九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 28.2 解直角三角形及其應(yīng)用教案2 （新版）新人教版

1、28.2解直角三角形【探究目標(biāo)】1目的與要求 能綜合運(yùn)用直角三角形的勾股定理與邊角關(guān)系解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題2知識(shí)與技能 能根據(jù)直角三角形中的角角關(guān)系、邊邊關(guān)系、邊角關(guān)系解直角三角形，能運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)的實(shí)際問題3情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過解直角三角形的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，激勵(lì)學(xué)生多接觸社會(huì)、了解生活并熟悉一些生產(chǎn)和生活中的實(shí)際事物【探究指導(dǎo)】教學(xué)宮殿在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如下圖：角角關(guān)系：兩銳角互余，即A+B90；邊邊關(guān)系：勾股定理，即；邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即解

2、直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；(2)已知一條邊和一個(gè)銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)這兩種情形的共同之處：有一條邊因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的基本方法是：把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系借助生活常識(shí)以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角?/p>

3、角形再求解在解直角三角形的過程中，常會(huì)遇到近似計(jì)算，如沒有特殊要求外，邊長(zhǎng)保留四個(gè)有效數(shù)字，角度精確到1例1 在ABC中，C90，根據(jù)下列條件解直角三角形(1)c10，B45，求a，b，A；(2)，求c，A，B思路與技巧 求解直角三角形的方法多種多樣，如(1)可以先求a或b，也可以先求A，依據(jù)都是直角三角形中的各元素間的關(guān)系，但求解時(shí)為了使計(jì)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確，一般盡量選擇正、余弦，盡量使用乘法，盡量選用含有已知量的關(guān)系式，盡量避免使用中間數(shù)據(jù)解答 (1)A90-4545(2)所以例2 如圖，CD是RtABC斜邊上的高，,求AC，AB，A，B(精確到1)思路與技巧 在RtABC中，僅已知一條直角邊B

4、C的長(zhǎng)，不能直接求解注意到BC和CD在同一個(gè)RtBCD中，因此可先解這個(gè)直角三角形 解答 在RtBCD中用計(jì)算器求得 B5444于是A90-B3516在RtABC中，例3 氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在某港口A的正東方向400km處，正在向正西北方向轉(zhuǎn)移，距臺(tái)風(fēng)中心300km的范圍內(nèi)將受其影響，問港口A是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響?思路與技巧 如圖1948，就是要求出A到臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路線BC的距離是否大于300km，RtABC中，ACB90，ABC45，AB400km，是AC可求解答 在RtABC中，由于所以ACABsinABC400sin45所以港口A將受到這次臺(tái)風(fēng)的影響例4 如圖，兩幢建筑物的水平距離為56

5、5m，從較高的建筑物的頂部看較低的建筑物的底部的俯角是42，從較低的建筑物的頂部看較高建筑物頂部的仰角是22，求這兩幢建筑物的高度(精確到01m)思路與技巧 如圖，AB、CD表示兩幢建筑物，ABBD，CDBD，BD565m，根據(jù)俯角、仰角的意義，DAE42，ACF22，于是RtABD、RtACF都可解解答 在RtABD中，ADBDAE42BD56.5(m)ABBDtanADB56.5tan4250.9(m)在RtACF中，AFCFtanACF=56.5tan2222.8(m)所以CDAB-AF28.1(m)答：兩幢建筑物的高度分別為50.9m，28.1m例5 如圖，沿水庫攔水壩的背水坡，將壩頂

6、加寬2m，坡度由原來的1：2改為1：25，已知壩高6m，壩長(zhǎng)50m求：(1)加寬部分橫斷面AFEB的面積；(2)完成這一工程需要多少土方?思路與技巧 只須求出梯形AFEB的下底EB的長(zhǎng)，作AGBC，F(xiàn)HEB，垂足分別為G、H，根據(jù)坡度的意義，可以求出坡AB、坡EF的水平長(zhǎng)度解答 (1)作AGBC，F(xiàn)HEB，垂足分別為G、H，由題意得HGAF2(m)AGFH6(m)在RtABG中，因?yàn)樗訠G2612(m)在RtFEH中，因?yàn)樗訣H25615(m)所以EBEH+HG-BG15+2-125(m)所以答：加寬部分橫斷面AFEB的面積為，完成這一工程需要1050方土例6 海上有兩條船，甲船在乙船的正

7、南方向，甲船以每小時(shí)40海里的速度沿北偏東60方向航行，乙船沿正東方向以每小時(shí)20海里的速度航行，問兩船會(huì)不會(huì)相撞?為什么?思路與技巧 根據(jù)題意畫出圖形，如圖1951，可知甲、乙兩船的路線可能會(huì)成為直角三角形中60所對(duì)的直角邊和斜邊，兩船同時(shí)出發(fā)，在相同的時(shí)間內(nèi)所走路程的比如果正好等于60的正弦就會(huì)相撞，否則不會(huì)解答 如圖，因?yàn)橐掖乃俣葹槊啃r(shí)20海里，甲船的速度為每小時(shí)40海里，所以乙船與甲船所走路程的比為1：2又所以不會(huì)發(fā)生相撞例7 某市為改變城市交通狀況，在大街拓寬工程中，要伐掉一棵樹AB在地面上事先劃定以B為圓心，半徑與AB等長(zhǎng)的圓形危險(xiǎn)區(qū)，現(xiàn)在某工人站在離B點(diǎn)3m遠(yuǎn)的D點(diǎn)測(cè)得樹的頂

8、部A點(diǎn)的仰角為60，樹的底部B的仰角為30，如圖1952，問距離B點(diǎn)8m遠(yuǎn)的保護(hù)物是否在危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)?思路與技巧 本題的實(shí)質(zhì)是要計(jì)算大樹的高度，如果大于8m，說明保護(hù)物在危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)，否則不在由于大樹不在哪一個(gè)直角三角形中，根據(jù)條件，過C作CEAB，則可把AB放在RtACE和RtBCE中進(jìn)行求解解答 過C作CEAB，垂足為E.由題意可知，CEDB3m在RtCEB中，在RtACE中，所以ABAE+BE5.196+1.7326.928(m)8(m)所以距離B點(diǎn)8m遠(yuǎn)的保護(hù)物不在危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)【探究活動(dòng)】提出問題 運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)可以解斜三角形(銳角三角形或鈍角三角形)嗎?探究準(zhǔn)備 銳角ABC(已知b，a

9、和C)鈍角ABC(已知A，c，B)(A，B，C的對(duì)邊為a，b，c)如圖探究過程 直角三角形中的邊邊關(guān)系、角角關(guān)系、邊角關(guān)系是解直角三角形的依據(jù)，它們只有在直角三角形中才成立，因此要想用它們來解斜三角形，必須把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，轉(zhuǎn)化的方法一般是作高，如圖1953甲可以作ADBC于D，這樣構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形RtABD和RtACD，RtACD中，CDcosC，ADsinC，因?yàn)锽Ca，所以BD-cosC，在RtABD中，得出B，進(jìn)而求出A180-B-C，同樣方法，圖乙中，可以過C作CDAB于D，先解RtACD再解RtCDB探究評(píng)析 “化斜為直”是運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解斜三角形的根本方法，其做法是通過作斜三角形的一條高，把斜三角形化為兩個(gè)直角三角形，再根據(jù)條件分別在兩個(gè)直角三角形中做文章例8 如圖，公路上A、B兩處相距l(xiāng)km，測(cè)得城鎮(zhèn)C在A處的北偏東35方向，在B處的北偏西40方向求城鎮(zhèn)C到A處、B處的距離分別是多少?思路與技巧 弄清楚兩個(gè)方向角是解決問題的第一步，根據(jù)題意135，240,ABlkm，發(fā)現(xiàn)ABC不是直角三角形，故通過“化斜為直”轉(zhuǎn)化，作CDAB于D，如圖1955，則ACDl35，BCD240，但是RtACD與RtBCD都無法直接求解，因而可利用CD是這兩個(gè)直角三角形的公共邊以及AD+DBABlkm的條件，