高校(理工類)數(shù)學(xué)第4節(jié)羅倫級(jí)數(shù)教學(xué)(課堂講義)

1、4.4 羅倫/洛朗級(jí)數(shù),1、問題的引入 2、羅倫級(jí)數(shù)的概念 3、函數(shù)的羅倫展開式 4、典型例題 5、小結(jié)與思考,一、問題的引入,問題:,負(fù)冪項(xiàng)部分,正冪項(xiàng)部分,主要部分,解析部分,同時(shí)收斂,收斂,問題的引入,收斂半徑,收斂域,收斂半徑,收斂域,兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分,R,問題的引入,結(jié)論:,常見的特殊圓環(huán)域:,問題的引入,例如，,都不解析,而,2、問題：在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開成級(jí)數(shù)?,問題的引入,所以,也可以展開成級(jí)數(shù)：,二、羅倫級(jí)數(shù)的概念,討論下列形式的級(jí)數(shù)： （4.4.1） 其中，z0和cn(n=0,1,2,)都是常數(shù)。 把級(jí)數(shù)(4.4.1)分成兩部分來考慮，即

2、正冪項(xiàng)（包括常數(shù)項(xiàng)）部分： （4.4.2） 與負(fù)冪項(xiàng)部分 （4.4.3）,羅倫級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)(4.4.2)是一個(gè)通常的冪級(jí)數(shù)，它的收斂范圍是一個(gè)圓域。 設(shè)它的收斂半徑為R2，那么當(dāng)|zz0|R2時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。,羅倫級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)(4.4.3)是一個(gè)新型的級(jí)數(shù)。如果令=(zz0)-1，那么就得到 （4.4.4） 對(duì)變數(shù)來說，級(jí)數(shù)(4.4.4)是一個(gè)通常的冪級(jí)數(shù)。設(shè)它的收斂半徑為R，那么當(dāng)|R時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。因此，如果我們要判定級(jí)數(shù)(4.4.3)的收斂范圍，只需把用(zz0)-1代回去就可以了，如果令1/R=R1，那么當(dāng)且僅當(dāng)|R1；當(dāng)且僅當(dāng)|R時(shí)，|zz0|R1時(shí)收斂；當(dāng)|zz0|R1時(shí)發(fā)散。,羅倫級(jí)數(shù),

3、規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)級(jí)數(shù)(4.4.2)與(4.4.3)都收斂時(shí)，級(jí)數(shù)(4.4.1)收斂，并把級(jí)數(shù)(4.4.1)看這做級(jí)數(shù)(4.4.2)與(4.4.3)的和。,因此，當(dāng)時(shí)R1R2（如圖(a)），級(jí)數(shù)(4.4.2)與(4.4.3)沒有公共的收斂范圍。所以，級(jí)數(shù)(4.4.1)處處發(fā)散；,羅倫級(jí)數(shù),當(dāng)R1R2時(shí)（如圖(b)），級(jí)數(shù)(4.4.2)與(4.4.3)的共公收斂范圍是圓環(huán)R1|zz0|R2。所以，級(jí)數(shù)(4.4.1)在這圓環(huán)內(nèi)收斂，在這圓環(huán)外發(fā)散。,在圓環(huán)的邊界|zz0|=R1及|zz0|=R2上可能有些點(diǎn)收斂，有些點(diǎn)發(fā)散。 這就是說，級(jí)數(shù)(4.4.1)的收斂區(qū)域是圓環(huán)：R1|zz0|R2。在特殊情形

4、，圓環(huán)的內(nèi)半徑R1可能等于零，外半徑R2可能是無窮大。,羅倫級(jí)數(shù),冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)具有的許多性質(zhì)，級(jí)數(shù)(4.4.1)在收斂圓環(huán)內(nèi)也具有。例如，可以證明，級(jí)數(shù)(4.4.1)在收斂圓環(huán)內(nèi)其和函數(shù)是解析的，而且可以逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)。 由上節(jié)可知，在以為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)可用泰勒級(jí)數(shù)來表示。如果函數(shù)在以為中心的圓環(huán)內(nèi)解析，那末它是否能用級(jí)數(shù)來表示呢？,羅倫級(jí)數(shù),試先看下例。 函數(shù)f(z)=1/(z(1z)在z=0及z=1都不解析，但在圓環(huán)0|z|1及0|z1|1內(nèi)都是處處解析的。 先研究在圓環(huán)：0|z|1內(nèi)的情形。我們有 f(z)=1/(z(1z)=1/z+1/(1z) 上節(jié)例4-2-1中的，當(dāng)

5、|z|1時(shí)，有 所以 由此可見，f(z)在0|z|1內(nèi)是可以展開為級(jí)數(shù)的。,羅倫級(jí)數(shù),其次，在圓環(huán)：0|z1|1內(nèi)也可以展開為級(jí)數(shù)： 從以上的討論看來，函數(shù)f(z)=1/(z(1z)是可以展開為級(jí)數(shù)的，不過這時(shí)的級(jí)數(shù)，含有負(fù)冪的項(xiàng)罷了。據(jù)此推想起來，在圓環(huán)域R1|zz0|R2內(nèi)處處解析的函數(shù)f(z)，可能展開形如(4.4.1)的級(jí)數(shù)。,羅倫級(jí)數(shù),定理4-4-1 設(shè)f(z)在圓環(huán)域R1|zz0|R2內(nèi)處處解析，那么 其中， 這里C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡單閉曲線。,cn為洛朗系數(shù)。,定理4-4-1,證明 設(shè)z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點(diǎn)，在圓環(huán)域內(nèi)作以z0為中心的正向圓周K1與K2，K2的半徑R

6、大于K1的半徑r，且使z在K1與K2之間（ 如圖）,由柯西積分公式（第3章習(xí)題18）得 對(duì)于上式右端第一個(gè)積分來說，積分變量取在圓周K2上，點(diǎn)z在K2的內(nèi)部，所以 。,定理4-4-1,又由于|f()|在K2上連續(xù)，因此存在一個(gè)常數(shù)M，使得|f()|M。跟第3節(jié)中泰勒展開式的證明完全一祥，可以推得：,應(yīng)當(dāng)指出， 并不等于f(n)(z0)/n!，因?yàn)檫@時(shí)函數(shù)f(z)在K2內(nèi)不是處處解析的。,定理4-4-1,再來考慮第2個(gè)積分 。由于積分變量取在K1上，點(diǎn)z在K1的外部，所以 。因此就有,定理4-4-1,所以 其中，,定理4-4-1,現(xiàn)在我們要證明 在K1外部成立。令 顯然q是與積分變量無關(guān)的量，而

7、且0q1，因?yàn)閦在K1的外部，由于|f()|在K1上連續(xù)，因此存在一個(gè)常數(shù)M1，使得|f()|M，于是有：,定理4-4-1,因?yàn)?，所以 ，從而有 綜上所述，我們有 其中，,（4.4.5）,（4.4.7）,（4.4.6）,定理4-4-1,級(jí)數(shù)(4.4.5)的系數(shù)由不同的式子(4.4.6)與(4.4.7)表出。如果在圓環(huán)域內(nèi)取繞z0的任何一條簡單的閉曲線C，那末根據(jù)閉路變形定理，這兩個(gè)式子可用一個(gè)式子來表示： （4.4.8） 證畢,定理4-4-1說明,在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級(jí)數(shù).,1),2) 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的， 這就是 f (z) 的洛朗級(jí)數(shù).

8、,定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的一般方法.,羅倫級(jí)數(shù),在許多應(yīng)用中，往往需要把在某點(diǎn)z0不解析但在z0的鄰域內(nèi)解析的函數(shù)f(z)展開成級(jí)數(shù)，那末就利用羅倫級(jí)數(shù)來展開。 象泰勒級(jí)數(shù)一樣，羅倫級(jí)數(shù)在它的收斂圓環(huán)域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分。 另外，一個(gè)在某一圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是f(z)的羅倫級(jí)數(shù)。,級(jí)數(shù)(4.4.5)叫做函數(shù)f(z)在z0以為中心的圓環(huán)：R1|zz0|R2內(nèi)的羅倫（laurent）級(jí)數(shù)。,羅倫級(jí)數(shù),事實(shí)上，假定f(z)在圓環(huán)域R1|zz0|R2內(nèi)不論用何種方法已展成了由正、負(fù)冪項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)： ，并設(shè)C為圓環(huán)域內(nèi)任何一條正向簡單閉曲線

9、，為C上任一點(diǎn)，那末 以(z0)-p-1去乘上式兩邊，這里p為任一整數(shù)，并沿C的正向積分，得,羅倫級(jí)數(shù),從而 這就是(4.4.8)。,三、函數(shù)的羅倫級(jí)數(shù)展開式,羅倫展開式的系數(shù)cn用公式去計(jì)算是很繁重的。根據(jù)含正、負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)的唯一性，我們可以用別的方法，特別是代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開，這樣往往比較便利。,常用方法 : 1. 直接法 2. 間接法,1、直接展開法,利用定理公式計(jì)算系數(shù),然后寫出,缺點(diǎn): 計(jì)算往往很麻煩.,2、間接展開法,根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性, 可,用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 .,優(yōu)點(diǎn) : 簡捷 , 快速 .,在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)可以逐

10、項(xiàng)求導(dǎo)； 在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分； 在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù)。,級(jí)數(shù)展開舉例,例4-4-1 函數(shù)f(z)=1/(z1)(z2)在圓環(huán)域（1）0|z|1；（2）1|z|2；（3）2|z|內(nèi)是處處解析的。試把f(z)在這些域內(nèi)展開成羅倫級(jí)數(shù)。,解 先把f(z)用部分分式來表示 f(z)=1/(1z)+1/(2z) 然后利用第2節(jié)例4-2-1的結(jié)果：,例4-4-1,（1）在0|z|1內(nèi)（如圖(a），由于|z|1，從而|z/2|1。所以 （4.4.9） （4.4.10）,例4-4-1,因此，我們有 結(jié)果中不含有z的負(fù)冪項(xiàng)，原因在于f(z)=1/(z1)(z2)在z=0處

11、是解析的。,例4-4-1,（2）在11，所以(4.4.9)不成立，但此時(shí)|1/z|1，因此把1/(1z)另行展開如下 （4.4.11） 并由于此時(shí)|z|2，從而|z/2|1。所以(4.4.10)仍然有效。因此我們有,例4-4-1,（3）在22，所以(4.4.10)不成立，但此時(shí)|2/z|1，因此把1/(2z)另行展開如下 并因此時(shí)|1/z|2/z|1，所以(4.4.11)仍然有效。因此，我們有：,級(jí)數(shù)展開舉例,例4-4-2 把函數(shù) 在0|z|內(nèi)展開成羅倫級(jí)數(shù)。,解 函數(shù) 在0|z|內(nèi)是處處解析的。我們知道，ez在復(fù)平面被的展開式是 而1/z在0|z|解析，所以把上式中的z代換成1/z，兩邊同時(shí)

12、乘z3以，即得到所求的羅倫展開式,例4-4-2,級(jí)數(shù)展開舉例,例4-4-3 求積分 的值。,解 函數(shù)1/z(z+1)(z+4)在1|z|4內(nèi)處處解析，把它在圓環(huán)域內(nèi)展開成羅倫級(jí)數(shù)：,例4-4-3,所以)c1=1/12。由于z=3在圓環(huán)域1|z|4內(nèi)，根據(jù)（4.3.5）有,羅倫級(jí)數(shù),應(yīng)當(dāng)注意，給定了函數(shù)f(z)與平面內(nèi)一點(diǎn)z0以后，由于這個(gè)函數(shù)可以在以z0為中心的（由奇點(diǎn)隔開）不同圓環(huán)域內(nèi)解析，因而在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的羅倫展開式（包括泰勒展開式作為它的特例）。但不要把這種情形與羅倫展開式的唯一性相混淆。我們知道，所謂羅倫展開式的唯一性，是指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的羅倫展開水展開式是唯

13、一的。另外，在展開式的收斂圓環(huán)域的內(nèi)圓周上有f(z)的奇點(diǎn)，外圓周上也有f(z)的奇點(diǎn)，或者外圓周的半徑為無窮大。,羅倫級(jí)數(shù),例如函數(shù) 有兩個(gè)奇點(diǎn)z=0與z=i，分別在以i為中心的圓周：|zi|=1與|zi|=2上（如圖）。因此，f(z)在以i為中心的展開式有3個(gè)： （1）在|zi|1中的泰勒展開式； （2）在1|zi|2中的羅倫展開式； （3）在2|zi|中的羅倫展開式。,四、典型例題,例1,解,由定理知:,其中,例1,故由柯西古薩基本定理知:,由高階導(dǎo)數(shù)公式知:,例1,另解,本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),典型例題,例2,內(nèi)是處處解析的,試把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù).,解,例2,例2,由,且仍有,例2,此時(shí),例2,仍有,例2,說明:,例2,回答：不矛盾 .,朗展開式是唯一的),問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相矛盾?,(唯一性 : 指函數(shù)在某一個(gè)給