理論物理第五章-點和引言

1、,第二篇 運動學,第5章 點的運動,5-1 描述點運動的變矢量法,5-2 描述點運動的直角坐標法,5-3 描述點運動的弧坐標法,第5章 點的運動, 運動方程： 點在空間的位置表達為時間的函數(shù), 速度：點運動的快慢, 加速度：速度的變化,5-1 描述點運動的變矢量法,第5章 點的運動,5-1 描述點運動的變矢量法, 運動方程,運動方程變矢量法中，運動方程用點 在任意瞬時t的位置矢量r(t)表示。 r(t)簡 稱為位矢。,r = r (t),5-1 描述點運動的變矢量法, 速 度,t 瞬時: 矢徑 r(t), r(t) r (t t ) r(t),點在 t 瞬時的速度, t 時間間隔內矢徑的改變量

2、,t t 瞬時: 矢徑 r (t t ) 或r(t) r(t),5-1 描述點運動的變矢量法, 速 度,速 度 描述點在 t 瞬時運動快慢和運動方向。,速度的方向沿著運動軌跡的切線，指向與點的運動方向一致。,速度大小等于矢量的模。,速度的單位一般為M/S,5-1 描述點運動的變矢量法, 加 速 度, v(t) v (t t ) v(t),點在 t 瞬時的加速度：, t 時間間隔內速度的改變量,t t 瞬時:速度 v(t t ) 或v(t) v(t),加速度 描述點在 t 瞬時速度大小和方 向的變化率。,5-1描述點運動的變矢量法, 加 速 度,加速度的方向為 v的極限方向(即沿速度 矢端曲線的

3、切向),加速度大小等于矢量 a 的模。,加速度的單位一般為M/S2,5-2 描述點運動的直角坐標法,第5章 點的運動,x = f1(t),y = f2(t),z = f3(t), 運動方程,5-2描述點運動的直角坐標法,5-2 描述點運動的直角坐標法, 運動方程,點在空間的位置由3個方程確定：,x = f1(t),y = f2(t),z = f3(t), 速 度,(Oxyz)為定參考系,5-2 描述點運動的直角坐標法, 速 度,5-2 描述點運動的直角坐標法, 速 度, 點的速度矢量在直角坐標軸上的投影等于 點的相應坐標對時間的一階導數(shù)。,cos =vx /v cos =vy /v cos =

4、vz /v,5-2 描述點運動的直角坐標法, 加速度, 點的加速度矢量在直角坐標軸上的投影 等于點的相應坐標對時間的二階導數(shù)。,cos =ax /a cos =ay /a cos =az /a,5-2 描述點運動的直角坐標法, 描述點運動的直角坐標法,例題 1,橢圓規(guī)機構,求：P點的運動方程、速度、加速度。,例題 1,橢圓規(guī)機構，OA=AB=AC=L，BP=d,求：P點的運動方程、速度、加速度,1、建立固定參考系Oxy；,2、將所考察的點置于坐 標系中的一般位置；,3、根據(jù)已知的約束條件 列寫點的運動方程。,5-2 描述點運動的直角坐標法,1、建立固定參考系Oxy；,2、將所考察的點置于坐標系

5、中的一般位置；,3、根據(jù)已知的約束條件列寫點的運動方程。,P點的運動方程：,從中消去 t 得到P點的軌跡方程,解：,5-2 描述點運動的直角坐標法,例題 1,P點的運動方程：,P點的速度：,解：,cos =vx /v cos =vy /v cos =vz /v,5-2 描述點運動的直角坐標法,例題 1,P點的速度：,P點的加速度：,解：,cos =ax /a cos =ay /a cos =az /a,5-2 描述點運動的直角坐標法,例題 1,幾點討論,1、 建立運動方程時，一定要將所考察的點置于坐標系中的一般位置： 對于直線坐標，位于坐標軸的正向； 對于直角坐標系，位于坐標系的第一象限。,5

6、-2 描述點運動的直角坐標法,例題 1, 描述點運動的直角坐標法,幾點討論,2、關于P點運動的性質：何時作加速運動？何時作減速運動？,a0，P加速運動嗎？ a0，P減速運動嗎？ 請同學們自己給結論。,例題 1,5-3 描述點運動的弧坐標法,第5章 點的運動, 弧坐標要素與運動方程 密切面與自然軸系 速度 加速度, 弧坐標要素與運動方程,如果點沿著已知的軌跡運動，則點的運動方程，可用點在已知軌跡上所走過的弧長隨時間變化的規(guī)律描述。,弧坐標具有以下要素：,1、有坐標原點(一般在軌跡上任選一參考點作為坐標原點)；,2、有正、負方向(一般以點的運動方向作為正向)；,3、有相應的坐標系(自然軸系)。,5

7、-3 描述點運動的弧坐標法, 密切面與自然軸系,5-3 描述點運動的弧坐標法, 密切面與自然軸系, 密切面,當P點無限接近于 P點時，過這兩點的切線所組成的平面，稱為P點的密切面。,5-3 描述點運動的弧坐標法, 密切面與自然軸系, 由密切面得到的幾點結論, 空間曲線上的任意點都存在密切面，而且 是唯一的, 空間曲線上的任意點無窮小鄰域內的一段 弧長，可以看作是位于密切面內的平面曲線。, 曲線在密切面內的彎曲程度，稱為曲線的 曲率，用1/表示。, 曲線在垂直于密切面的平面內的曲率，稱 為第二曲率。,5-3 描述點運動的弧坐標法, 密切面與自然軸系,s -,s +, 自然軸系,自然軸系PTNB,

8、P空間曲線上的動點；,T 過動點P的密切面內 的切線，其正向指向 弧坐標正向；,N 密切面內垂直于切線 的直線，其正向指向 曲率中心；n,B 過動點P垂直于切線和主法線的直線，其正向由b= n確定。,5-3 描述點運動的弧坐標法, 密切面與自然軸系, 自然軸系,自然軸系的基矢量 b = n,直角坐標系的基矢量 k = i j,5-3 描述點運動的弧坐標法, 密切面與自然軸系, 自然軸系,自然軸系的特點,自然軸系跟隨 動點在軌跡曲線 上運動。,自然軸系能作運動參考系嗎？,5-3 描述點運動的弧坐標法, 速 度,5-3 描述點運動的弧坐標法, 描述點運動的弧坐標法, 速 度, 弧坐標中的速度表示,

9、其中,所以,的方向與P點的切線方向一致,而, 描述點運動的弧坐標法, 速 度, 弧坐標中的速度表示, 描述點運動的弧坐標法, 速 度, 弧坐標中的速度表示,點的速度只在切線軸上有投影，其等于弧坐標對時間的一階導數(shù)。, 描述點運動的弧坐標法, 速 度, 幾點討論,速度矢量 位于密切面內。, 描述點運動的弧坐標法, 加 速 度, 描述點運動的弧坐標法, 加 速 度,根據(jù)加速度的定義以及弧坐標中速度的表達式, 弧坐標中的加速度表示, 描述點運動的弧坐標法, 加 速 度, 弧坐標中的加速度表示,?, 描述點運動的弧坐標法, 加 速 度, 弧坐標中的加速度表示,當0時， 和 以及 同處于P點的密切面內，

10、這時， 的極限方向垂直于 ，亦即n方向。, 描述點運動的弧坐標法, 加 速 度, 弧坐標中的加速度表示,?, 描述點運動的弧坐標法, 加 速 度, 弧坐標中的加速度表示, 描述點運動的弧坐標法, 加 速 度, 弧坐標中的加速度表示, 加速度表示為自然軸系投影形式,切向加速度，沿切線方向,法向加速度，沿半徑指向曲率中心, 描述點運動的弧坐標法, 加 速 度, 描述點運動的弧坐標法, 加 速 度, 幾點討論,切向加速度 a 表示速度矢量大小的變化率；,直線運動,an=0, 描述點運動的弧坐標法, 加 速 度, 幾點討論, ab=0,表明加速度 a在副法線方向沒有分量；,加速度矢量 a 位于密切面內

11、。,勻速圓周運動,a =0,切向加速度 a 表示速度矢量大小的變化率；,法向加速度 an表示速度矢量方向的變化率；,第5章 點的運動,已知：滑槽半徑R=OA=0 .1m， =/8 sin2t，單位為 S，rad,求：1、B點的運動方程 2、t1=1/4s，t2=1s時的aB,解：,軌跡已知，定O點為弧坐標原點,B點的運動方程為：,S=R2 =/40 sin2t(m),例題 2,第5章 點的運動,求：1、B點的運動方程 2、t1=1/4 s，t2=1 s時的aB,解：,S=R2 =/40 sin2 t (m),v= 2/20cos2 t (m/s),a= -3 /10 sin2 t (m/s2)

12、,t1=1/4 s時(=45),an= v2 /R= 4/40cos22 t (m/s2),v=0,a= -3 /10 (m/s2),an=0,例題 2,第5章 點的運動,求：2、t1=1/4 s，t2=1 s時的aB,解：,v= 2/20cos2 t (m/s),a= -3 /10 sin2 t (m/s2),t1=1 s時(=0),an= v2 /R= 4/40cos22 t (m/s2),v= 2/20 (m/s),an= 4/40 (m/s2),a= 0,例題 2,第5章 點的運動,例題 3,已知：一點在xoy平面內以不變的加速度 a 運動， a=2 m/s2, 方向與x軸平行，初瞬時

13、點的速度為v0=2 m/s, 方向與y軸夾角=30 求：t=1 s時，該點軌跡的曲率半徑,思路：,a 積分求 v ， ？,與 v和 an相關,a與 a 求 an ， a ？,第5章 點的運動,例題 3,已知：一點在xoy平面內以不變的加速度 a 運動， a=2 m/s2, 方向與x軸平行，初瞬時點的速度為v0=2 m/s, 方向與y軸夾角=30 求：t=1 s時，該點軌跡的曲率半徑,解：,積分求 vx ， vy ， v,對 v 微分求 a, 結論與討論,第5章 點的運動, 結論與討論, 描述點運動的三種方法比較, 變矢量法結果簡明，具有概括性， 一般用于推導。, 直角坐標法實際問題中，一種廣泛

14、應用 的方法。, 弧坐標法應用于運動軌跡已知的情形，使 速度與加速度矢量大小的變化率 和方向變化率區(qū)分開來，物理意 義更加清晰。, 結論與討論,運動量在直角坐標中 與在自然軸坐標中的關系,v,a, 結論與討論, 點的運動學應用的兩類問題, 第一類問題：（微分運算）,已知運動規(guī)律，確定速度與加速度；, 第二類問題：（積分運算）,已知加速度以及運動的初始條件，確定 速度和運動規(guī)律 第一類問題的反運算。, 結論與討論, 速度、加速度的標量表示與矢量表示 的重要區(qū)別,速度大小,速度方向, 結論與討論, 速度、加速度的標量表示與矢量表示 的重要區(qū)別,速度大小的變化率,速度方向的變化率, 結論與討論, 點的勻變 速、勻速運動公式：,勻變 速： a =常量,v=v0+at,S=s0 +v0t+(1/2)at2,勻 速： v=常量，a=0,S=s0 +vt, 結論與討論,點以不變的加速度a沿任意曲線運動。 請判斷點的運動性質：,(A) 點在做勻變速運動,(C) 點運動性質不可判斷,(D) 點在做變速運動,(B) 點在做勻速運動, 結論與討論,點沿著一螺旋線自 外向內運動。點所走 過的弧長與時間的一 次方成正比。請判斷 點的運動性質：,(A) 越跑越快；,(C) 加速度越來越大；,(D) 加速度越來越小。,(B) 越跑越慢；,S = k t