自動控制原理 第7章

1、第七章 數字控制系統分析基礎,7.1 引言 7.2 信號的采樣與保持 7.3 Z變換理論 7.4 脈沖傳遞函數 7.5 數字控制系統的性能與控制 小結 習題,7.1 引 言,圖 7-1 采樣控制系統,圖 7-2 數字控制系統,數字控制系統在現代工業(yè)中應用非常廣泛。計算機在控制精度、控制速度以及性能價格比等方面都比模擬控制器有著明顯的優(yōu)越性, 同時計算機還具有很好的通用性, 可以很方便地改變控制規(guī)律。隨著計算機科學與技術的迅速發(fā)展, 數字控制系統由直接數字控制發(fā)展到計算機分布控制, 由對單一的生產過程進行控制到實現整個工業(yè)過程的控制, 從簡單的控制規(guī)律發(fā)展到更高級的優(yōu)化控制、自適應控制、魯棒控制

2、等。本章將研究采樣控制的基本理論、數學工具以及簡單離散系統的分析與綜合。在學習時請注意它們與連續(xù)系統對應方面的聯系與區(qū)別。,7.2 信號的采樣與保持,7.2.1 采樣過程 把連續(xù)信號變換為脈沖序列的裝置稱為采樣器,又叫采樣開關。采樣過程可以用一個周期性閉合的采樣開關S來表示, 如圖7-3所示。假設采樣開關每隔T秒閉合一次, 閉合的持續(xù)時間為。 采樣器的輸入e(t)為連續(xù)信號, 輸出e*(t)為寬度等于的調幅脈沖序列, 在采樣瞬間nT(n=0, 1, 2, )時出現。即在t=0時, 采樣器閉合秒, 此時e*(t)=e(t); t=以后, 采樣器打開, 輸出e*(t)=0。 以后每隔T秒重復一次這

3、種過程。,圖 7-3 實際采樣過程,對于具有有限脈沖寬度的采樣控制系統來說, 要準確進行數學分析是非常復雜的?？紤]到采樣開關的閉合時間非常小, 一般遠小于采樣周期T和系統連續(xù)部分的最大時間常數, 因此在分析時, 可以認為=0。 這樣, 采樣器就可以用一個理想采樣器來代替。 理想的采樣過程如圖7-4所示。,圖 7-4 理想采樣過程,7.2.2 保持器 由圖7-1可知, 連續(xù)信號經過采樣器后轉換成離散信號, 經由脈沖控制器處理后仍然是離散信號, 而采樣控制系統的連續(xù)部分只能接收連續(xù)信號, 因此需要保持器來將離散信號轉換為連續(xù)信號。最簡單同時也是工程上應用最廣的保持器是零階保持器, 這是一種采用恒值

4、外推規(guī)律的保持器。它把前一采樣時刻nT的u(nT)不增不減地保持到下一個采樣時刻(n+1)T, 其輸入信號和輸出信號的關系如圖7-5所示。,圖 7-5 零階保持器的輸入和輸出信號,圖7-6 零階保持器的單位脈沖響應,畫出零階保持器的幅頻特性和相頻特性如圖7-7所示。 由圖可見, 它的幅值隨角頻率的增大而衰減, 具有明顯的低通特性。但除了主頻譜外, 還存在一些高頻分量。 因此, 如果連續(xù)信號e(t)經過采樣器轉換成e*(t)后, 立刻進入零階保持器, 則其輸出信號e(t)與原始信號e(t)是有差別的。,圖 7-7 零階保持器的幅頻特性和相頻特性,7.2.3 采樣定理 連續(xù)信號e(t)經過采樣器轉

5、換成e*(t)后, 如果立刻進入某種理想的保持器, 則其輸出信號e(t)與原始信號e(t)是否就完全相同了呢？ 香農(Shannon)定理給出了答案。 采樣定理 如果被采樣的連續(xù)信號e(t)的頻譜為有限寬, 且頻譜的最大寬度為m, 又如果采樣角頻率s2m, 并且采樣后再加理想濾波器, 則連續(xù)信號e(t)可以不失真地恢復出來。 ,圖 7-8 連續(xù)信號頻譜,該定理簡單的解釋如下: 一般來說, 連續(xù)信號e(t)的頻譜是單一的連續(xù)頻譜, 如圖7-8所示, 其中m為頻譜中的最大角頻率。 而采樣信號e*(t)的頻譜是以采樣角頻率s為周期的無窮多個頻譜之和, 如圖7-9所示。理想濾波器(即理想保持器)的頻率

6、特性如圖7-10所示。在s2m的情況下, 可以理解為|E*(j)|和|H(j)|相“乘”, 其“積”正好等于|E(j)|。,圖 7-9 采樣信號頻譜(s2m),圖 7-10 理想濾波器的頻率特性,式(7.16)稱為滯后定理, 式(7.17)稱為超前定理。算子z有明確的物理意義: z-k代表時域中的滯后環(huán)節(jié), 它將采樣信號滯后k個周期, 參見式(7.13)和式(7.14)。同理, zk代表時域中的超前環(huán)節(jié), 它將采樣信號超前k個周期。但是, zk和z-k僅用于運算, 在物理系統中并不存在。,而f(n+1)T的Z變換為,7.3.3 Z變換方法 1. 級數求和法 根據式(7.13)和式(7.14),

7、 只要知道連續(xù)函數f(t)在各個采樣時刻的數值, 即可按照式(7.14)求得其Z變換。這種級數展開式是開放式的, 有無窮多項。但有一些常用的Z變換的級數展開式可以用閉合型函數表示。 【例 7-1】 求單位階躍函數1(t)的Z變換。 解 單位階躍函數的采樣函數為 1(nT)=1 (n=0, 1, 2, ) 將f(nT)=1(nT)=1代入式(7.14), 可得,7.3.4 Z反變換 和拉氏反變換相類似, Z反變換可表示為 Z-1F(z)=f*(t) (7.24) 1. 長除法冪級數法 如果F(z)已是按z-n降冪次序排列的級數展開式, 如式(7.14), 則根據式(7.13)即可寫出f*(t)。

8、如果F(z)是有理分式, 則用其分母去除分子, 可以求出按z-n降冪次序排列的級數展開式, 再寫出f*(t)。雖然長除法以序列形式給出了f(0), f(T), f(2T)， 的數值, 但是從一組值中一般很難求出f*(t)或f(nT)的解析表達式。,由此得,圖 7-11 采樣系統,7.4.2 采樣系統的開環(huán)脈沖傳遞函數,圖 7-12 兩種串聯結構,而對于圖7-12(b), 由式(7.31), 其開環(huán)脈沖傳遞函數為,7.4.3 采樣系統的閉環(huán)脈沖傳遞函數,圖 7-13 采樣控制系統,圖 7-14 具有數字控制器的采樣系統,對于圖7-15所示的有干擾的采樣系統, 干擾N(s)到輸出C(s)的通道上沒

9、有采樣開關, 所以, 不能寫出輸出C(s)對干擾N(s)的閉環(huán)傳遞函數, 而只能寫出對于干擾N(s)的輸出C(s) 。此時, R(s)=0。,圖 7-15 有干擾信號的采樣系統,設s平面上的點沿虛軸移動, 即s=j, 對應z平面上的點z=ejT, 其軌跡是一個單位圓。當s平面上的點從-j移到j時, z平面上相應的點已經沿著單位圓轉過了無窮多圈。當s位于s平面虛軸的左半部(0)時, |z|1, 對應z平面上的單位圓內;當s位于s平面虛軸的右半部(0)時, |z|1, 對應z平面上的單位圓外部區(qū)域。 見圖7-16。,圖 7-16 s平面上虛軸在z平面上的映像,【例 7-10 】 判斷圖7-17所示

10、系統在采樣周期,圖 7-17 采樣系統,解 開環(huán)脈沖傳遞函數為,因為方程是二階, 故直接解得極點為z1,2=0.5j0.618。由于極點都在單位圓內, 所以系統穩(wěn)定。 當T=4s時, 系統的特征方程為 z2+2z+0.927=0 解得極點為z1=-0.73, z2=-1.27。有一個極點在單位圓外, 所以系統不穩(wěn)定。 從這個例子可以看出, 一個原來穩(wěn)定的系統, 如果加長采樣周期, 超過一定程度后, 系統就會不穩(wěn)定。通常, T越大, 系統的穩(wěn)定性就越差。,用MATLAB解本例如下: %example7-10 c1=1 1 0.632 roots(c1) c2=1 2 0.927 roots(c2

11、),圖 7-18 采樣系統,7.5.2 數字控制系統的穩(wěn)態(tài)誤差,圖 7-19 單位反饋采樣控制系統,在連續(xù)系統中, 如果開環(huán)傳遞函數G(s)具有個s=0的極點, 則由z=eTs可知相應G(z)必有個z=1的極點。我們把開環(huán)傳遞函數G(s)具有s=0的極點數作為劃分系統型別的標準, 并分別把=0, 1, 2, 的系統稱為0型、型和型系統等。同樣, 在離散系統中, 也可把開環(huán)傳遞函數G(z)具有z=1的極點數作為劃分系統型別的標準, 分別把G(z)中=0, 1, 2, 的系統稱為0型、型和型(離散)系統等。 與連續(xù)系統對應的離散系統的3種誤差系數以及不同型別的穩(wěn)態(tài)誤差(表 7-1)直接列出如下,

12、不再推導。,表 7-1 單位反饋離散系統的穩(wěn)態(tài)誤差,圖 7-20 階躍響應曲線,用MATLAB可以方便地求出數字控制系統的階躍響應， 其程序如下： %example7-12 num=1.264 0 den=1 0.104 0.368 dstep(num, den),圖 7-21 MATLAB繪制的階躍響應曲線,7.5.4 數字控制系統的控制,圖 7-22 數字控制系統框圖,2. 離散化設計技術 連續(xù)化設計技術要求相當短的采樣周期, 因此只能實現比較簡單的控制算法。如果因控制任務的需要而選擇比較大的采樣周期, 或者對控制質量要求比較高時, 必須從被控對象的特性出發(fā), 即根據未控制(校正)系統的脈

13、沖傳遞函數G(z)選擇合適的D(z), 使得開環(huán)傳遞函數D(z)G(z)或閉環(huán)傳遞函數(z)符合要求。 例如, 根據期望的閉環(huán)極點位置, 可以用z平面的根軌跡方法進行設計。當給定頻域指標時, 可以采用伯德圖的校正方法。 但必須先將G(z)進行雙線性變換 , 得到G(w), 然后根據給定的指標確定w域的傳遞函數D(w), 最后進行W反變換, 將D()轉換成D(z)。,所以,小 結,由于計算機的迅速發(fā)展, 數字控制系統的應用日益廣泛。 本章介紹了線性采樣(離散)控制系統的分析與設計方法。離散系統與連續(xù)系統在數學分析工具、穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)特性、動態(tài)特性以及控制(校正)等各方面都具有一定的聯系與區(qū)別。許多

14、結論都具有類似的形式, 在學習時要注意對照和比較, 特別要注意它們不同的地方。 采樣系統中具有采樣開關, 采樣過程可視為一種脈沖調制過程。為能無失真地恢復連續(xù)信號, 采樣頻率的選定應符合香農采樣定理。為了將離散信號轉換為連續(xù)信號, 需要在連續(xù)對象前面加入保持器, 常用的是零階保持器。,處理離散系統的基本數學工具是Z變換。這一部分與拉氏變換類似。離散系統的脈沖傳遞函數與連續(xù)系統的一樣重要。系統的環(huán)節(jié)間有無采樣開關, 其傳遞函數是不一樣的。 離散系統的穩(wěn)定性可由z平面和s平面的映射關系推導出, 為了應用代數穩(wěn)定判據, 必須經過雙線性變換。穩(wěn)態(tài)特性和動態(tài)特性與連續(xù)系統基本上是一一對應的。離散系統控制

15、器的設計則有兩種方法: 連續(xù)化設計和離散化設計。,習題 7-1 試求下列函數的初值和終值。 (1) (2) (3),7-2 試求下列函數的Z反變換。 (1) (2) (3) (4),7-3 試判斷如圖7-23所示系統的穩(wěn)定性。,圖 7-23 題7-3圖,7-4 試判斷如圖7-24所示系統的穩(wěn)定性。,圖 7-24 題7-4圖,7-5 設離散系統如圖7-25所示, 要求: (1) 當K=5時, 分別在z域和w域中分析系統的穩(wěn)定性; (2) 確定使系統穩(wěn)定的K值范圍。,圖 7-25 題7-5圖,7-6 設離散系統如圖7-26所示, 其中r(t)=t, 試求穩(wěn)態(tài)誤差系數Kp、 Kv、 Ka, 并求系統的穩(wěn)態(tài)誤差e()。,圖 7-26 題7-6圖,7-7 設采樣系統的閉環(huán)脈沖傳遞函數為 利用MATLAB的dimpulse命令研究下列9種情況下的脈沖響應: p=1, p=0.8, p=0.5,p=0.3, p=0。,7-8 設采樣系統的閉環(huán)脈沖傳遞函數為 其中p1和p2是一對共軛極點。 利用MAT