柯西不等式的證明和應(yīng)用

1、摘要：柯西不等式是數(shù)學(xué)中的一個非常重要的不等式，它在不同的領(lǐng)域里有著不同的表現(xiàn)形式，在數(shù)學(xué)的各個分支里都有著極其廣泛的應(yīng)用，其證明的思維方式靈活多樣.雖然它在各個分支的表現(xiàn)形式不同，但各種形式相互滲透著內(nèi)在的聯(lián)系，它們間的相互轉(zhuǎn)化顯示出數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的和諧美和統(tǒng)一美.本文歸納總結(jié)了它的幾種類型，列舉了它在初等代數(shù)研究、數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、復(fù)變和概率論中的一些形式，證明方法和應(yīng)用， 所有這些都充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域間的內(nèi)通性、滲透性和統(tǒng)一性.關(guān)鍵詞： 柯西不等式， 證明，聯(lián)系，應(yīng)用 abstract: .cauchy inequality in mathematics is a very impor

2、tant inequality, which in different fields has different forms. cauchy inequality has an extremely wide range of applications in every branch of mathematics and proving. it has many branches of different forms, but all forms of infiltration of intrinsic link shows the harmony and beauty of mathemati

3、cs. this article summarizes its several types, proofs and applications in the elementary algebra research, mathematical analysis, advanced algebra, complex variables and probability theory in some form, proof methods and applications, all of which fully embody the mathematical connection of between

4、fields, penetration and uniformity.key words:cauchy inequality,proving, contaction, application目錄1.引言2柯西不等式的形式和證明2.1柯西不等式在初等代數(shù)研究中的形式和證明2.2柯西不等式在數(shù)學(xué)分析中的形式和證明2.3柯西不等式在高等代數(shù)中的形式和證明2.4柯西不等式在復(fù)變中的形式和證明2.5柯西不等式在概率論中的形式和證明3.柯西不等式每種形式間關(guān)系4.柯西不等式的應(yīng)用總結(jié)參考文獻感謝1. 引言柯西不等式是大數(shù)學(xué)家柯西(cauchy) 在研究數(shù)學(xué)分析中“留數(shù)”問題時得到的, 因而被命名為柯西不等

5、式.柯西(cauchy, 17891857)，法國數(shù)學(xué)家，8月21日生于巴黎，他的父親路易弗朗索瓦柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔(dān)任公職.由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒.他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功底是相當(dāng)深厚的，很多數(shù)學(xué)的定理、公式都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式.在數(shù)學(xué)寫作上，他被認為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，以分析教程（1821年）和關(guān)于定積分理論的報告（1827年）最為著名.他對數(shù)論、代數(shù)、數(shù)學(xué)分析和微分方程等多個數(shù)學(xué)領(lǐng)域進行了深入的研究, 并獲得了許多重要成果, 著名的柯西不等

6、式就是其中之一,但從歷史的角度看, 該不等式應(yīng)當(dāng)命名為cauch - buniakowsky - schwarz不等式.因為這一不等式是由后兩位數(shù)學(xué)家彼此獨立地在積分學(xué)中推而廣之, 并應(yīng)用到近乎完善的地步.2. 柯西不等式的形式和證明柯西不等式在初等代數(shù)研究中的形式當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)k使時，等號成立（）證 這定理在或時明顯成立，所以在該證明中 不妨設(shè)中至少有一個不為零，中也至少有一個不為零。構(gòu)造實變量二次函數(shù) 因為所以恒成立因為即當(dāng)且僅當(dāng) （）時等號成立2.2數(shù)學(xué)分析中柯西不等式的形式，有當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù), 使時,等式成立. 證 設(shè) =所以 判別式即所以 2.3高等代數(shù)中柯西

7、不等式的形式對于任意的向量,有當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù) , 使時,等式成立. 證 當(dāng)時，顯然成立.以下設(shè).令是一個實變數(shù)，作向量,由可知，不論取何值，一定有.即.則 判別式,即.從而,所以.當(dāng),線性相關(guān)時，等號顯然成立.反過來，如果等號成立，由以上證明過程可以看出，或者，或者,也就是說,線性相關(guān).2.4復(fù)變中柯西不等式的形式.證 在復(fù)平面上取向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，拒向量的加法法則，我們有，.設(shè)，則從余弦定理有.因為 ,所以 . （1）當(dāng)且僅當(dāng)或時，即三點共線時，等號成立.在中，同理可推得. （2）所以公式4得證.不等式（1）（2）的本質(zhì)反映了空間三個點兩兩形成的距離之間的關(guān)系.2.5概率論中柯

8、西不等式的形式隨機變量,，若存在,則有 .當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù) 使時,等式成立.證 設(shè)事件的方差用表示,因為,所以.同理可得.因此有.所以.3. 柯西不等式每種形式間的關(guān)系柯西不等式的各種表示不僅形式優(yōu)美對稱，而且各種形式相互滲透著內(nèi)在聯(lián)系，它們間的相互轉(zhuǎn)化更顯示出數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的和諧美和統(tǒng)一美.我們?nèi)?定義內(nèi)積.在空間中， ，,定義內(nèi)積.這樣就由2.3的形式可推得2.1的形式和2.2的形式了.另一方面,對離散型隨機變量,則, , .由2.5的形式得到，.即.則由2.5的形式得到2.1的形式.設(shè)連續(xù)型 , , 則, .由2.5的形式得，.則由2.5的形式得到2.2的形式. 設(shè)代入2.4形式

9、的（1）中化簡得到.即由2.4的形式得到2.1的形式（當(dāng)時）由上討論可知,形式2.1、形式2.2只不過是形式2.3在不同向量空間中的具體表述,也只不過是形式2.5在不同測度空間中的具體表述.而形式2.3和形式2.5卻更具有一般性和抽象性.它體現(xiàn)了代數(shù)與分析、概率與分析,高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間相互滲透,相互促進的內(nèi)在聯(lián)系.正如希爾伯特所說:“數(shù)學(xué)是一有機整體,它的生命力依賴于各部分的聯(lián)系.”它是我們進行“數(shù)學(xué)探究”的極好材料.對于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì),領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法,認識知識間的聯(lián)系,促進學(xué)生的創(chuàng)造性思維是非常難得可貴的.4. 柯西不等式的應(yīng)用 柯西不等式是一個重要的不等式,靈活巧妙地應(yīng)用這個不

10、等式可使一些十分困難的問題迎刃而解,這個定理不僅能解決很多國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽試題及imo 試題中有關(guān)不等式問題, 而且對于解決某些常規(guī)問題都能起到意想不到的效果.例1 已知都是正數(shù)，求證.證明 構(gòu)造兩個數(shù)組： .利用柯西不等式有.即,所以.例2 （第22屆imo試題）已知為內(nèi)一點， ，點到的三邊，的距離分別為，求證.證 由題設(shè)可知,要證結(jié)論成立，只要證.由柯西不等式知，上式顯然成立.所以.柯西不等式的靈活運用，使得問題由繁化簡，將高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系起來.例3（高中聯(lián)賽，1997）試問：當(dāng)且僅當(dāng)實數(shù)滿足什么條件時，存在實數(shù)使得成立，其中，i為虛數(shù)單位，證明你的結(jié)論.解 將轉(zhuǎn)化到實數(shù)范圍內(nèi)，即

11、 （1）若存在實數(shù)使（1）式成立，則.由柯西不等式有 （2）如果，由（1）可得，從而.與（2）矛盾，于是有. （3）反之若（3）成立，有兩種情況：1. ，則取，,顯然（1）式成立.2. ，記，則不全為0.不妨設(shè)，取，有, .易知（1）式成立.綜上所述，所求的條件為.例利用柯西不等式推導(dǎo)空間一點到平面:距離公式.解 設(shè)是平面: 上任一點,則.那么,的最小值就是到平面的距離.由柯西不等式, 得,即.當(dāng)且僅當(dāng)平面時取等號.即點 到平面: 的距離公式是.有些問題,從表面上看不能應(yīng)用柯西不等式,但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項,就可以運用柯西不等式來解.當(dāng)一些不等式中含有的形式時，可以巧妙地應(yīng)用柯

12、西不等式，使問題迎刃而解.例函數(shù)在上一階可導(dǎo)，.證明.證 因為，及 ，則有 ，.，.從而，將上兩式相加即證得.三角形的證明方法多種多樣，然而利用柯西不等式證明會使證明會更加簡潔.例 證明三角形不等式證 因為,所以 .有了三角形不等式，一些難以入手的不等式證明可以輕松攻破.例7 已知，求證：.證 因為, （1） , （2）（1）和（2）分別表示點與點及點的 距離，在中，,所以 .例8 已知求證.證 構(gòu)造獨立的隨機變量，其分布律為,y，則,.由于，相互獨立，根據(jù)柯西不等式知,所以.展開整理有.注意：在函數(shù)中利用柯西不等式解題的前提是有的問題本身不具有運用柯西不等式的條件, 我們只要改變一下多項式形

13、態(tài)結(jié)構(gòu), 認清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征, 就可達到利用柯西不等式解題的目的.例用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計一書中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，則相關(guān)程度越小.現(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù).證 現(xiàn)記，則，由柯西不等式有，.當(dāng)時，.此時，為常數(shù).點 均在直線上， 當(dāng)時，.即.而,為常數(shù).此時，此時，為常數(shù).點均在直線附近，所以越接近于1，相關(guān)程度越大.當(dāng)時，不具備上述特征，從而找不到合適的常數(shù)，使得點都在直線附近.所以，越接近于0，則相關(guān)程度越小.結(jié)論柯西不等式在理論中占有很重要的地位, 充分靈活地利用柯西不等式, 會使解題更

14、加方便, 快捷.用高等的觀點去研究初等數(shù)學(xué)是新世紀(jì)對中學(xué)數(shù)學(xué)教師高水平的要求, 教師是否具有較高的數(shù)學(xué)觀點,是衡量教師數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要標(biāo)準(zhǔn). 教師具有高的觀點,就能從高處看清中學(xué)教材的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和本質(zhì)聯(lián)系,把握教材的重難點;教師具有高觀點. 就能從認知的角度,在知識的各部分滲透高等數(shù)學(xué)的觀點,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性、批判性思維.作為將來從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的大學(xué)生,學(xué)好高等數(shù)學(xué),使自己成為一名高素質(zhì)的中學(xué)教師,是時代賦予我們的義不容辭的責(zé)任. 參考文獻 余元希.田萬海.毛宏德.初等代數(shù)研究（下冊）m.北京:高等教育出版社,1988.2:409. 張千祥.柯西不等式的教學(xué)價值. 巢湖學(xué)院學(xué)報,2004,20(2):1