高一數(shù)學(xué)人教A版必修3課件：1.3-2《秦九邵算法》

1、1.3 算法案例,第二課時,例2 求325，130，270三個數(shù)的最大公約數(shù).,因?yàn)?25=1302+65，130=652，所以325與130的最大公約數(shù)是65.,因?yàn)?70=654+10，65=106+5，10=52，所以65與270最大公約數(shù)是5.,故325，130，270三個數(shù)的最大公約數(shù)是5.,問題提出,1.輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)，是求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的優(yōu)秀算法，我們將算法轉(zhuǎn)化為程序后，就可以由計(jì)算機(jī)來執(zhí)行運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了古代數(shù)學(xué)與現(xiàn)代信息技術(shù)的完美結(jié)合.,2.對于求n次多項(xiàng)式的值，在我國古代數(shù)學(xué)中有一個優(yōu)秀算法，即秦九韶算法，我們將對這個算法作些了解和探究.,秦九韶算法,問題1設(shè)計(jì)

2、求多項(xiàng)式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當(dāng)x=5時的值的算法,并寫出程序.,x=5 f=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 PRINT f END,程序,點(diǎn)評:上述算法一共做了15次乘法運(yùn)算,5次加法運(yùn)算.優(yōu)點(diǎn)是簡單,易懂;缺點(diǎn)是不通用,不能解決任意多項(xiàng)多求值問題,而且計(jì)算效率不高.,知識探究(一):秦九韶算法的基本思想,思考2:在上述問題中，若先計(jì)算x2的值，然后依次計(jì)算x2x，(x2x)x，(x2x)x)x的值，這樣每次都可以利用上一次計(jì)算的結(jié)果，那么一共做了多少次乘法運(yùn)算和多少次加法運(yùn)算？,9次乘法運(yùn)算，5次加法運(yùn)算.,第二種做法與第一種做法相比,乘法的運(yùn)算次數(shù)減

3、少了,因而能提高運(yùn)算效率.而且對于計(jì)算機(jī)來說,做一次乘法所需的運(yùn)算時間比做一次加法要長得多,因此第二種做法能更快地得到結(jié)果.,思考3:能否探索更好的算法,來解決任意多項(xiàng)式的求值問題?,f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v0=2 v1=v0 x-5=25-5=5 v2=v1x-4=55-4=21 v3=v2x+3=215+3=108 v4=v3x-6=1085-6=534 v5=v4x+7=534

4、5+7=2677,所以,當(dāng)x=5時,多項(xiàng)式的值是2677.,這種求多項(xiàng)式值的方法就叫秦九韶算法.,5次乘法運(yùn)算，5次加法運(yùn)算.,思考4:利用最后一種算法求多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值，這個多項(xiàng)式應(yīng)寫成哪種形式？,f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+a2x+a1)x+a0 =(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0 = =(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.,思考4:對于f(x)=(anx+an-1)x+ an-2)x+a1)x+a0，由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，其算法步驟

5、如何？,第一步，計(jì)算v1=anx+an-1.,第二步，計(jì)算v2=v1x+an-2.,第三步，計(jì)算v3=v2x+an-3. ,第n步，計(jì)算vn=vn-1x+a0.,思考5:上述求多項(xiàng)式 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值的方法稱為秦九韶算法，利用該算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法運(yùn)算，多少次加法運(yùn)算？,思考6:在秦九韶算法中，記v0=an，那么第k步的算式是什么？,vk=vk-1x+an-k (k=1，2，n),n次乘法運(yùn)算， n次加法運(yùn)算,知識探究(二):秦九韶算法的程序設(shè)計(jì),思考1:用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，可以用什么邏輯結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法？其算法步驟如何設(shè)計(jì)？,第一

6、步，輸入多項(xiàng)式的次數(shù)n，最高次 項(xiàng)的系數(shù)an和x的值.,第二步，令v=an，i=n-1.,第三步，輸入i次項(xiàng)的系數(shù)ai.,第四步，v=vx+ai，i=i-1.,第五步，判斷i0是否成立.若是，則返回第 二步；否則，輸出多項(xiàng)式的值v.,思考2:該算法的程序框圖如何表示？,思考3:該程序框圖對應(yīng)的程序如何表述？,INPUT “n=”；n,INPUT “an=”；a,INPUT “x=”；x,v=an,i=n-1,WHILE i=0,INPUT “ai=”；b,v=v*x+b,i=i-1,WEND,PRINT y,END,理論遷移,例1 已知一個5次多項(xiàng)式為 用秦九韶算法求f(5)的值.,f(x)=

7、(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.,v1=55+2=27；,v2=275+3.5=138.5；,v3=138.55-2.6=689.9；,v4=689.95+1.7=3451.2；,v5=3451.25-0.8=17255.2.,所以f(5)= =17255.2.,變式：例2 已知一個5次多項(xiàng)式為 用秦九韶算法求當(dāng)x=5時，V1,V3的值及求f(5)的值做多少次乘法運(yùn)算.,解：f(x)=(5x+0)x+3.5)x+0)x+1.7)x-0.8.,v1=55+0=25；,v2=255+3.5=128.5；,v3=128.55+0=642.5；,v4=642.55+1.7=3214.2；,v5=3214.25-0.8=16070.8.,所以v1=25， v3=642.5 ，f(5)=16070.8.,例3 閱讀下列程序，說明它解決的實(shí)際問題是什么？,INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHLE n5 y=y+(n+1)*an n=n+1 WEND PRINT y END,求多項(xiàng)式 在x=a時的值.,小結(jié)作業(yè),評價一