數(shù)理方程第四章 格林函數(shù)法課件

1、第四章格林函數(shù)法、分離變量法主要適用于解決各種邊界問題，傅立葉變換法一般適用于以無窮級數(shù)和無限積分的形式解決各種無限問題。格林函數(shù)法給出的解法是有限和有限的積分形式，對理論分析和研究很方便。1，PPT學(xué)習(xí)通訊，green函數(shù)也稱為點源或影響函數(shù)。球體名稱思想，意思，它表示特定邊界條件和/或初始值條帶，項目下的字段或影響。如果字段是從隨機(jī)分布的源生成的，則可以將其視為從大量點源生成的字段的疊加，因此，green可以在函數(shù)計算一次后計算所有源的字段。格林函數(shù)法以一致的方式處理各種數(shù)學(xué)物理方程，既可以研究常微分方程，也可以研究分微分方程；可以研究齊方、程和非均勻方程；邊界問題也可以研究，無限問題也可

2、以研究。其內(nèi)容很豐富，應(yīng)用很廣泛，很普通。本章主要用green函數(shù)求解拉普拉斯，方程的邊值問題。2，PPT學(xué)習(xí)交換，4.1 green公式及其應(yīng)用，4.1.1基本解決方案，拉普拉斯方程的球坐標(biāo)格式：(4.1.1)，方程(4.1.1)的球?qū)ΨQ解決方案，即和，該解在三維拉普拉斯方程研究中起重要作用的3，PPT學(xué)習(xí)交換，二維拉普拉斯方程3360，(4.1.2)，求方程(4.1.2)的半徑對稱解(不相關(guān)解)的三維拉普拉斯方程的基本解，解為任意常數(shù)，這個解是二維，la位置方程的基本解，4，PPT學(xué)習(xí)交換，4.1.2格林公式，高斯公式，減去格林的第一個公式，命令，減去上述兩個公式，格林的第二個公式，調(diào)和函

3、數(shù)：有二階部分微分，5，PPT學(xué)習(xí)交換，4.1.3調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式，綠色公式可以表示為調(diào)和函數(shù)的積分。函數(shù)：除，外的所有地方都滿足三維Laplace方程，因此，清理：函數(shù)，具有一階連續(xù)部分微分，在內(nèi)進(jìn)行調(diào)整時，區(qū)域內(nèi)任意點的調(diào)和函數(shù)的值通過積分表達(dá)式得出區(qū)域邊界的此函數(shù)的值和邊界的方法，6，PPT學(xué)習(xí)交換，函數(shù)，中有一階連續(xù)部分微分，滿足泊松方程的話，4.1.4調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)，性質(zhì)1。設(shè)定，區(qū)域，內(nèi)部調(diào)和函數(shù)，如果存在一階連續(xù)部分微分，其中外部法線方向。是的，只能在綠色公式中證明。注意事項：此性質(zhì)指示調(diào)整函數(shù)的法線精靈數(shù)沿區(qū)域邊界的積分為零。對于穩(wěn)定的溫度場，進(jìn)出物體界面的熱量相同。否則，

4、將無法保持熱的動態(tài)平衡，導(dǎo)致溫度場不穩(wěn)定。7，PPT學(xué)習(xí)交換，思考：Laplace方程N(yùn)eumann問題解答的必要條件是什么？特性2(平均定理)函數(shù)設(shè)置，面積，內(nèi)部調(diào)整，是，內(nèi)部隨機(jī)點，是，中心，a是半徑，球體，如果球完全在面積，內(nèi)部，證明：由調(diào)整函數(shù)的積分表示：因為，有特性3(極值原理)設(shè)定函數(shù)，區(qū)域，內(nèi)部調(diào)整，在，中連續(xù)的，不是常數(shù)的，只能在它的最大和最小，邊界到達(dá)。推斷1是唯一的解決方案，推斷2 Dirichlet問題，在、在、在、在、在、在、在、在、在、在。9，PPT學(xué)習(xí)通信，4.2格林函數(shù)，調(diào)整函數(shù)有330360的積分，并且由于Dirichlet邊值問題，這是唯一的解決方法，所以我希

5、望用積分表示這個問題的解決方案。但是，在積分表示法顯示中，u，邊界的值已知，但邊界的值未知。如果是，是否可以用作添加到邊界條件的值？因為此時唯一的解決方案已經(jīng)存在。那么消除的唯一方法就是引入格林函數(shù)的概念。顯然這不起作用，(4.2.1)，10，PPT學(xué)習(xí)交換，格林函數(shù)的物理背景，原點處的點電荷密度，點電荷密度，點電位，即點電荷密度，點電位，11，PPT學(xué)習(xí)交流，4.2.1 green函數(shù)的中存在一階連續(xù)部分微分的情況下存在Dirichlet問題，中存在一階連續(xù)部分微分的解，解是，(4.2.7)，存在，13，PPT學(xué)習(xí)交換，Poisson方程中的Dirichlet問題，中存在一階連續(xù)部分微分的解

6、，解是，要解決Dirichlet問題，請務(wù)必獲取Green函數(shù)(4.2.5)。其中v滿足特殊Dirichlet問題，(4.2.8)，由函數(shù)v確定的green函數(shù)稱為第一個邊值問題的green函數(shù)。14，PPT學(xué)習(xí)通信，4.2.2 green函數(shù)的特性，1 .green函數(shù)，剔除點，處處滿足，Laplace方程，時，其階數(shù)是相同的。2 .在邊界處，green函數(shù)始終為0:3 .在區(qū)域中設(shè)置不等式：(用極值原理證明)，4，(用green的第二個公式證明)，5，15，PPT學(xué)習(xí)交換，4.3 green函數(shù)的應(yīng)用，使用鏡像方法查找特殊區(qū)域的函數(shù)。4.3.1上、下空間中的綠色函數(shù)和Dirichlet問題

7、，上、下空間中的Dirichlet問題疑難解答，首先是上、下空間中的綠色函數(shù)，(4.3.1)，疑難解答，16，PPT學(xué)習(xí)交流，區(qū)域外部邊界的象這兩個電荷在區(qū)域中形成的電勢就是所需的格林函數(shù)。17，PPT學(xué)習(xí)通信，所以半空間的green函數(shù)是，(4.3.2)。因此，問題(4.3.1)的解決方案可能顯示為：平面z=0的外部法線方向是oz軸的負(fù)方向，因此問題(4.3.1)的解決方案解決了以下解決方案問題：18、PPT學(xué)習(xí)交換、和2。解決方案：19，PPT學(xué)習(xí)交換，4.3.2球域中的Green函數(shù)和Dirichlet問題。其中，(4.3.3)，即求解問題，求解球面域的Dirichlet問題是以坐標(biāo)原點

8、o為中心，以r為半徑的球面。在球區(qū)域中，綠色函數(shù)，20，PPT學(xué)習(xí)交換，在球內(nèi)部，綠色函數(shù)，M0點電荷功率，M1點電荷功率，21，PPT學(xué)習(xí)交流，因此問題(4.3.3)因為，其中是，和，之間的角度：(4.3.4)，這個公式叫做球面積的泊松積分公式。以球體坐標(biāo)表示，(4.3.5)，其中，是點，的球體坐標(biāo)，是，的上一點的坐標(biāo)，22，PPT學(xué)習(xí)交流，是與的夾角，所以，(4.3.6)，23，PPT學(xué)習(xí)交換，示例1。有半徑為r的均勻球體，上半球的溫度為0，求球的溫度分布。保持下半球溫度，解決方案：考慮解決問題，泊松積分公式(4.3.5)，24，PPT學(xué)習(xí)通信，由于此積分的計算困難，以下將考慮一些特殊位置

9、，溫度分布。例如，尋找球體垂直直徑上的溫度分布，(直徑的上半部分)，和(直徑的下半部分)。時，(參見4.3.6)，所以，例如，25，PPT學(xué)習(xí)交流，時，這種形式的解釋被方程式代替，直到出現(xiàn)特殊的解法。這種方法叫探測語法。28，PPT學(xué)習(xí)交流，示例1。尋找半徑為r的無限均勻圓柱體，已知圓柱體內(nèi)部沒有熱源，圓柱體、面的溫度分布為、圓柱體內(nèi)部溫度的穩(wěn)定分布。解決方案：圓柱體上的溫度與z無關(guān)，因此域內(nèi)的溫度也必須與z無關(guān)。原始問題被簡化，以解決圓域的la位置方程的第一側(cè)值問題。采用極坐標(biāo)，考慮了問題：(4.4.2)，根據(jù)設(shè)置，(4.4.1)，和(4.4.2)，的隨機(jī)性為3360，29，PPT學(xué)習(xí)交流，示例2為氣缸域，內(nèi)的電位u為給氣缸的30，PPT學(xué)習(xí)交換，示例3獲取由兩同心球形導(dǎo)體和，組成的電容器內(nèi)的電位，以保持內(nèi)部球體并接地外部球體。解決方案：考慮使用球體坐標(biāo)設(shè)置問題，可以通過邊界條件知道，球體的電位分布僅與r相關(guān)。也就是說，電勢函數(shù)是對稱的，電勢與r成反比，因此可以設(shè)定，31，PPT學(xué)習(xí)交換，很明顯，滿足(4.4.5)，因為，是這個三維Laplace方程的基本解。(4.4.6)，(4.4.5) (4.4.6)的解釋如下：如果您知道、32、PPT學(xué)習(xí)通訊、Poisson方程式的特殊解法，請使用函數(shù)代替4.4.2 Poisson方程式，將Pois