數(shù)學(xué)分析課件9.ppt

1、上一頁,下一頁,掌握定積分概念及基本性質(zhì)； 理解可積的充要條件、充分條件、必要條件； 掌握積分中值定理、微積分基本定理、牛頓萊布尼茲公式； 掌握定積分的計(jì)算方法（換元法、分部積公法等）。,教學(xué)目標(biāo)：,第九章 定積分,1 定積分的概念,n=10 情況,n=50 情況, S(50) = 0.6717,S(100)=0.6717,n=100 情況,。,S(10)= 0.7150; S(50)= 0.6766; S(100)=0.6717,。,分割越細(xì)，越接近面積準(zhǔn)確值,。,將這種方法用于一般的曲邊梯形：,上一頁,下一頁,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,上一頁,下一頁,再演示一下這個(gè)過程,變力

2、作功問題可表示為,學(xué)習(xí)定積分，不僅要理解、記住定積分的定義，還要學(xué)習(xí)建立定積分概念 的基本思想，我們以后的學(xué)習(xí)中還會遇到其它類型的積分，比如勒貝格積分、 斯蒂疌斯積分等，只要理解了定積分的思想，其他類型的積分就很容易理解了。 現(xiàn)在我們再來總結(jié)一下定積分建立的的思想和方法：從定積分的實(shí)例和概念中 看到定積分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的長方形去近似代替小曲邊 梯形，以“直” 代“曲”；然后把所有長方形加起來，近似求和，得到曲邊梯形面 積的一個(gè)近似值；當(dāng)分割無限加細(xì)時(shí)，就得到曲邊梯形的準(zhǔn)確值，即,，這時(shí)又從“直”回到了“曲”?！胺指睢⒔魄蠛?、取極限”是定積分的核心思想。,四小結(jié)：,返回,

3、觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,應(yīng)該說定積分的思想最早產(chǎn)生于中國，三國時(shí)候 （263 年），我國科學(xué)家劉徽就提出了“割圓術(shù)”方法， 他把圓的面積用正多邊形面積來近似代替，算出了 （稱徽 率）。劉徽所說的“割只彌細(xì)

4、，所失彌 小，割之又割，以之不可割，則與圓合體而無所失矣”,返回,劉 徽 祖沖之，,這正是定積分的核心思想。南北朝時(shí)我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之（429-500）在綴術(shù) 一書 中又求得 在 與 之間 ”，比歐洲最早得出這 個(gè)近似值的德人鄂圖早1100余年,英國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家出生在一個(gè)農(nóng)民家庭，出生前父親就去世了， 三歲母親改嫁，由外祖母撫養(yǎng)。1661年入劍橋大學(xué)，1665年獲學(xué)士學(xué)位， 1668年獲碩士學(xué)位。由于他出色的成就，1669年巴魯（Barrow）把數(shù)學(xué) 教授的職位讓給年僅26歲的牛頓。1703 年被選為英國皇家學(xué)會會長。牛 頓一生成就輝煌，堪稱科學(xué)巨匠。最突出的有四項(xiàng)重大貢獻(xiàn)：創(chuàng)立微積 分

5、，為近代數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)，推動了整個(gè)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。他發(fā)現(xiàn)了力 學(xué)三大定律，為經(jīng)典力學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他發(fā)現(xiàn)了萬有引力為近代天文學(xué) 奠定了基礎(chǔ)；他對光譜分析的實(shí)驗(yàn)，為近代光學(xué)奠定了基礎(chǔ) 。他的巨著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理影響深遠(yuǎn)，他被公認(rèn)為歷史上偉大的科學(xué)家?？?惜他晚年研究神學(xué)，走了彎路。,牛 頓（I.Newton 1642.12.251727.3.3）,黎 曼（B.Riemann 1826.9.17-1866.7.20） 德國數(shù)學(xué)家，出生在德國一個(gè)鄉(xiāng)村牧師家庭，在哥廷根大學(xué) 和柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，1851年獲博士學(xué)位1859年任教授，1886年 因肺結(jié)核去世。他四十年的生涯中，在數(shù)學(xué)許多分支，都作 出了劃時(shí)

6、代貢獻(xiàn)。他在1851年的博士論文“復(fù)變函數(shù)論的基礎(chǔ)” 給出了保角影射的基本定理，是幾何函數(shù)論的基礎(chǔ)，1854年 定義了黎曼積分，又提出了關(guān)于三角級數(shù)收斂的黎曼條件。同年在他的另一篇論文中引入n維流形和黎曼空間的概念，并定義了黎曼空間的曲率，開辟了幾何學(xué)的新領(lǐng)域。1857年他在關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文中，引入了黎曼面概念，奠定了復(fù)變函數(shù)的幾何理論基礎(chǔ)，1858年他關(guān)于素?cái)?shù)分布的論文，用黎曼函數(shù)論述了素?cái)?shù)的分布，開辟了解吸函數(shù)論。在此論文中還提出了柯西函數(shù)零點(diǎn)分布的黎曼猜想，至盡還未解決。他在非歐幾何、偏微分方程、理論物理、橢圓函數(shù)論等方面都有杰出貢獻(xiàn)，不愧是一位具有開拓精神的偉大數(shù)學(xué)家。,小知識：中

7、國古代數(shù)學(xué)對微積分創(chuàng)立的貢獻(xiàn) 微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系 。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追朔到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻(xiàn)。對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的。公元前7世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)墨經(jīng)中有了有窮、無窮、無限?。ㄗ钚o內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時(shí)等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得 圓周率約等于3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深

8、刻體現(xiàn)。微積分思想雖然可追朔古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀(jì)下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學(xué)家沈括的夢溪筆談獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和的研究。特別是13世紀(jì)40年代到14世紀(jì)初，在主要領(lǐng)域都達(dá)到了中國古代數(shù)學(xué)的高峰，出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、“正負(fù)開方術(shù)”、“大衍求一術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余式組解法）、“垛積術(shù)”（高階等差級數(shù)求和）、“招差術(shù)”（高次差內(nèi)差法）、“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法）、“四元術(shù)”（四元高次方程組解法）、勾股數(shù)學(xué)、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位的杰出成果，中國古代數(shù)學(xué)有了微積分前兩階段的出