n維向量與向量空間.ppt

1、第三章 n維向量與向量空間,第一節(jié)n維向量,第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性,第三節(jié)向量組間的關(guān)系與極大線性無關(guān)組,第四節(jié)向量組的秩及其與矩陣的秩的關(guān)系,第五節(jié)向量空間,1 n維向量,用小寫的粗黑體字母來表示向量 。,返回,上一頁,下一頁,數(shù)a1,a2,an稱為這個向量的分量。ai稱為這個向量的第i個分量或坐標(biāo)。分量都是實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量；分量是復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量。,n維行向量可以看成1n矩陣，n維列向量也?？闯蒼1矩陣。,設(shè)k和l為兩個任意的常數(shù)， 為任意的n維向量，其中,返回,上一頁,下一頁,定義2 如果 和 對應(yīng)的分量都相等，即 ai=bi，i=1,2,n 就稱這兩個向量相等，記為 。,定義

2、3 向量 （a1+b1,a2+b2,an+bn） 稱為 與 的和，記為 。稱向量 （ka1,ka2,kan） 為 與k的數(shù)量乘積，簡稱數(shù)乘，記為 。,返回,上一頁,下一頁,定義4 分量全為零的向量 （0，0，0） 稱為零向量，記為0。 與-1的數(shù)乘 （-1） =（-a1,-a2,-an） 稱為 的負(fù)向量，記為 。,向量的減法定義為,向量的加法與數(shù)乘具有下列性質(zhì) ：,返回,上一頁,下一頁,滿足（1）（8）的運(yùn)算稱為線性運(yùn)算。,返回,上一頁,下一頁,返回,上一頁,下一頁,當(dāng) 是行向量組時，它們線性相關(guān)就是指有非零的1s矩陣（k1,k2,ks）使,返回,上一頁,下一頁,2 向量組的線性相關(guān)性,當(dāng) 為

3、列向量時，它們線性相關(guān)就是指有非零的s1矩陣 ，使,返回,上一頁,下一頁,解 假設(shè)存在一組常數(shù)k1,k2,kn 使得,所以,即 k1=k2=kn=0,因此 線性關(guān)。,返回,上一頁,下一頁,例5 設(shè)向量組 線性無關(guān)， ， ， ，試證向量組 也 線性無關(guān)。,證 假設(shè)存在一組常數(shù)k1,k2,k3 使得,由 線性無關(guān)，故有,由于滿足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0,所以 線性無關(guān)。,返回,上一頁,下一頁,也可用矩陣形式表示：,返回,上一頁,下一頁,若所給向量均為行向量，則有,若所給向量均為列向量，則有,返回,上一頁,下一頁,定理1 向量組 （s2）線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量能

4、由其他向量線性表出。,證 充分性：設(shè) 中有一個向量能由其他向量線性表出，不妨設(shè),所以 線性相關(guān)。,必要性：如果 線性相關(guān)，就有不全為零的數(shù)k1,k2,ks，使,設(shè)k10,那么,即 能由 線性表出。,返回,上一頁,下一頁,例如，向量組,是線性相關(guān)的，因?yàn)?對于只有兩個向量a，b的向量組，由定理可得，a， b線性相關(guān)的充分必要條件是a， b的對應(yīng)分量成比例。,返回,上一頁,下一頁,定理2 設(shè)向量組 線性無關(guān)，而向量組 線性相關(guān)，則 能由向量組 線性表出，且表示式是唯一的。,證 由于 線性相關(guān)，就有不全為零的數(shù)k1,k2, kt,k，使,即 可由 線性表出。,由 線性無關(guān)有k0。（否則， 線性相關(guān)）

5、,返回,上一頁,下一頁,設(shè),為任意兩個表達(dá)式。,因此表示式是唯一的。,返回,上一頁,下一頁,定理3 有一個部分組線性相關(guān)的向量組一定線性相關(guān)。,設(shè)這個部分組為 。則有不全為零的數(shù)k1,k2, ,kr，使,證 設(shè)向量組 有一個部分組線性相關(guān)。,因此 也線性相關(guān)。,推論 含有零向量的向量組必線性相關(guān)。,返回,上一頁,下一頁,證 對任意的常數(shù)k1,k2,ks，,返回,上一頁,下一頁,上兩式只是各分量的排列順序不同，因此,當(dāng)且僅當(dāng),所以 和 有相同的線性相關(guān)性。,返回,上一頁,下一頁,證 對列向量來證明定理。,返回,上一頁,下一頁,利用(1)式,用反證法容易證明(2)式也成立。,因此, 也線性相關(guān),即

6、(1)式成立。,如果 線性相關(guān),就有一個非零的s1矩陣X,使,返回,上一頁,下一頁,推論 n階方陣A可逆的充分必要條件是A的行（列）向量組線性無關(guān).,推論 n+1個n維向量必線性相關(guān)。,定理7 當(dāng)mn時,m個n維向量必線性相關(guān)。,返回,上一頁,下一頁,定理6 設(shè)A是一個n階方陣,則A的行（列）向量組線性相關(guān)的充分必要條件是,定義7 如果向量組 中每個向量都可以由 線性表出，就稱向量組 可由 線性表出，如果兩個向量組互相可以 線性表出，就稱它們等價。,每一個向量組都可以經(jīng)它自身線性表出。 同時，如果向量組 可以經(jīng)向量組 線性表出，向量組 可以經(jīng)向量組 線性表出，那么向量組 可以經(jīng)向量組 線性表出

7、。,返回,上一頁,下一頁,3 向量組間的關(guān)系與極大線性無關(guān)組,向量組 中每一個向量都可以經(jīng)向量組 線性表出。因而，向量組 可以經(jīng)向量組 線性表出。,如果,有,返回,上一頁,下一頁,向量組的等價具有下述性質(zhì)：,(1)反身性：向量組 與它自己等價；,(2)對稱性:如果向量組 與 等價，那么 也與 等價。,(3)傳遞性:如果向量組 與 等價，而向量組 又與 等價,那么 向量組 與 等價,返回,上一頁,下一頁,定理8 如果向量組 可由 線性表出且rs，那么 線性相關(guān)。,推論1 如果向量組 ，可由向量組 線性表出，且 線性無關(guān)，那么 。,推論2 兩個線性無關(guān)的等價的向量組必含有相同個數(shù)的向量。,返回,上

8、一頁,下一頁,定義8 一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關(guān)組，如果這個部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這向量組中向這部分組任意添一個向量（如果還有的話），所得的部分組都線性相關(guān)。,例10 在向量組中， 為它的一個極大線性無關(guān)組。,首先，由 與 的分量不成比例， 線性無關(guān)。,再添入 以后，由 可知所得部分組線性相關(guān)，不難驗(yàn)證 也為一個極大線性無關(guān)組。,返回,上一頁,下一頁,定義8 一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關(guān)組，如果這個部分組本身是線性無關(guān)的，并且這向量組中任意向量都可由這部分組線性表出。,向量組的極大線性無關(guān)組具有的性質(zhì)：,性質(zhì)1 一向量組的極大線性無關(guān)組與向量組本身等價。,性質(zhì)

9、2 一向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組都等價。,性質(zhì)3 一向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個數(shù)的 向量。,返回,上一頁,下一頁,定義9 向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩。,如果向量組 能由向量組 線 性表出，那么 的極大線性無關(guān)組可由 的極大線性無關(guān)組線性表出。因此 的秩不超過 的秩。,定理9 向量組的任意線性無關(guān)的部分組都可擴(kuò)充為一個極大線性無關(guān)組。,推論 秩為r的向量組中任意含r個向量的線性無關(guān)的部分組都是極大線性無關(guān)組。,返回,上一頁,下一頁,4 向量組的秩及其與矩陣的秩的關(guān)系,返回,上一頁,下一頁,引理 設(shè) 是r個n維列向量 , 則 線性無關(guān)的充分必要條件是矩 陣

10、至少存在一個r階子式不為零.,定理10 設(shè)A為 矩陣,則矩陣A的秩等于它的列向量組的秩,也等于它的行向量組的秩.,矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩,矩陣A的列向量組的秩稱為矩陣A的列秩. 推論 矩陣A的行秩與列秩相等.,返回,上一頁,下一頁,例13 已知向量組 的秩為2,確定的值.,解 考察矩陣,由條件知 ,從而A的所有3階子式均為0.,故由,5 向量空間,定義10 設(shè)V為n維向量的集合，如果V非空且對于向量加法及數(shù)乘運(yùn)算封閉，即對任意的 和常數(shù)k都有 就稱集合V為一個向量空間。,例14 n維向量的全體Rn構(gòu)成一個向量空間。3維向量可以用有向線段來表示，所以R3也可以看作以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的

11、有向線段的全體。,例15 n維零向量所形成的集合0構(gòu)成一個向量空間。,返回,上一頁,下一頁,定義11 如果V1和V2都是向量空間且 ,就稱V1是V2的子空間。,如果向量空間V沒有基，就說V的維數(shù)為0，0維向量空間只含一個零向量。,返回,上一頁,下一頁,如果把向量空間V看作向量組，那么V的基就是它的極大線性無關(guān)組，V的維數(shù)就是它的秩。當(dāng)V由n維向量組成時，它的維數(shù)不會超過n。,返回,上一頁,下一頁,定義13 設(shè) 是r維向量空間V的一個基,則對于任一向量 ,有且僅有一組數(shù) ,使,有序數(shù)組 稱為 在基 下的坐標(biāo),記為 .,解 由,知 線性無關(guān)， 因此 是R3的一個基。,返回,上一頁,下一頁,且存在有限個