第一章地球橢球的基本公式

1、1,地圖投影Map Projections,蒲英霞 南京大學(xué)地理信息科學(xué)系 2009年9月,2,第一章 地球橢球體的基本公式,3,地球橢球體的形狀和大小 地球橢球面上的基本點(diǎn)、線、面和地理坐標(biāo) 子午圈、卯酉圈曲率半徑及平均曲率半徑 地球球半徑 經(jīng)線弧長 緯線弧長 地球橢球面上的梯形面積,4,大地水準(zhǔn)面與大地體（Geoid）,設(shè)想當(dāng)海水面完全處于靜止?fàn)顟B(tài)下，并延伸到大陸內(nèi)部，使它成為一個處處與鉛垂線（重力線）正交的連續(xù)的閉合曲面，這個曲面叫做大地水準(zhǔn)面。由它所包圍的球體，叫做大地體。,1.1 地球橢球體的形狀和大小,大地水準(zhǔn)面仍然不是一個規(guī)則的曲面，而是一個起伏不平的重力等位面，即地球物理表面。

2、,5,高程基準(zhǔn)是推算國家統(tǒng)一高程控制網(wǎng)中所有水準(zhǔn)高程的起算依據(jù)，它包括一個水準(zhǔn)基面和一個永久性水準(zhǔn)原點(diǎn)。其中水準(zhǔn)基面在理論上通常采用大地水準(zhǔn)面，實(shí)際上是取驗(yàn)潮站長期觀測結(jié)果計(jì)算出來的平均海面來確定的。 中國以青島港驗(yàn)潮站的長期觀測資料推算出的黃海平均海面作為中國的水準(zhǔn)基面，即零高程面。 中國水準(zhǔn)原點(diǎn)建立在青島驗(yàn)潮站附近，并構(gòu)成原點(diǎn)網(wǎng)。用精密水準(zhǔn)測量測定水準(zhǔn)原點(diǎn)相對于黃海平均海面的高差，即水準(zhǔn)原點(diǎn)的高程，定為全國高程控制網(wǎng)的起算高程。,大地水準(zhǔn)面的作用高程基準(zhǔn),6,地球橢球面與地球橢球體(Ellipsoid),選擇一個大小和形狀同大地水準(zhǔn)面極為接近的，以橢圓短軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)橢球面。這個旋轉(zhuǎn)橢球

3、面可代表地球的形狀，又稱為地球橢球面或參考橢球面（原面）。由它所圍成的球體，稱為地球橢球體或地球橢球。,7,地球橢球體的形狀和大小,扁 率(Flattening or Compression),第一偏心率(First Eccentricity),第二偏心率(Second Eccentricity),8,第一偏心率和第二偏心率之間的關(guān)系：,9,世界各國常用的地球橢球體數(shù)據(jù),10,1952年以前采用海福特橢球體 從1953年起采用克拉索夫斯基橢球體 1980年國家大地坐標(biāo)系采用的地球橢球體（1975年大地坐標(biāo)系）的參數(shù)：ae= 6378140，扁率為1：298.257 2008年7月1日起啟用20

4、00國家大地坐標(biāo)系，具體參數(shù)為： ae = 6378137，be=6356752.31414 , 扁率為1：298.257222101,我國采用的橢球體：,11,1980西安坐標(biāo)系,1954年北京坐標(biāo)系,2000國家大地坐標(biāo)系,12,1.2 地球橢球面的基本點(diǎn)、線、面和地理坐標(biāo),平行圈(parallel),子午圈(meridian) : 長半徑為ae，短半徑為be的橢圓,緯線(parallel),地理經(jīng)度(longitude),地理緯度,點(diǎn),兩極 (pole),線,地理緯度(latitude ),經(jīng)線(meridian),面,地理坐標(biāo),13,子午圈,卯酉圈,1.3 子午圈、卯酉圈曲率半徑及平均

5、曲率半徑,通過地面任一點(diǎn)的法線可以有無數(shù)法截弧，它們 與橢球面相交則形成無數(shù)法截弧，其中有一對互相垂直的法截弧，稱為主法截弧。主法截弧都是橢圓，其中一個是子午圈。,與子午圈垂直的另一個圈稱為卯酉圈。地球橢球面上的子午圈始終代表南北方向；卯酉圈除了兩個極點(diǎn)外，代表東西方向。,14,子午圈曲率半徑(radius of curvature in meridian)(M) ：地球橢球體表面上某點(diǎn)法截弧曲率半徑中最小的曲率半徑。,卯酉圈曲率半徑(radius of curvature in prime vertical)：地球橢球體表面上某點(diǎn)法截弧曲率半徑中最大的曲率半徑 (N) 。,15,子午圈曲率半

6、徑(M)和卯酉圈曲率半徑（N）之間的關(guān)系,在赤道上：,在極點(diǎn)上：,子午圈曲率半徑(M)和卯酉圈曲率半徑（N）除在兩極處相等外，在其它緯度相同的情況下，同一點(diǎn)上卯酉圈曲率半徑均大于子午圈曲率半徑。,16,曲率和曲率半徑,設(shè)一曲線的直角坐標(biāo)方程是y=f(x)，且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)。則該曲線的曲率為：,曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù)。,17,三軸平均球半徑：橢球體三個半軸取平均數(shù),等面積球半徑：球體的面積等于地球橢球體的面積,等體積球半徑：球體的體積等于地球橢球體的體積,1.4 地球球半徑,18,1.5 經(jīng)線弧長,設(shè)在經(jīng)線上有一點(diǎn)A，其緯度為1 ，當(dāng)A點(diǎn)沿經(jīng)線移動一無限小距離達(dá)

7、到A點(diǎn)時，緯度增加d，設(shè)A點(diǎn)的經(jīng)線曲率半徑為M，則經(jīng)線上這一微分弧AA為,如果求 1至2一段經(jīng)線弧長，可將上式積分，即,19,將子午圈曲率半徑M帶入上式，經(jīng)整理，最后得：,其中,同緯差的子午線弧長由赤道向兩極逐漸增長,緯差1的子午線弧長在赤道為110576m,在兩極為111695m。,20,1.6 緯線弧長,在地球橢球體上，緯圈是圓。若求緯線上兩點(diǎn)間經(jīng)差為（2-1）的一段弧長，可由下式求得：,同經(jīng)差的緯線弧長由赤道向兩極縮短,經(jīng)差1的緯線弧長在赤道為111321m，在緯度45處為78848m，在兩極為0。,21,1.7 地球橢球面上的梯形面積,設(shè)在地球橢球面上，有兩條無限靠近的經(jīng)線和兩條無限靠

8、近的緯線，其經(jīng)度為和+d ，緯度為 和d 。它們構(gòu)成了一個微分梯形ABCD（如圖所示）。這個微分梯形的邊長為經(jīng)線和緯線的微分弧長。因而有：,于是微分梯形的面積為：,經(jīng)度為1和2的經(jīng)線和緯度為1和2所圍成的球面梯形的面積，可由下式積分求得：,22,上式經(jīng)過積分并加以整理，得：,其中,23,實(shí)習(xí)作業(yè),計(jì)算緯度為3230N的緯圈上某一點(diǎn)的子午圈曲率半徑（M）、卯酉圈曲率半徑（N）和緯圈半徑（r）。 計(jì)算從赤道（0）至3230N的經(jīng)線弧長。 計(jì)算在3230N緯圈上從本初子午線（0）至11930E的緯線弧長。 計(jì)算球面梯形（30N35N，115E120E)的面積。 幾點(diǎn)注意事項(xiàng)： 比較克拉索夫斯基橢球體與2000國家大地坐標(biāo)系中所采用的橢球體之間的區(qū)別； 變量名稱的定義統(tǒng)一； MajorRadius(a), MinorRadius(b), Eccentricity(e) MeridianRadius(M), PrimeVerticalRadius(N), Parall