【點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)】§2.2 拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射.ppt

1、2.2拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射,我們遵循前一節(jié)末尾提到的思路，從開(kāi)集及其基本性質(zhì)(定理2.1.2)出發(fā)來(lái)建立拓?fù)淇臻g的概念.,定義2.2.1設(shè) X 是一個(gè)集合， 是 X 的一個(gè)子集族.如果滿(mǎn)足如下條件： (l) X, ； (2) 若 A，B ，則 AB ； (3) 若 ,有 ,則稱(chēng) 是 X 的一個(gè)拓?fù)?稱(chēng)偶對(duì)(X， )是一個(gè)拓?fù)淇臻g, 的每一個(gè)元素都叫做拓?fù)淇臻g(X， )或 X 中的一個(gè)開(kāi)集.即：A A是開(kāi)集.,(此定義與度量空間的開(kāi)集的性質(zhì)一樣嗎),現(xiàn)在首先將度量空間納入拓?fù)淇臻g的范疇. 定義2.2.2設(shè)(X，)是一個(gè)度量空間.令 為由 X 中的所有開(kāi)集構(gòu)成的集族.根據(jù)定理2.1.2，(X， )是

2、 X 的一個(gè)拓?fù)? 稱(chēng) 為 X 的由度量誘導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)? 如果沒(méi)有另外的說(shuō)明，我們提到度量空間(X，)的拓?fù)鋾r(shí)，指的就是拓?fù)?；在稱(chēng)度量空間(X，)為拓?fù)淇臻g時(shí)，指的就是拓?fù)淇臻g (X， ),例2.2.1平庸空間. 設(shè) X 是一個(gè)集合.令 =X， .容易驗(yàn)證，是X 的一個(gè)拓?fù)?，稱(chēng)之為 X 的平庸拓?fù)?；并且我們稱(chēng)拓?fù)淇臻g (X， ) 為一個(gè)平庸空間.在平庸空間(X，)中，有且僅有兩個(gè)開(kāi)集，即 X 本身和空集.,例2.2.2離散空間. 設(shè) X 是一個(gè)集合.令 =P(X)，即 由 X 的所有子集構(gòu)成的族.易證， 是 X 的一個(gè)拓?fù)洌Q(chēng)為 X 的離散拓?fù)?；在離散空間(X，)中，X的每一個(gè)子集都是開(kāi)集.

3、,例 2.2.4有限補(bǔ)空間. 設(shè) X 是一個(gè)集合.首先我們重申：當(dāng)我們考慮的問(wèn)題中的基礎(chǔ)集自明時(shí)，我們并不每次提起.因此在后文中對(duì)于 X 的每一個(gè)子集 A，它的補(bǔ)集 XA 我們寫(xiě)為 .令 =U 易驗(yàn)證 是 X 的一個(gè)拓?fù)洹?X| 是 X 的一個(gè)有限子集 ,一個(gè)令人關(guān)心的問(wèn)題是拓?fù)淇臻g是否真的要比度量空間的范圍更廣一點(diǎn)？就是問(wèn)：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g的拓?fù)涠伎梢杂赡骋粋€(gè)度量誘導(dǎo)出來(lái)？,定義2.2.3設(shè)(X，P )是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果存在 X 的一個(gè)度量使得拓?fù)?P 即是由度量誘導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)?，則稱(chēng)(X，P )是一個(gè)可度量化空間.,滿(mǎn)足一些什么條件的拓?fù)淇臻g是可度量化的？,現(xiàn)在我們來(lái)將度量空間之間的連續(xù)

4、映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射.,定義 2.2.4設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:XY.如果 Y 中每一個(gè)開(kāi)集 U 的原象 (U)是 X 中的一個(gè)開(kāi)集，則稱(chēng) f 是 X 到 Y 的一個(gè)連續(xù)映射，或簡(jiǎn)稱(chēng)映射f連續(xù).,按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射，明顯是受到了2.1中的定理2.1.4的啟發(fā).,下面的這個(gè)定理盡管證明十分容易，但所指出的卻是連續(xù)映射的最重要的性質(zhì).,定理 2.2.1設(shè) X，Y 和 Z 都是拓?fù)淇臻g.則 (1)恒同映射： :XX 是一個(gè)連續(xù)映射； (2)如果 f:XY 和 g:YZ 都是連續(xù)映射，則 g f:XZ 也是連續(xù)映射.,定義2.2.5設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)

5、拓?fù)淇臻g.如果 f：XY 是一個(gè)一一映射，并且 f 和 ：YX 都是連續(xù)的，則稱(chēng) f 是一個(gè)同胚映射或同胚.,定理2.2.2設(shè) X，Y 和 Z 都是拓?fù)淇臻g.則 (1)恒同映射 ：XX 是一個(gè)同胚； (2)如果 f：XY 是一個(gè)同胚，則 ：YX 也是一個(gè)同胚； (3)如果 f：XY 和 g：YZ 都是同胚，則 g f：XZ 也是一個(gè)同胚.,定義2.2.6設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果存在一個(gè)同胚 f：XY，則稱(chēng)拓?fù)淇臻g X 與拓?fù)淇臻g Y 是同胚的，或稱(chēng) X 與 Y 同胚，或稱(chēng) X 同胚于 Y. 粗略地說(shuō)，同胚的兩個(gè)空間實(shí)際上便是兩個(gè)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間. 定理2.2.3設(shè) X，Y 和 Z 都是拓?fù)淇臻g.則 (1)X 與 X 同胚； (2)如果 X 與 Y 同胚，則 Y 與 X 同胚； (3)如果 X 與 Y 同胚， Y 與 Z 同胚，則 X 與 Z 同胚.,拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì) P，如果為某一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則必為與其同胚的任何一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，