存在因z1z20,z1z2+=0,故z1z2為純虛數(shù)又z1z2=(1-cos+isin)(a2+ai)=a2(1-cos)-asin+a(1-cos)+a2sini,于是,由知a0因(0,2),故cos1于是,由得a=另一方面,因

12、(z1-z2)2R,故z1-z2為實(shí)數(shù)或?yàn)榧兲摂?shù)又z1-z2=1-cos-a2+(sin-a)i,于是sin-a=0,或1-cos-a2=0若sin-a=0,則由方程組得=sin,故cos=0,于是=或=若1-cos-a2=0,則由方程組得()2=1-cos由于sin2=1-cos2=(1+cos)(1-cos),故1+cos=(1-cos)2解得cos=0,從而=或=綜上所知,在(0,2)內(nèi),存在=或=,使(z1-z2)2為實(shí)數(shù)【說(shuō)明】解題技巧:解題中充分使用了復(fù)數(shù)的性質(zhì):z0,z+=0z純虛數(shù)以及z2RzR或z純虛數(shù)(注:Re(z),Im(z)分別表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部)解題規(guī)律:對(duì)于“是

13、否型存在題型”,一般處理方法是首先假設(shè)結(jié)論成立,再進(jìn)行正確的推理,若無(wú)矛盾,則結(jié)論成立;否則結(jié)論不成立【例8】設(shè)a為實(shí)數(shù),在復(fù)數(shù)集C中解方程:z2+2|z|=a【分析】由于z2=a-2|z|為實(shí)數(shù),故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù),因而需分情況進(jìn)行討論【解】設(shè)|z|=r若a0,則z2=a-2|z|0,于是z為純虛數(shù),從而r2=2ra解得r=(r=0,不合,舍去)故z=()i若a0,對(duì)r作如下討論:(1)若ra,則z2=a-2|z|0,于是z為實(shí)數(shù)解方程r2=a-2r,得r=(r=0,不合,舍去)故z=()(2)若ra,則z2=a-2|z|0,于是z為純虛數(shù)解方程r2=2r-a,得r=或r=(a1)故z=()

14、i(a1)綜上所述,原方程的解的情況如下:當(dāng)a0時(shí),解為:z=()i;當(dāng)0a1時(shí),解為:z=(),z=()i;當(dāng)a1時(shí),解為:z=()【說(shuō)明】解題技巧:本題還可以令z=x+yi(x、yR)代入原方程后,由復(fù)數(shù)相等的條件將復(fù)數(shù)方程化歸為關(guān)于x,y的實(shí)系數(shù)的二元方程組來(lái)求解【例9】(2004年上海市普通高校春季高考數(shù)學(xué)試卷18)已知實(shí)數(shù)滿足不等式,試判斷方程有無(wú)實(shí)根,并給出證明.【解】由,解得,.方程的判別式.,由此得方程無(wú)實(shí)根.【例10】給定實(shí)數(shù)a,b,c已知復(fù)數(shù)z1、z2、z3滿足求az1+bz2+cz3的值【分析】注意到條件(1),不難想到用復(fù)數(shù)的三角形式;注意到條件(2),可聯(lián)想使用復(fù)數(shù)為

15、實(shí)數(shù)的充要條件進(jìn)行求解【解】解法一由=1,可設(shè)=cos+isin,=cos+isin,則=cos(+)-isin(+)因=1,其虛部為0,故0=sin+sin-sin(+)=2sincos-2sincos=2sin(cos-cos)=4sinsinsin故=2k或=2k或+=2k,kZ因而z1=z2或z2=z3或z3=z1若z1=z2,代入(2)得=i,此時(shí)az1+bz2+cz3=|z1|a+bci=類似地,如果z2=z3,則az1+bz2+cz3=;如果z3=z1,則az1+bz2+cz3=解法二由(2)知R,故=,即=由(1)得=(k=1,2,3),代入上式,得=,即z12z3+z22z1

16、+z32z2=z22z3+z32z1+z12z2,分解因式,得(z1-z2)(z2-z3)(z3-z1)=0,于是z1=z2或z2=z3或z3=z1下同解法一【說(shuō)明】解題關(guān)鍵點(diǎn)是巧妙利用復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件:zRz=,以及視,等為整體,從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算解題易錯(cuò)點(diǎn)是拿到問題不加分析地就盲目動(dòng)筆,而不注意充分觀察題目的已知條件,結(jié)論特征等,從而使問題的求解或是變得異常的復(fù)雜,或干脆就無(wú)法解出最終的結(jié)果(四)鞏固練習(xí):設(shè)復(fù)數(shù)z=3cos+2isin,求函數(shù)y=-argz(0)的最大值以及對(duì)應(yīng)角的值【分析】先將問題實(shí)數(shù)化,將y表示成的目標(biāo)函數(shù),后利用代數(shù)法(函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等)以及數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行

17、求解解法一、由0,得tan0,從而0argz由z=3cos+2isin,得tan(argz)=tan0于是tany=tan(-argz)=當(dāng)且僅當(dāng),即tan=時(shí),取“=”又因?yàn)檎泻瘮?shù)在銳角的范圍內(nèi)為增函數(shù),故當(dāng)=arctan時(shí),y取最大值為arctan解法二、因0,故cos0,sin0,0argz,且cos(argz)=,sin(argz)=顯然y(-,),且siny為增函數(shù)siny=sin(-argz)=sincos(argz)-cossin(argz)=當(dāng)且僅當(dāng),即tan=,取“=”,此時(shí)ymax=arctan9圖xargzyoZ1Z2Z解法三、設(shè)Z1=2(cos+isin),Z2=co

18、s,則Z=Z1+Z2,而Z1、Z2、Z的輻角主值分別為、0,argz如圖所示,必有y=ZOZ1,且0y在ZOZ1中,由余弦定理得cosy=+當(dāng)且僅當(dāng)4+5cos2=6,即cos=時(shí),取“=”又因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在0為減函數(shù),故當(dāng)=arccos時(shí),ymax=arccos【說(shuō)明】解題關(guān)鍵點(diǎn):將復(fù)數(shù)問題通過(guò)化歸轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題,使問題能在我們非常熟悉的情景中求解解題規(guī)律:多角度思考,全方位探索,不僅使我們獲得了許多優(yōu)秀解法,而且還使我們對(duì)問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)更清楚,進(jìn)而更有利于我們深化對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解,靈活駕馭求解復(fù)數(shù)問題的能力解題易錯(cuò)點(diǎn):因?yàn)榻夥ǖ亩鄻有?,反三角函?shù)表示角的不唯一性,因而最后的表述結(jié)果均不一樣,不要認(rèn)為是錯(cuò)誤的四課后作業(yè):1、下列說(shuō)法正確的是 A0i是純虛數(shù)B原點(diǎn)是復(fù)平面內(nèi)直角坐標(biāo)系的實(shí)軸與虛軸的公共點(diǎn)C實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)一定是實(shí)數(shù),虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)一定是虛數(shù)D是虛數(shù)2、下列命題中,假命題是 A兩個(gè)復(fù)數(shù)不可以比較大小B兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小C兩個(gè)虛數(shù)不可以比較大小D一虛數(shù)和一實(shí)數(shù)不可以比較大小3、已知對(duì)于x的方程+(12i)x+3mi=0有實(shí)根,則實(shí)數(shù)m滿足 4、復(fù)數(shù)1+i+等于 Ai B i C2i D2i5、已知常數(shù),又復(fù)數(shù)z滿足,求復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌

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