高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.1 平面向量的實際背景及基本概念學(xué)案 新人教A版必修4

1、2.1預(yù)習(xí)課本P7476，思考并完成以下問題(1)向量是如何定義的？向量與數(shù)量有什么區(qū)別？ (2)怎樣表示向量？向量的相關(guān)概念有哪些？ (3)兩個向量(向量的模)能否比較大??？ (4)如何判斷相等向量或共線向量？向量與向量是相等向量嗎？ (5)零向量與單位向量有什么特殊性？0與0的含義有什么區(qū)別？ 1向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量稱為向量(2)向量的表示：表示法幾何表示：用有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，即用有向線段的起點、終點字母表示，如，字母表示：用小寫字母a，b，c，表示，手寫時必須加箭頭點睛向量可以用有向線段表示，

2、但向量不是有向線段向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了起點和終點的線段2向量的長度(或稱模)與特殊向量(1)向量的長度定義：向量的大小叫做向量的長度(2)向量的長度表示：向量，a的長度分別記作：|，|a|.(3)特殊向量：長度為0的向量為零向量，記作0；長度等于1個單位的向量，叫做單位向量點睛定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒有確定方向我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同3向量間的關(guān)系(1)相等向量：長度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，記作：ab.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共線向量；a平行于b，記作ab；規(guī)定零向

3、量與任一向量平行點睛共線向量僅僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩個向量能比較大小()(2)向量的模是一個正實數(shù)()(3)單位向量的模都相等()(4)向量與向量是相等向量()答案：(1)(2)(3)(4)2有下列物理量：質(zhì)量；溫度；角度；彈力；風(fēng)速其中可以看成是向量的個數(shù)()A1 B2C3D4答案：B3已知向量a如圖所示，下列說法不正確的是()A也可以用表示B方向是由M指向NC始點是M D終點是M答案：D4.如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形，則與相等的向量有_答案：，向量的有關(guān)概念典例有下列說法：向量和向量

4、長度相等；方向不同的兩個向量一定不平行；向量是有向線段；向量00，其中正確的序號為_解析對于，|AB，故正確；對于，平行向量包括方向相同或相反兩種情況，故錯誤；對于，向量可以用有向線段表示，但不能把二者等同起來，故錯誤；對于，0是一個向量，而0是一個數(shù)量，故錯誤答案(1)判斷一個量是否為向量應(yīng)從兩個方面入手是否有大?。皇欠裼蟹较?2)理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等單位向量不一定相等，易忽略向量的方向活學(xué)活用有下列說法：若向量a與向量b不平行，則a與b方向一定不相同；若向量，滿足|，且與同向，則；若|a|b|，則a，b的長度相等且方向相同或相反；由于零向

5、量方向不確定，故其不能與任何向量平行其中正確說法的個數(shù)是()A1B2C3 D4解析：選A對于，由共線向量的定義，知兩向量不平行，方向一定不相同，故正確；對于，因為向量不能比較大小，故錯誤；對于，由|a|b|，只能說明a，b的長度相等，確定不了它們的方向，故錯誤；對于，因為零向量與任一向量平行，故錯誤向量的表示典例在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：，使|4，點A在點O北偏東45；，使|4，點B在點A正東；，使|6，點C在點B北偏東30.解(1)由于點A在點O北偏東45處，所以在坐標(biāo)紙上點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等又|4，小方格邊長為1，所以點A距

6、點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點A位置可以確定，畫出向量如圖所示(2)由于點B在點A正東方向處，且|4，所以在坐標(biāo)紙上點B距點A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點B位置可以確定，畫出向量如圖所示(3)由于點C在點B北偏東30處，且|6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點C距點B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為35.2，于是點C位置可以確定，畫出向量如圖所示用有向線段表示向量的方法用有向線段表示向量時，先確定起點，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點必要時，需依據(jù)直角三角形知識求出向量的方向(即夾角)或長度(即模)，選擇合適的比例關(guān)系作出向量活學(xué)活用一輛汽車從A點

7、出發(fā)向西行駛了100千米到達B點，然后改變方向，向北偏西40方向行駛了200千米到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達D點作出向量，.解：如圖所示共線向量或相等向量典例如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且a，b，c.(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？(2)與a共線的向量有哪些？(3)請一一列出與a，b，c相等的向量解(1)與a的長度相等、方向相反的向量有，.(2)與a共線的向量有，.(3)與a相等的向量有，；與b相等的向量有，；與c相等的向量有，.一題多變1變設(shè)問本例條件不變，試寫出與向量相等的向量解：與向量相等的向量有，.2變條件，變設(shè)問在本例中，若|a|1，則

8、正六邊形的邊長如何？解：由正六邊形性質(zhì)知，F(xiàn)OA為等邊三角形，所以邊長AF|a|1.尋找共線向量或相等向量的方法(1)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量(2)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1下列說法正確的是()A向量就是所在的直線平行于所在的直線B長度相等的向量叫做相等向量C若ab，bc，則acD共線向量是在一條直線上的向量解析：選C向量包含所在的直線與所在的直線平行和重合兩種情況，故A錯；相等向量不僅要求長度相等

9、，還要求方向相同，故B錯；C顯然正確；共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故D錯2.如圖，在圓O中，向量，是()A有相同起點的向量B共線向量C模相等的向量D相等的向量解析：選C由圖可知，是模相等的向量，其模均等于圓的半徑，故選C.3向量與向量共線，下列關(guān)于向量的說法中，正確的為()A向量與向量一定同向B向量，向量，向量一定共線C向量與向量一定相等D以上說法都不正確解析：選B根據(jù)共線向量定義，可知，這三個向量一定為共線向量，故選B.4.如圖，在ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，圖中與平行的向量有()A1個B2個C3個 D4個解析：選C根據(jù)向量的基本概念可知

10、與平行的向量有，共3個5已知向量a，b是兩個非零向量，分別是與a，b同方向的單位向量，則下列各式正確的是()A B或C1 D|解析：選D由于a與b的方向不知，故與無法判斷是否相等，故A、B選項均錯又與均為單位向量|，故C錯D對6已知|1，|2，若ABC90，則|_.解析：由勾股定理可知，BC，所以|.答案：7設(shè)a0，b0是兩個單位向量，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號)a0b0；a0b0；|a0|b0|2；a0b0.解析：因為a0，b0是單位向量，|a0|1，|b0|1，所以|a0|b0|2.答案：8給出下列四個條件：ab；|a|b|；a與b方向相反；|a|0或|b|0.其中能使ab成立的條件是

11、_(填序號)解析：若ab，則a與b大小相等且方向相同，所以ab；若|a|b|，則a與b的大小相等，而方向不確定，因此不一定有ab；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a與b方向相反，則有ab；零向量與任意向量平行，所以若|a|0或|b|0，則ab.答案：9.如圖，O是正方形ABCD的中心(1)寫出與向量相等的向量；(2)寫出與的模相等的向量解：(1)與向量相等的向量是.(2)與的模相等的向量有：，.10.一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30方向行駛2千米到D地，然后從D地沿北偏東60方向行駛6千米到達C地，從C地又向南偏西30方向行駛2千米才到達B地(1)在如圖所示的坐標(biāo)系

12、中畫出，.(2)求B地相對于A地的位移解：(1)向量，如圖所示(2)由題意知.所以AD綊BC，則四邊形ABCD為平行四邊形所以，則B地相對于A地的位移為“在北偏東60的方向距A地6千米”層級二應(yīng)試能力達標(biāo)1.如圖所示，梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過點P，且EFAB，則下列等式成立的是()ABC D解析：選D根據(jù)相等向量的定義，分析可得：A中，與方向不同，故錯誤；B中，與方向不同，故錯誤；C中，與方向相反，故錯誤；D中，與方向相同，且長度都等于線段EF長度的一半，故正確2下列說法正確的是()A若ab，bc，則acB終點相同的兩個向量不共線C若ab

13、，則a一定不與b共線D單位向量的長度為1解析：選DA中，因為零向量與任意向量平行，若b0，則a與c不一定平行B中，兩向量終點相同，若夾角是0或180，則共線C中，對于兩個向量不相等，可能是長度不相等，但方向相同或相反，所以a與b可能共線3若a為任一非零向量，b為單位向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|1.其中正確的是()A BC D解析：選Ba為任一非零向量，所以|a|0，故正確；由向量、單位向量、平行向量的概念易判斷其他式子均錯誤故選B.4在ABC中，點D，E分別為邊AB，AC的中點，則如圖所示的向量中相等向量有()A一組 B二組C三組 D四組解析：選A由向量相等的定義可知，只

14、有一組向量相等，即.5四邊形ABCD滿足，且|，則四邊形ABCD是_(填四邊形ABCD的形狀)解析：，ADBC且|，四邊形ABCD是平行四邊形又|知該平行四邊形對角線相等，故四邊形ABCD是矩形答案：矩形6.如圖，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和AOBE均為平行四邊形，則與向量相等的向量為_；與向量共線的向量為_；與向量的模相等的向量為_(填圖中所畫出的向量)解析：O是正三角形ABC的中心，OAOBOC，易知四邊形AOCD和四邊形AOBE均為菱形，與相等的向量為；與共線的向量為，；與的模相等的向量為，.答案：，7如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點(1)寫出圖中所示向量與向量長度相等的向量(2)寫出圖中所示向量與向量相等的向量(3)分別寫出圖中所示向量與向量，共線的向量解：(1)與長度相等的向量是，.(2)與相等的向量是，.(3)與共線的向