2011考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

1、2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上(1) 曲線的拐點(diǎn)是( )(A) (B) (C) (D) (2) 設(shè)數(shù)列單調(diào)減少， 無(wú)界，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? )(A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個(gè)充分條件是( ) (A) ， (B) ，(C) ， (D) ，(4) 設(shè)，則的大小關(guān)系是( ) (A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)為3階矩陣，將的第2列加到第1列得矩陣，再交換的第2行與第3行得單位矩陣

2、，記，則( ) (A) (B) (C) (D) (6) 設(shè)是4階矩陣，為的伴隨矩陣，若是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為( )(A) (B) (C) (D) (7) 設(shè)，為兩個(gè)分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度，是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度的是( )(A) (B)(C) (D)(8) 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且與存在，記，則( )(A) (B)(C) (D)二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上(9) 曲線的弧長(zhǎng) (10) 微分方程滿足條件的解為 (11) 設(shè)函數(shù)，則 (12) 設(shè)是柱面方程與平面的交線，從軸正向往軸負(fù)向看去為逆時(shí)針?lè)较?，則曲線積分 (13) 若二

3、次曲面的方程，經(jīng)過(guò)正交變換化為，則 (14) 設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則= 三、解答題：1523小題，共94分請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟(15)(本題滿分10分)求極限(16)(本題滿分9分)設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值，求(17)(本題滿分10分)求方程不同實(shí)根的個(gè)數(shù)，其中k為參數(shù)(18)(本題滿分10分)()證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有 成立()設(shè)，證明數(shù)列收斂 (19)(本題滿分11分)已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，其中，計(jì)算二重積分(20)(本題滿分11分)設(shè)向量組，不能由向量組，線性表示 (I) 求的值；(

4、II) 將由線性表示(21)(本題滿分11分)為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，的秩為2，即，且(I) 求的特征值與特征向量；(II) 求矩陣(22)(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量與的概率分布分別為1且(I) 求二維隨機(jī)變量的概率分布；(II) 求的概率分布；(III) 求與的相關(guān)系數(shù)（23）（本題滿分 11分）設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中已知，未知和分別表示樣本均值和樣本方差(I) 求參數(shù)的最大似然估計(jì)量；(II) 計(jì)算和2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題答案一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置

5、上(1)【答案】(C)【解析】記，其中，在兩側(cè)，二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化，故選(C)(2)【答案】(C)【解析】觀察選項(xiàng)：(A)，(B)，(C)，(D)四個(gè)選項(xiàng)的收斂半徑均為1，冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的中心在處，故(A)，(B)錯(cuò)誤；因?yàn)閱握{(diào)減少，所以，所以為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，將代入冪級(jí)數(shù)得，而已知Sn=無(wú)界，故原冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，(D)不正確當(dāng)時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨判別法收斂，故時(shí)收斂故正確答案為(C)(3)【答案】(A)【解析】,故,又故(4)【答案】(B)【解析】因?yàn)闀r(shí)， ，又因是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以故正確答案為(B)(5)【答案】 (D)【解析】由于將的第2列加到第1列得矩陣，故，即，由于交換的第2行和第3行

6、得單位矩陣，故，即故因此，故選(D)(6)【答案】(D)【解析】由于是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以，且，即，且由此可得，即，這說(shuō)明是的解由于，所以線性無(wú)關(guān)又由于，所以，因此的基礎(chǔ)解系中含有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量而線性無(wú)關(guān)，且為的解，所以可作為的基礎(chǔ)解系，故選(D)(7)【答案】(D)【解析】選項(xiàng)(D) 所以為概率密度 (8)【答案】(B)【解析】因?yàn)?所以，于是 二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上(9)【答案】【解析】選取為參數(shù)，則弧微元所以(10)【答案】【解析】由通解公式得 由于故=0所以(11)【答案】4【解析】，故 (12)【答案】【解析】取，取上側(cè)，

7、則由斯托克斯公式得，原式=因由轉(zhuǎn)換投影法得(13)【答案】【解析】由于二次型通過(guò)正交變換所得到的標(biāo)準(zhǔn)形前面的系數(shù)為二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值，故的特征值為0，1，4二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣，由于，故(14)【答案】【解析】根據(jù)題意，二維隨機(jī)變量服從因?yàn)?，所以由二維正態(tài)分布的性質(zhì)知隨機(jī)變量獨(dú)立，所以從而有三、解答題：1523小題，共94分請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟(15)(本題滿分10分)【解析】(16)(本題滿分9分)【解析】因?yàn)樵诳蓪?dǎo)，且為極值,所以，則(17)(本題滿分10分)【解析】顯然為方程一個(gè)實(shí)根當(dāng)時(shí)，令 令，即又因?yàn)?，即?dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

8、所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增又由， ，所以當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)定理可知在，內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，則在，內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)時(shí)，原方程有三個(gè)根當(dāng)時(shí)，原方程有一個(gè)根(18)(本題滿分10分)【解析】()設(shè)顯然在上滿足拉格朗日的條件，所以時(shí)，即：，亦即：結(jié)論得證（II）設(shè)先證數(shù)列單調(diào)遞減，利用（I）的結(jié)論可以得到，所以得到，即數(shù)列單調(diào)遞減再證數(shù)列有下界，得到數(shù)列有下界利用單調(diào)遞減數(shù)列且有下界得到收斂(19)(本題滿分11分)【解析】因?yàn)椋?20)(本題滿分11分)【解析】(I)由于不能由線性表示，對(duì)進(jìn)行初等行變換：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不能由線性表示，故不能由線性表示(II)對(duì)進(jìn)行初等行變換：，故，(21)(本題滿分11分)【解析】(I)由于，設(shè)，則，即，而，知的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，由于，故，所以由于是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，故不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為，則 即解此方程組，得，故對(duì)應(yīng)的特征向量為(II) 由于不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量已經(jīng)正交，只需單位化：令，則， （22）（本題滿分11分）【解析】(I)因?yàn)?，所?即 利用邊緣概率和聯(lián)合概率的關(guān)系得到；-10101/30101/301/3即的概率分布為(II)的所有可能取值