排列、組合和二項式定理

1、排列、組合 和二項式定理,人大附中 李秋生,分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理 排列 排列數(shù) 排列數(shù)應(yīng)用 組合 組合數(shù) 組合數(shù)應(yīng)用 二項式定理,知識結(jié)構(gòu),教學(xué)內(nèi)容,不僅有著許多直接應(yīng)用，還是學(xué)習(xí)概率理論的準(zhǔn)備知識，而且由于其思維方法的新穎性與獨特性，因此它也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的不可多得的好素材；作為初中多項式乘法公式的推廣二項式定理，不僅使前面組合等知識的學(xué)習(xí)得到強(qiáng)化，而且與后面概率中的二項分布有著密切聯(lián)系。,從教學(xué)中的一些現(xiàn)象談起,上課：聽講輕松做題難 考試：入手容易算對難 一道題目的困惑： 有5名旅行者選擇旅店住宿，共有8家旅店可任意選擇，那么其中任意兩人不住進(jìn)同一旅店的住宿方式有多少種？恰有3人

2、住進(jìn)同一家旅店的住宿方式有多少種？,聽講容易做題難-章節(jié)知識特點,計數(shù)問題（分類、分步計數(shù)原理，排列、組合）無論是在科學(xué)研究中還是在生活實踐中都是十分常見而又基礎(chǔ)的。 無論問題提出、思維過程還是解答表述 ，都是學(xué)生身邊的、經(jīng)歷過的、熟悉的。 正面：提高興趣，增強(qiáng)自信 反面：注重對學(xué)生的思維習(xí)慣加以梳理、總結(jié),解題的準(zhǔn)確性-思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性,雖然排列和組合所涉及的基礎(chǔ)知識比較少，但由于抽象性、思維性都較強(qiáng),也可以說是高中數(shù)學(xué)中較難學(xué)的一個內(nèi)容。,為什么講排列和組合？,第三個問題引起的思考,為什么要講排列、組合,排列、組合是常用的計數(shù)問題模型 有了排列、組合等常見模型，可以在反復(fù)應(yīng)用中減少重復(fù)

3、工作量、重復(fù)思維，提高效率 計數(shù)問題有很多種常見模型，解決問題的基礎(chǔ)是分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理 在遇到新的計數(shù)問題時，自然有必要去想一想它（或者其一部分）是否可以歸于某個模型,解決計數(shù)問題應(yīng)注重的思想方法,分類討論的思想 轉(zhuǎn)化的思想,分類討論,貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 絕對值、幾何、參數(shù) 不等式、函數(shù) 對學(xué)生的分類討論實施能力的總結(jié)和提升 序：一個維度，一個主元,分類討論,(5) 從1,3,5,7中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6,8中任取2個數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中能被5整除的四位數(shù)共有 個 二維：有5有0，有5無0，無5有0 主元：個位為0，個位為5（再根據(jù)需要細(xì)分，選0與不選0）,在

4、6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)在要組成人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，依下列條件各有多少種方法： 既有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生（間接考察） 既有主任又有外科醫(yī)生 情形1：有外科主任 情形2：沒有外科主任，則必須有內(nèi)科主任，再間接考察,教練要從6名選手中確定4100接力名單，要求選手甲不能跑第一棒，選手乙不能跑最后一棒，那么有多少種不同的報名結(jié)果？ 首先，在運用乘法原理時意識到需要分類 情形1：甲跑最后一棒 情形2：甲跑第二棒或第三棒 情形3：甲沒有入選,其他的分類方法,情形1：最后一棒是甲 情形2：最后一棒不是甲， 則(最后一棒)4(第一棒)4 43,一天要排語文、數(shù)學(xué)、英語、生物

5、、體育、班會六節(jié)課，其中上午四節(jié)，下午兩節(jié)。要求上午第一節(jié)不排體育，數(shù)學(xué)排在上午，班會排在下午，有多少種不同的排課方法？ 可能的某種思維過程 數(shù)學(xué)在第幾節(jié)（1；24） 體育在第幾節(jié)（上午；下午） 體育在上午還是下午：3323!+24!=156 第一節(jié)排數(shù)學(xué)嗎：24!+3323!=156,轉(zhuǎn)化的思想,建立模型 排列、組合 分組 設(shè)A=a,b,c，B=3,4,5,6,7則從集合A到集合B的映射一共有 個。 放球、選學(xué)校、比賽報名 四名優(yōu)等生保送到三所學(xué)校去，每所學(xué)校至少得一名，則不同的保送方案的總數(shù)是_. 答案：36,轉(zhuǎn)化的思想,對應(yīng)的方法-一一對應(yīng) 7個人排兩行照相，前排3人，后排4人 屋子里散

6、放著7把椅子，7個人坐 用19組成滿足百位小于十位、十位小于個位的三位數(shù)的個數(shù) 7個人照相,中間高,兩邊都逐漸降低 擂臺賽 沿著46方格表的邊從左下角用10步走到右上角，有多少種走法,多對一的對應(yīng)-除法原理,組合數(shù)的推導(dǎo) 用19組成滿足百位小于十位、十位小于個位的三位數(shù)的個數(shù) 分組問題,分組問題,9本書分給甲、乙、丙三人 (1) 甲2本，乙3本，丙4本 (2) 甲、乙、丙各3本 (3) 分成三堆，分別有2本、3本、4本 (4) 分成三堆，每堆3本,考點詮釋,兩個原理 兩個概念 兩類基本公式 組合數(shù)的基本性質(zhì) 排列組合的綜合應(yīng)用 二項式定理,分類計數(shù)原理,學(xué)生有基礎(chǔ)，易接受 分類討論，互斥事件

7、分類注意事項：不重不漏 建議單就分類討論做足功課，切勿急噪，逐步了解各種分類討論的思維方式,分步計數(shù)原理,分類還是分步？ 相互獨立事件，條件概率 如何分步？把自己假想成為任務(wù)實施者 有5名旅行者選擇旅店住宿，共有8家旅店可任意選擇，那么恰有3人住進(jìn)同一家旅店的住宿方式有多少種？,運用分步計數(shù)原理的注意事項,確實將任務(wù)完成、并且不重復(fù) 如何檢驗： 會不會有兩個過程的結(jié)果相同？ 能不能從結(jié)果反推出完成過程？,從6雙手套中取出4只，則至少取出一雙的方法有 種？ （墊底法） 如圖，三行三列的方陣中有9個數(shù)，從中任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的取法有 種。,排列,概念：不同元素 解題要點： 特

8、殊元素特殊位置 相鄰與不相鄰 “減法原理”：從反面想一想 “除法原理”：重復(fù)計數(shù),12 (03,北京)某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個新節(jié)目,如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同的插法種數(shù)為() (A)42. (B)30. (C)20. (D)12.,在一塊并排10壟田地中，選擇兩壟分別種植A、B兩種作物，要求間隔不小于6壟，則有多少種不同的種植方案？,24. 進(jìn)行8次射擊,命中3次,其中恰有2次連續(xù)命中的情形共有 種. 25. 一個車庫有一排連續(xù)的12個車位，早上來了8輛相同的車停下，如果要求留出一輛SUV（須占兩個連續(xù)的車位）的位置，那么這8輛車有多少種停

9、法？,組合,組合數(shù)的概念和推導(dǎo) 組合數(shù)公式 組合數(shù)性質(zhì),計數(shù)綜合問題,先選后排 7.從3名男生和3名女生中，選出3名分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語的課代表，要求至少有1名女生，則選派方案共有（ ） （A）19種 （B） 54種 （C）114種 （D）120種 19. (06陜西)某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,則不同的選派方案共有 種,二項式定理,二項式定理作為初中一種多項式乘法公式的復(fù)習(xí)和推廣 二項式定理的學(xué)習(xí)過程可以看作是應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決問題的典型過程 由于二項式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，由二項式定理可以導(dǎo)出一些組合恒等

10、式，這對深化組合數(shù)的認(rèn)識有好處；它與后面概率中的獨立重復(fù)試驗和二項分布有著密切聯(lián)系因此可以說二項式定理綜合性較強(qiáng)，具有聯(lián)系不同知識內(nèi)容、承上啟下的重要作用,知識結(jié)構(gòu),二項式定理教學(xué)建議,引入時，從以前學(xué)過的平方和與立方和公式出發(fā)，讓學(xué)生從已有的知識中結(jié)合排列組合知識來分析，從而引入二項式定理，讓學(xué)生領(lǐng)悟從“特殊到一般”的思想方法 注意相似概念的講解 注意利用函數(shù)圖像研究二項式系數(shù)對稱性和增減性的數(shù)形結(jié)合的思想方法 二項式定理給出的是一個恒等式，因此對一些特定的值當(dāng)然也成立這是解決二項式問題的一種重要方法,細(xì)化二項式定理的獲得過程,1(a+b)n是n個多項式(a+b)的乘法問題 2展開式的每一項

11、是通過n步乘積構(gòu)成的，每一步有兩種選擇，因此展開式的項數(shù)為2n（未合并同類項之前） 3展開式的每一項由若干個a和若干個b的乘積構(gòu)成，a和b的個數(shù)之和等于n，它可以表示為an-kbk 4展開式中形為an-kbk的同類項的個數(shù)是多少呢？ 5在展開式中共有(n+1)種不同的同類項，根據(jù)加法原理，其展開式為,分層次訓(xùn)練,正用公式 反用公式 合理變形后再用公式 38，39 待定系數(shù) 合理賦值 34 構(gòu)造證明 綜合應(yīng)用,一些試題,遞推法-染色問題 先捆綁后插空:(05遼寧)用1,2,3,4,5,6,7,組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù),要求1與2相鄰,3與4相鄰,5與6相鄰,而7與8不相鄰這樣的八位數(shù)共有 個. 相同元素的排列 圓排列:25位騎士圍繞著圓桌坐下,從中選3名騎士完成任務(wù),那么3名騎士兩兩不相鄰的選法有多少種?,排列組合與立體幾何相結(jié)合,(07廣東)如果一個凸多面體是n棱錐,那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有多少條?這些直線中共有多少對異面直線? 四面體的頂點和各棱的中點共10個點,在其中取4個不共面的點,不同的取法共有()種 (A)14