分析力學--第2章-動力學普遍方程和拉格朗日方程課件

1、第二章 動力學普遍方程和拉各朗日方程,擺長不定，如何確定其擺動規(guī)律？,混沌擺問題,多桿擺問題,其加速度為,令,R=P+T,則,ma = R = P + T,擺錘M在受到P、T的同時，將給施力體 （地心和繩子）一對應的反作用力， 反作用力的合力為,R=R= ma,此力是擺錘被迫作非慣性運動時產(chǎn)生的“反作用力”，稱為慣性力。,圖示圓錐擺擺長為l，擺錘M的質(zhì)量m，在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，速度為v，錐擺的頂角為2，擺錘 M 受力如圖。,若用Fg表示慣性力，則有 Fg = ma,設質(zhì)點M的質(zhì)量為m，受力有主動力F、 約束反力FN，加速度為a，則根據(jù)牛頓 第二定律，有,ma = F+FN,Fg= ma,

2、令,則,F+FN+Fg = 0,形式上的平衡方程,設質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成， 第i個質(zhì)點質(zhì)量為mi，受力有主動力Fi ，約束反力FNi ，加速度為ai ，假想地加上其慣性力Fgi=miai ，則根據(jù)質(zhì)點的達朗伯原理，F(xiàn)i 、 FNi與Fgi應組成形式上的平衡力系，即,Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，n）,MO(Fi) + MO( FNi ) + MO( Fgi ) =0,Fi + FNi +Fgi=0,質(zhì)點系的 達朗伯原理,即,或,1 .動力學普遍方程,設質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，第i個質(zhì)點質(zhì)量為mi， 受主動力Fi，約束反力FNi，加速度為ai，虛加上 其慣性力Fgi=miai,則

3、根據(jù)達朗伯原理， Fi 、FNi 與Fgi， 應組成形式上的平衡力系，即 Fi + FNi +Fgi= 0,若質(zhì)點系受理想約束作用，應用虛位移原理，有,或,動力學普遍方程,則動力學普遍方程的坐標分解式為,若,研究整個系統(tǒng)，進行受力分析；,解：,設桿的加速度為a，則,Fg1= m1a，,Fg2= m2a，,給連桿以平行于斜面向下 的虛位移s，,則相應地兩 輪有轉角虛位移，且,根據(jù)動力學普 遍方程，得:,于是,解得,(a) (b),2. 拉格朗日方程,n個質(zhì)點的系統(tǒng)受到k 個如下形式的完整約束fi ,又若系統(tǒng)中質(zhì)量為mj的第j個質(zhì)點受主動力Fj，則系統(tǒng)的運動滿足3n個方程如左，稱為第一類拉格朗日方

4、程，i稱為拉各朗日未定乘子。,*第一類拉格朗日方程用到的較少,拉格朗日,1736 1813,法籍 意大利人，數(shù)學家、 力學家、天文學家， 十九歲成為數(shù)學教授，與歐拉共同創(chuàng)立變分法，是十八世紀繼歐拉后偉大的數(shù)學家。,用q1，q2，qN表示系統(tǒng)的廣義坐標，第i個質(zhì)點質(zhì)量為mi， 矢徑為ri。則 ri= ri(q1，q2，qN，t),對上式求變分得,動力學普遍方程可寫成,其中,根據(jù)虛位移原理中廣義力與廣義虛位移的表示形式，有,因為系統(tǒng)為完整約束，廣義坐標相互獨立，所以廣義坐標 的變分qk是任意的，為使上式恒成立，須有,(k =1，2，N),廣義力,廣義慣性力,對式,中廣義慣性力進行變換：,將下列兩個

5、恒等式（有關證明請參閱教材P46）,（ 廣義速度）,得,所以,代入第一項中的括號內(nèi),代入第二項中的括號內(nèi),得到,這就是第二類拉格朗日方程，是一個方程組，該方程組 的數(shù)目等于質(zhì)點系的自由度數(shù)，各方程均為二階常微分 方程，揭示了系統(tǒng)動能的變化與廣義力之間的關系。,則廣義力Qk可寫成質(zhì)點系勢能表達的形式,于是，對保守系統(tǒng)，拉格朗日方程可寫成,用函數(shù)L表示系統(tǒng)的動能T與勢能V之差，即 L = TV,L稱為拉格朗日函數(shù)或動勢。,則在保守系統(tǒng)中，用動勢表示的拉格朗日方程的形式為,1.拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點系動力學問題 的普遍方程，是分析力學中的重要方程。,2.拉格朗日方程是標量方程，以動能為

6、方程的基本量，是用廣義坐標表示的運動微分方程。,3.拉格朗日方程形式簡潔，運用時只需要計算系統(tǒng)的動能； 對于保守力系統(tǒng)，只需要計算系統(tǒng)的動能和勢能。,1.靜力學：對受完整約束的多自由度的平衡問題，根據(jù)虛位移原理，采用廣義坐標，得到與自由度相同的一組獨立平衡方程。這種用分析方法建立的平衡條件，避開了未知的約束反力，使非自由質(zhì)點系的平衡問題的求解變得簡單。,2.動力學：對受完整約束的多自由度的動力學問題，可以根據(jù)能量原理，采用廣義坐標，推導出與自由度相同的一組獨立的運動微分方程。這種用廣義坐標表示的動力學普遍方程，稱為拉格朗日第二類方程，簡稱為拉格朗日方程。,1.確定系統(tǒng)的自由度數(shù)（廣義坐標數(shù)）；

7、,2.選廣義坐標；,3.計算系統(tǒng)的動能T，且用廣義速度來表示動能；,4.計算廣義力（對保守系統(tǒng)可計算勢能）；,5.代入拉格朗日方程即可得質(zhì)點系運動微分方程。,例1 位于水平面內(nèi)的行星輪機構中，質(zhì)量為m1的均質(zhì)細桿OA，可繞O軸轉動，另一端裝有質(zhì)量為m2、半徑為r的均質(zhì)小齒輪，小齒輪沿半徑為R的固定大齒輪純滾動。當細桿受力偶M的作用時，求細桿的角加速度 。,解：,研究整個系統(tǒng)，選廣義坐標，,則,系統(tǒng)的動能為,T = TOA+ T輪,又關于廣義坐標的廣義力為,代入Lagrange方程：,于是得,例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點懸在不計質(zhì)量的軟線上，線的另一端繞在半徑為R的固定圓柱上。設在平衡位置時，線的下垂部

8、分長度為l。求此擺的運動微分方程。,m,m,系統(tǒng)的動能為,選=0處為系統(tǒng)勢能的零勢點，則,V = mg（l+Rsin）（lR）cos,系統(tǒng)的動勢為,解：此擺為單自由度保守系統(tǒng)，選廣義坐標，,已求得,將式上式代入保守系統(tǒng)的拉氏方程,得擺的運動微分方程,例3 已知質(zhì)量為m1的三棱柱放在光滑水平面上，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱體O由靜止沿三棱柱的斜面向下純滾動。求三棱柱的加速度。,(設圓柱o的半徑為r),選x1、x2為廣義坐標，,圓柱中心的速度為,圓柱的角速度為,解：系統(tǒng)具有兩個自由度，,所以，系統(tǒng)的動能為,聯(lián)立解得：,代入L程：,系統(tǒng)關于廣義坐標x1 、x2的廣義力 分別為：,例4 圖示均質(zhì)桿AB質(zhì)量為

9、m1，長為3l，B端鉸接一質(zhì)量為m2，半徑為r的均質(zhì)圓盤。桿AB在O處為鉸支，兩彈簧的剛性系數(shù)均為k；桿在水平位置平衡。求系統(tǒng)的微幅振動的固有頻率。,解：系統(tǒng)具有兩個自由度，且為保守系統(tǒng)。,選1、2為廣義坐標，,則桿的角速度為,圓盤的角速度為,所以，系統(tǒng)的動能為,系統(tǒng)的勢能為,k,l,l,l,l,2,r,B,重力與振動方向相同，,系統(tǒng)受力如圖，,系統(tǒng)的動勢為,取平衡位置處為零勢點，,彈性力變形從平衡位置處計算，可以不計重力勢能！,代入保守系統(tǒng)的拉氏方程,可見，圓盤的角加速度為零！,圓盤作平動！系統(tǒng)的固有頻率為,得,所以,k,l,l,l,l,2,r,B,例5 桿OA與AB以鉸鏈相連，且OA=a，

10、AB=b，O懸掛于圓柱鉸鏈上， A、B處質(zhì)點質(zhì)量分別為 m1和m2，各處摩擦及兩桿質(zhì)量均不計，求系統(tǒng)微幅擺動的微分方程。,m1,b,a,m2,O,A,B,則,解 系統(tǒng)具有兩個自由度， 選1、2為廣義坐標，,系統(tǒng)動能為,系統(tǒng)作微幅擺動，,cos(21)1,系統(tǒng)受力如圖。,求系統(tǒng)關于廣義坐標2的廣義力：,給1，則,給2，則,求系統(tǒng)關于廣義坐標1的廣義力：,代入Lagrange方程：,化簡得,3. 動能的廣義速度表達式,質(zhì)點系的動能,由于r是廣義坐標及時間的函數(shù),所以akj, bk, c也是廣義坐標及時間的函數(shù)。,令,于是,動能T可表示為,再設,4. 拉格朗日方程的初積分(首次積分）,由于勢能函數(shù)

11、V 僅是廣義坐標和時間的函數(shù)，因此它是廣義速度的零次函數(shù)。設 L2 = T2， L1 = T1， L0 = T0 - V,拉格朗日函數(shù)可表示為 L = T V = T2 + T1 + T0 V,顯然，L2，L1和L0分別是廣義速度的二次齊次函數(shù)、一次齊次函數(shù)和零次齊次函數(shù)，得 L=L2+L1+L0,將主動力為有勢力時的拉格朗日方程式乘以 ，并將這N個式子相加，得,其中,帶入上式得：,當拉格朗日函數(shù)不顯含時間t（則 ），即 時有：,帶入上式得：,從而有：,E 為積分常數(shù),再根據(jù)歐拉齊次式定理(P56)有：,帶入上式得：,（2L2+L1）-（L2+L1+L0）= E,進一步得到：,這一結果稱為以拉

12、格朗日變量表示的廣義能量積分，又稱雅可比積分。,*由于約束是非定常的，系統(tǒng)的機械能并不守恒。*,為廣義能量,系統(tǒng)稱為廣義保守系統(tǒng)。,如果約束是定常的，則,可知 bk = 0,c = 0,因此得 T1=0，T0=0，,于是得 T=T2,廣義能量積分變?yōu)?這一結果稱為以拉格朗日變量表示的能量積分，上式即為保守系統(tǒng)的機械能守恒定律表示式。這就是能量積分的物理意義。,拉格朗日函數(shù)一般是廣義坐標、廣義速度和時間的函數(shù)。 若 L 中不顯含與某一廣義速度對應的廣義坐標，則該坐標稱為循環(huán)坐標，或稱可遺坐標。,即：,則：,所以：,其中Cj 為積分常數(shù)。上式稱為循環(huán)積分，或稱可遺積分。當然，系統(tǒng)有幾個循環(huán)坐標就有幾個循環(huán)積分。,由于L=T-V，而且勢能 V 中不顯含廣義速度，因此,其中 稱為廣義動量.,5. 碰撞問題的拉各朗日方程,由拉格朗日方程式來推導碰撞問題的拉各朗日方程,以 dt 乘上式, 并對碰撞時間 t 積分, 即,其中左邊第一項 表示在碰撞時間內(nèi)廣義動量 發(fā)生的變化.,左邊第二項是動能相對廣義坐標的改變量, 是有限量. 設它在碰撞時間內(nèi)的最大值為M, 根據(jù)中值定理,由于碰撞時間極短, 所以 與第一項相比可以略去.,為廣義力Qj 在碰撞時間內(nèi)的廣義沖量,以