數(shù)列通項(xiàng)公式的求法(課堂PPT)

1、1,數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,2,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：,3,1、觀察法 觀察法就是觀察數(shù)列特征，橫向看各項(xiàng)之間的結(jié)構(gòu)，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系。適用于一些較簡單、特殊的數(shù)列。,4,例1 寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 （1） -1，4，-9，16，-25，36， ；,解： （如果數(shù)列是正負(fù)相間 的，把相應(yīng)的關(guān)于 的式子乘以 或 就可以了）,（2） 2， 3， 5， 9， 17， 33， ； 解：,5,2、累加法,若數(shù)列 ,滿足 其中 是可求和數(shù)列，那么可用逐項(xiàng)作差后累加 的方法求 ，適用于差為特殊數(shù)列的數(shù)列。,6,例2 已知數(shù)列 ,滿足 ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。,解：由 得 則,

2、所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式,7,3、累乘法,若數(shù)列 ,滿足 其中數(shù)列 前n項(xiàng)積可求，則通項(xiàng) 可用 逐項(xiàng)作商后求積得到。適用于積為特殊數(shù)列的數(shù)列。,8,例3、已知 ， ,求通項(xiàng)公式,解：,， ， ， 即,9,4、 利用數(shù)列前 項(xiàng)和 求通項(xiàng)公式： 數(shù)列前 項(xiàng)和 與 之間有如下關(guān)系：,10,例 4、設(shè)數(shù)列 的前項(xiàng)的和 （1）、求 ； （2）、求證數(shù)列 為等比數(shù)列。,解(1)、由 ，得,11,變式題、已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 求證： 為等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式。,12,5、構(gòu)造等差、等比數(shù)列法,對(duì)于一些遞推關(guān)系較復(fù)雜的數(shù)列，可通過對(duì)遞推關(guān)系公式的變形、整理，從中構(gòu)造出一個(gè)新的等比或等差數(shù)列，從而將問題轉(zhuǎn)化為前面已解

3、決的幾種情形來處理。,（1）構(gòu)造等差列法,13,例5、已知數(shù)列 中， ， （1）、求證 是等差數(shù)列 （2）、求 的通項(xiàng)公式,解：,首項(xiàng)為1，公差為 的等差數(shù)列,14,變式題： 已知數(shù)列an中，a1=1, an+1+3an+1an-an=0, 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,15,（1）若c=1時(shí)，數(shù)列an為等差數(shù)列; （2）若d=0時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列; （3）若c1且d0時(shí)，數(shù)列an為線性遞推數(shù)列， 其通項(xiàng)可通過構(gòu)造輔助數(shù)列來求.方法1：待定系數(shù)法 設(shè)an+1+m=c( an+m),得an+1=c an+(c-1)m, 與題設(shè)an+1=c an+d,比較系數(shù)得: (c-1)m=d, 所以有：m=d

4、/(c-1) 因此數(shù)列 構(gòu)成以 為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，,這種方法類似于換元法, 主要用于形如an+1=c an+d(c0,a1=a)的已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。,（構(gòu)造法或待定系數(shù)法）,6.輔助數(shù)列法,16,17,方法四：歸納、猜想、證明. 先計(jì)算出a1,a2,a3; 再猜想出通項(xiàng)an; 最后用數(shù)學(xué)歸納法證明.,方法三：迭代法 由 遞推式,直接迭代得,18,例6:已知數(shù)列an中，a1=3,an+1=2an+3,求數(shù)列的通項(xiàng)公式,解法1：由an+1=2an+3得 an+1+3=2（an+3） 所以an+3是以a1+3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以:an+3=（ a1+3） 2n-1

5、故an=62n-1-3,解法2：因?yàn)閍n+1=2an+3，所以n1時(shí)， an=2an-1+3，兩式相減，得：an+1 - an=2(an-an-1). 故an-an-1是以a2-a1=6為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列. an-an-1=(a2-a1)2n-1=62n-1, an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1 =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1),19,20,例7.已知,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,21,7.逐差法,形如an+1+an=f(n)的數(shù)列. （1）若an+1+an=d （d為常數(shù)），則數(shù)列 an為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論; （2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n) 型，通過累加來求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)轉(zhuǎn)化為an+1-an-1=f(n)-f(n-1),分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).,22,例8. 數(shù)列an滿足a1=0, an+1+an=2n, 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,23,24,.,25,課時(shí)小結(jié),這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，大家需要注意以下幾點(diǎn):,1、若數(shù)列 滿足 可用累加法 來求通項(xiàng)公式；若數(shù)列 滿足 可用累乘法來求通項(xiàng)公式;若數(shù)列 滿足 可用構(gòu)造等差數(shù)列來求通項(xiàng)公