09級(jí)結(jié)構(gòu)第一章3.ppt

1、1.3箱中粒子的schrodinger方程及其解,量子力學(xué)處理問(wèn)題的一般步驟： 根據(jù)已知條件寫(xiě)出體系V(r),寫(xiě)出哈密頓算符 寫(xiě)出薛定諤方程 求解方程，求出滿(mǎn)足邊界條件的解，得到體系的波函數(shù)和相應(yīng)的能量 對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論分析，作出適當(dāng)?shù)慕Y(jié)論,x,X=0,X=l,I,II,III,V(x)=0,區(qū)和區(qū),勢(shì)函數(shù)V(x)為,1.求解,V(x),V(x),區(qū),勢(shì)函數(shù)V(x)=0,其Schrdinger方程為,輔助方程,波函數(shù)在x=0處連續(xù),A=0,波函數(shù)在x=l處連續(xù),解,0,(1) 波函數(shù),2.討論,這里的n是待定的，,，因而導(dǎo)致,2，當(dāng)然取-1，-2亦可，但乘-1與不乘描述的是同一狀態(tài)，只是相位不同

2、。,，n可取1，,與,的圖象（為直觀(guān)地了解）,n=1,n=2,n=3,根據(jù)上式有下圖：, 圖形說(shuō)明的問(wèn)題,A)一維勢(shì)箱中粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)原則上有無(wú)數(shù)多種，因n=1，2 無(wú)限取值。,B)粒子的運(yùn)動(dòng)具有波動(dòng)性（有“+”“-”）。除,和,外，,出現(xiàn)，那如何過(guò)去的呢？這正是微觀(guān)粒子運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，舉例異功能一例，隨著n，節(jié)點(diǎn)，E。,之點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，此意味著電子不能在此處,C)粒子的運(yùn)動(dòng)具有幾率分布規(guī)律（,圖可看出）。, 不同能量的定態(tài)波函數(shù)具有正交性,定態(tài)波函數(shù)的正交性,如果對(duì)應(yīng)不同能量狀態(tài)的兩個(gè)波函數(shù),和,滿(mǎn)足下列,關(guān)系：,則稱(chēng),和,兩函數(shù)相互正交。,定態(tài)波函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)就是不同能量狀態(tài)的波函數(shù)滿(mǎn)足正交性

3、，如一維勢(shì)箱的波函數(shù)即為定態(tài)波函數(shù)就滿(mǎn)足正交關(guān)系。,表明不同能量的,具有正交性。,正交歸一關(guān)系,(2)能級(jí)公式的意義：,1.受束縛的粒子其能量必須是量子化的，即邊界條 件迫使能量量子化(一維勢(shì)箱中的量子化是解方程 自然得到的，而非象舊量子論是人為附加的.),2.相鄰兩能級(jí)差：,若將一個(gè)電子束縛于l =10-8cm的勢(shì)箱中，能級(jí)差為：,若將一個(gè)質(zhì)量為m=1g的物體束縛于l =1cm的勢(shì)箱中， 能級(jí)差為：,3.En0. n0, 否則,n=1基態(tài)最低能量：,稱(chēng)為“零點(diǎn)能”表明運(yùn)動(dòng)的永恒性,4.對(duì)于給定的n：,離域效應(yīng)粒子活動(dòng)范圍擴(kuò)大，粒子能量降低的效應(yīng),如丁二烯的共軛體系能量低.,（4）沒(méi)有經(jīng)典的運(yùn)

4、動(dòng)軌道，只有幾率分布；,受力場(chǎng)束縛的微觀(guān)粒子具有的共同特性 量子效應(yīng)：,(5）波函數(shù)可為正值、負(fù)值和零值， 為零值的節(jié)點(diǎn)越多，能量越高。,（1）粒子可存在多種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；,（2）能量量子化；,（3）存在零點(diǎn)能；,隨著粒子質(zhì)量m的增大，箱子的長(zhǎng)度l 增大，量子效應(yīng)減弱。,當(dāng)m、l 增大到宏觀(guān)的數(shù)量級(jí)時(shí)，量子效應(yīng)消失，體系變?yōu)?宏觀(guān)體系，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律又可用經(jīng)典力學(xué)描述。,結(jié)論：,箱中粒子的各種物理量,只要知道了，體系中各力學(xué)量便可用各自的算符作用于而得到： （1）粒子在箱中的平均位置,粒子的平均位置在勢(shì)箱的中央，說(shuō)明它在勢(shì)箱左、右兩個(gè)半邊出現(xiàn)的幾率各為0.5，即 圖形對(duì)勢(shì)箱中心點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)的。,（2）粒子

5、動(dòng)量的x軸分量px,（3）粒子的動(dòng)量平方px2值,一維試箱模型應(yīng)用示例,丁二烯的離域效應(yīng)： E定=22h28ml2=4E1 E離=2h2/8m(3l)2+222h2/8m(3l)2 =(10/9)E1 勢(shì)箱長(zhǎng)度的增加，使分子能量降低，更穩(wěn)定。,花菁燃料的吸收光譜 R2N(CHCH)r CHN+R2,勢(shì)箱總長(zhǎng)L248r+565pm，共有2r22個(gè)電子，基態(tài)時(shí)需占r+2個(gè)分子軌道，當(dāng)電子由第（r+2）個(gè)軌道躍遷到第（r+3）個(gè)軌道時(shí)，需吸收光的頻率為=E/h=(h/8mL2)(r+3)2-(r+2)2=(h/8mL2)(2r+5), 由=c/，=8mL2c/(2r+5)h,r 計(jì)算 實(shí)驗(yàn) 311.

6、6 309.0 412.8 409.0 514.0 511.0,說(shuō)明此體系可近似看做一維勢(shì)箱。,x,y,z,a,b,c,一粒子在邊長(zhǎng)為a,b,c的勢(shì)箱中運(yùn)動(dòng)，取箱的一角為坐標(biāo)原點(diǎn)，數(shù)個(gè)箱放在第一象限類(lèi)內(nèi)，其勢(shì)函數(shù)滿(mǎn)足：,箱外= 0,3.三維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子,(3.5.1),(3.5.2),(3.5.3),(3.5.4),(3.5.6),零點(diǎn)能:,基態(tài)：,如a=b=c，則為立方勢(shì)箱，有,(3.5.7),較低能級(jí)的一些態(tài),量子數(shù)不同的態(tài)可以有相同的能量，例如211，121，112為三個(gè)不同的態(tài)，對(duì)應(yīng)有三個(gè)不同的波函數(shù)，但他們有相同的能量，稱(chēng)之為簡(jiǎn)并。,簡(jiǎn)并性一般地與對(duì)稱(chēng)性有關(guān)。,一維問(wèn)題中不出現(xiàn)

7、簡(jiǎn)并性。,在一立方勢(shì)箱中，,的能級(jí)數(shù)和狀態(tài)數(shù)分別是(勢(shì)箱,寬度為l， 粒子質(zhì)量為m)：,(A) 5，11 (B) 6，17 (C) 5，14 (D) 6，14,討論簡(jiǎn)并性,假設(shè)有n個(gè)獨(dú)立的函數(shù)1，2，3n屬于簡(jiǎn)并 本征函數(shù)，本征值為，試問(wèn)：由它們?nèi)我獾木€(xiàn)性 組合形成的新函數(shù)是否仍是原算符的本征函數(shù)？,定理：簡(jiǎn)并本征函數(shù)的任意線(xiàn)性組合仍是原算符 的具有同樣本征值的本征函數(shù)。,證明如下：,(3.6.1),對(duì)任一簡(jiǎn)并能級(jí),通過(guò)線(xiàn)性組合可構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)波函數(shù),其都是的本征函數(shù)，但我們感興趣的只是線(xiàn)性獨(dú)立的波函數(shù),線(xiàn)性獨(dú)立？,為線(xiàn)性獨(dú)立函數(shù),具有相同能量的線(xiàn)形獨(dú)立本征函數(shù)的數(shù)目為能級(jí)簡(jiǎn)并度。,1.4 The

8、 Tunneling Effect,1.實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象 NH3、PH3、AsH3、CH3的瓦爾登轉(zhuǎn); 低于121K時(shí)，KH2PO4為鐵電體材料（自發(fā)極化作用），具有優(yōu)良的非線(xiàn)性光學(xué)材料，是傳統(tǒng)的，應(yīng)用廣泛的功能材料; 基因工程中的DNA編碼，堿基配對(duì)中的氫鍵. 2.隧道效應(yīng) 質(zhì)量為m的粒子，其勢(shì)函數(shù)V（x）如下,N:,H,H,H,:N,H,H,H,x,I,II,III,0,x1,x2,V0,V0E（粒子的能量）,可見(jiàn),穿透系數(shù)與,、k1、及a有關(guān),當(dāng)V0,E確定后，,當(dāng)V0，E，a確定后，隨m的減小而增加。象這樣其能量不足以翻越勢(shì)壘的粒子仍可穿過(guò)該勢(shì)壘的現(xiàn)象稱(chēng)為量子力學(xué)隧道效應(yīng)。,當(dāng)a=0.1nm（

9、原子線(xiàn)度）， 增大 a=1.0nm ， 很小,掃描隧道顯微鏡工作原理示意圖,經(jīng)典理論和量子理論的差別,掃描隧道顯微鏡,48個(gè)鐵原子在銅表面排列成直徑為14.2 納米的圓形量子?xùn)艡?用掃描隧道顯微鏡的針尖將原子一個(gè)個(gè)地排列成漢字，漢字的大小只有幾個(gè)納米,Structure of Sodium Chloride,Images of NaCl obtained using Scanning Tunneling Microscope,本章結(jié)束,七、練習(xí)題,1、考慮一量子數(shù)為n，在長(zhǎng)為l 的一維勢(shì)箱中運(yùn)動(dòng)的粒子：,1)、求在箱的左端1/4區(qū)找到粒子的幾率;,2)、n為何值時(shí)此幾率最大？,3)、當(dāng)n時(shí)，幾

10、率的極限為何？說(shuō)明什么道理？,2、若把苯分子中的電子視為在邊長(zhǎng)為280pm的二維勢(shì)箱中運(yùn)動(dòng),1)、計(jì)算最低的三個(gè)能級(jí)值及簡(jiǎn)并度(E1、E2、E3)；,2)、將6個(gè)電子分配到最低可進(jìn)入的能級(jí)軌道；,3)、計(jì)算苯中電子從E2能級(jí)躍遷到E3態(tài)所吸收的光的波長(zhǎng)。,解 1：,2)、n=3時(shí)，幾率最大，其值為：1/4+1/6=0.3031,3)、n時(shí)，幾率的極限值為1/4，即:,結(jié)果說(shuō)明：,玻爾對(duì)應(yīng)原理：即當(dāng)n時(shí)，E突破邊界限制條件， 能量非量子化，量子力學(xué)還原為經(jīng)典力學(xué)，即隨著粒子 能量的增加，粒子在箱內(nèi)的分布趨于平均化（用經(jīng)典力 學(xué)處理一維箱中粒子，在左端1/4區(qū)的概率正是1/4）。,解 2：,1)、,則：,nx=ny=1 簡(jiǎn)并度：g=1,nx=1 ny=2 nx=2 ny=1,簡(jiǎn)并度：g=2,nx=